Đặt ẩn phụ đưa về hệ phương trình

Chia sẻ: Tran Duong Tam | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:8

Thêm vào BST

Báo xấu

278
lượt xem 40
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Tài liệu "Đặt ẩn phụ đưa về hệ phương trình" sau đây sẽ hướng dẫn các em học sinh cách giải các bài tập dạng toán hệ phương trình nhằm giúp các em học sinh hiểu rõ hơn về các dạng bài tập của dạng toán này và có cách giải phù hợp, đúng nhất và nhanh nhất, cũng như giúp các em hiểu rõ bản chất của vấn đề.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Đặt ẩn phụ đưa về hệ phương trình

Đ T N PH ĐƯA V H Nguy n T t Thu12 Ví d 1. Gi i phương trình √ √ 3+x+ 6−x=3+ L i gi i. Phương trình này chúng ta đã có cách gi i trên. Ta th y v trái c a phương trình trên là t ng c a hai căn th c, còn v ph i ch a tích c a hai căn th c đó và ta nh n th y hai căn th c v trái có quan h t ng bình phương c a chúng b ng 9 (t c là hai căn th c này đã có hai quan h m t là t phương trình đã cho, hai là t ng bình phương b ng 9), do đó n u ta √ √ đ t a = x + 3, b = 6 − x thì ta có đư c h phương trình Đây là h đ i x ng lo i I, gi i h này ta đư c (a, b) = (0, 3) ho c (3, 0). • V i a = 3, ta tìm đư c x = 0. • V i a = 0, d dàng tính đư c x = −3. V y phương trình đã cho có hai nghi m là x = 0 và x = −3. Nh n xét. Khi g p phương trình có d ng :/ /o F f (x), n nl uy en a + b = 3 + ab a2 + b 2 = 9 a + f (x), m Khi gi i h phương trình nói riêng và gi i toán nói chung, ta thư ng tìm cách làm gi m s n c n tìm. Lúc đó bài toán s d gi i quy t hơn. Tuy nhiên trong nhi u bài toán gi i phương trình thì vi c đưa thêm vào m t s n ph (t c là tăng s n c n tìm lên) l i giúp cho ta gi i quy t bài toán t t hơn. (3 + x)(6 − x). b − f (x) = c, to an . n PHƯƠNG TRÌNH vn (I) ta có th đ t u = n a + f (x) và v = m b − f (x) đ đưa bài toán v vi c gi i h phương trình G(u, v) = c un + v m = a + b Gi i h này ta tìm đư c u, v. T đó có th suy ra đư c giá tr c a x. ht Chú ý. Khi tìm đư c u, v đ tìm x ta ch c n gi i m t trong hai phương trình ho c m b − f (x) = v. 1 2 tp a + f (x) = u Trư ng THPT Lê H ng Phong, thành ph Biên Hòa, t nh Đ ng Nai. Bài vi t đư c trình bày l i b ng chương trình so n th o LaTeX b i can_hang2007. Đ ngh các b n ghi rõ ngu n c a http://onluyentoan.vn khi đăng t i trên các trang web khác. 1 2 Ví d 2. Gi i phương trình √ 3 Nguy n T t Thu √ 12 − x = 6. 