Tham khảo tài liệu 'đề luyện thi thử tốt nghiệp - đại học năm 2011 - số 24', tài liệu phổ thông, toán học phục vụ nhu cầu học tập, nghiên cứu và làm việc hiệu quả
AMBIENT/
Chủ đề:
Nội dung Text: Đề Luyện Thi Thử Tốt Nghiệp - Đại Học Năm 2011 - Số 24
- LuyÖn thi trªn m¹ng – Phiªn b¶n 1.0
www.khoabang.com.vn
________________________________________________________________________________
C©u I.
1) Cho hµm sè
f(x) = 3 cos 4 x − 5 cos 3x − 36 sin 2 x − 15 cos x + 36 + 24a − 12a 2 .
Víi gi¸ trÞ nµo cña a th× f(x) > 0 víi mäi x ?
2) X¸c ®Þnh tham sè a ®Ó hÖ ph ¬ng tr×nh sau cã nghiÖm :
x +1 + y + 2 = a
x + y = 3a
C©u II.
1) Tam gi¸c ABC cã c¸c c¹nh víi ®é dµi a, b, c, vµ cã diÖn tÝch S. §ûêng trßn néi tiÕp cña tam gi¸c tiÕp xóc víi c¸c
c¹nh ë A’, B’, C’ (®èi diÖn víi c¸c ®Ønh A, B, C). Tam gi¸c A’B’C’ cã c¸c c¹nh a’, b’, c’, vµ diÖn tÝch S’. Chûáng minh
c¸c ®¼ng thûác sau :
C B
a' b' A
= 2sin sin + sin ;
i) +
2 2
a b 2
S' A B C
ii) = 2 sin sin sin .
S 2 2 2
2) Chøng minh r»ng víi mäi x, ta ®Òu cã
cos3x + asin3x + 1 1 + 3a 2
≤ 1 + .
cos3x + 2 3
C©u III. Cho a, b, c, d > 0. Chûáng minh r»ng
a b c d
1< < 2.
+ + +
a+b+c b+c+d c+d+a d+a+b
- www.khoabang.com.vn LuyÖn thi trªn m¹ng
________________________________________________________________________________
C©u I.
1) BiÕn ®æi hµm sè:
f(x) = 3cos4x - 5(4cos3x - 3cosx) - 36(1 - cos2x) - 15cosx + + 36 + 24a - 12a2.
f(x) = 3cos4x - 20cos3x + 36cos2x + 24a - 12a2.
§Æt t = cosx, (|t| £ 1) vµ xÐt hµm: ϕ(t) = 3t4 - 20t3 + 36t2 + 24a - 12a2.
T×m a ®Ó víi "t Î [- 1 ; 1] ta ®Òu cã j(t) > 0. Ta cã:
ϕ‘(t) = 12t3 - 60t2 + 72t = 12t (t2 - 5t + 6).
ϕ(0) = 24a - 12a2.
Muèn j(t) > 0 víi "t Î [- 1 ; 1] th× cÇn vµ ®ñ lµ:
24a - 12a2 > 0 Û 0 < a < 2.
2) §Æt : u = x + 1, (u ³ 0);
v = y + 2, (v ³ 0)
Th× u2 + v2 = x + y + 3. Do vËy, hÖ ®· cho ®ûîc thay bëi hÖ míi:
u+v=a (1)
u2 + v2 = 3(a + 1) (2)
u, v ³ 0. (3)
NhËn thÊy ngay nÕu a £ 0 th× hÖ v« nghiÖm. VËy chØ cÇn xÐt
a > 0. ThÕ v = a - u vµo (2) sÏ ®ûîc:
2u2 - 2au + (a2 - 3a - 3) = 0. (4)
§Ó hÖ cã nghiÖm th× cÇn vµ ®ñ lµ (4) cã nghiÖm u Î [0 ; a]
(chó ý u + v = a).
- www.khoabang.com.vn LuyÖn thi trªn m¹ng
________________________________________________________________________________
∆‘ ³ 0
Ta tíi:
2f(0) ³ 0
víi
f(u) = 2u2 - 2au + (a2 - 3a - 3);
∆‘ = a2 - 2(a2 - 3a - 3) = - a2 + 6a + 6.
VËy ∆‘ ³ 0 víi 3 + 15 ³ a ³ ↔ 3 - 15.
3- 21 3+ 21
f(0) = a2 - 3a - 3 ³ 0 Û a £ hoÆc a ³ .
