CHƯƠNG I: BIẾN ĐỔI LƯỢNG GIÁC

Chia sẻ: Paradise9 Paradise9 | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:9

Thêm vào BST

Báo xấu

43
lượt xem 4
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Tham khảo tài liệu 'chương i: biến đổi lượng giác', tài liệu phổ thông, toán học phục vụ nhu cầu học tập, nghiên cứu và làm việc hiệu quả

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: CHƯƠNG I: BIẾN ĐỔI LƯỢNG GIÁC

CHƯƠNG I: BIẾN ĐỔI LƯỢNG GIÁC a a a a a Bài 1: Cho S n = tan 2 tan a + 2 tan 2 tan + ... + 2 n -1 tan 2 n tan n -1 . Tìm lim S n 2 2 2 2 2 2 n ¥ ® Giải: 2 tan x Ta có tan 2 x = 1 - tan 2 x Û tan 2 x - tan 2 x tan 2 x = 2 tan x Û tan 2 x tan 2 x = tan 2 x - 2 tan x (1) Thay vào (1) rồi cộng vế theo vế, ta được: ì 2 a a ï tan 2 tan a = tan a - 2 tan 2 ï ï2 tan 2 a tan a = 2 tan a - 22 tan a ï 22 2 2 2 2 ï a a a a ï + í22 tan 2 3 tan 2 = 22 tan 2 - 23 tan 3 2 2 2 2 ï ï.......................................................... ï ï2n-1 tan 2 a tan a = 2n -1 tan a - 2n tan a 2n 2n -1 2n -1 2 n ï ï î a S n = t a n a - 2 n t a n 2 n a ö æ Þ lim S n = tan a - lim ç 2n tan n ÷ 2 ø n®¥ n ¥ ® è S n = tan a - a x x x Bài 2: Cho Pn = cos cos 2 .... cos n . Tìm lim Pn 2 2 2 n ¥ ® Giải: sin 2 a Từ sin 2a = 2 sin a cos a Þ cos a = 2 sin a x ì s i n ï x s i n x x 2 ï cos = , c o s 2 = x x 2 2 ï 2 sin 2 s i n 2 2 2 ï ï x s i n 2 ï x ï 2 , . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . í c o s 3 = x 2 ï s i n 3 2 ï ï x s i n n - 1 ï x 2 ï c o s n = x 2 ï 2 s i n n ï 2 î 2
sin x Nhân vế theo vế ta được: Pn = x 2n sin n 2 sin x Þ lim Pn = lim x n ®¥ n ¥ n ® 2 sin n 2 sin x sin x = = lim x ö x n ¥ æ ® ç sin 2 ÷ n ç x ÷ x ç n ÷ è 2 ø Bài 3: Rút gọn biểu thức: An = 2 + 2 + 2 + ....... 2 1444 24444 4 3 n Giải: Ta có với n=1: p A1 = 2 = 2 cos 4 p Ta sẽ chứng minh: An = 2 cos (*) 2 n Với n=1 , đẳng thức đúng Giả sử (*) đúng tới n=k, tức là : p Ak = 2 cos k 2 Ta chứng minh (*) đúng với n=k+1, tức là p Ak +1 = 2 cos k +1 2 Thật vậy: Ak +1 = 2 + 2 + .... 2 144 44 2 3 k +1 = 2 + Ak p = 2(cos 2p + cos k 2 p p + p ) cos( - p ) = 4 cos( k +1 2 +1 k 2 p = 2 cos k +1 (đpcm) 2 Vậy theo nguyên lí quy nạp, ta có : p An = 2 cos n 2 3
