CHUYỂN ĐỘNG CỦA ĐIỆN TÍCH
TRONG ĐIỆN TỪ TRƯỜNG
Trong cơ học, nếu một hạt chuyểnđộng tựdo với vận tốc
, hàm Lagrange của nó là:
Xung lượng của hạt và lực tác dụng lên nó:
v c
฀
2
1
2
L m v
L
p m v
v
L
F
r
(2)
(3)
(1)
Khi đóphương trình Lagrange :
Tương đương vớiphương trình chuyểnđộng của hạt viết theo
định luật II Newton :
Đối với một hạt tích điện chuyểnđộng trong điện từ trường thì :
d L L
d x
v r
(4)
d
p E
d x
2
1
2
v
L mv e e A
(5)
(6)
Nếuphương trình Lagrange (4) chứa hàm Lagrange (6), nó
tương đương vớiphương trình chuyểnđộng của hạt trong điện
từ trường.
Thật vậy, ta tính xung lượng suy rộng của hạt :
trong đó là xung lượng thông thường của hạt
Lực suy rộng tác dụng lên hạt
L
mv eA p eA
v
p
( )
L
egrad egrad Av
r
(7)
(8)
Đưa (7) và (8) vào phương trình Lagrange (4):
Vì không phải là hàm của tọađộ, nên
và phương trình trên trởthành :
Vì thếlà hàm của tọađộ và thời gian t, nên :
( ) ( )
d
p eA egrad egrad Av
dt

v
( ) ( )
grad Av vrotA v A
( ) [ ]
d p d A
e egrad e v A e vrot A
dt dt
A
r
( )
d A A r A
A v A
dt t t t
r
(9)