2 2
3+ 21
Do xÐt a > 0 nªn cuèi cïng ta ®ûîc: 3 + 15 ≥ a ≥ .
2
C©u II.
1) i) Chó ý r»ng:
π α
A
= A’.
- =
2 2 2
Do ®ã:
B+C
sin = sinA’.
2
Ta cã:
A
a‘ = 2rsinA’ = 2(p-a)tg sinA’=
2
A
= (b + c - a) tg =(b + c - a) sin .
2
Do vËy:
A sinB + sinC - sinA A
a' b+c-a
sin = sin =
=
2
sinA 2
a a
- www.khoabang.com.vn LuyÖn thi trªn m¹ng
________________________________________________________________________________
A A B + C
B+C B- C A B- C
2cos cos
2sin cos - 2sin cos - cos
2 2 2
2 2 2 2 B C
= = =2sin sin .
A A 2 2
2cos 2cos
2 2
a' B C
= 2sin sin . (1)
VËy :
a 2 2
b' A C
Tû¬ng tù : = 2sin sin . (2)
b 2 2
Tõ (1) vµ (2) suy ra:
C B
a' b' A
= 2sin sin + sin
+
2 2
a b 2
A+B
1 C
a' b'sinC' a' b' sin 2 cos
S' C A B A B C
=2 2
= 4sin2 =2sin sin sin .
= . . sin sin .
1 C C
S a b sinC 2 2 2 2 2 2
absinC 2sin cos
2 2 2
2) XÐt hµm sè:
cos3x + asin3x + 1
y= .
cos3x + 2
Sè yo thuéc miÒn gi¸ trÞ cña hµm sè Êy khi vµ chØ khi phû¬ng tr×nh:
cos3x + asin3x + 1
yo = (1) cã nghiÖm:
cos3x + 2
(1) Û yo(cos3x + 2) = cos3x + asin3x + 1
Û (- yo + 1)cos3x + asin3x + 1 - 2yo = 0. (2)
(2) cã nghiÖm khi vµ chØ khi:
(1 - yo)2 + a2 ³ (2yo - 1)2 Û 3y 2 - 2yo - a2 £ 0 Û
o
1 + 3a 2 1 + 3a 2
1- 1+
≤ yo ≤ .
3 3
- www.khoabang.com.vn LuyÖn thi trªn m¹ng
________________________________________________________________________________
Tõ ®ã suy ra, víi mäi x ta ®Òu cã:
cos3x + asin3x + 1 1+ 1 + 3a 2
≤ .
cos3x + 2 3
C©u III.
Trûúác hÕt, ta chøng minh r»ng : nÕu0 < T < M vµ α > 0 th× ta cã:
T+α
T
. (1)
<
M+α
M
Thùc vËy:
(1) Û T(M + α) < M(T + α) Û Tα < Mα Û T < M.
¸p dông:
1 A+B
a' b'sinC' sin
S' a' b'
=2 2=
i) = . .
1
S a b sinC
absinC
2
a+d
a a
. (2)
< <
a+b+c+d a+b+c a+b+c+d
Tû¬ng tù cã:
b+a
b b
; (3)
< <
a+b+c+d b+c+d b+c+d+a
c+b
c c
; (4)
< <
a+b+c+d c+d+a c+d+a+b
d+c
d d
. (5)
< <
a+b+c+d d+a+b d+a+b+c
Céng theo vÕ (2), (3), (4) vµ (5):
a b c d
1< + < 2.
+ +
a+b+c b+c+d c+d+a d+a+b
- www.khoabang.com.vn LuyÖn thi trªn m¹ng – Phiªn b¶n 1.0
__________________________________________________________
C©u IVa. Nhê phÐp biÕn ®æi biÕn sè x = π − t, ta ®−îc
π π/2
∫ f(sin x)dx = ∫ f(sin t)dt .
π 0
2
p
C©u Va. (∆) qua F , 0 - tiªu ®iÓm cña (P) vµ ®−êng chuÈn (D) cña (P) cã ph−¬ng tr×nh
2
p
x= − .
