intTypePromotion=1
zunia.vn Tuyển sinh 2024 dành cho Gen-Z zunia.vn zunia.vn
ADSENSE
 » 
 » 

Chuyên đề ôn thi đại học môn toán - Số phức

Chia sẻ: Nguyen Nhi | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:14

Thêm vào BST
Báo xấu
157
lượt xem 42
download
 
  Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Tham khảo tài liệu 'chuyên đề ôn thi đại học môn toán - số phức', tài liệu phổ thông, ôn thi đh-cđ phục vụ nhu cầu học tập, nghiên cứu và làm việc hiệu quả

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Chuyên đề ôn thi đại học môn toán - Số phức

  1. http://toancapba.com hoc toan va on thi dai hoc mien phi ! S ph c S PH C I. TR Ư NG S PH C V À S PH C 1. Trư ng s ph c Trư ng s ph c » = {( a, b ) a, b ∈ »} là t p h p » × » = » 2 mà trên ó xác l p các quan h b ng nhau và các phép toán t ươ ng ng sau â y: i) Phép c ng: (a, b) + (c, d) = (a + c, b + d) ii) Phép nhân: ( a, b). (c, d) = (ac − bd, ad + bc) iii) Quan h b ng nhau: (a, b) = (c, d) ⇔ a = c và b = d ng nh t: (a, 0) ≡ a ; (0, 1) ≡ i iv) Phép 2. S ph c z = ( a, b ) ∈ » , v i a, b∈R. S d ng phép c ng và phép nhân ta có: Gi s z = (a, b) = (a, 0) + (b, 0). (0, 1) = a + bi; i2 = (0, 1). (0, 1) = (−1, 0) ≡ − 1 z = a + b i là d n g i s c a s ph c, trong ó i g i là ơ n v o. 3. Ph n th c và ph n o c a s ph c z = a + b i ∈ » , a, b∈R, khi ó a g i là ph n th c, b là ph n o c a z. Gi s Kí hi u: Re(z) = a ; Im( z) = b. Tính ch t: N u z = a + b i ; z1 = a1 + b 1i ; z2 = a2 + b2 i , a, b, a1, b1, a 2, b2∈ R +) z1 = z2 ⇔ a1 = a2 và b1 = b2 ⇔ Re(z1) = Re(z2 ) và Im(z1) = Im(z2) +) Re(z1 + z2) = Re(z1) + Re(z 2) ; Im(z1 + z2) = Im(z1) + Im(z2) +) Re(λz) = λ Re(z), ∀λ ∈ R ; Im(λz) = λIm(z), ∀λ∈R. 4. Các phép toán v s ph c Cho z 1 = a1 + b1i ; z2 = a2 + b2i , v i a1, b1, a2, b2∈ R. Khi ó ta có: z1 + z2 = (a1 + b1 i) + (a2 + b2i) = ( a1 + a2) + (b1 + b2)i z1 − z2 = (a1 + b1 i) − (a2 + b2i) = ( a1 − a2) + (b1 − b2)i z1. z2 = (a1 + b1i). (a2 + b2i) = ( a1 a2 − b1 b2) + (a1b2 + a2 b1)i z1 ( a1 + b1 i )( a 2 − b2 i ) a1 a 2 + b1b2 a 2 b1 − a1b2 i , ∀z2 ≠ 0 = = + z 2 ( a 2 + b2 i )( a 2 − b2 i ) 2 2 2 2 a 2 + b2 a 2 + b2 2 87
  2. http://toancapba.com hoc toan va on thi dai hoc mien phi ! ChươngIII. T h p, Xác su t và S p h c − Tr n Phương 5. S ph c liên h p Cho z = a + b i , v i a, b∈R, khi ó z = a − b i g i là s ph c liên h p v i z. Tính ch t: +) z = z , ∀z ∈ » ; z = z ⇔ z ∈ » ; z = − z ⇔ z ∈ i » +) z + z = 2 Re ( z ) ; z − z = 2 Im ( z ) i ; z ⋅ z = Re 2 ( z ) + Im 2 ( z ) z  z +) ∀z1 , z 2 ∈ » : z1 + z 2 = z1 + z 2 ; z1 ⋅ z 2 = z1 ⋅ z 2 ;  1  = 1 , ∀z2 ≠ 0  z2  z2 6. Mô un c a s ph c N: Cho z = a + b i ∈ » , v i a, b∈ R, khi ó mô un c a z là z = a 2 + b 2 Tính ch t: 2 +) z = z ⋅ z ; z = z ; z ≥ 0 ; z =0⇔ z =0 z1 z1 +) ∀z1 , z 2 ∈ » : z1 ⋅ z 2 = z1 ⋅ z 2 , ∀z2 ≠ 0 = ; z2 z2 +) ∀z1 , z 2 ∈ » : z1 + z 2 ≤ z1 + z 2 ; z1 − z 2 ≤ z1 − z 2 7. D ng lư ng giác c a s ph c y ng 1− 1 gi a các Ta th y t n t i phép tươ ng ph n t c a » và các i m n m trên m t ph ng z b 2 2 » nên có th ng nh t » v i » . ϕ Khi ó t t c các s ph c z = a + bi ư c tươ ng a O x ng v i i m z = ( a, b) trên m t ph ng t a các Oxy. V i z = a + bi ≠ 0 ( a, b ∈ » ), kí hi u r = z = a 2 + b 2 Góc ϕ là góc nh hư ng t o b i Oz v i c hi u dươ ng tr c Ox ư c g i là Argument c a z. N u ϕ là m t Argument c a z, thì t p h p t t c các Arguments c a z là Argz = {ϕ + k2π, k ∈ »}. N u ϕ là m t Argument c a z tho mãn 0 ≤ ϕ < 2 π , thì ϕ ư c g i là Argument c hính c a z và ư c kí hi u là argz, khi ó ta có: Arg z = arg z + 2k π , k ∈ » . Vì a = r c os ϕ ; b = r sinϕ, nên d ng lư ng giác c a z là z = r(cosϕ + i sin ϕ) 2 88
  3. http://toancapba.com hoc toan va on thi dai hoc mien phi ! S ph c Tính ch t: z = r(cosϕ + i sinϕ) ; z1 = r1(cosϕ1 + i sinϕ1) ; z2 = r2(cosϕ2 + i sinϕ2) zr z1 z2 = r1 r2 cos ( ϕ1 + ϕ2 ) + i sin ( ϕ1 + ϕ2 )  ; 1 = 1 cos ( ϕ1 − ϕ2 ) + isin ( ϕ1 − ϕ2 )  ,z2 ≠ 0   z r  2 2  ϕ   ϕ z = n r  cos  + k 2π  + i sin  + k 2π   , k = 0, n − 1 z n = r n ( cos nϕ + i sin nϕ ) ; n  n n n n  H qu (Công th c M oivre): ( cos ϕ + i sin ϕ ) n = cos nϕ + i sin nϕ , ∀n ∈ » 8. Hàm s mũ ph c nh nghĩa: ∀z = x + yi ∈ » , (x, y∈R), thì f ( z ) = e z = e x ( cos y + i sin y ) Tính ch t: e z ≠ 0, ∀z ∈C ; e z1 + z 2 = e z1 e z 2 ; e z1 / e z 2 = e z1 − z 2 , ∀z1, z2∈C 9. Hàm lư ng giác ph c nh nghĩa hàm s mũ ph c s uy ra: T C ông th c E uler: e i x = cos x + i sin x ; e − i x = cos x − i sin x , ∀x ∈R H qu : cos x = 1 ( e i x + e − i x ) ; sin x = 1 ( e i x − e − i x ) , ∀x ∈ » ( *) 2 2i x∈» b i ng th c (*) cũng xác Do các v ph i c a các nh khi thay th z ∈ » , nên ta có các nh nghĩa tươ ng ng c a các hàm s ph c sin, cosin, tang, cotang: cos z = 1 ( e i z + e − i z ) ; sin z = 1 ( e i z − e − i z ) 2 2i −i z −i z iz iz tan z = sin z = 1 ⋅ e i z − e − i z ; cot z = cos z = i⋅ e i z + e − i z cos z i e + e sin z e −e 1 0. Hàm Hypebolic ph c ch z = 1 ( e z + e − z ) ; sh z = 1 ( e z − e − z ) 2 2 −z −z z z th z = sh z = e z − e − z ; coth z = ch z = e z + e − z ch z e + e sh z e − e 2 89
  4. http://toancapba.com hoc toan va on thi dai hoc mien phi ! ChươngIII. T h p, Xác su t và S p h c − Tr n Phương II. CÁC D N G BÀI T P V S PH C 1. D ng 1. Bi u di n m t s ph c dư i d ng lư ng giác D ng lư ng giác z = r ( cos ϕ + i sin ϕ ) , v i r > 0 . B ài m u . Vi t c ác s ph c sau dư i d ng lư ng giác 1−i 3 1. (1 − i 3 ) (1 + i ) 1 4. z = sin ϕ + i cos ϕ 2. 3. 1+ i 2 + 2i 1 − cos ϕ − i sin ϕ 6. (1 − cos ϕ − i sin ϕ )(1 + cos ϕ + i sin ϕ ) 5. 