Bài 4: Cho vài ( hoặc tất cả) các số a1 , a2 , a3 , ....., a bằng +1 và các số còn lại của chúng bằng 1. n Chứng tỏ rằng: a a a a a a a a ...a ö o æ 2 sin ç a + 1 2 + 1 2 3 + .... + 1 2 n3 1 n ÷ 45 1 2 - 2 2 2 è ø = a1 2 + a2 2 + a3 2 + ... + an 2 Chẳng hạn với a1 = a2 = a3 = ..... = an = 1 ta được: o 11 1 45 + + .... + n -1 )45o = 2 cos n -1 = 2 + 2 + .... 2 2 sin(1 + 144 44 2 3 2 24 2 n Giải: Ta sẽ tiến hành từ công thức nửa góc: a trong đó dấu “+” hoặc” – “được chọn cho phù hợp với qui luật về 2 sin = ± 2 - 2 cos a 2 dấu của hàm sin. Sử dụng công thức này ta lần lượt định được sin các góc: a1a2 a1a2 a3 ö o a1a a1a2 a3 a1a2 a3 ...a ö o n aa ö oæ æ æ a1 45o ; ç a1 + 1 2 2 ÷ 45 ; ç a1 + ÷ 45 ; .....; ç a1 + 2 + 22 + .... + + ÷ 45 2 n 1 - 2 2 2 2ø è ø è è ø Giả sử ta đã xác định được sin góc: a1a a1a2 a3 a1a2 a3 ...a ö o n æ 2 ÷ 45 trong đó a1 , a2 , a3 , ....., a lấy các giá trị bằng +1 hoặc 1 bởi ç a1 + 2 + 2 2 + .... + n n -1 2 è ø vì: a a a a a a a a ...a ö o æ 2 ç a1 + 1 2 + 1 2 3 + .... + 1 2 n3 1 n ÷ 45 2 - 2 2 2 è ø é a a a ...a ö o ù a a a a a æ = ê ±90o ± ç a1 + 1 2 + 1 2 3 + .... + 1 2 n3 1 n ÷ 45 ú trong đó dấu “+” tương ứng với a=1 và dấu ” – 2 - 2 2 2 è øû ë “ ứmg với a= 1 Và é a a a ...a ö o ù a a a a a æ cos ê ±90o ± ç a1 + 1 2 + 1 2 3 + .... + 1 2 n3 1 n ÷ 45 ú 2 - 2 2 2 è øû ë a a a a a a a a ...a ö o æ = - sin ç a1 + 1 2 + 1 2 3 + .... + 1 2 n3 1 n ÷ 45 2 - 2 2 2 è ø a Áp dụng công thức 2 sin = ± 2 - 2 cos , ta có: 2 a1a2 a3 a a a ...a ö o a a æ + .... + 1 2 n3 1 n ÷ 45 2 sin ç a1 + 1 2 + 2 - 2 2 2 è ø a a a a a a a a ... ö a æ = ± 2 + 2 sin ç a1 + 1 2 + 1 2 3 + .... + 1 2 n3 1 n ÷ 45o 2 - 2 2 2 è ø o Để ý rằng tất cả các góc được xét đều nhỏ hơn 90 về mặt giá trị tuyệt đối ( ngay cả æ11 1 1 o öo o o ÷ 45 = 90 - n 90 < 90 và vì dấu của các góc này được định bởi dấu của a , nên ç 1 + + 2 + ... + n 1 2 è 22 2 ø căn bậc hai trong công thức cuối phải lấy dấu “+” hoặc” – “ tùy theo dấu của a . Nói cách khác ta 1 có thể viết: 4