2
Täa ®é c¸c ®iÓm M'(x', y') vµ M''(x'', y'') lµ nghiÖm cña hÖ
y2 − 2px = 0
2mx − 2y − mp = 0
m 2 x 2 − (m 2 + 2)px + m 2 p 2 / 4 = 0
⇔
y2 − (2p / m)y − p 2 = 0
§−êng trßn ®−êng kÝnh M'M'' cã ph−¬ng tr×nh
x2 + y2 − (x' + x'')x − (y' + y'')y + x'x'' + y'y'' = 0
vµ cã täa ®é t©m
(m 2 + 2)p p
I ,
2m 2 m
nªn kho¶ng c¸ch tõ I ®Õn (D) lµ :
1
IH = p 1 + =R
m2
(b¸n kÝnh ®−êng trßn ®−êng kÝnh M'M'').
C©u IVb.
1) V× AC // A1C1 nªn AC // (BA1C1 ) .
Gäi d lµ kho¶ng c¸ch gi÷a hai ®−êng th¼ng AC vµ BC1 . Khi ®ã
d = d(AC, (BA1C1) ) = d(C, (BA1C1) ).
XÐt h×nh chãp C. A 1BC1 ta cã :
1
VCA1BC1 = SBA1C1 .d(C,(BA1C1)) .
3
Tõ ®ã :
3VCA1BC1
d(C,(BA1C1 )) = (1)
S BA1C1
MÆt kh¸c, ta cã :
1
VCBA1C1 = VBCA1C1 = VBAA1C = VA1ABC = VABCA1B1C1 (2)
3
Tõ (1) vµ (2) ta cã :
- www.khoabang.com.vn LuyÖn thi trªn m¹ng – Phiªn b¶n 1.0
__________________________________________________________
VABCA1B1C1
d= (*)
S BA1C1
Ta cã :
a3
.a
a2 3
VABCA1B1C1 = S ABC .h = 2 .h = h . (3)
2 4
§Ó tÝnh S BA1C1 ta cÇn tÝnh chiÒu cao BH cña ∆BA1C1 .
Ta cã BC1 = a 2 + h 2 . Tõ ®ã,
a 2 3a 2 3a 2
BH 2 = a 2 + h 2 − = + h 2 ⇒ BH = + h2 .
4 4 4
3a 2
+ h2
a
a1 a
4 3a 2 + 4h 2 = 3a 2 + 4h 2
S BA1C1 = =. (4)
2 22 4
Thay (3) vµ (4) vµo (*) ta ®−îc
3a 2 h a
VABCA1B1C1 3 ah
3a 2 + 4h 2 =
d= = :
S BA1C1 4 4 3a 2 + 4h 2
B©y giê ta tÝnh gãc gi÷a c¸c ®−êng th¼ng AC vµ BC1 .
V× AC // A1C1 nªn (AC,BC1 ) = (A1C1,BC1 ) = ϕ
HC1 a
XÐt ∆BHC1 ta cã (BHC1 = 90o ) : HC1 = BC1 cos ϕ hay cos ϕ = . Tõ ®ã : cos ϕ = .
BC1 2 a 2 + h2
V× ϕ lµ gãc nhän nªn ta cã thÓ dùng gãc ϕ khi biÕt cosϕ.
§¸p sè : Kho¶ng c¸ch gi÷a c¸c ®−êng th¼ng AC vµ BC1 lµ
A1 C1
3 ah
3a 2 + 4h 2
B
a 1
vµ gãc gi÷a chóng lµ ϕ : cosϕ = .
2 a 2 + h2
2) Tr−íc hÕt ta dùng thiÕt diÖn phô song song víi c¸c ®−êng th¼ng
A1C vµ BC1 . Ta gäi mÆt ph¼ng ®ã lµ (P). Giao tuyÕn
C
A
cña mÆt ph¼ng (P) vµ (BB1CC1 ) qua C song song víi BC1 . Ta ký hiÖu S2
giao ®iÓm cña giao tuyÕn ®ã víi ®−êng th¼ng BB1 lµ S1 . §iÓm S1 lµ B
®iÓm chung cña c¸c mÆt ph¼ng (P) vµ (AA1B1B) . Mét ®iÓm chung n÷a
lµ A1 v× (P) song song víi A1C . Nèi A1S1 , ta t×m thÊy ®Ønh S 2 cña thiÕt diÖn,
thiÕt diÖn phô (P) lµ tam gi¸c A1CS 2 .
B©y giê ta dùng thiÕt diÖn mµ bµi to¸n ®ßi hái.
