CHUYÊN ĐỀ HSG VÀ TOÁN CHUYÊN 6789
1 | TÀI LIỆU WORD TOÁN THCS , THPT CHẤT - ĐẸP - TIỆN
HSG-CHUYÊN ĐỀ.SỐ CHÍNH PHƯƠNG
A. KIẾN THỨC CẦN NHỚ
1. Định nghĩa số chính phương.
Sốchínhphươnglàsốbằngbìnhphươngcủamộtsốnguyên.
(tứclànếunlàsốchínhphươngthì:
2
n k k Z
)
2. Một số tính chất cần nhớ
1-Sốchínhphươngchỉcóthểcóchữsốtậncùngbằng0,1,4,5,6,9;khôngthểcóchữtậncùng
bằng2,3,7,8.
2-Khiphântíchrathừasốnguyêntố,sốchínhphươngchỉchứacácthừasốnguyêntốvớisốmũchẵn.
3-Sốchínhphươngchỉcóthểcómộttronghaidạng4nhoặc4n+1.Khôngcósốchínhphương
nàocódạng4n+2hoặc4n+3(n
N).
4-Sốchínhphươngchỉcóthểcómộttronghaidạng3nhoặc3n+1.Khôngcósốchínhphương
nàocódạng3n+2(n
N).
5-Sốchínhphươngtậncùngbằng1,4hoặc9thìchữsốhàngchụclàchữsốchẵn.
Sốchínhphươngtậncùngbằng5thìchữsốhàngchụclà2.
Sốchínhphươngtậncùngbằng6thìchữsốhàngchụclàchữsốlẻ.
6-Sốchínhphươngchiahếtcho2thìchiahếtcho4.
Sốchínhphươngchiahếtcho3thìchiahếtcho9
Sốchínhphươngchiahếtcho5thìchiahếtcho25
Sốchínhphươngchiahếtcho8thìchiahếtcho16.
7.Mọisốchínhphươngkhichiacho5,cho8chỉdư1,0,4.
8.Giữahaisốchínhphươngliêntiếpkhôngcósốchínhphươngnào.
9.Nếuhaisốnguyênliêntiếpcótíchlàmộtsốchínhphươngthìmộttronghaisốđólàsố0.
10.Sốcácướccủamộtsốchínhphươnglàsốlẻ.Ngượclại,mộtsốcósốcácướclàsốlẻthìsốđó
làsốchínhphương.
11.Nếun2<k<(n+1)2(n
Z)thìkkhônglàsốchínhphương.
12.Nếuhaisốtựnhiênavàbnguyêntốcùngnhaucótíchlàmộtsốchínhphươngthìmỗisốa,b
cũnglàcácsốchínhphương.
13.Nếu
a
làmộtsốchínhphương,
a
chiahếtchosốnguyêntố
p
thì
a
chiahếtcho
p
.
14.Nếutíchhaisố
a
và
b
làmộtsốchínhphươngthìcácsố
a
và
b
códạng
2 2
;
a mp b mq
2
B. CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP
Dạng 1: Chứng minh một số là số chính phương, hoặc là tổng nhiều số chính phương.
* Cơ sở phương pháp:
Đểchứngminhmộtsố n là số là số chính phương ta thườngdựavào định nghĩa,tức là
chứngminh:
2
n k k Z
* Ví dụ minh họa:
Bài toán 1.Cho
n
làmộtsốtựnhiên.Chứngminhrằng:
1 2 3 1
A n n n n làsốchính
phương.
Hướng dẫn giải
Tacó:
2 2
2 2 2 2 2
3 3 2 1 3 2 3 1 3 1
A n n n n n n n n n n
Vì
nnên 23 1
n n .Vậy
A
làsốchínhphương.
Bài toán 2.Cho:
1.2.3 2.3.4 ... 1 2
B k k k
vớiklàsốtựnhiên.Chứngminhrằng4B
+1làsốchínhphương.
Hướng dẫn giải
TathấybiểuthứcBlàtổngcủamộtbiểuthứcchúngtanghĩđếnviệcphảithugọnbiểuthức
Btrước.
Tacó:
 
1 1
1 2 1 2 3 1 1 2 3 1 1 2
4 4
n n n n n n n n n n n n n n n n
Ápdụng:
1
1.2.3 1.2.3.4 0.1.2.3
4
1
2.3.4 2.3.4.5 1.2.3.4
4
1
3.4.5 3.4.5.6 2.3.4.5
4
........................................
....
1
1 2 1 2 3 1 1 2
4
k k k k k k k k k k k
Cộngtheovếcácđẳngthứctrêntađược:
CHUYÊN ĐỀ HSG VÀ TOÁN CHUYÊN 6789
3 | TÀI LIỆU WORD TOÁN THCS , THPT CHẤT - ĐẸP - TIỆN
  
1
1.2.3 2.3.4 ... 1 2 1 2 3
4
4 1 1 2 3 1
B k k k k k k k
B k k k k
Theovídụ1tacó:
2
2
4 1 3 1
B k k
Vì k
nên 23 1k k
.Vậy
4 1
B
làsốchínhphương.
