1
Bé gi¸o dôc vµ ®µo t¹o §¸p ¸n - Thang ®iÓm
..................... ®Ò thi tuyÓn sinh ®¹i häc, cao ®¼ng n¨m 2004
...........................................
§Ò chÝnh thøc M«n: To¸n, Khèi B
(§¸p ¸n - thang ®iÓm cã 4 trang)
C©u ý Néi dung §iÓm
I 2,0
1 Kh¶o s¸t hµm sè (1,0 ®iÓm)
32
1
yx2x3x
3
=−+
(1).
a) TËp x¸c ®Þnh: R.
b) Sù biÕn thiªn:
y' = x2 − 4x + 3; 3,10' ==⇔= xxy .
0,25
yC§ = y(1) = 4
3, yCT = y(3) = 0; y" = 2x − 4, y'' = 0
()
2
x2,y2 3
⇔= = . §å thÞ
hµm sè låi trªn kho¶ng (;2),−∞ lâm trªn kho¶ng ( 2; + ∞) vµ cã ®iÓm uèn lµ
2
U2;
3
⎛⎞
⎜⎟
⎝⎠
.
0,25
B¶ng biÕn thiªn:
x −∞ 1 3 +∞
y' + 0 − 0 +
y 4
3 +∞
−∞ 0
0,25
c) §å thÞ:
Giao ®iÓm cña ®å thÞ víi c¸c trôc
Ox, Oy lµ c¸c ®iÓm
()()
0; 0 , 3; 0 .
0,25
2
2 ViÕt ph−¬ng tr×nh tiÕp tuyÕn cña (C) t¹i ®iÓm uèn, ...(1,0 ®iÓm)
T¹i ®iÓm uèn U 2
2; 3
⎛⎞
⎜⎟
⎝⎠
, tiÕp tuyÕn cña (C) cã hÖ sè gãc 1)2(' −=y. 0,25
TiÕp tuyÕn ∆ t¹i ®iÓm uèn cña ®å thÞ (C) cã ph−¬ng tr×nh:
28
y1.(x2) y x
33
=− − + ⇔ =− + .
0,25
HÖ sè gãc tiÕp tuyÕn cña ®å thÞ (C) t¹i ®iÓm cã hoµnh ®é x b»ng:
y'(x) = x2 34 +− x = 1)2( 2−−x ≥ 1−⇒ y' (x) ≥ y' (2), ∀ x. 0,25
DÊu " =" x¶y ra khi vµ chØ khi x = 2 ( lµ hoµnh ®é ®iÓm uèn).
Do ®ã tiÕp tuyÕn cña ®å thÞ (C) t¹i ®iÓm uèn cã hÖ sè gãc nhá nhÊt. 0,25
II 2,0
1 Gi¶i ph−¬ng tr×nh (1,0 ®iÓm)
5sinx 2− = 3 tg2x ( 1 sinx−) (1) .
§iÒu kiÖn: cosx ≠ 0 ⇔ x ≠ k,k Z
2
π+π ∈ (*). 0,25
Khi ®ã (1) ⇔
2
2
3sin x
5sinx 2 (1 sinx)
1sinx
−= −
− 02sin3sin2 2=−+⇔ xx . 0,25
2
1
sin =⇔ x hoÆc 2sin −=x (v« nghiÖm). 0,25
π+
π
=⇔= 2
62
1
sin kxx hoÆc π+
π
=2
6
5kx , Z
k
∈ ( tho¶ m·n (*)). 0,25
2 T×m gi¸ trÞ lín nhÊt vµ gi¸ trÞ nhá nhÊt cña hµm sè (1,0 ®iÓm)
y =
2
ln x
x
⇒ 2
ln x(2 ln x)
y' x
−
=⋅
0,25
y'= 0
3
23
ln x 0 x 1 [1; e ]
ln x 2 xe [1;e].
⎡
==∈
⎡
⇔⇔
⎢
⎢==∈
⎢
⎣⎣ 0.25
Khi ®ã: y(1) = 0, 23
23
49
y(e ) , y(e )
ee
==⋅ 0,25
So s¸nh 3 gi¸ trÞ trªn, ta cã: 3
3
2
2[1; e ]
[1; e ]
4
max y khi x e , min y 0 khi x 1
e
====.
0,25
III 3,0
1 T×m ®iÓm C (1,0 ®iÓm)
Ph−¬ng tr×nh ®−êng th¼ng AB: 4
1
3
1
−
−
=
−y
x ⇔4x + 3y – 7 = 0. 0,25
Gi¶ sö );( yxC . Theo gi¶ thiÕt ta cã: 012 =−− yx (1).
d(C, (AB)) = 6 22
4x 3y 37 0 (2a)
4x 3y 7 64x 3y 23 0 (2b).
43
+−=
+− ⎡
⇔=⇔
⎢++=
+⎣
0,25
Gi¶i hÖ (1), (2a) ta ®−îc: C1( 7 ; 3). 0,25
Gi¶i hÖ (1), (2b) ta ®−îc: 2
43 27
C;
11 11
⎛⎞
−−
⎜⎟
⎝⎠
. 0,25
2 TÝnh gãc vµ thÓ tÝch (1,0 ®iÓm)
3
Gäi giao ®iÓm cña AC vµ BD lµ
O th× SO (ABCD)⊥, suy ra
n
SAO =
ϕ
.
