SỞ GIÁO DỤC–ĐÀO TẠO LONG AN KỲ THI HỌC SINH GIỎI
TRƯỜNG THPT LÊ QUÝ ĐÔN ĐỒNG BẰNG SÔNG CỬU LONG
ĐỀ THI ĐỀ NGHỊ MÔN TOÁN
Thời gian : 180 phút
___________________________________________________________________________
Bài 1 : (Đại số)
Cho các số thực x, y thỏa phương trình x(x-1) + y(y-1) = xy
Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của biểu thức x2 + y2 + xy.
Bài 2 : (Lượng giác)
Cho ABC là tam giác có ba góc nhọn . Chứng minh rằng :
1
333 Atg
tgC
Ctg
tgB
Btg
tgA
Bài 3 : (Giải tích)
Dãy số
n
x được xác định như sau :
1
3;3 2
11
n
n
nx
x
xx ( n = 1, 2, 3, ….).
Chứng minh rằng dãy số )( n
x có giới hạn hữu hạn khi n

và tìm giới hạn của nó.
Bài 4 : (Hình học phẳng)
Cho tam giác ABC và M là trung điểm của BC , một đường tròn bất kì qua A cắt các tia
AB, AC, AM theo thứ tự tại E, F, K. Chứng minh rằng :
AB.AE + AC.AF = 2AK.AM
Bài 5 : (Hình học không gian)
Cho tứ diện ABCD có 0
60 DABCADBAC . Chứng minh rằng :
2222 8RADACAB
trong đó R là bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD.
( Kí hiệu BAC
là góc BAC )
Sở Giáo dục & Đào tạo Cà Mau KỲ THI HỌC SINH GIỎI ĐỒNG BẰNG SÔNG CỬU LONG
Trường THPT Chuyên Phan Ngọc Hiển

MÔN: TOÁN
BÀI 1: (4đ)
Giải phương trình:
3 2 3 2
(1 ) 2(1 )
x x x x
.
BÀI 2: (4đ) Tìm tất cả các số nguyên dương n sao cho:
3 3
2 2
n n
là số nguyên dương.
BÀI 3: (4đ) Cho 1
0
a
. Xét dãy số
( )
n
a
cho bởi: 1ln(1 ),
n n
a a n
.
Chứng minh rằng: ( 2)
2
lim
ln 3
n
n
n na
n
.
BÀI 4: (4đ)
Cho tam diện vuông Oxyz và điểm A cố định nằm trong tam diện. Khoảng cách từ A đến
ba mặt (Oyz), (Ozx) và (Oxy) lần lượt là a, b và c. Gọi
là mặt phẳng di động qua A cắt Ox tại
M, cắt Oy tại N và cắt Oz tại P.
Trong trường hợp thể tích tứ diện OMNP đạt giá trị nhỏ nhất thì A là điểm gì trong tam
giác MNP?
BÀI 5: (4đ)
Trong đường tròn có bán kính bằng 1 nội tiếp một hình vuông; trong hình vuông này lại
nội tiếp một đường tròn nữa, trong đường tròn này lại nội tiếp một bát giác đều, trong bát giác
đều lại nội tiếp một đường tròn, trong đường tròn này lại nội tiếp một đa giác đều 16 cạnh, cứ
như thế …
Chứng minh bán kính của các đường tròn kể trên đều lớn hơn
2
.
SỞ GD – ĐT KIÊN GIANG KỲ THI HỌC SINH GIỎI ĐỒNG BẰNG SÔNG CỬU LONG
TRƯỜNG THPT CHUYÊN HUỲNH MẪN ĐẠT
ĐỀ THI ĐỀ NGHỊ MÔN : TOÁN
Thời gian : 180 phút
BÀI 1: PT-BPT-3Đ
Tìm tất cả các số nguyên tố x,y thoả mãn phương trình:
2
[ 1] [ 2] [ 3] ... [ 1]
x y
BÀI 2: HÌNH HỌC PHẲNG -3Đ
Cho hình vuông cạnh bằng 1. Có hai tam giác đều cạnh lớn hơn
2
3
nằm bên trong hình
vuông. Chứng minh rằng hai tam giác ấy có điểm chung.
BÀI 3-SỐ HỌC- 3 Đ
Giải phương trình nghiệm nguyên:
2 2
3 4 2 4 13 0
x y xy x y
(1)
BÀI 4: GIẢI TÍCH -3 Đ
Dãy số
n
u
xác định như sau :
n
u
=
3 5
n
, ở đây
chỉ phần nguyên của số
(là số nguyên lớn nhất không
vượt quá
).
Chứng minh rằng
n
, thì
n
u
là số lẻ.
BÀI 5: TỔ HỢP-3Đ
Cho A là tập tất cả các phần tử
1 2 6
, ,...,
x x x x
với 1 2 6
, ,..., 1,4
x x x . Một chương trình
máy tính chọn ngẫu nhiên 2008 phần tử từ tập A ( các phần tử khác nhau ) được một
dãy
n
u
. Tìm số tự nhiên n nhỏ nhất sao cho lấy bất kì n số hạng của dãy
n
u
ta luôn tìm
được 16 số hạng mà 2 số hạng bất kì trong 16 số hạng đó có ít nhất là 2 thành phần khác
nhau.
