S phc
287
S PHC
I. TRNG S PHC VÀ S PHC
Trng s phc
( )
{
}
, ,a b a b= ∈
là tp hp
2
× =
mà trên ó xác lp
các quan h bng nhau và các phép toán tơng ng sau ây:
i
) Phép cng: (
a
,
b
)
+
(
c
,
d
)
=
(
a
+
c
,
b
+
d
)
ii) Phép nhân: (
a
,
b
). (
c
,
d
)
=
(
ac
−
bd
,
ad
+
bc
)
iii) Quan h bng nhau: (
a
,
b
)
=
(
c
,
d
)
⇔
a
=
c
và
b
=
d
iv
) Phép ng nht: (
a
, 0)
≡
a
; (0, 1)
≡
i
Gi s
( )
,z a b= ∈
,
vi
a
,
b
∈
. S dng phép cng và phép nhân ta có:
z
=
(
a
,
b
)
=
(
a
, 0)
+
(
b
, 0). (0, 1)
=
a
+
b
i; i
2
=
(0, 1). (0, 1)
=
(
−
1, 0)
≡
−
1
iz a b= +
là dng i s ca s phc, trong ó i gi là ơn v o.
oa
Gi s
iz a b= + ∈
,
a
,
b
∈
, khi ó
a
gi là phn thc,
b
là phn o ca
z
.
Kí hiu: Re(
z
)
=
a
; Im(
z
)
=
b
.
Tính cht:
Nu
iz a b= +
;
z
1
=
a
1
+
b
1
i ;
z
2
=
a
2
+
b
2
i ,
a
,
b
,
a
1
,
b
1
,
a
2
,
b
2
∈
+
)
z
1
=
z
2
⇔
a
1
=
a
2
và
b
1
=
b
2
⇔
Re(
z
1
)
=
Re(
z
2
) và Im(
z
1
)
=
Im(
z
2
)
+
) Re(
z
1
+
z
2
)
=
Re(
z
1
)
+
Re(
z
2
) ; Im(
z
1
+
z
2
)
=
Im(
z
1
)
+
Im(
z
2
)
+
) Re(
λ
z
)
=
λ
Re(
z
),
∀λ
∈
R ; Im(
λ
z
)
=
λ
Im(
z
),
∀λ∈
.
o!
Cho
z
1
=
a
1
+
b
1
i ;
z
2
=
a
2
+
b
2
i , vi
a
1
,
b
1
,
a
2
,
b
2
∈
. Khi ó ta có:
z
1
+
z
2
=
(
a
1
+
b
1
i)
+
(
a
2
+
b
2
i)
=
(
a
1
+
a
2
)
+
(
b
1
+
b
2
)i
z
1
−
z
2
=
(
a
1
+
b
1
i)
−
(
a
2
+
b
2
i)
=
(
a
1
−
a
2
)
+
(
b
1
−
b
2
)i
z
1
.
z
2
=
(
a
1
+
b
1
i). (
a
2
+
b
2
i)
=
(
a
1
a
2
−
b
1
b
2
)
+
(
a
1
b
2
+
a
2
b
1
)i
( )( )
( )( )
1 1 2 2
1 1 2 1 2 2 1 1 2
2 2 2 2
22 2 2 2 2 2 2 2
i i i
i i
a b a b
z a a b b a b a b
za b a b a b a b
+ − + −
= = +
+ − + +
,
∀
z
2
≠
0
http://toancapba.com hoc toan va on thi dai hoc mien phi !
ChưngIII. T hp, Xác sut và S phc
−
−−
−
Trn Phưng
288
"#$%&
Cho
iz a b= +
, vi
a
,
b
∈
, khi ó
iz a b= −
gi là s phc liên hp vi
z
.
Tính cht:
+
)
,z z z= ∀ ∈
;
z z z= ⇔ ∈
;
iz z z= − ⇔ ∈
+
)
( )
2 Rez z z+ =
;
( )
2 Im iz z z− =
;
( ) ( )
2 2
Re Imz z z z⋅ = +
+
)
1 2
,z z∀ ∈
:
1 2 1 2
z z z z+ = +
;
1 2 1 2
z z z z⋅ = ⋅
;
1 1
22
z z
zz
=
,
∀
z
2
≠
0
'()*ua
N: Cho
iz a b= + ∈
, vi
a
,
b
∈
, khi ó môun ca
z
là
2 2
z a b= +
Tính cht:
+
)
2; ; 0z z z z z z= ⋅ = ≥
;
0 0z z= ⇔ =
+
)
1 2
,z z∀ ∈
:
1 2 1 2
z z z z⋅ = ⋅
;
1
1
22
z
z
zz
=
,
∀
z
2
≠
0
+
)
1 2
,z z∀ ∈
:
1 2 1 2
z z z z+ ≤ +
;
1 2 1 2
z z z z− ≤ −
,-.#&$a
Ta thy tn ti phép tơng ng 1
−
1 gia các
phn t ca
và các im nm trên mt phng
2
nên có th ng nht
vi
2
.
Khi ó tt c các s phc
z
=
a
+
bi
c tơng
ng vi im
z
=
(
a
,
b
) trên mt phng ta
các Oxy.
Vi
z
=
a
+
bi
≠
0 (
a
,
b
∈
), kí hiu
2 2
r z a b= = +
Góc
ϕ
là góc nh hng to bi
Oz
vi chiu dơng trc Ox c gi là
Argument
ca
z
. Nu
ϕ
là mt
Argument
ca
z
, thì tp hp tt c các
Arguments
ca
z
là Argz
=
{ϕ
+
k2
π
,
k
∈
}
. Nu
ϕ
là mt
Argument
ca
z
tho mãn
≤ ϕ < π
, thì
ϕ
c gi là
Argument
chính ca
z
và c kí hiu là
argz, khi ó ta có:
arg 2 ,Arg z z k k= + π ∈
.
Vì
a
=
r
cos
ϕ
;
b
=
r
sin
ϕ
, nên dng lng giác ca
z
là
z
=
r
(cos
ϕ
+
i sin
ϕ
)
z
O
y
x
b
a
ϕ
http://toancapba.com hoc toan va on thi dai hoc mien phi !
S phc
289
Tính cht
:
z
=
r
(cos
ϕ
+
i sin
ϕ
) ;
z
1
=
r
1
(cos
ϕ
1
+
i sin
ϕ
1
) ;
z
2
=
r
2
(cos
ϕ
2
+
i sin
ϕ
2
)
( ) ( )
1 2 1 2 1 2 1 2
z z r r cos i sin
= ϕ + ϕ + ϕ + ϕ
;
( ) ( )
1 1
1 2 1 2
2 2
z r cos isin
z r
= ϕ −ϕ + ϕ −ϕ
,z
2
≠
0
( )
cos i sin
n n
z r n n
= ϕ + ϕ
;
2 2
cos sin , 0, 1
n n
z r k i k k n
n n n n
ϕ ϕ
π π
= + + + = −
H qu (Công thc Moivre
):
( )
cos sin cos sin
n
i n i n
ϕ + ϕ = ϕ + ϕ
,
n∀ ∈
/0112
nh ngh a:
∀
z
=
x
+
y
i
∈
, (
x
,
y
∈
), thì
( )
( )
e e cos i sin
z x
f z y y= = +
Tính cht: e
z
≠
0,
∀
z
∈
;
1 2 1 2 1 2 1 2
e e e ; e / e e
z z z z z z z z+ −
= =
,
∀
z
1
,
z
2
∈
301#&$
T! nh ngh a hàm s m" phc suy ra:
Công thc Euler:
i i
e cos i sin ; e cos i sin
x x
x x x x
−
= + = −
,
∀
x
∈
H qu:
( ) ( )
( )
i i i i
1 1
cos e e ; sin e e , *
2 2i
x x x x
x x x
− −
= + = − ∀ ∈
Do các v phi ca các ng thc (*) c"ng xác nh khi thay th
x∈
bi
z∈
, nên ta có các nh ngh a tơng ng ca các hàm s phc sin, cosin,
tang, cotang:
( )
i i
1
cos e e
2
z z
z−
= +
;
( )
i i
1
sin e e
2i
z z
z−
= −
i i
i i
sin e e
1
tan cos i e e
z z
z z
z
zz
−
−
−
= = ⋅ +
;
i i
i i
cos e e
cot i
sin e e
z z
z z
z
zz
−
−
+
= = ⋅ −
40105e7o#$
( )
1
ch e e
2
z z
z−
= +
;
( )
1
sh e e
2
z z
z−
= −
sh e e
th ch e e
z z
z z
z
zz
−
−
−
= = +
;
ch e e
coth sh e e
z z
z z
z
zz
−
−
+
= = −
http://toancapba.com hoc toan va on thi dai hoc mien phi !
ChưngIII. T hp, Xác sut và S phc
−
−−
−
Trn Phưng
290
II. CÁC DNG BÀI TP V S PHC
-.8$9u:$;1<:=$:.#&$
Dng lng giác
( )
cos sinz r i
= ϕ + ϕ
, vi
0r>
.
Bài mu.
Vit các s phc sau di dng lng giác
( )
( )
1 3 1
1 3 1 sin cos
1 2 2
i
i i z i
i i
−
− +
= ϕ + ϕ
+ +
1. 2. 3. 4.
( )( )
1 cos sin 1 cos sin 1 cos sin
1 cos sin
ii i
i
− ϕ − ϕ
− ϕ − ϕ + ϕ + ϕ
+ ϕ + ϕ
5. 6.
Gii
1.
