Đề thi học sinh giỏi môn Toán lớp 11 năm 2012-2013 - Trường THPT Nguyễn Trân

CHƯƠNG TRÌNH BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI QUỐC GIA<br /> MÔN TOÁN NĂM 2016 - 2017<br /> SỞ GD&ĐT BÌNH ĐỊNH<br /> TRƯỜNG THPT NGUYỄN TRÂN<br /> <br /> ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG<br /> NĂM HỌC 2012-2013<br /> MÔN TOÁN LỚP 11<br /> Thời gian 150 phút ( không kể thời gian phát đề)<br /> <br /> Câu 1 (4đ) Cho hàm số y  x 2  px  q (1)<br /> 1) Chứng minh rằng, nếu p, q  Z và phương trình y  0 có nghiệm hữu tỷ thì nghiệm đó là<br /> nghiệm nguyên.<br /> 2) Tìm các giá trị của p để hàm số (1) đồng biến trên khoảng (3; ) .<br /> Câu 2 (6đ ) Giải hệ pt và bpt sau:<br /> 1) x  x 2  10 x  9  x 2  2 x 2  10 x  9.<br />  x 2  x  1  2 xy  0<br /> <br /> .<br /> 4<br /> 2<br /> 2<br /> x  x  2x y  1  0<br /> <br /> <br /> 2) <br /> <br /> Câu 3 (4đ) Gọi A, B, C là ba góc của ABC . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức<br /> M  2cosA+cosB+cosC .<br /> Câu 4 (6đ)<br /> 1) Chứng minh rằng, nếu a  ha  b  hb  c  hc thì ABC đều.<br /> 2) Cho 2 hình vuông ABCD và BMNP sao cho điểm P nằm giữa B và C, điểm B nằm giữa<br /> A và M. Tính góc giữa hai đường thẳng AP và DN.<br /> <br /> www.vclass.hoc247.vn - Hotline: 0981 821 807<br /> <br /> Trang | 1<br /> <br /> CHƯƠNG TRÌNH BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI QUỐC GIA<br /> MÔN TOÁN NĂM 2016 - 2017<br /> ĐÁP ÁN VÀ BIỂU ĐIỂM.<br /> Câu 1(4đ)<br />  p  p 2  4q<br /> 1)(2đ) Nghiệm hữu tỷ nên<br />  Q . Do đó p, q  Z thì<br /> 2<br /> <br /> Lập luận p và<br /> <br /> p 2  4q  Z (0.5 đ).<br /> <br /> p 2  4q cũng chẵn, lẻ ( 1.5đ).<br /> <br /> 2) (2đ) Vì a  0 nên hàm số đồng biến trên (<br /> Bài toán thoả mãn khi <br /> <br /> b<br /> ; ) (0.5đ)<br /> 2a<br /> <br /> p<br />  3 , tức là p  6 (1.5đ).<br /> 2<br /> <br /> Câu 2 (6đ)<br /> 1)(3đ) Điều kiện x  (;1]  [9;+ )<br /> Với x  x 2  10 x  9  0  x 2  10 x  9   x , suy ra<br /> x 2  10 x  9( x 2  10 x  9  2  2 x)  0 (0.5đ) do đó x 2  10 x  9  0 và<br /> <br /> x 2  10 x  9  2  2 x (0.5đ).<br /> 5<br /> 3<br /> <br /> Kết luận tập nghiệm S  ( ;1)  (9; ) (2đ).<br />  x 2  x  1  2 xy  0<br />  x 2  1   x (1  2 y )<br /> (1)<br /> <br /> <br /> (0.5đ)<br />  2<br /> 4<br /> 2<br /> 2<br /> 2<br /> 2<br /> 2<br /> x  x  2x y  1  0<br /> ( x  1)  x  2 x y  0 (2)<br /> <br /> <br /> <br /> 2)(3đ) <br /> <br /> 1<br /> 2<br /> <br /> Thay (1) vào (2) x 2[(1  2 y) 2  1  2 y]=0 , suy ra x  0 hoặc y  1 hoặc y   (0.5đ)<br /> Với x  0 thay vào (1) suy ra vô nghiệm (0.5đ)<br /> Với y  1 thay vào (1) suy ra x <br /> Với y  <br /> <br /> 1 2<br /> 1 2<br /> ;x<br /> (0.5đ)<br /> 2<br /> 2<br /> <br /> 1<br /> thay vào (1) suy ra x  1 ; x  1 (0.5đ)<br /> 2<br /> <br /> Kết luận nghiệm của hệ (0.5đ).<br /> Câu 3 (4đ)<br /> M  2cosA+2cos(<br /> <br /> B+C<br /> B-C<br /> A<br /> A<br /> B-C<br /> ).cos(<br /> ) = 2(1  2 sin 2 )+2sin .cos(<br /> ) .(1.0đ)<br /> 2<br /> 2<br /> 2<br /> 2<br /> 2<br /> <br /> www.vclass.hoc247.vn - Hotline: 0981 821 807<br /> <br /> Trang | 2<br /> <br /> CHƯƠNG TRÌNH BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI QUỐC GIA<br /> MÔN TOÁN NĂM 2016 - 2017<br /> <br /> Do đó 4sin 2<br /> <br /> A<br /> A<br /> B-C<br /> -2sin .cos(<br /> )-2+M=0 (0.5đ)<br /> 2<br /> 2<br /> 2<br /> 1<br /> 4<br /> <br /> Đk có nghiệm là '  0  M  cos 2 (<br /> Kết luận GTLN bằng<br /> <br /> BC<br /> )  2 (1.5đ)<br /> 2<br /> <br /> 9<br /> khi tam giác cân tại A (1.0đ)<br /> 4<br /> <br /> Câu 4 (6đ)<br /> 1) Từ giả thiết suy ra (a  b)(2 S  ab)  0 và (b  c)(2 S  cb)  0 và (a  c)(2S  ac)  0<br /> .