PHÒNG GD&ĐT ĐẠI LỘC
ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 9 (NĂM HỌC 2012-2013)
MÔN: TOÁN (Thời gian làm bài 150 phút)
Họ và tên GV ra đề: Phan Thị Thu
Đơn vị: Trường THCS Lý Thường Kiệt
Câu 1 (3 điểm)
Cho đa thức f(x) = 4 3 2
x 6x 11x 6x
+ + +
a) Phân tích đa thức f(x) thành nhân tử.
b) Chứng minh rằng với mọi số nguyên x thì f(x) + 1 luôn có giá trị là một số
chính phương.
Câu 2 (4 điểm)
a)Tìm nghiệm nguyên của phương trình:
11x – 20y = 49.
b) Cho
x 3 5 2 3 3 5 2 3
. Tính giá tr
ị của biểu thức
2
A x 2x 2
Câu 3 (5 điểm)
a) Cho x, y, z là các số thực thỏa mãn
2
2 2
3x
y yz z 1
2
+ + = - . Tìm giá trị nhỏ nhất
và giá trị lớn nhất của biểu thức
= + +
.
b) Chứng minh rằng: Nếu các số dương a, b, c có tổng a + b + c = 1 thì
1 1 1
9
a b c

Câu 4: (8 điểm)
1. Cho hình vuông ABCD và điểm P nằm trong tam giác ABC.
a) Giả sử BPC = 1350. Chứng minh rằng AP2 = CP2 + 2BP2.
b) Các đường thẳng AP và CP cắt các cạnh BC và AB tương ứng tại các điểm M
và N. Gọi Q là điểm đối xứng với B qua trung điểm của đoạn MN. Chứng minh
rằng khi P thay đổi trong tam giác ABC, đường thẳng PQ luôn đi qua D.
2. Cho tam giác ABC, lấy điểm C1 thuộc cạnh AB, A1 thuộc cạnh BC, B1 thuộc
cạnh AC. Biết rằng độ dài các đoạn thẳng AA1, BB1, CC1 không lớn hơn 1.
Chứng minh rằng SABC 3
1
(SABC là diện tích tam giác ABC).
.
……Hết……
ĐỀ ĐỀ NGHỊ