12. Đ t u = √ 3 24 + x + L i gi i. Đi√ ki n đ phương trình có nghĩa là x u 3 D th y u 36, v 0. Ta có h phương trình u+v =6 ⇔ u3 + v 2 = 36 24 + x và v = v =6−u ⇔ u3 + (6 − u)2 = 36 Phương trình u(u2 + u − 12) = 0 có ba nghi m tìm đư c x = −24, x = −88, x = 3. V y phương trình đã cho có ba nghi m x = −24, x = −88, x = 3. Ví d 3. Gi i phương trình L i gi i. Đi u ki n: 0 a+b=3 ⇔ a4 + b4 = 17 x √ 4 17 − x = 3. √ √ 17. Đ t a = 4 x, b = 4 17 − x (a, b √ 4 x+ a+b=3 2 (a + b) − 2ab T phương trình th hai c a h phương trình cu i, ta tìm đư c ab = 2 ho c ab = 16. Nghi m a+b 2 = 9 < 16. V y ta ph i có ab = 16 b lo i vì theo gi thi t ta ph i có ab 2 4 Gi i h này ta có (a, b) = (1, 2) ho c (2, 1). T đó tính đư c x = 1 ho c x = 16. V y phương trình đã cho có hai nghi m x = 1, x = 16. Ví d 4. Gi i phương trình L i gi i. Đ t y = √ 3 √ x3 + 1 = 2 3 2x − 1. (∗) 2x − 1, ta th y y 3 + 1 = 2x. V y ta có h phương trình x3 + 1 = 2y y 3 + 1 = 2x Tr hai phương trình c a h , ta đư c x3 − y 3 = 2(y − x) ⇔ (x − y)(x2 + xy + y 2 + 2) = 0 ⇔ x = y, y 2 2 tp :/ vì x2 + xy + y 2 + 2 = x + /o nl u + 3y 2 4 2 √ + 2 > 0. Thay vào h ta có  x=1 −1 ± x= 2 √ ht x + 1 = 2x ⇔ (x − 1)(x + x − 1) = 0 ⇔  √ 3 V y phương trình có ba nghi m x = 1, x = − 1+2 5 , x = ye nt oa n. v =6−u u(u2 + u − 12) = 0 0). Ta có h 2 √ 3 36 là u = 0, u = 3 và u = −4. T đây ta − 2a b = 17 2 2 ⇔ a+b=3 a2 b2 − 18ab + 32 = 0 a+b=3 ab = 2 5−1 . 2 vn √ 5 12 − x. Đ t n ph đưa v h phương trình Chú ý. 3 • Ta có th gi i quy t bài toán trên b ng cách sau: √ √ (∗) ⇔ x3 + 2x = 2x − 1 + 2 3 2x − 1 ⇔ f (x) = f 3 2x − 1 , v i f (t) = t3 + 2t. D th y f (t) là hàm đ ng bi n trên R nên t trên ta có √ x = 3 2x − 1 ⇔ x3 − 2x + 1 = 0. • D ng t ng quát bài toán trên là f (x) n ye nt oa n. + b = a n af (x) − b. n Đ gi i phương trình này, đ t t = f (x), y = af (x) − b, ta có h tn + b = ay y n + b = at Đây là h đ i x ng lo i II v i hai n t và y. • Khi thay a, b, f (x) là các s ta có đư c các bài toán v phương trình. Ví d 5. Gi i phương trình x+3 . 2 2x2 + 4x = L i gi i. Đi u ki n: x /o nl u −3. Ta có phương trình đã cho tương đương 1 (x + 1) + 2 ⇔ (x + 1)2 − 1 = 2 2 t 2 2(x + 1)2 − 2 = Đ t t = x + 1, y = x+1 2 x+1 + 1. 2 +1= t + 1, suy ra y 2 − 1 = 2 . V y ta có h   t2 − 1 = y  2  y2 − 1 = t  2 Tr t ng v hai phương trình, ta đư c t2 − y 2 = 1 2 tp :/ y−t 1 ⇔ (t − y) t + y + 2 2 = 0. = 0, t đây suy ra t = y ho c t + y + • V it=y ht 0, ta có h phương trình tương đương  √  t2 − 1 = t 2t2 − t − 2 = 0 1 + 17 2 ⇔ ⇔t= . t = y 0 4 t 0 √ 17−3 4 V i giá tr t v a tìm đư c này, ta tính đư c x = (th a x −3). vn (II) 4 Nguy n T t Thu 1 • V i y = −t − 2 , h phương trình c a ta tr thành  2  2  √  t+ 1 −1= t   4t + 2t − 3 = 0 1 + 13 2 2 ⇔ . ⇔t=−   t −1 4 1  t − 2 2 T đây ta tìm đư c x = − 5+4 13 (th a x √ V y phương trình đã cho có hai nghi m là x = Ví d 6. Gi i phương trình √ x2 − x − 1000 1 + 8000x = 1000. L i gi i. Đi u ki n: x 1 − 8000 . Phương trình đã cho tương đương √ 4x2 − 4x − 4000 = 4000 1 + 8000x ⇔ (2x − 1)2 − 4001 = 4000 4000(2x − 1) + 4001. √ 4001 Đ t u = 2x − 1, v = 1 + 8000x, d th y v 0, u − 4000 . Ta có h phương trình u2 − 4001 = 4000v ⇔ v 2 − 4001 = 4000u ⇔ u2 − 4001 = 4000v u2 − v 2 = 4000(v − u) Do u + v + 4000 > 0 nên t (2) ta có u = v T đây ta tìm đư c x = 2000 (th a x V y phương trình đã cho có nghi m duy nh t x = 2000. Ví d 7. Gi i phương trình L i gi i. Đi u ki n: x tp :/ Chú ý. (II) n u ta thay h ng s b b ng m t bi u th c g(x) thì ta v n có th gi i phương trình b ng cách làm tương t như trên. √ 4x2 + 7x + 1 = 2 x + 2. (∗) Đ t t = 2x + 1, y = √ 2t − 3, ta có y 2 + 3x = 2t và y /o nl u 1 − 8000 ). u2 − 4001 = 4000v (1) (u − v)(u + v + 4000) = 0 (2) u2 − 4000u − 4001 = 0 ⇔ u = 4001. u 0 −2. Ta có (∗) ⇔ (2x + 1)2 + 3x = 2 2(2x + 1) − 3x. 0. Như v y ta có h ht t2 + 3x = 2y ⇒ (t − y)(t + y + 2) = 0, y 2 + 3x = 2t t đó suy ra y = t ho c y = −t − 2. ye nt oa n. −3). √ 17−3 4 và x = − 5+4 13 . √ 0. Thay vào (1), ta đư c vn Đ t n ph đưa v h phương trình • V i y = t, h phương trình tr thành 2 5 • Xét trư ng h p y = −t − 2. Lúc này h phương trình c a ta đư c vi t l i như sau  2 2  4x + 11x + 7 = 0 t + 3x + 2(t + 2) = 0 7 ⇔ ⇔x=− . 3 x − 4 t −2 2 7 1 V y phương trình có hai nghi m x = − 4 , x = 4 . Ví d 8. Gi i phương trình 8x3 − 4x − 1 = L i gi i. Phương trình đã cho tương đương (2x)3 − 4x − 1 = Đ t u = 2x, v = √ 3 2x + 4x + 1, ta có h phương trình u3 − v 3 = v − u ⇔ u3 − 4x − 1 = v /o nl u ⇔ u3 − 4x − 1 = v ⇔ v 3 − 4x − 1 = u u=v ⇔ 8x3 − 6x = 1. 3 u − 4x − 1 = u ye nt oa n. √ 3 6x + 1. √ 3 2x + 4x + 1. 3  2  4x + 3x − 1 = 0 t − 2t + 3x = 0 1 ⇔ ⇔x= . 1 x − 4 t 0 2 (u − v)(u2 + uv + v 2 + 1) = 0 u3 − 4x − 1 = v vn (1) N u |x| > 1 thì |8x3 − 6x| = 2|x|(4x2 − 3) > 2 nên (1) vô nghi m. Do v y ta ph i có |x| 1. Đi u này cho phép ta đ t x = cos t v i t ∈ [0, π]. Khi đó phương trình (1) có th vi t l i thành cos 3t = 1 π 5π 7π ⇔ t1 = ∨ t2 = ∨ t3 = . 2 9 9 9 V y phương trình đã cho có ba nghi m x = cos π , x = cos 5π , x = cos 7π . 9 9 9 Ví d 9. Gi i phương trình tp :/ 7x2 − 13x + 8 = 2x2 x(1 + 3x − 3x2 ). L i gi i. D th y x = 0 không là nghi m c a phương trình đã cho. Xét trư ng h p x = 0. Chia c hai v c a phương trình cho x3 , ta đư c 7 13 8 1 3 3 − 2 + 3 =2 + − 3. 2 x x x x x ht 1 Đ t t = x , ta có √ 3 8t3 − 13t2 + 7t = 2 t2 + 3t − 3 ⇔ (2t − 1)3 − (t2 − t − 1) = 2 2(2t − 1) + (t2 − t − 1).