Đề thi HSG cấp huyện đợt 1 môn Toán lớp 9 năm 2015-2016 - Phòng GD&ĐT Lương Tài - Đề số 15

Chia sẻ: 01629871 01629871 | Ngày: | Loại File: DOC | Số trang:6

Thêm vào BST

Báo xấu

288
lượt xem 12
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Tài liệu tham khảo dành cho các bạn học sinh ôn thi học sinh giỏi. Đề thi HSG cấp huyện đợt 1 môn Toán lớp 9 năm 2015-2016 - Phòng GD&ĐT Lương Tài - Đề số 15 cùng với đáp án nhằm giúp các bạn luyện tập và củng cố kiến thức, phương pháp giải các bài toán.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Đề thi HSG cấp huyện đợt 1 môn Toán lớp 9 năm 2015-2016 - Phòng GD&ĐT Lương Tài - Đề số 15

UBND HUYỆN LƯƠNG TÀI ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CÁP HUYỆN ĐỢT 1 PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO Năm học 2015 2016 Môn thi: Toán Lớp 9 Thời gian làm bài:150 phút (không kể thời gian giao đề) Thí sinh không được sử dụng máy tính bỏ túi. Bài 1: ( 2 điểm) x +1 x+2 x +1 Cho biểu thức P = − − x −1 x x −1 x + x + 1 a, Rút gọn biểu thức P. 2 b, Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức Q = + x . P Bài 2: (2 điểm) a) Giải các phương trình sau: x − x +1 − x + 4 + x + 9 = 0 b) Trong mặt phẳng Oxy, cho đường thẳng (d) có phương trình ( m − 4 ) x + ( m − 3) y = 1 (m là tham số). Tìm m để khoảng cách từ gốc tọa độ đến đường thẳng (d) là lớn nhất. Bài 3: (2 điểm) x + y 2013 a) Tìm tất cả các bộ số nguyên dương ( x; y; z ) thỏa mãn là y + z 2013 số hữu tỉ, đồng thời x 2 + y 2 + z 2 là số nguyên tố. b) Tìm các số tự nhiên x, y thỏa mãn: x(1 + x + x2 ) = 4y(y 1) Bài 4: (3 điểm) Cho tam giác ABC nhọn (AB
Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm. Họ và tên thí sinh:.....................................................; Số báo danh................................
UBND HUYỆN LƯƠNG TÀI HƯỚNG DẪN CHẤM PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO Môn thi:Toán Lớp 9 TẠO Bài 1: (2điểm) Ý/Phần Đáp án Điểm a ĐKXĐ x 0; x 1 0,25 Ta có P = x + x +1− x − 2 − ( x +1)( )= x −1 − x 0,75 ( )( x −1 x + x + 1) x + x +1 b Áp dụng BĐT Cô – si ta có: Q= ( −2 x + x + 1 )+ � x = −2 − � x + 2 � 0,75 � −2 − 2 2 x � x� Vậy GTLN của Q= −2 − 2 2 khi x=2 0,25 Bài 2: (2 điểm) Ý/Phầ Đáp án Điểm n a ĐKXĐ: x 0. 0,25 x − x +1 − x + 4 + x + 9 = 0 x + 9 − x + 4 = x + 1 − x (1) 0,25 5 1 � = x+9 + x+4 x +1 + x � x + 9 + x + 4 = 5( x + 1 + x) (2) 0,25 Từ (1),(2) suy ra: x + 9 = 3 x + 1 + 2 x 3 x + 1 = 9 x + 9 x + 9 ,dấu 0,25 “=” xảy ra khi x=0. Thử lại x=0 là nghiệm pt. Vậy pt đã cho có nghiệm x=0. b Với mọi m, đường thẳng (d) không đi qua gốc toạ độ O(0; 0). m = 4, ta có đường thẳng y = 1, do đó khoảng cách từ O đến (d) là 1 (1). 0,25 m = 3, ta có đường thẳng x = 1, do đó khoảng cách từ O đến (d) là 1 (2). m 4, m 3 thì (d) cắt trục Oy, Ox lần lượt tại: � 1 � � 1 � A� 0; � và B � ; 0� . � m−3� �m − 4 � Hạ OH vuông góc với AB, trong tam giác vuông AOB, 0,25 1 1 ta có: OA = m − 3 , OB = m − 4