1 + cos ϕ + i sin ϕ Gi i () () 1. Ta có: 1 − i 3 = 2 cos − π + i sin − π  ; 1 + i = 2  cos π + sin π  suy ra:  3  4     3 4 S d ng z1. z2 = (a1 + b1 i). (a2 + b2 i) = (a1 a2 − b1 b2) + (a1 b2 + a2 b1)i ta có: () () 2  cos − π + i sin − π  (1 − i 3 ) (1 + i ) = 2  12    12 z1 ( a1 + b1 i )( a 2 − b2 i ) a1 a 2 + b1b2 a 2 b1 − a1b2 i , ∀z2 ≠ 0 = = + 2. S d ng z 2 ( a 2 + b2 i )( a 2 − b2 i ) 2 2 2 2 a 2 + b2 a 2 + b2 () () = 2  cos − 7 π + i sin − 7 π  1− i 3 suy ra  12    1+ i 12 4  (4) cos π − i sin ( π )  = () () 2  cos − π + i sin − π  2 1 = 1− i = 3. Ta có 4  4     2 + 2i 4 4 4 i z = sin ϕ + i cos ϕ thành d ng lư ng giác z = cos ( π − ϕ ) + i sin ( π − ϕ ) 4. Bi n 2 2 ϕ ϕ ϕ  sin − i.cos  2 sin 2  =  − tg ϕ  i 2 1 − cos ϕ − i sin ϕ 2   5. Xét z = = ϕ  2 ϕ 1 + cos ϕ + i sin ϕ ϕ 2 cos  cos + i.sin  2 2 2 () () > 0 , thì d ng lư ng giác là z = tg  cos − π + i.sin − π  ϕ ϕ − N u tg 2 2   2 2 − N u tg < 0 , thì d ng lư ng giác là z = − tg ( cos π + i.sin π ) . ϕ ϕ 2 2 2 2 ϕ − N u tg = 0 , thì s ph c z không có d ng lư ng giác xác nh. 2 2 90
  5. http://toancapba.com hoc toan va on thi dai hoc mien phi ! S ph c 6. Xét s ph c z = (1 − cos ϕ − i sin ϕ )(1 + cos ϕ + i sin ϕ ) ϕ ϕ  ϕ ϕ ϕ ϕ cos  sin − i cos   cos + i sin  z = 4 sin 2 2  2 2 2 2 ϕ ϕ  ϕ ϕ ϕ ϕ = 2 sin ϕ sin cos + sin cos − i  cos 2 − sin 2   = 2 sin ϕ ( sin ϕ − i cos ϕ ) 2 2  2 2 2 2 ) ) ( ( − N u sin ϕ > 0 thì d ng lư ng giác là z = 2 sin ϕ cos ϕ − π + i.sin ϕ − π   2   2 ) ) ( ( − N u sin ϕ < 0 thì d ng lư ng giác là z = −2 sin ϕ cos ϕ + π + i.sin ϕ + π   2   2 − N u sin ϕ = 0 , thì do z = 0 , nên không có d ng lư ng giác xác nh. 2. D ng 2. Các bài t p v argument c a s ph c B ài m u . T ìm m t argument c a m i s ph c sau: 1. z = −5 + 5 3 i ) ( 2. z = 1 − sin ϕ + i cos ϕ ; 0 < ϕ < π 2 3. z = ( cos ϕ + i sin ϕ ) + ( cos ϕ + i sin ϕ ) 2 Gi i Oxy là i m M ( −5; 5 3 ) 1. S ph c z = −5 + 5 3 i bi u di n trên m t ph ng t a yM 5 3 = − 3 ⇒ ϕ = 2π G i MOx = ϕ là m t argument c a z thì tg ϕ = = −5 3 xM ) ( 2. Xét s ph c z = 1 − sin ϕ + i cos ϕ, 0 < ϕ < π 2  ϕ  ϕ  ϕ ) ) ( ( z = 1 − cos π − ϕ + i sin π − ϕ = 2 sin 2  π −  + i 2 sin  π −  cos  π −  4 2 4 2 4 2 2 2 ϕ   ϕ  ϕ   ϕ   ϕ   ϕ  = 2 sin  π −  sin  π −  + i cos  π −  = 2sin  π −  cos  π +  + i sin  π +   4 2  4 2  4 2   4 2  4 2  4 2  ( ) cos( π + ϕ) + isin( π + ϕ)  ϕ ϕ Do 0 < ϕ < π nên 2 sin  π −  > 0 ⇒ z = 2sin π − 4 2 42 42 42 2 ϕ là d ng lư ng giác c a s ph c z. V y π + là m t argument c a s ph c z. 42 2 3. Xét s ph c z = ( cos ϕ + i sin ϕ ) + ( cos ϕ + i sin ϕ ) = ( cos 2 ϕ − sin 2 ϕ) + 2sin ϕ cos ϕ + cos ϕ + i sin ϕ = ( cos 2ϕ + cos ϕ) + ( 2sin ϕ cos ϕ + sin ϕ) i ϕ 3ϕ  3ϕ ϕ 3ϕ ϕ 3ϕ cos i = 2 cos  cos + i sin  (1) = 2 cos cos + 2 sin 2 2 2 2 2 2 2 2 91
  6. http://toancapba.com hoc toan va on thi dai hoc mien phi ! ChươngIII. T h p, Xác su t và S p h c − Tr n Phương ϕ 3ϕ  ϕ 3ϕ > 0 thì z = 2 cos  cos + i sin  là d ng lư ng giác c a s i N u cos 2 2 2 2 3ϕ ph c z. V y là m t argument c a s ph c z. 2 ϕ   3ϕ   3ϕ  ϕ < 0 , thì t (1) ta có z = −2cos cos  + π  + i sin  + π  là d ng i N u cos 2  2  2  2 3ϕ + π là m t argument c a s ph c z. lư ng giác c a s ph c z. V y 2 ϕ i N u cos = 0 ⇒ z = 0 ⇒ argument c a s ph c z không xác nh. 2 3. D ng 3. Tìm t p h p i m bi u di n s ph c trên m t ph ng t a B ài 1. T ìm t p h p i m trong m t ph ng ph c bi u di n c ác s z th a m ãn: a. z + z + 3 = 5 b. z − z + 1 − i = 2 c. ( 2 − z ) ( i + z ) là s th c tùy ý d . ( 2 − z ) ( i + z ) là s o tùy ý 2 f. z 2 − ( z ) = 4 e. 2 z − i = z − z + 2i Gi i t z = x + iy ⇒ z = x − iy a. z + z + 3 = 5 ⇔ 2 x + 3 = 5 ⇔ x = 1; x = − 4 (hai ư ng th ng x = 1; x = −4 ) 2 b . z − z + 1 − i = 3 ⇔ 1 + i ( 2 y − 1) = 3 ⇔ 1 + ( 2 y − 1) = 3 ⇔ 2 y − 1 = ±2 2 ⇔ y = 1 ± 2 2 . V y t p h p là hai ư ng th ng y = 1 − 2 2 và y = 1 + 2 2 2 2 2 c. z′ = ( 2 − z ) ( i + z ) = ( 2 − x − iy ) ( x + i (1 − y ) ) = ( 2 − x) x + y (1 − y ) + i ( 2 − x) (1 − y ) − xy   z ′ ∈ » ⇔ ( 2 − x ) (1 − y ) − xy = 0 ⇔ 2 − x − 2 y = 0 ⇔ y = −1 x + 1 2 2 ) ( =5 d . z ′ = ( 2 − z ) ( i + z ) ∈ i » ⇔ ( 2 − x ) x + y (1 − y ) = 0 ⇔ ( x − 1) + y − 1 2 2 4 () 5 ⇒ T p h p i m là ư ng tròn tâm I 1; 1 bán kính . 2 2 2 e. 2 z − i = z − z + 2 i ⇔ 2 x + i ( y − 1) = 2i ( y + 1) ⇔ x 2 + ( y − 1) = y + 1 2 ⇔ x 2 = ( y + 1) − ( y − 1) = 4 y ⇒ T p h p i m là ư ng parabol y = x . 2 2 4 2 f. z 2 − ( z ) = 4 ⇔ ( x 2 − y 2 + 2ixy ) − ( x 2 − y 2 − 2ixy ) = 4 ⇔ 4ixy = 4 ⇔ xy = 1 ⇒ T p h p i m là hai ư ng hypebol y = 1 và y = − 1 x x 2 92
  7. http://toancapba.com hoc toan va on thi dai hoc mien phi ! S ph c B ài 2. Xác nh t p h p các i m trong m t ph ng bi u di n các s ph c z sao cho z − 2 có m t argument b ng π . z+2 3 Gi i z1 a1 a 2 + b1b2 a 2 b1 − a1b2 = + z = x + yi . S d ng công th c Gi s i suy ra: 2 2 2 2 z2 a 2 + b2 a 2 + b2 2 2 z − 2 = ( x − 2 ) + yi = x + y − 4 + 4y z − 2 có m t argument i. z + 2 ( x + 2 ) + yi ( x − 2 ) + y z+2 2 ( x − 2) 2 + y 2 2 x2 + y 2 − 4 ) ( 4y ϕ = π thì i = r cos π + i sin π v i r > 0 − 2 2 3 3 3 ( x − 2) + y 2 ( x − 2) + y 2 y  x2 + y2 − 4 6 3 = r cos π = r  y > 0 (1)  ( x − 2) 2 + y 2 3 2   ⇒ ⇒ 4y  2 4y =3 3 = r sin π = 2 3 r 2 x + y − 4  ( x − 2) 2 + y 2 3 2  x 2 2 4y     ⇒ x2 +  y − 2  =  4  ⇒ x2 + y2 − 4 = −2 3 (2)  3  3 3 T (1) và (2) suy ra t p h p các i m M là ph n ư ng tròn tâm I  0; 2  bán    3 kính R = 4 n m phía trên tr c th c (tr c Ox). 