BÀI 6: ĐẠI SỐ-3Đ
Cho
0, , 1,..,2008
i i
a a R i và 1 2008
... 1
a a
. Chứng minh rằng
1 2008 1 2008
1 1 4.2007 4.2007
... 2008
... 2008
a a a a
BÀI 7-HÌNH HỌC KHÔNG GIAN-3Đ
Một hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy AB = a, cạnh bên SA = b với a<b 2. Có
một mặt cầu tiếp xúc với mặt đáy ABCD tại A và tiếp xúc với đường thẳng SB tại K .
Hãy tính bán kính của mặt cầu này .
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TP.CẦN THƠ
TRƯỜNG THPT CHUYÊN LÝ TỰ TRỌNG KỲ THI HSG ĐỒNG BẰNG SÔNG CỬU LONG
LẦN THỨ 16
ĐỀ THI ĐỀ NGHỊ MÔN TOÁN HỌC
Thời gian làm bài : 180 phút
Bài 1. (Đại số – 3 điểm)
Tìm các giá trị thực của a sao cho tồn tại 5 số thực không âm 54321 ,,,, xxxxx thỏa đồng thời các điều
kiện
3
5
1
5
2
5
1
3
5
1
.
.
.
axk
axk
axk
kk
kk
k
k
Bài 2. (Hình học phẳng – 3 điểm)
Cho ABC nhọn, H là trực tâm của tam giác. Gọi A’, B’, C’ lần lượt là giao điểm của HA, HB, HC với
đường tròn ngoại tiếp ABC. Chứng minh
HC
HB
HA
HC
HB
HA
111
'
1
'
1
'
1
Bài 3. (Số học – 2 điểm)
a) Chứng minh phương trình )1(2010)1)(1( 222 yxz vô nghiệm với x, y, z Z.
b) Chứng minh phương trình )2(2008)1)(1( 222 yxz có nghiệm với x, y, z Z.
Bài 4. (Giải tích – 3 điểm)
Cho dãy số (an) bị chặn và
1
6
5
6
112 naaa nnn
Chứng minh rằng dãy (an) hội tụ.
Bài 5. (Tổ hợp – 3 điểm)
Cho 15 bài toán trắc nghiệm, đánh số từ 1 đến 15. Mỗi bài chỉ có 2 khả năng trả lời: Đúng hoặc Sai.
Có 1600 thí sinh tham gia thi, nhưng không có ai trả lời đúng 2 bài liền nhau.( Nếu xem bài làm của mỗi thí
sinh tương ứng với một dãy 15 phần tử Đ, S thì không bài làm nào có dạng: ĐSĐĐSSSSSSĐSĐSS 2 chữ
đúng kề nhau.)
Chứng minh rằng có ít nhất 2 thí sinh trả lời toàn bộ 15 bài giống hệt như nhau.
Bài 6. (Đại số – 3 điểm)
Tìm các hàm f: R R khả vi và thỏa điều kiện Ryxxfyfyfxf
,))(())((
Bài 7. (Hình không gian – 3 điểm)
Cho tứ diện ABCD có các trung điểm các cạnh đều thuộc một mặt cầu.
BCADDBACCDAB .3,.3,.3 .
Hãy tính thể tích tứ diện ABCD theo BC .
---------------------------------HẾT--------------------------------
1
SỞ GDĐT TỈNH ĐỒNG THÁP
TRƯỜNG THPT TP CAO LÃNH
ĐỀ THI ĐỀ NGHỊ
KỲ THI HSG KV ĐBSCL LẦN THỨ 16
Môn : TOÁN HỌC
Câu 1: (3 điểm)
Giải bất phương trình: 2
12 8
2 4 2 2
9 16
x
x x x
(1)
Bài giải
Điều kiện
2 2
x
. Khi đó:
2
2
2
2 2
2 2
2
2
(2 4) 4(2 ) 2(6 4)
(1) 2 4 2 2 9 16
6 4 2(6 4)
2 4 2 2 9 16
(3 2) 9 16 2( 2 4 2 2 0
(3 2)(9 8 32 16 8 2 ) 0
(3 2)( 2 8 2 )(8 2 8 2 ) 0
(3 2)( 2 8 2 ) 0
3 2 0
2 8 2 0
3
x x x
x x x
x x
x x x
x x x x
x x x x
x x x x x
x x x
x
x x
2
2 0
2 8 2 0
x
x x
Giải hệ trên ta được
32
2
3
2
2
3
x
x
Câu 2: (3 điểm)
Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O. Các tiếp tuyến với (O) tại B, C cắt nhau tại M,
AM cắt BC tại N. Chứng minh rằng : 2 2
. . 0
NB AC NC AB
.