Bài toán 3.Chứngminhrằng:
2
11...1 44...4 1
nn
C
vớinlàsốtựnhiên.ChứngminhrằngClàsố
chínhphương.
Hướng dẫn giải
Tacó:
11...100...0 11...1 44...4 1
n nn n
C
Đặt
11...1
n
a
thì
9 99...9
n
a
.Dođó
99...9 1 10 9 1
n
n
a
2
2
2
1
.10 4 1 9 1 5 1
9 6 1 3 1
33...34 .
n
n
C a a a a a a
C a a a
C
VậyClàmộtsốchínhphương.
Nhận xét:
Khi biến đổi một số trong đó có nhiều chữ số giống nhau thành một số chính phương ta nên
đặt
11...1
n
a
và như vậy
99...9 1 10 9 1
n
n
a
.
Bài toán 4.Cho
2016
11...1
a,
2015
10...05
b.Chứngminh
1
ab
làsốtựnhiên.
Hướng dẫn giải
Cách 1:
Tacó:
2015 2016 2016
10...05 10...0 1 6 9...9 6 9 6
b a
.
ab+1=a(9a+6)+1=9a2+6a+1=(3a+1)2
Naaab 13)13(1 2.
4
Vậy
1
ab
làsốtựnhiên.
Cách 2:
Tacó:
2016 2016
2016
10 1
11...1 , 10 5
9
a b
.
2
2016 2016
2016
2016
10 4.10 5 9
10 1
1 . 10 5 1
9 9
ab
2
2016
10 2
3
.
2016
10 2
1
3
ab
.
Mà
2016
10 2 3
.Dođó,
1
ab
làsốtựnhiên.
Vậy
1
ab
làsốtựnhiên.
Bài toán 5.Chosốtựnhiênagồm60chữsố1,sốtựnhiênbgồm30chữsố2.Chứngminha - blà
mộtsốchínhphương.
Hướng dẫn giải
Cách 1:
Tacó:
60
60
10 1
11...1
9
a
,
30
30
10 1
22...2 2.
9
b
.
60 30 60 30
10 1 2(10 1) 10 2.10 1
9 9 9
a b
2
2
30
30
10 1
33...3
3
.
Cách 2:
30 30
22...2 2.11...1
b
,
60 30 30 30
11...1 11...1.00...0 11...1
a
30
30 30
11...1.10 11...1
.
Đặt
30
11...1
c
.
30
30
9 1 99...9 1 10
c .
Khiđó:
2
. 9 1 9 2
a c c c c c
.
2
b c
.
CHUYÊN ĐỀ HSG VÀ TOÁN CHUYÊN 6789
5 | TÀI LIỆU WORD TOÁN THCS , THPT CHẤT - ĐẸP - TIỆN
2
2
30
9 2 2 3 33...3
a b c c c c
.
Bài toán tổng quát:Choksốtựnhiênkhác0,sốtựnhiên agồm2kchữsố1vàsốtựnhiênbgồm
kchữsố2.Chứngminhrằng
a b
làmộtsốchínhphương.
Bài toán 6.Cho n
saocho
2
1
3
n
làtíchcủahaisốtựnhiênliêntiếp.Chứngminhrằng
n
là
tổngcủahaisốchínhphươngliêntiếp.
Hướng dẫn giải
Giảsửtacó:
2
1
3
n
=
1
a a
.
Từđócó 2 2
3 3 1
n a a
2 2
4 1 12 12 3
n a a
2
2 1 2 1 3 2 1
n n a
.
Vì
2 1;2 1
n n
làhaisốlẻliêntiếpnêntacócáctrườnghợp:
Trườnghợp1:
2
2
2 1 3
2 1
n p
n q
.
Khiđó 2 2
3 2
q p
(Vôlí).Vậytrườnghợpnàykhôngxảyra.
Trườnghợp2:
2
2
2 1
2 1 3
n p
n q
.
Từđó
p
làsốlẻnên
2 1
p k
.
Từđó
2
2 2 1 1
n k
2
2
1
n k k
(đpcm).
Bài toán 7.Cho
k
làmộtsốnguyêndươngvà 2
3 3 1
a k k
a)Chứngminhrằng
2
a
và
2
a
làtổngcủabasốchínhphương.
b)Chứngminhrằngnếu
a
làmộtướccủamộtsốnguyênduong
b
và
b
làmộttổnggồmbasố
chínhphươngthì
n
b
làmộttổngcủabàsốchínhphương.
Hướng dẫn giải