Gäi trung ®iÓm cña AB lµ M th×
OM AB⊥ vµ ⇒⊥ABSM Gãc
gi÷a hai mÆt ph¼ng (SAB) vµ
(ABCD) lµ
n
SMO .
0,25
Tam gi¸c OAB vu«ng c©n t¹i O, nªn ϕ=⇒== tg
a
SO
a
OA
a
OM 2
2
2
2
,
2.
Do ®ã:
n
SO
tgSMO 2 tg
OM
==
ϕ
. 0,25
23
S.ABCD ABCD
11a22
VS.SOatgatg.
3326
==
ϕ
=
ϕ
0,50
3 ViÕt ph−¬ng tr×nh ®−êng th¼ng
∆
(1,0 ®iÓm)
§−êng th¼ng d cã vect¬ chØ ph−¬ng )4;1;2( −=v. 0,25
B ∈ d ⇔ )41;1;23( tttB +−−+− (víi mét sè thùc t nµo ®ã ).
()
AB 1 2t;3 t; 5 4t⇒=+ −−+
JJJG . 0,25
AB ⊥ d ⇔ 0. =vAB 2(1 2t) (3 t) 4( 5 4t) 0⇔+−−+−+=⇔ t = 1. 0,25
AB (3; 2; 1)⇒=−
JJJG ⇒ Ph−¬ng tr×nh cña 1
4
2
2
3
4
:−
−
=
+
=
+
∆zyx . 0,25
IV 2,0
1 TÝnh tÝch ph©n (1,0 ®iÓm)
dx
x
xx
I
e
∫+
=
1
lnln31 .
§Æt: 2dx
t 1 3ln x t 1 3ln x 2tdt 3 x
=+ ⇒=+ ⇒=.
x1 t1=⇒= , xe t2=⇒=. 0,25
Ta cã:
()
22
2
242
11
2t 1 2
I t dt t t dt
33 9
−
==−
∫∫
.
0,25
2
53
1
21 1
Itt
95 3
⎛⎞
=−
⎜⎟
⎝⎠
.
0,25
I = 135
116 . 0,25
4
2 X¸c ®Þnh sè ®Ò kiÓm tra lËp ®−îc ... (1,0 ®iÓm)
Mçi ®Ò kiÓm tra ph¶i cã sè c©u dÔ lµ 2 hoÆc 3, nªn cã c¸c tr−êng hîp sau:
• §Ò cã 2 c©u dÔ, 2 c©u trung b×nh, 1 c©u khã, th× sè c¸ch chän lµ:
23625.. 1
5
2
10
2
15 =CCC . 0,25
• §Ò cã 2 c©u dÔ, 1 c©u trung b×nh, 2 c©u khã, th× sè c¸ch chän lµ:
10500.. 2
5
1
10
2
15 =CCC . 0,25
• §Ò cã 3 c©u dÔ, 1 c©u trung b×nh, 1 c©u khã, th× sè c¸ch chän lµ:
22750.. 1
5
1
10
3
15 =CCC . 0,25
V× c¸c c¸ch chän trªn ®«i mét kh¸c nhau, nªn sè ®Ò kiÓm tra cã thÓ lËp ®−îc lµ:
56875227501050023625 =++ . 0,25
V X¸c ®Þnh m ®Ó ph−¬ng tr×nh cã nghiÖm 1,0
§iÒu kiÖn: − 1 ≤ x ≤ 1. §Æt t 22
1x 1x=+−−.
Ta cã: 22
1x 1x t 0+≥−⇒≥, t = 0 khi x = 0.
24
t221x2 t 2=− − ≤ ⇒≤, t = 2 khi x = ± 1.
⇒ TËp gi¸ trÞ cña t lµ [0; 2] ( t liªn tôc trªn ®o¹n [ −1; 1]). 0,25
Ph−¬ng tr×nh ®· cho trë thµnh: m
()
2
t2 t t2+=−++
2
tt2
m
t2
−++
⇔=
+ (*)
XÐt f(t) =
2
tt2
t2
−++
+ víi 0 ≤ t ≤2. Ta cã f(t) liªn tôc trªn ®o¹n [0; 2].
Ph−¬ng tr×nh ®· cho cã nghiÖm x ⇔ Ph−¬ng tr×nh (*) cã nghiÖm t ∈ [0; 2]
⇔
]2;0[]2;0[
)(max)(min tfmtf ≤≤ .
0,25
Ta cã: f '(t) =
()
2
2
t4t
0, t 0; 2
t2
−−
⎡
⎤
≤∀∈
⎣
⎦
+
⇒ f(t) nghÞch biÕn trªn [0; 2].
0,25
Suy ra:
[0; 2] [0; 2]
min f (t) f ( 2) 2 1 ; max f (t) f (0) 1==− ==.
VËy gi¸ trÞ cña m cÇn t×m lµ 21m1−≤ ≤. 0,25