3 B ài 3 Xác nh t p h p c ác i m trong m t ph ng ph c bi u di n các s ph c z th a mãn z = k , (k là s th c dươ ng cho trư c). z −i Gi i x2 + y2 x + yi z= y ∈ ») ⇒ ( x, = k 2 (1) z = x + yi =k ⇔ Gi s x + ( y − 1) i z −i 2 x + ( y − 1) 2 N u k = 1 thì (1) ⇔ y = 1 và t p h p i m là ư ng th ng y = 1 2 2 k 2 y + k 2 = 0 ⇔ x2 +  y − k 2  = k2 N u k ≠ 1 thì (1) ⇔ x 2 + y 2 − 2 2    k − 1  ( k 2 − 1) 2 2 2 k −1 k −1  k 2  và bán kính b ng k T p h p c n tìm là ư ng tròn có tâm I  0; 2   k −1 k 2 −1 2 93
  8. http://toancapba.com hoc toan va on thi dai hoc mien phi ! ChươngIII. T h p, Xác su t và S p h c − Tr n Phương B ài 4 Trong m t ph ng ph c c ho 4 i m A, B, C, D bi u di n c ác s ph c 4 + ( 3 + 3 ) i; 2 + ( 3 + 3 ) i; 1 + 3i; 3 + i . CMR: A, B, C, D ∈ m t ư ng tròn. Gi i T gi thi t ta suy ra A = ( 4; 3 + 3 ) ; B = ( 2; 3 + 3 ) ; C = (1; 3) và D = ( 3; 1) Ta có CA = ( 3; 3 ) bi u di n s ph c 3 + 3i , CB = (1; 3 ) bi u di n s ph c 1 + 3i , 1 + 3i o góc ( CA, CB ) là m t argument c a s ph c z1 = ⇒S . 3 + 3i a1 + b1i a1 a 2 + b1b2 a 2 b1 − a1b2 3+i 23 i ⇒ z1 = 6 + = + i= S d ng a 2 + b2 i 2 2 2 2 12 12 a 2 + b2 a 2 + b2 23 o góc ( CA, CB ) cũng là m t argument c a s ph c 3+i. V ys M t khác DA = (1; 2 + 3 ) bi u di n s ph c 1 + ( 2 + 3 ) i , DB = ( −1; 2 + 3 ) bi u di n s ph c −1 + ( 2 + 3 ) i . −1 + ( 2 + 3) i 3+i o góc ( DA, DB ) là m t argument c a s ph c z2 = ⇒S = 1 + ( 2 + 3) i 2 o góc ( DA, DB ) cũng là m t argument c a s ph c 3+i. V ys Vì các argument c a m t s ph c sai khác nhau k 2π, k ∈ » nên ACB = ADB . V y ABCD là t giác n i ti p. 4. D ng 4. Ph n th c, ph n oc am ts ph c B ài 1. T ìm ph n th c và ph n o c a m i s ph c sau: (1 + i ) 50 (cos π − i sin π ) i 7 3 . z 10 + 1 , n u z + 1 = 1 (1 + 3i ) 5 1. 2. 49 z 10 z 3 3 ( 3 + i) Gi i 50 ( )  2 cos π + i sin π  ( ) 225 cos 25π + i sin 25π  4 (1+ i ) 50   ( ) 4 2 = 1 cos π + i sin π 2 z1 = = = 1. ( ) 49 49 49π + i sin 49π 224 3 3 ( 3 + i) ( ) 2 cos π + i sin π  49 2 cos  6 6 6   6 2 94
  9. http://toancapba.com hoc toan va on thi dai hoc mien phi ! S ph c 3 V y Re ( z1 ) = 1 cos π = 1 , Im ( z1 ) = 1 sin π = 25 2 24 3 2 25 2 24 32 9 ) ) ( ( 2. z 2 = cos π i + sin π i 6 (1 + 3i ) = − cos π + i sin π  2 cos π + 2i sin π  9 6 3   3 3 6 3 )( ) )( ) ( ( = −2 9 cos π + i sin π cos 9π + i sin 9π = −2 9 cos 19π + i sin 19π = 2 9 cos π + i sin π 6 6 3 3 6 6 6 6 3 V y Re ( z 2 ) = 2 9 cos π = 8 , Im ( z 2 ) = 2 9 sin π = 18 62 62 3. Xét s ph c z 3 = z 10 + 1 , v i z + 1 = 1 z 10 z  1 + 3i π π  z = 2 = cos 3 + i sin 3 1 =1⇒ z 2 − z +1 = 0 ⇒  z+ T z  1 − 3i () () π π  z = 2 = cos − 3 + i sin − 3  10 10 ) ( +  i V i z = cos π + i sin π ⇒ z 3 = cos π + i sin π 1  π + i sin π  3 3 3 3  cos   3 3 10 10 ) + cos ( − π ) + i sin ( − π ) ( = cos π + i sin π 3 3 3 3 = ( cos 10π + i sin 10π ) + ( cos −10π + i sin −10π ) = 2 cos 10π = −1 . 3 3 3 3 3 i Tươ ng t v i z = cos −π + i sin −π ta c ũng có z 3 = −1 3 3 V y Re ( z 3 ) = −1 , Im ( z 3 ) = 0 B ài 2. Cho z = cos ϕ + i sin ϕ . Gi s n ≥ 1 là s nguyên dươ ng. Ch ng minh r ng: z n + 1n = 2 cos nϕ ; z n − 1n = 2i sin nϕ . z z Gi i z n = ( cos ϕ + i sin ϕ ) = cos nϕ + i sin nϕ ; 1n = 1 n = cos nϕ − i sin nϕ cos nϕ + i sin nϕ z 2 95