Ta ký hiÖu thiÕt diÖn cÇn x¸c ®Þnh lµ (α* ) . ThiÕt diÖn nµy song song víi c¸c
®−êng th¼ng A1C vµ CS1 cña mÆt ph¼ng (A1CS1) , v× thÕ (α* ) //(A1CS1 ) .
Tõ ®ã suy ra r»ng c¸c c¹nh cña thiÕt diÖn ph¶i t×m song song víi c¸c c¹nh cña
thiÕt diÖn (A1S 2 C) . XuÊt ph¸t tõ ®ã, ta cã thÓ dùng thiÕt diÖn ph¶i t×m. KÎ qua
S1
- www.khoabang.com.vn LuyÖn thi trªn m¹ng – Phiªn b¶n 1.0
__________________________________________________________
®iÓm M ®−êng th¼ng song song víi ®−êng th¼ng A1S 2 vµ t×m thÊy giao ®iÓm A S7
1 C1
cña nã víi c¸c c¹nh cña l¨ng trô lµ S3 , S 4 .
S3
Sau ®ã ta kÎ S 4 S 5 // S 2 C , S 5S6 // BC1 (v× (α* ) // BC1 ), S6S 7 // CA1 .
B1
H×nh ngò gi¸c S 3S 4 S 5S 6S 7 lµ thiÕt diÖn (α* ) ph¶i t×m S
6
M
(ta nhËn xÐt r»ng S 4 S 5 // S 3S 7 ).
3) Ta t×m tØ sè CS6 : S6 C1 .
XÐt mÆt ph¼ng (AA1B1B) . Tõ c¸c tam gi¸c ®ång d¹ng C
A
AS 4 M vµ B1S 3M ta cã AS 4 : B1S 3 = AM : B1M = 5 : 4 . S2
S
5
S4
SS
Ta ký hiÖu 2 4 = x . Chó ý r»ng B
AB
1
AS 2 = AB, A1S 3 = S 2S 4 vµ A1B1 = AB
2
1
AS 4 = + x AB , B1S 3 = (1 − x)AB .
ta cã :
2
1
+x
5
Ta cã ph−¬ng tr×nh : 2 =.
1− x 4
1 1 1
Gi¶i ra ta cã x = . NghÜa lµ S2S4 = AB , tõ ®ã S4B = S2B − S2S4 = AB . V× S 4S 5 // S 2 C nªn CS 5 : S 5B = S 2S 4 : S 4 B = 2 ,
3 3 6
vµ do S 5S6 // BC1 suy ra r»ng CS6 : S6 C 1= CS 5 : S 5B = 2 .
§¸p sè : C¹nh CC1 bÞ mÆt ph¼ng (α* ) chia theo tû sè 2 : 1 tÝnh tõ ®Ønh C.
- LuyÖn thi trªn m¹ng – Phiªn b¶n 1.0
www.khoabang.com.vn
________________________________________________________________________________
C©u IVa.
Cho f lµ mét hµm liªn tôc trªn [0 ; 1]. Chøng minh r»ng
π π/ 2
∫ ∫
f(sinx) dx = 2 f(sinx) dx.
0 0
C©u Va.
y 2 = 2px
Cho parabol P) :
vµ ®ûêng th¼ng
(D) :2mx - 2y - mp = 0.
Gäi M’, M’’ lµ c¸c giao ®iÓm cña (P) vµ (D). Chûáng tá r»ng ®ûêng trßn ®ûêng kÝnh M’M’’ tiÕp xóc víi ®ûêng chuÈn
cña parabol (P).
C©u IVb.
Cho h×nh l¨ng trô ®ûáng ABC.A1 B1 C1 (®¸y lµ tam gi¸c ®Òu), c¹nh ®¸y b»ng a, ®ûêng cao b»ng h. M lµ mét ®iÓm n»m
trªn ®ûêng chÐo AB1 cña mÆt ABB1 A1 sao cho AM : MB1 = 5 : 4. Gäi (a) lµ mÆt ph¼ng qua M vµ song song víi c¸c
®ûêng th¼ng A1 C vµ BC1 .
1) TÝnh kho¶ng c¸ch vµ gãc gi÷a hai ®ûêng th¼ng AC vµ BC1 .
2) X¸c ®Þnh thiÕt diÖn do mÆt ph¼ng (a) c¾t l¨ng trô.
3) C¹nh CC1 bÞ mÆt ph¼ng (a) chia theo tØ sè nµo ?
Thêm vào BST
Báo xấu
Download
Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ
