Chương 2: CÔNG CỤ TOÁN HỌC VÀ CÁC LUẬN ĐIỂM CƠ BẢN CỦA CƠ HỌC LƯỢNG TỬ

Chia sẻ: Susu Nguyen | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:9

Thêm vào BST

Báo xấu

140
lượt xem 17
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

BÀI 1: CÔNG CỤ TOÁN HỌC TRONG CƠ HỌC LƯỢNG TỬ I. Việc mô tả các đại lượng vật lý trong vật lý cổ điển và vật lý lượng tử:

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Chương 2: CÔNG CỤ TOÁN HỌC VÀ CÁC LUẬN ĐIỂM CƠ BẢN CỦA CƠ HỌC LƯỢNG TỬ

Chương 2: CÔNG CỤ TOÁN HỌC VÀ CÁC LUẬN ĐIỂM CƠ BẢN CỦA CƠ HỌC LƯỢNG TỬ BÀI 1: CÔNG CỤ TOÁN HỌC TRONG CƠ HỌC LƯỢNG TỬ I. Việc mô tả các đại lượng vật lý trong vật lý cổ điển và vật lý lượng tử: Ø Chúng ta đã biết trong thế giới vi mô không thể tồn tại các trạng thái, trong đó tọa độ x và xung lượng p được xác định đồng thời. Còn trong thế giới vĩ mô thì được. Ø Các đại lượng vật lý trong cơ học cổ điển được miêu tả bằng các hàm tọa độ và thời gian. Trong cơ học lượng tử, các đại lượng vật lý nói chung không thể được đặc trưng bởi những trị số xác định. Ø Cụ thể ta xét đại lượng đặc trưng cho vị trí của hạt: § Trong chuyển động, vị trí của hạt được xác định bởi 3 trị số, đó là tọa độ x, y, z của hạt => bài toán chuyển động là sự biểu diễn các tọa độ của hạt dưới dạng các hàm của thời gian. § Trong cơ học lương tử, tình hình khác hẳn: chúng ta chỉ có thể nói đến xác suất tìm hạt tại một miền nào đó của không gian. Xác suất này có thể tính được dựa vào hàm sóng . Nhưng hàm sóng không cho ta khả năng
tính tọa độ của hạt. Nó chỉ cho ta tính xác suất của tọa độ hạt và giá trị trung bình của nó. ð Do vậy, trong cơ học lượng tử người ta dùng một công cụ toán học khác hẳn với công cụ toán học trong cổ điển. Trong cơ học lượng tử, một đại lượng bất kỳ không được đặc trưng bằng trị số của nó, mà được mô tả bằng một toán tử. II. Khái niệm toán tử: ü Toán tử là một phép biến đổi tượng trưng cho một phép toán nào đó (vd: đại số, vi phân, tích phân…) được tác dụng lên một hàm để nhận được hàm khác. ü Ký hiệu: các toán tử bằng dấu “^” trên đầu. Ta có: Ø Vd1: Toán tử biến độc lập x (hay y, z) được hiểu là toán tử nhân với x, y, z Ø VD2: Toán tử đạo hàm theo x, y, z : (hay là toán tử vi phân) Ø VD3: Toán tử là toán tử khai căn: Ø VD4: Toán tử nabla (là toán tử vi phân)
Ø VD5: Toán tử Laplace :(toán tử vi phân) III. Các phép toán đối với các toán tử: § Hai toán tử và được gọi là bằng nhau khi: § Phép cộng hay hiệu 2 toán tử: => Toán tử hiệu => toán tử tổng § Phép nhân với một vô hướng: § Phép nhân với 2 toán tử:
(toán tử tích ) v Chú ý: nếu thì ð tức · Nếu thì và là 2 toán tử giao hoán. Ký hiệu: · Nếu thì và là 2 toán tử phản giao hoán. Ký hiệu: v Xét các ví dụ về hai toán tử giao hoán hay không giao hoán: ü VD1: Giả sử có 2 toán tử: ð tức không giao hoán. Vì
§ § Vậy: đpcm ü VD2: Nếu xét 2 toán tử: ð tức giao hoán. Vì: § § Vậy: đpcm ü VD3: xét 2 toán tử sau có giao hoán hay không?
BÀI 2: HÀM RIÊNG VÀ TRỊ RIÊNG I. Hàm riêng và trị riêng: Ø Giả sử khi tác động toán tử lên hàm sóng ta được chính hàm sóng đó nhân với 1 hằng số a nào đó như sau: (2.1) ð đẳng thức (2.1) không thoả với mọi hàm . ü Trong CHLT, ta chỉ quan tâm đến toán tử tuyến tính và chỉ xét những hàm thoả 1 số đk xác định sau: · Hàm phải tồn tại trong toàn miền biến thiên, cụ thể: § Với các biến x, y, z là từ § Với biểu diễn trong toạ độ cầu thì hàm phải được xác định trong miền biến thiên của:
· Trong miền tồn tại, hàm và đạo hàm bậc I của nó phải hữu hạn, liên tục, có thể trừ 1 số điểm đặc biệt. · Hàm phải đơn trị. ð Tập hợp 3 điều kiện trên là những điều kiện chuẩn. · Nếu những điều kiện chuẩn được thoả mãn thì nghiệm của phương trình (2.1) tức là hàm sẽ được gọi là hàm riêng và a là trị riêng của toán tử ứng với hàm riêng . ð Tập hợp các trị riêng gọi là phổ các trị riêng. Phổ các trị riêng có thể gián đoạn hay liên tục, hoặc cũng có thể 1 phần là gián đoạn, 1 phần là liên tục. II. Các ví dụ về phổ trị riêng: v VD1: Tìm phổ trị riêng của toán tử: (2.2) Ø Điều kiện (2.1) cho ta phương trình: ð tìm tập hợp các giá trị của để hàm thoả 3 điều kiện chuẩn của hàm sóng.
ð Nghiệm của phương trình: ð Hà m muốn thoả 3 điều kiện chuẩn thì là số thực => thực là phổ trị riêng. ü Nếu là ảo thì điều kiện hữu hạn không được thoả mãn. · Vì giả sử: , với là số thực thì: khi ð không hữu hạn. Vậy: toán tử có phổ trị riêng liên tục, gồm thực (cả >0 hay
ü Điều kiện (2.1) cho phương trình: ð Nghiệm phương trình này có dạng: , · TH1: với => là số thực dương. ð ð hàm thoả mãn các điều kiện chuẩn của hàm sóng. , là 1 số thực. Khi đó là s ố · TH2: , thực âm. không hữu hạn khi => loại ð (thực). Vậy toán tử (8.3) có phổ trị riêng liên tục gồm tất cả thực và dương.