(0.5đ)<br /> ab<br /> , tức là ABC vuông tại C (1). Nếu b  c suy ra<br /> 2<br /> ABC cân tại A (2). Từ (1) và (2) suy ra ABC có 2 góc vuông ( vô lý). Nếu c  b suy<br /> cb<br /> ra S <br /> , tức là ABC vuông tại A ( điều này mâu thuẫn với (1)).(1.5đ)<br /> 2<br /> <br /> Do đó, giả sử a  b suy ra S <br /> <br /> Nếu a  b suy ra ABC cân tại C, nếu c  b suy ra S <br /> <br /> cb<br /> , tức là ABC vuông tại A.<br /> 2<br /> <br /> Điều này vô lý.(1.0đ)<br /> Vậy a  b  c thỏa mãn các đẳng thức trên.<br /> <br /> (0.5đ).<br /> <br /> 2)(3đ)<br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> Đặt AB  a, BP  b . Khi đó AP  a  b và DN <br /> <br /> a  b  a  b <br /> a<br /> b . (1.0đ)<br /> a<br /> b<br /> <br />  <br /> <br /> AP.DN<br />  <br /> <br /> 1<br /> cos(AP,DN)= cos( AP, DN    <br /> (1.5đ)<br /> <br /> 2<br /> AP DN<br /> <br /> Kết luận góc cần tìm bằng<br /> <br /> <br /> 4<br /> <br /> www.vclass.hoc247.vn - Hotline: 0981 821 807<br /> <br /> (0.5đ).<br /> <br /> Trang | 3<br /> <br /> CHƯƠNG TRÌNH BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI QUỐC GIA<br /> MÔN TOÁN NĂM 2016 - 2017<br /> GIÁO VIÊN VÀ HUẤN LUYỆN VIÊN HÀNG ĐẦU<br /> -<br /> <br /> Học Online trực tiếp với các Thầy, Cô là chuyên gia bồi dưỡng HSG Quốc gia chuyên<br /> môn cao, giàu kinh nghiệm và đạt nhiều thành tích.<br /> Học kèm Online trực tiếp với Huấn luyện viên giỏi là các anh chị đã tham gia và đạt<br /> giải cao trong kì thi HSG Quốc gia các năm trước.<br /> Chương trình được sắp xếp hệ thống, khoa học, toàn diện giúp học sinh nắm bắt nhanh<br /> kiến thức và tối ưu kết quả học tập.<br /> <br /> CÁCH HỌC VÀ PHƯƠNG PHÁP HỌC THÚ VỊ - HIỆU QUẢ<br /> -<br /> <br /> Lớp học Online ít học sinh: Mỗi lớp từ 5 - 10 em để Giáo viên và Huấn luyện viên bám<br /> sát, hỗ trợ kịp thời cho các em nhằm đảm bảo chất lượng khóa học ở mức cao nhất.<br /> Thời gian học linh động, sắp xếp hợp lý giúp các em dễ dàng lựa chọn cho mình khung<br /> thời gian tốt nhất để học.<br /> Mỗi bài học được chia thành nhiều buổi học (mỗi bài có tối thiểu 2 buổi học):<br /> <br /> + Buổi đầu tiên huấn luyện viên hướng dẫn các em học Online trực tiếp: Phần<br /> lý thuyết, phương pháp giải toán - các ví dụ minh họa điển hình & bài tập tự luyện do giáo<br /> viên cung cấp. Trong quá trình học các em được trao đổi, thảo luận Online trực tiếp với các<br /> bạn cùng học và huấn luyện viên để nắm rõ và hiểu sâu thêm các vấn đề trong bài học.<br /> + Buổi học tiếp theo: Sau khi về nhà các em đã làm bài tập tự luyện thì ở buổi học<br /> này Huấn luyện viên sẽ đánh giá bài làm của các em và sửa bài. Trong quá trình sửa bài<br /> các em thảo luận Online trực tiếp với HLV, các bạn cùng lớp để hoàn thiện bài làm và mở<br /> rộng thêm các dạng toán mới.<br /> <br /> HỌC CHỦ ĐỘNG – HỌC THOẢI MÁI VÀ TIẾT KIỆM<br /> -<br /> <br /> Các em không cần đến lớp, không cần đi lại mất thời gian, công sức, tiền của. Hãy<br /> chọn cho mình góc học tập yên tĩnh, tập trung và 01 máy tính có kết nối internet là<br /> chúng bắt đầu học Online trực tiếp như ở lớp.<br /> Mỗi tuần học 2 buổi, có nhiều lớp học, ca học trong ngày giúp các em hoàn toàn chủ<br /> động thời gian học tập của mình.<br /> Các chuyên đề luôn được mở giúp các em có thể học nhanh chương trình, trong thời<br /> gian ngắn nhất.<br /> Kết nối với các thầy cô, huấn luyện viên Online trực tiếp giúp việc giải đáp các vấn đề<br /> nhanh hơn - hiệu quả hơn.<br /> Được kết giao với các bạn học khác là những học sinh yêu thích, đam mê và giỏi toán<br /> trên toàn quốc.<br /> Học phí phù hợp. Đội ngũ tư vấn, cskh nhiệt tình, tận tâm hỗ trợ các em trong suốt quá<br /> trình học.<br /> <br /> www.vclass.hoc247.vn - Hotline: 0981 821 807<br /> <br /> Trang | 4<br /> <br />