  10. http://toancapba.com hoc toan va on thi dai hoc mien phi ! ChươngIII. T h p, Xác su t và S p h c − Tr n Phương 5. D ng 5. Gi i phương trình trên trư ng s ph c 2( 1 − i) B ài 1. T ìm các c ăn b c hai c a s ph c w = −11 + 4 3 i ; 2 Gi i z = x + yi là căn b c hai c a s ph c w = −11 + 4 3 i 1. Gi s Khi ó z 2 = w ⇔ ( x + yi ) = −11 + 4 3 i ⇔ ( x 2 − y 2 ) + 2 xyi = −11 + 4 3 i 2  x 2 − y 2 = −11  y = 2 3  x = 1; y = 2 3 2  2  x − y = −11   x ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ 23  x 2 − 12 = −11  x = −1; y = −2 3  y =  xy = 2 3   x   x2 V y s ph c w = −11 + 4 3 i có hai că n b c hai là z1 = 1 + 2 3 i ; z 2 = −1 − 2 3 i 2 2. Theo công th c Moivre ta có ( cos ϕ + i sin ϕ ) = cos 2ϕ + i sin 2ϕ . suy ra cos ϕ + i sin ϕ và − cos ϕ − i sin ϕ là các c ă n b c hai c a cos 2ϕ + i sin 2ϕ . ( ) ( ) ó suy ra 22 (1 − i ) 2 (1 − i ) = cos π − i sin π = cos − π + i sin − π . T Ta có 2 4 4 4 4 có hai că n b c hai là: z = cos ( − π ) + i sin ( − π ) và z = − cos ( − π ) − i sin ( − π ) 1 2 8 8 8 8 B ài 2. Gi i c ác phương trình b c hai z 2 + (1 − 3i ) z − 2 (1 + i ) = 0 Gi i 2 Ta có: ∆ = (1 − 3i ) + 8 (1 + i ) = 1 − 6i + 9i 2 + 8 + 8i = 2i  1 x 2 − y 2 = 0  y =  x = 1; y = 1  2 z 2 = ( x + yi ) = 2i ⇔  x ⇔ ⇔ Gi s   x 4 = 1  x = −1; y = −1  xy = 1  Do ó 1 + i và −1 − i là các c ăn b c hai c a 2i ⇒ nghi m z1 = 2i ; z 2 = −1 + i B ài 3. Gi i phươ ng trình: z 4 − z 3 + 1 z 2 + z + 1 = 0 (1) 2 Gi i Do z = 0 không là nghi m c a (1), nên (1) ⇔ z 2 − z + 1 + 1 + 12 = 0 2zz 2 ) − ( z − 1z ) + 5 = 0 ⇔ u ( − u + 5 = 0 ⇔ 2u 2 − 2u + 5 = 0 ; v i u = z − 1 ⇔ z−1 2 2 z 2 z 2 96
  11. http://toancapba.com hoc toan va on thi dai hoc mien phi ! S ph c u = 1 + 3i  z − 1 = 1 + 3i  2 z 2 − (1 + 3i ) z − 2 = 0 ; ∆ = 8 + 6i ( 2 )   2 2 z ⇔ 2 ⇔ ⇔ 1 − 3i 1 1 − 3i  2 z − (1 − 3i ) z − 2 = 0 ; ∆ = 8 − 6i ( 3)  u = z − =   2 2 z  3 x 2 − y 2 = 8  y =  x = 3; y = 1  2 z = ( x + yi ) 2 x = 8 + 6i ⇔  ⇔ ⇔ Gi s  xy = 3  x 4 − 8x 2 − 9 = 0  x = −3; y = −1   Do ó 3 + i và −3 − i là các c ăn b c hai c a 8+6i ⇒ z1 = 1 + i ; z 2 = − 1 + 1 i 22 3 − i ; − 3 + i là các că n b c hai c a 8− 6i ⇒ z 3 = 1 − i ; z 4 = − 1 − 1 i Tươ ng t 22 V y phươ ng trình có 4 nghi m z1 , z 2 , z 3 , z 4 . B ài 4. Gi i phươ ng trình: z 5 + z 4 + z 3 + z 2 + z + 1 = 0 (1) Gi i  z = −1 (1) ⇔ z 4 ( z + 1) + z 2 ( z + 1) + z + 1 = 0 ⇔ ( z + 1) ( z 4 + z 2 + 1) = 0 ⇔  4 2 z + z + 1 = 0 2 3 i = cos 2π + i sin 2π 1 z = − 2 + −1 ± 3i 2 3 3 ⇔ 4 2 2 z + z +1= 0 ⇔ z = 2 2 () () 3 i = cos − 2π + i sin − 2π 1 z = − 2 −  2 3 3 z 2 = cos 2π + i sin 2π ⇔ z 2 = cos π + i sin π ∨ z 3 = − cos π − i sin π T 3 3 3 3 3 3 () () () () () () z 2 = cos − 2π + i sin − 2π ⇔ z 4 = cos − π + i sin − π ∨ z5 = − cos − π − i sin − π 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 V y ( 1) ⇔ z1 = −1; z 2 = 1 + i ; z3 = − 1 − i ; z4 = 1 − i; z 5 = − 1 + i. 2 2 22 22 2 2  z1 + z 2 = 4 + i  B ài 5. Gi i h phươ ng trình hai n ph c z1 , z 2 sau:  2 2  z1 + z 2 = 5 − 2i  Gi i Ta có: z1 z 2 = 1 ( z1 + z 2 ) − ( z12 + z 2 )  = 1 ( 4 + i ) − 5 + 2i  = 5 (1 + i )   2 2 2 2 2 ⇒ z1 , z 2 là các nghi m c a phươ ng trình z 2 − ( 4 + i ) z + 5 (1 + i ) = 0 V y nghi m c a h là ( 3 − i; 1 + 2i ) và (1 + 2i; 3 − i ) 2 97
  12. http://toancapba.com hoc toan va on thi dai hoc mien phi ! ChươngIII. T h p, Xác su t và S p h c − Tr n Phương 6. D ng 6. Các bài toán v mô un s ph c ( ) , ∀ z , z ∈» 2 2 2 2 B ài 1. Ch ng minh r ng: z1 + z 2 + z1 − z 2 = 2 z1 + z2 1 2 Gi i ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 z1 + z2 + z1 − z2 = z1 + z1 z2 + z1 z 2 + z2 + z1 − z1 z2 − z1 z2 + z2 = 2 z1 + z2 ( ) (1 + z ) , ∀ z , z ∈» 2 2 2 2 B ài 2. a. CMR: z1 z 2 + 1 + z1 − z 2 = 1 + z1 1 2 2 ( ) (1 − z ) , ∀ z , z ∈» 2 2 2 2 b. CMR: z1 z 2 − 1 − z1 − z 2 = 1 − z1 1 2 2 Gi i ( ) (1 + z ) 2 2 2 2 2 2 2 z1 z2 + 1 + z1 − z2 = z1 z2 + z1 z2 + z1 z2 + 1 + z1 − z1 z2 − z1 z2 + z2 = 1 + z1 2 ( ) (1 − z ) 2 2 2 2 2 2 2 z1z2 − 1 − z1 − z2 = z1z2 − z1z2 − z1z2 + 1 − z1 + z1z2 + z1z2 − z2 = 1 − z1 2 ( ) ∀ z , z ∈» B ài 3. CMR: z1 z 2 = 1 z1 + z 2 − z1 − z 2 + i z1 + i z 2 − i z1 − i z 2 2 2 2 2 1 2 4 Gi i 2 2 2 2 z1 + z 2 − z1 − z 2 + i z1 + i z 2 − i z1 − i z 2 = ( z1 z 2 + z1 z 2 + z1 z 2 + z1 z 2 ) − ( z1 z 2 − z1 z 2 − z1 z 2 + z1 z 2 ) + ( i z1 z 2 + z1 z 2 − z1 z 2 + i z1 z 2 ) − ( − i z1 z 2 − z1 z 2 + z1 z 2 + i z1 z 2 ) = 4 z1 z 2 n ( ) ∑ Re ( z ) z12 + z 2 + ... + z n ≤ 2 2 , ∀z1, z2, ... , zn∈» B ài 4. CMR: Re k k =1 Gi i t z k = x k + i y k ; z12 + z 2 + ... + z n = a + i b trong ó x k , y k , a, b ∈ » 2 2 n n n ∑x −∑y ∑x ⇒ a2 − b2 = 2 2 ; ab = y k .S d ng b t ng th c Bunhiacôpski k k k k =1 k =1 k =1 n n n n n ∑ ∑ ∑ ∑ ∑y 2 2 2 2 y k ⇔ ab ≤ xk y k ≤ xk ⋅ xk ⋅ ta có: .T b t ng th c k k =1 k =1 k =1 k =1 k =1 2 98
