ĐỀ THI QUỐC GIA NĂM HỌC 1999-2000
MÔN : TOÁN (Bảng A)
Ngày thi thứ nhất
Bài 1 : Cho c là một số thực dương . Dãy số {x
n
}, n = 0,1,2,…., được xây
dựng theo cách sau :
x
1n
=
n
xcc
(n=0,1,2,….) nếu các biểu thức dưới căn là không âm .
Tìm tất cả các giá trị của c đề với mọi giá trị ban đầu x
0
(0,c) dãy
{x
n
} được xác định với mọi giá trị n và tồn tại giới hạn hữu hạn lim x
n
khi
n
.
Bài 2 : Trên mặt phẳng cho trước hai đường tròn (O
1
,r
1
) và (O
2
,r
). Trên
đường tròn (O
1
,r
1
) lấy một điểm M
1
và trên đường tròn (O
2
,r
2
) lấy một
điểm M
sao cho đường thẳng O
1
M
1
cắt đường thẳng O
2
M
2
tại một điểm
Q. Cho M
1
chuyển động trên đường tròn (O
1
,r
1
) , M
2
chuyển động trên
đường tròn (O
2
,r
2
) cùng theo chiều kim đồng hồ và với vận tốc góc như
nhau .
1/ Tìm quĩ tích trung điểm đoạn thẳng M
1
M
.
2/ Chứng minh rằng đường tròn ngoại tiếp tam giác M
1
QM
luôn đi
qua một điểm cố định .
Bài 3 : Cho đa thức :
P(x) = x
3
+ 153x
- 111x + 38
1/ Chứng minh rằng trong đoạn [1;3
2000
] tồn tại ít nhất 9 số nguyên
dương a sao cho P(a) chia hết cho 3
2000
2/ Hỏi trong đoạn [1;3
2000
] có tất cả bao nhiêu số nguyên dương a mà
P(a) chia hết cho 3
2000
?
--------------------
ĐỀ THI QUỐC GIA NĂM HỌC 1999-2000
MÔN : TOÁN (Bảng A)
Ngày thi thứ hai
Bài 4 : Cho trước góc α với 0<α<π
1/ Chứng minh rằng tồn tại duy nhất một tam thức bậc hai dạng f(x) =
x
+ ax + b (a,b là số thực ) sao cho với mọi n>2 đa thức
P
n
(x) = x
n
sinα – xsin(nα) + sin(n-1)α
chia hết cho f(x)
2/ Chứng minh rằng không tồn tại nhị thức bậc nhất dạng g(x) = x + c
(c là số thực) sao cho với mọi n>2 đa thức P
n
(x) chia hết cho g(x)
Bài 5 : Tìm tất cả các số tự nhiên n>3 sao cho tồn tại n điểm trong không
gian thoả mãn đồng thời các các tính chất sau đây :
a/ Không có ba điểm nào trong chúng thẳng hàng .
b/ Không có bốn điểm nào trong chúng cùng nằm trên một đường tròn
c/ Tất các các đường trong đi qua ba điểm trong chúng đểu có bán
kính bằng nhau.
Bài 6 : Với mỗi đa thức hệ số thực P(x) , kí hiệu A
P
là tập hợp các số thực
x sao cho P(x) = 0 .
Tìm số phần tử nhiều nhất có thể có của A
P
khi P(x) thuộc tập hợp
các đa thức có hệ số thực với bậc ít nhất là 1 và thoả mãn đẳng thức :
P(x
2
- 1) = P(x).P(-x)
với mọi giá trị thực x
--------------------
ĐỀ THI QUỐC GIA NĂM HỌC 1999-2000
MÔN : TOÁN (Bảng B)
Ngày thi thứ nhất
Bài 1 : Cho số thực c >2 . Dãy số (x
n
) , n=0,1,2,…, được xây dựng theo
cách sau :
x
0
=
c
, x
1n
=
n
xcc
(n=0,1,2,…)
nếu các biểu thức dưới căn là không âm.
Chứng minh rằng dãy (x
n
) được xác định với mọi giá trị n và tồn tại
giới hạn hữu hạn limx
n
khi n
Bài 2 : Trên mặt phẳng cho trước hai đường tròn (O
1
,r
1
) và (O
2
,r
). Trên
đường tròn (O
1
,r
1
) lấy một điểm M
1
và trên đường tròn (O
2
,r
2
) lấy một
điểm M
sao cho đường thẳng O
1
M
1
cắt đường thẳng O
2
M
2
tại một điểm
Q. Cho M
1
chuyển động trên đường tròn (O
1
,r
1
) , M
2
chuyển động trên
đường tròn (O
2
,r
2
) cùng theo chiều kim đồng hồ và với vận tốc góc như
nhau .
1/ Tìm quĩ tích trung điểm đoạn thẳng M
1
M
.
2/ Chứng minh rằng đường tròn ngoại tiếp tam giác M
1
QM
luôn đi
qua một điểm cố định .
Bài 3 : Cho đa thức :
P(x) = x
3
- 9x
+ 24x – 27
Chứng minh rằng với mỗi số nguyên dương n luôn tồn tại một số
nguyên dương a
n
sao cho P(a
n
) chia hết cho 3
n
.
-----------------------------
ĐỀ THI QUỐC GIA NĂM HỌC 1999-2000
MÔN : TOÁN (Bảng B)
Ngày thi thứ hai
Bài 4 : Cho trước góc α với 0<α<π. Tìm tam thức bậc hai bậc hai dạng f(x)
= x
2
+ ax + b (a,b là số thực ) sao cho với mọi n>2 đa thức :
P
n
(x) = x
n
sinα – xsin(nα) + sin(n-1)α
chia hết cho f(x)
Bài 5 : Cho tứ diện ABCD có bán kính đường tròn ngoại tiếp các mặt đều
bằng nhau . Chứng minh rằng các cạnh đốì diện của tứ diện ABCD bằng
nhau.
Bài 6 : Tìm tất cả các hàm số f(x) thoả mãn điều kiện :
x
.f(x) + f(1-x) = 2x - x
4
với mọi số thực x.
-----------------------------