Ta có:
()()
1 3 2 cos sin ;
3 3
i i
π π
− = − + −
1 2 cos sin
4 4
iπ π
+ = +
suy ra:
S dng
z
1
.
z
2
=
(
a
1
+
b
1
i). (
a
2
+
b
2
i)
=
(
a
1
a
2
−
b
1
b
2
)
+
(
a
1
b
2
+
a
2
b
1
)i ta có:
( )
( )
()()
1 3 1 2 2 cos sin
12 12
i i i
π π
− + = − + −
2.
S dng
( )( )
( )( )
1 1 2 2
1 1 2 1 2 2 1 1 2
2 2 2 2
22 2 2 2 2 2 2 2
i i i
i i
a b a b
z a a b b a b a b
za b a b a b a b
+ − + −
= = +
+ − + +
,
∀
z
2
≠
0
suy ra
()()
1 3 7 7
2 cos sin
1 12 12
ii
i
−
π π
= − + −
+
3.
Ta có
1
1
2 2 4
i
i
−
=
+
()()()()
2 2
cos sin cos sin
4 4 4 4 4 4
i i
π π π π
= − = − + −
4.
Bin #i
sin cosz i
= ϕ + ϕ
thành dng lng giác
()()
cos sin
2 2
z i
π π
= − ϕ + − ϕ
5.
Xét
1 cos sin
1 cos sin
i
zi
− ϕ − ϕ
= =
+ ϕ + ϕ
2sin sin .cos
2 2 2
2 cos cos .sin
2 2 2
i
i
ϕ ϕ ϕ
−
ϕ ϕ ϕ
+
tg 2i
ϕ
= −
−
Nu
tg 0
2
ϕ>
, thì dng lng giác là
()()
tg cos .sin
2 2 2
z i
ϕ
π π
= − + −
−
Nu
tg 0
2
ϕ<
, thì dng lng giác là
()
tg cos .sin
2 2 2
z i
ϕπ π
= − +
.
−
Nu
tg 0
2
ϕ=
, thì s phc z không có dng lng giác xác nh.
http://toancapba.com hoc toan va on thi dai hoc mien phi !
S phc
291
6.
Xét s phc
( ) ( )
1 cos sin 1 cos sinz i i
= − ϕ − ϕ + ϕ + ϕ
4sin cos sin cos cos sin
2 2 2 2 2 2
z i i
ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ
= − +
( )
2 2
2sin sin cos sin cos cos sin 2sin sin cos
2 2 2 2 2 2
i i
ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ
= ϕ + − − = ϕ ϕ − ϕ
−
Nu
sin 0
ϕ >
thì dng lng giác là
()()
2sin cos .sin
2 2
z i
π π
= ϕ ϕ − + ϕ −
−
Nu
sin 0
ϕ <
thì dng lng giác là
()()
2sin cos .sin
2 2
z i
π π
= − ϕ ϕ + + ϕ +
−
Nu
sin 0
ϕ =
, thì do
0z=
, nên không có dng lng giác xác nh.
-.7$>!au1ea
Bài mu.
Tìm mt argument ca m$i s phc sau:
1.
5 5 3z i= − +
2.
()
1 sin cos ; 0 2
z i π
= − ϕ + ϕ < ϕ <
3.
( ) ( )
2
cos sin cos sinz i i
= ϕ + ϕ + ϕ + ϕ
Gii
1.
S phc
5 5 3z i= − +
biu di%n trên mt phng ta O
xy
là im M
( )
5; 5 3−
Gi
MOx
= ϕ
là mt argument ca
z
thì
5 3
tg 3
5
M
M
y
x
ϕ = = = −
−
2
3
π
ϕ =
2.
Xét s phc
()
1 sin cos , 0 2
z i π
= − ϕ + ϕ < ϕ <
()()
2
1 cos sin 2sin 2sin cos
2 2 4 2 4 2 4 2
z i i
ϕ ϕ ϕ
π π π π π
= − − ϕ + − ϕ = − + − −
2sin sin cos 2sin cos sin
4 2 4 2 4 2 4 2 4 2 4 2
i i
ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ
π π π π π π
= − − + − = − + + +
Do
02
π
< ϕ <
nên
2sin 0
4 2
ϕ
π− >
( ) ( ) ( )
2sin cos sin
4 2 4 2 4 2
z i
ϕ ϕ ϕ
π π π
= − + + +
là dng lng giác ca s phc
z
. Vy
4 2
ϕ
π+
là mt argument ca s phc z.
3.
Xét s phc
( ) ( )
2
cos sin cos sinz i i
= ϕ + ϕ + ϕ + ϕ
( )
2 2
cos sin 2sin cos cos sini
= ϕ − ϕ + ϕ ϕ + ϕ + ϕ
( ) ( )
cos 2 cos 2sin cos sin i
= ϕ + ϕ + ϕ ϕ + ϕ
3 3 3 3
2 cos cos 2 sin cos 2 cos cos sin
2 2 2 2 2 2 2
i i
ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ
= + = +
(1)
http://toancapba.com hoc toan va on thi dai hoc mien phi !
