1
CHUYÊN ĐỀ. CÁC BÀI TOÁN VỀ PHÂN SỐ
A.TRỌNG TÂM CẦN ĐẠT
I. TÓM TẮT LÝ THUYẾT
Định nghĩa:Phânsốlàsựbiểudiễnsốhữutỉdướidạngtỉlệcủahaisốnguyên,trongđósốởtrên
đượcgọilàtửsố,cònsốởdướiđượcgọilàmẫusố.Điềukiệnbắtbuộclàmẫusốphảikhác0.
Kíhiệu
a
b
trongđó:
a
làtửsố;
b
làmẫusố(
a
,
b
làsốnguyên,
0
b
).
Tínhchấtphân:
1
1
a
;
1
a
a
.
So sánh 2 phân số
Cho
2
phânsố
a c
b d
trongđó
, 0
b d
.
Tronghaiphânsốcócùngmẫudương,phânsốnàocótửlớnhơnthìlớnhơn.
Muốnsosánhhaiphânsốkhôngcùngmẫu,taviếtchúngdướidạnghaiphânsốcùngmẫudương
rồisosánhcáctửlạivớinhau:phânsốnàocótửlớnhơnthìlớnhơn.
Từlýthyếtcơbảntarútranhậnxétsau:
Phânsốcótửvàmẫulà
2
sốnguyêncùngdấuthìlớnhơn
0
.
Phânsốcótửvàmẫulà2sốnguyênkhácdấuthìnhỏhơn
0
.
Nếu
ad bc
thì
a c
b d
, , , 0
a b c d
.
Nếu
ad bc
thì
a c
b d
, , , 0
a b c d
.
Nếu
ad bc
thì
a c
b d
, , , 0
a b c d
.
Nếuhaiphânsốcócùngmẫusốthìphânsốnàocótửsốlớnhơnthìlớnhơn.
Nếuhaiphânsốcócùngtửsốthìphânsốnàocómẫusốlớnhơnthìphânsốđónhỏhơn.
KếthợpvậndụngTínhchấtbắccầucủathứtự:
a c
b d
và
c m
d n
thì
a m
b n
,trongđóviệcphát
hiệnramộtsốtrunggianđểlàmcầunốilàrấtquantrọng.
Một số tính chất của tỉ số
Vớicácsốthựcdương
,
a b
bấtkìtaluôncó
1 1
a b
a b
.
Vớicácsốthựcdương
, , ,
a b c d
bấtkì,tacó:
Nếu
1
a
b
thì
a a c
b b c
.
2
Nếu
1
a
b
thì
a a c
b b c
.
Nếu
a c
b d
thì
a a c c
b b d d
.
Một số công thức hay dùng
1 1 1 1 1
;
1 1
a
n n n n n n a n n a
.
2 1 1
2 2
a
n n a n a n n a n a n a
.
1 1 1 1
1
1.2 2.3 1 1
n n n
1 1 1
...
21
k
n n a n a n a n n ka
n k a n ka
1 1 1 1 1 1
1.2.3 2.3.4 1 2 2 1.2 1 2
n n n n n
.
1 1 1 1 1 1
1.2.3.4 2.3.4.5 1 1 2 3 1.2.3 1 2
n n n n n n n
.
II. CÁC DẠNG TOÁN
Dạng 1: Rút gọn phân số
Ví dụ 1.1: Rútgọnphânsốsau:
10.11 50.55 70.77
11.12 55.60 77.84
.
Phân tích:Để giải quyết bài này ta cần phân tích tử và mẫu thành tích bằng cách áp dụng tính chất
phân phối của phép nhân đối với phép cộng hoặc trừ.
a b c ab ac
.
Lời giải:
Tacó:
10.11 50.55 70.77
11.12 55.60 77.84
10.11 5.10.11.5 7.10.11.7
11.12 11.5.12.5 11.7.12.7
10.11 1 5.5 7.7
10 5
11.12 1 5.5 7.7 12 6
.
Ví dụ 1.2: Tìmcácsốtựnhiên
a
và
b
biết
36
,
45
a
b
, 300
BCNN a b .
Lời giải:
Tacó:
3
4
36 4
45 5
a k
a
b k
b
,
*
( )
k
.
Mà
, 300
BCNN a b
4 ,5 4.5. 300
BCNN k k k
15
k
.
4.15 60
5.15 75
a
b
.
Vậy
60; 75
a b
.
Ví dụ 1.3: Tìmsốtựnhiên
n
đểphânsố
10
2 8
n
A
n
cógiátrịlàmộtsốnguyên.
Lời giải:
Đểphânsố
A
cógiátrịlàmộtsốnguyênthì
10 2 8
n n
10 4
n n
4 14 4
n n
14 4
n
.
4
n
Ư
14
.
Ư
14 1; 2; 7; 14
.
Mặtkhác,
n
làsốtựnhiênnên
4 4 4 2; 1;1;2;7;14
n n .
Tacóbảngsau:
4
n
1
1
2
2
7
14
n
5
3
6
2
11
18
A
15
2
(loại)
13
2
(loại)
16
4
4
3
21
14
(loại)
1
Vậy
2;6;18
n.
Bình luận:
- Ngoài cách lập bảng trên ta có thể để ý rằng:
10 2 8
n n
10 2 4
n n
10 2
n
.
Kết hợp với
4 2; 1;1;2;7;14 2; 3; 5; 6;11; 18
n n
2;6;18
n.
4
- Đối với bài toán trên với
5;3;11
n đều là số nguyên nhưng khi thay vào
A
thì không
được giá trị nguyên vì: theo bài ra thì
10 2 8
n n
10 4
n n
nhưng không có điều
ngược lại.
Bài toán tổng quát:Tìmsốtựnhiên
n
saocho
A n
B n
cógiátrịnguyên.
Cách làm:
1, ,
A n d
b a b d C n
B n a C n
Ö
d
.
Nếu
1
a
ta tìm được
n
và kết luận.
Nếu
1
a
ta tìm được
n
cần thử lại rồi kết luận.
Ví dụ 1.4: Chứngminhrằngphânsố
2 3
4 8
n
n
tốigiảnvớimọisốtựnhiên
n
.
Phân tích:
Để chứng minh một phân số là phân tối giản thì ta cần chứng minh ước chung lớn nhất của tử và
mẫu phải bằng 1.
Lời giải:
Thậtvậy,
Giảsử
ÖCLN 2 3,4 8
n n d
2 3
4 8
n d
n d
4 6
4 8
n d
n d
2
d
1;2
d
Vì
2 3
n
làsốtựnhiênlẻnên
2
d
.
Vậy
1
d
nênphânsố
2 3
4 8
n
n
làphânsốtốigiảnvớimọisốtựnhiên
n
.
Ví dụ 1.5: Tìmsốtựnhiên
n
đểphânsố
21 3
6 4
n
A
n
rútgọnđược.
Lời giải:
Gọi
d
làướcnguyêntốcủa
21 3
n
và
6 4
n
.
21 3
6 4
n d
n d
42 6
42 28
n d
n d
22
d
2;11
d .
5
Nếu
2
d
tathấy
6 4 2
n n
còn
21 3 2
n
khi
n
lẻ.
Nếu
11
d
thì
21 3 11
n
22 3 11
n n
3 11
n
3 11
n k
11 3n k k
.
Với
11 3
n k
thì
6 4 6 11 3 4 66 22 11
n k k
6 4 11
n
.
Vậy
n
lẻhoặc
11 3
n k
thìphânsố
21 3
6 4
n
A
n
rútgọnđược.
Bài toán tổng quát: Đối với các bài toán: “Tìm số tự nhiên
n
để phân số tối giản hoặc rút gọn
được” ta làm như sau:
 Gọi
d
là ước nguyên tố của tử và mẫu.
 Dùng các phép toán cộng, trừ, nhân để khử
n
để từ đó tìm
d
.
Đối với các bài toán: “Tìm số tự nhiên
n
để phân số tối giản” ta tìm
n
để tử số hoặc mẫu số không
chia hết cho các ước nguyên tố.
Đối với các bài toán: “Tìm số tự nhiên
n
để phân số rút gọn được” ta tìm
n
để tử số hoặc mẫu số
chia hết cho các ước nguyên tố.
Ví dụ 1.6: Tìmcácsốtựnhiên
, , ,
a b c d
nhỏnhấtsaocho:
3 12 6
; ;
5 21 11
a b c
b c d
.
Lời giải:
Tacó:
3
5
12 4
21 7
6
11
a
b
b
c
c
d
3
5 4 , ,
7 6
11
a m
b m n m n k
c n k
d k
.
Suyra
4 5
7 6
n
n
mà
4,5 1; 6,7 1
5
5,6
6
nn BC
n
mặtkhác
, , ,
a b c d
nhỏnhấtnên
5,6 5.6 30
n BCNN n
24; 35
m k
.
72; 120; 210; 385.
a b c d

Dạng 2: Tính nhanh tổng các phân số
Phương pháp khử liên tiếp