a a a a a a a a ...a ö o æ 2 sin ç a1 + 1 2 + 1 2 3 + .... + 1 2 n3 1 n ÷ 45 2 - 2 2 2 è ø a a a a a a a a ... ö a æ = a1 2 + 2 sin ç a1 + 1 2 + 1 2 3 + .... + 1 2 n3 1 n ÷ 45o 2 - 2 2 2 è ø Giờ ta hãy dùng công thức hiển nhiên 2 sin a1 45o = a1 2 giúp ta suy ra liên tiếp các hệ thức sau: a a ö æ 2 sin ç a1 + 1 2 ÷ 45o = a1 2 + a2 2 2 ø è a a a a a ö æ 2 sin ç a1 + 1 2 + 1 2 3 ÷ 45o = a1 2 + a2 2 + a3 2 2 2 ø 2 è …………………………………………… a a a a a a a a ...a ö o æ 2 sin ç a + 1 2 + 1 2 3 + .... + 1 2 n3 1 n ÷ 45 1 2 - 2 2 2 è ø = a1 2 + a2 2 + a3 2 + ... + an 2 Bài 5: Tìm điều kiện đối với a và b để hàm số : y = 2 x + a sin x + b cos x luôn đồng biến Giải: Hàm số có tập xác định D = R Có đạo hàm y ' = 2 + a cos x - b sin x Trường hợp 1: a = b = 0 Þ y ' = 2 > 0 "x Î R Điều này thỏa mãn yêu cầu đề bài Trường hợp 2: a 2 + b 2 > 0 æ ö a b Ta có: y ' = 2 + a 2 + b 2 ç cos x - sin x ÷ 2 2 2 2 è a +b a +b ø a ì ïcos j = a 2 + b 2 ï Với í b ïsin j = ï a 2 + b 2 î y ' = 2 + a 2 + b 2 cos ( x + j ) vì -1 £ cos ( x + j ) £ 1 nên Û 2 - a 2 + b 2 £ 2 + a 2 + b 2 cos ( x + j ) £ 2 + a 2 + b 2 Để hàm số luôn đồng biến: Û y ' ³ 0 "x Î R Û 2 - a 2 + b 2 ³ 0 Û a 2 + b 2 £ 2 Û a 2 + b2 £ 4 Kếi luận a 2 + b 2 £ 4 (chú ý a 2 + b 2 £ 4 vẫn đúng khi a = b = 0 ) 5
Bài 6: Cho hàm số y = 4 x3 - mx . Tính m để y £ 1 khi x £ 1 Giải: Thuận: vì x £ 1 nên ta chọn: * x = 1 Þ y = 4 - m Theo giả thiết y £ 1 Þ 4 - m £ 1 Þ -1 £ 4 - m £ 1 (1) Þ 3 £ m £ 5 1 - m Theo giả thiết y £ 1 Þ £ 1 2 Þ 1 - m £ 2 Þ -2 £ 1 - m £ 2 Þ -1 £ m £ 3 Kết hợp (1) và (2) suy ra m=3 Đảo: với m=3 Þ y = 4 x 3 - 3 x Theo giả thiết x £ 1 Û $a Î R : x = co s a Vậy y = 4 cos 3 a - 3 cos a a Û y = cos 3 a Û y = cos 3 £ 1 Kết luận m=3 Bài 7: Chứng minh rằng nếu m sin( a + ) = cos(a = b trong đo a - b ¹ k và m ¹ 1 thì biểu thức p ) 1 1 không phụ thuộc vào a và b E = + 1 - m sin 2 1 - m sin 2b a Giải: Ta có: sin 2 = sin[( a + b + ( - b ] a ) a ) = sin( a + b cos( - b + cos( + b sin( a - b a ) a ) ) ) = m sin 2 ( + b + cos( + b sin( a - b a ) a ) ) Þ 1 - m sin 2 = 1 - m 2 sin 2 ( + b - m cos( + b sin( a - b a a ) a ) ) = 1 - cos 2 ( - b - m cos( + b sin( a - b a ) a ) ) = sin 2 ( - b - m cos( + b sin( a - b a ) a ) ) = sin( a - b [sin( a - b - m cos( + b ] a ) ) ) Tương tự 1 - m sin 2 = sin( a - b [sin( a - b + m cos( + b ] b a ) ) ) 1 1 E = + sin(a - b)[sin(a - b) - m cos(a + b)] sin(a - b)[sin(a - b) + mco(a + b ] ) é ù 1 1 1 = ê sin(a - b) - m cos(a + b) + sin(a - b) + m cos(a + b) ú sin(a - b) ë û 6