1 1 1 = ( m − 3) + ( m − 4 ) = 2m 2 − 14m + 25 2 2 2 = 2 + 2 OH OA OB � 7� 1 2 1 0,25 = 2 �m − �+ � 2� 2 2 Suy ra OH 2 � 2 OH 2 (3). Từ (1), (2), (3) ta có GTLN của OH là 2 , đạt được khi và 7 chỉ khi m = . 2 7 0,25 Kết luận: m = . 2 Bài 3: (2,0 điểm) Ý/Phầ Đáp án Điểm n a x + y 2013 m 0,25 Ta có y + z 2013 n = ( m, n �ﾥ * , ( m, n ) = 1 . ) nx − my = 0 x y m � nx − my =( mz − ny ) 2013 � � = = � xz = y 2 . mz − ny = 0 y z n 0,25 x 2 + y 2 + z 2 = ( x + z ) − 2 xz + y 2 = ( x + z ) − y 2 = ( x + y + z ) ( x + z − y ) 2 2 0,25 Vì x + y + z > 1 và x 2 + y 2 + z 2 là số nguyên tố nên x2 + y 2 + z 2 = x + y + z x − y + z =1 0,25 Từ đó suy ra x = y = z = 1 (thỏa mãn). b x(1 + x + x2 ) = 4y(y 1) x + x2 + x3 + 1 = 4y2 – 4y + 1 0,25 (x2 + 1)(x + 1) = (2y 1)2 (1) Do (2y 1)2 là số lẻ, gọi d = (x2 + 1,x + 1) d là số lẻ 0,25 x2 + 1 M d và (x + 1)(x – 1) M d 2 M d mà d lẻ nên d = 1 nên x2 + 1 và x + 1 nguyên tố cùng nhau với x, y là các số nguyên thì (2y 1)2 là số chính phương nên x2 + 1 và x + 1 đều là số chính phương lại có x2 và x2 + 1 là hai số chính phương liên tiếp x2 = 0 x = 0 0,25 Thay x = 0 vào phương trình (1) ta tìm được y = 0, và y =1 Vậy các cặp số tự nhiên (x,y) là (0,1); (0,0). 0,25 Bài 4: (3,0 điểm) Ý/Phần Đáp án Điểm
a A E F G O 0,25 H B M C D ? BFC ? = BEC = 900 ( cùng nhìn cạnh BC) 0,5 Suy ra B, C, E, F thuộc đường tròn đường kính BC. 0,25 b Ta có A? CD = 900 DC ⊥ AC 0,25 Mà HE ⊥ AC; suy ra BH//DC (1) 0,25 Chứng minh tương tự: CH//BD (2) 0,25 Từ (1) và (2) suy ra BHCD là hình bình hành 0,25 c Ta có M trung điểm của BC suy ra M trung điểm của HD. 0,25 Do đó AM, HO trung tuyến của ∆AHD 0,25 GM 1 0,25 G trọng tâm của ∆AHD � = AM 3 GM 1 Xét tam giác ABC có M trung điểm của BC, = AM 3 0,25 Suy ra G là trong tâm của ∆ABC Bài 5: (1,0 điểm) Ý/Phần Đáp án Điểm Do a,b,c > 0 áp dụng BĐT Cauchy , ta có : a + (b + c) 2 a(b c) a [a + (b + c)] 2a b + c a 2a  0,25 b c a b c Tương tự ta thu được : b2b c 2c , 0,25 c a a b c a b a b c a b c Cộng theo vế ta được: + + 2 0,25 b+c c+a a+b Dấu bằng của ba BĐT trên không thể đồng thời xảy ra , vì khi đó có : a = b + c , b = c + a , c = a + b nên a + b + c = 0 ( trái với giả thiết a, b, c đề là số dương ). 0,25
a b c Từ đó suy ra : 2 b c c a a b