  13. http://toancapba.com hoc toan va on thi dai hoc mien phi ! S ph c n n n n ∑x ∑y ∑x −∑y ⇒ a2 − b2 > 2 2 2 2 này suy ra n u a > thì b ≤ . iu k k k k k =1 k =1 k =1 k =1 n n ∑ ∑y này mâu thu n v i a 2 − b 2 = 2 2 xk − . k k =1 k =1 n n ( ) ∑ Re ( z ∑x ) 2 z12 + z 2 + ... + z n ≤ 2 2 ⇔ Re V y a≤ k k k =1 k =1 B ài 5. Cho a, b, c, d∈» v i ac ≠ 0. Ch ng minh r ng: Max { ac ; ad + bc ; bd } 5 −1 ≥ (1) Max { a ; b } ⋅ Max { } 2 c;d Gi i 5 −1 b d ⇒ k 2 = 1 − k , khi ó: t x= , y= , k= 2 a c (1) ⇔ Max {1; x + y ; xy } ≥ k .Max {1; x} .Max {1; y} (2) N u |x| ≥ 1, | y| ≥ 1 thì (2) úng vì |xy| ≥ k.|x|.|y| (k 1. Ta s ch ng minh: Max {1; x + y ; xy } ≥ k. y (3) 1 Max{1; x + y ; x y } < k y ⇒ y > và x + y < k y Gi s k Ta có: x + x + y ≥ y ⇒ x ≥ y − x + y > y − k y = (1 − k ) y = k 2 y 2 ⇒ x y ≥ k2 y > k y ⇒ Mâu thu n. Do (3) ư c c h ng minh ⇒ (2) úng ⇒ (1) úng. Ch ng minh tươ ng t v i |x| > 1, |y| < 1 thì Max {1; x + y ; xy } ≥ k x (4) Do (4) úng ⇒ (2) úng ⇒ (1) úng ∑ B ài 6. Cho z1, z2, z3, z4∈ ». Ch ng minh: z1 + z 2 + z 3 + z 4 ≤ zi + z j 1≤i ≤ j ≤ 4 Gi i 2 99
  14. http://toancapba.com hoc toan va on thi dai hoc mien phi ! ChươngIII. T h p, Xác su t và S p h c − Tr n Phương ng th c: | a + b| ≤ | a| + | b| ∀a, b∈ » S d ng b t Ta có: 2 z1 − z 2 + z 3 ≤ 2 z1 + z 2 + z 3 ≤ z1 + z 2 + z1 + z 3 ó s uy ra: z1 ≤ 1  z1 + z 2 + z1 + z 3 + z 2 + z 3  T 2  Tươ ng t ta có: z 2 ≤ 1  z 2 + z 3 + z 2 + z 4 + z 3 + z 4  2  z 3 ≤ 1  z 3 + z 4 + z 3 + z1 + z 4 + z1  2  z 4 ≤ 1  z 4 + z1 + z 4 + z 2 + z1 + z 2  2  ∑ ng th c ⇒ z1 + z 2 + z 3 + z 4 ≤ zi + z j C ng các b t 1≤ i ≤ j ≤ 4 ng th c x y ra ⇔ (z1 , z2, z3, z4) là m t hoán v c a ( a, a, − a, −a) v i a∈ » a, b, c ≥ 0 1 1 Ch ng minh: T = 1 + 12 + 1 + 2 + 1 + 2 ≥ 2 3 B ài 7. Cho  a + b + c = abc a b c Gi i T gi thi t a + b + c = abc ⇒ 1 = a + b + c ⇔ 1 + 1 + 1 = 1 abc ab bc ca Coi các bi u th c c h a c ăn là mô un c a các s ph c, khi ó ta có 2  1 1 1  1 1 1 1 1 i 1 ∑ T= 1 + ≥ 3 +  + +  i = 9 +  + +  ≥ 9 + 3 + +  =2 3 a b c a b c  ab bc ca  a a ,b , c z z2 zn B ài 8. Cho a th c f ( z ) = 1 + + 2 + ... + n . Ch ng minh r ng: 44 4 z1 − z 2 ∀z1 ≠ z2∈» th a m ãn | z1|, | z2| ≤ 1 thì f ( z1 ) − f ( z 2 ) > 8 B ài 9. Gi s z1, z2, ..., zn là các nghi m ph c c a a th c P(z) = z n + a1 z n −1 + ... + a n −1 z + a n ∈ » [ z ] 2 2 2 + z2 + ... + z n ≥ 2 a2 a. Ch ng minh r ng: z1 b . Ch ng minh r ng: N u t1, t2, ..., tn −1 là các nghi m ph c c a a th c P′(z) thì ta có b t ng th c sau luôn úng n−2 ( ) 2 2 2 2 2 2 t1 + t 2 + ... + t n −1 ≤ z1 + z 2 + ... + z n n 3 00
ADSENSE

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

THÔNG TIN
TRỢ GIÚP
HỖ TRỢ KHÁCH HÀNG
Theo dõi chúng tôi

Chịu trách nhiệm nội dung:

Nguyễn Công Hà - Giám đốc Công ty TNHH TÀI LIỆU TRỰC TUYẾN VI NA

LIÊN HỆ

Địa chỉ: P402, 54A Nơ Trang Long, Phường 14, Q.Bình Thạnh, TP.HCM

Hotline: 093 303 0098

Email: support@tailieu.vn

Giấy phép Mạng Xã Hội số: 670/GP-BTTTT cấp ngày 30/11/2015 Copyright © 2022-2032 TaiLieu.VN. All rights reserved.

 

Đồng bộ tài khoản
2=>2