2 s in ( a - b 1 ) = sin( a - b ) sin ( a - b) - m cos 2 ( a + b) 2 2 2 = sin ( a - b ) - m [1 - sin 2 ( a + b ] 2 2 ) 2 = sin ( a - b ) + m sin 2 ( a + b) - m 2 2 2 2 = sin (a - b) + cos2 (a - b) - m 2 2 2 ( không phụ thuộc vào a và b) = 1 - m 2 Bài 8: Cho dãy số {u n } xác định như sau: u n = tan n tan( - 1 , n = 1 2 .. n ) , . Chứng minh rằng tồn tại các hằng số a , b sao cho ta có S n = u + u 2 + ...u n = a tan n + b n "n = 1,2 .. . 1 Giải : Theo công thức cộng cung, ta có "n = 1,2 .. . tan k - tan( - 1 k ) tan k - tan( - 1 k ) tan 1 = Þ tan k tan( - 1 = k ) 1 + tan k tan( - 1 k ) tan 1 Từ đó suy ra : n n é tan k - tan( - 1 ù k ) S n = å tan k tan( - 1 = å ê k ) - 1 ú tan 1 ë û k =1 k =1 æ n tan k - tan( - 1 ö k ) tan n = çå ÷ - n = - n tan 1 tan 1 è k =1 ø 1 Đặt a = , b = -1 khi đó "n = 1,2 .. ta có: . tan 1 S n = a tan n + b n Vậy bài toán được chứng minh với sự tồn tại của các hằng số a , b như trên Bài 9: Dãy số xác định như sau: ì x = a ï0 n=0,1,2…….. í ï x +1 = 2 x 2 - 1 î n n Biết a
Giả sử ta có n
ì Ù Ù Ù ï A+ B C = p + p p p 2 4 Û A = ; B = ; C = íÙ Ù Ù 7 7 7 ï4 A = 2 B = C î 4 co s 2 A + co s 2 B + co s 2 C = (2 ) 5 1 + cos 2 A 1 + cos 2 B 1 + cos 2 4 C Û + + = 2 2 2 5 1 Û cos 2 A + cos 2 B + cos 2 = - C 2 p p p 2 4 8 1 Û cos + cos + cos = - 7 7 7 2 p p p 2 3 1 Û cos - cos - cos = - 7 7 7 2 p p p 1 2 3 Û cos - cos + cos = (1 ) 7 7 7 2 (1) đúng Þ 2 đúng Bài 11: Cho dãy số xác định như sau: ì 3 ïU 1 = 3 ï í ïU = U 1 + 2 - 3 ; n = 2 3 .... , . ( ) ï n +1 1 - 3 - 2 U n î Tìm u 2008 Giải : p 1 - cos p 2 - 3 6 = Ta có: tan = = 2 - 3 p 12 2 + 3 1 + cos 6 Viết lại biểu thức của Un+1 dưới dạng sau: p U n + tan 12 (1 ) U n +1 = p 1 - U n tan 12 Đặt Un=tanβ thì từ (1) suy ra pö æ U n +1 = tan b + ÷(2 ) ç 12 ø è 3 Vì U 1 = nên từ (2) và nguyên lý quy nạp ta dễ dàng suy ra: 2 æ p )p ö U n = tanç + (n - 1 ÷ è 6 12 ø 9
æ p 2007 ö p Vậy: U 2008 = tan + ç ÷ è 6 12 ø æp pö æp p ö = tan ç + 167p + ÷ = tan ç + ÷ è6 4ø è 6 4 ø 3 1 + 3 = 3 + 3 = 2 + 3 = 3 3 - 3 1 - 3 * Chú ý: Bằng cách giải hoàn toàn tương tự, ta làm được bài toán sau: U n + 2 - 1 Cho U 1 = 2 và U n +1 = . Tìm U2008 ( ) 2 - 1 U n + 1 p Do tan = 2 - 1 . Nên ta suy ra 8 )p ö æ U n = tanç a + (n - 1 ÷ với a = arctan 2 8 ø è Þ U 2008 = tan a = 2 10