Ọ

Ệ Ợ

Ỏ

Ệ ƯƠ

UBND HUY N L

Đ  Ề THI CH N H C SINH GI

I CÁP HUY N Đ T 1

NG TÀI Ạ

ọ

Ụ PHÒNG GIÁO D C VÀ ĐÀO T O

Ọ Năm h c 2015 ­ 2016 Môn thi: Toán ­ L p 9ớ

ể ờ

150 phút (không k  th i gian

giao

ờ Th i gian làm bài: đề) ượ ử ụ máy tính b  túiỏ .

c s  d ng

Thí sinh không đ

+

+

x

2

=

Bài 1: ( 2 đi mể )

P

x x

x x x

+ 1 + x

+ x

1

1

- - ứ ể Cho bi u th c - -

1 1 ứ

=

+

Q

x

ể ọ         a, Rút g n bi u th c P.

2 P

Bài 2: (2 đi mể )

ấ ủ ị ớ ứ ể b, Tìm giá tr  l n nh t c a bi u th c .

x

0

ả a) Gi -

=

ng trình sau: + = + + x x 4 9 ẳ b)  Trong   m t   ph ng   Oxy,   cho   đ + - -

)

(

)

ườ ng   th ng   (d)   có   ph ể ẳ ả ố ươ ừ ố ọ ng   trình   ộ ế    g c t a đ  đ n

Bài 3: (2 đi mể )

(

)

;

ấ ươ i các ph + - x 1 ặ ( m 4 x m 3 y 1  (m là tham s ). Tìm m đ  kho ng cách t ớ ẳ ườ đ ng th ng (d) là l n nh t.

x y z th a mãn  ; ỏ

+ +

x y

y z

2013 2013

2

2

+

+

ấ ả ươ a) Tìm t ộ ố t c  các b  s  nguyên d ng là

y

z

ỏ

ố ố là s  nguyên t .

Bài 4: (3 đi mể )

ờ 2 ố ữ ỉ ồ s  h u t , đ ng th i  x b) Tìm các s  t ố ự  nhiên x, y th a mãn:  x(1 + x + x2 ) = 4y(y ­1)

ườ ọ Cho tam giác ABC nh n (AB

ạ ắ ườ ng tròn (O), hai đ ạ i D.

ộ ườ ể ộ ng tròn.

ắ BE, CF c t nhau t ứ ứ ứ

ủ ể ắ ọ ạ ứ ườ ộ ế ng tròn (O) t i H. Tia AO c t đ a) Ch ng minh các đi m B, C, E, F thu c m t đ b) Ch ng minh t  giác BHCD là hình bình hành. c) G i M là trung đi m c a BC, tia AM c t HO t i G. Ch ng minh G là

ủ ọ tr ng tâm c a tam giác ABC.

Bài 5: (1 đi mể ) ả ử Gi

ố ươ ứ ằ s  a, b, c là các s  d

2(cid:0)

a cb

b ac

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) ng , ch ng minh r ng: c ba

Ế ­­­­­­­­­­ H T ­­­­­­­­­­

ộ

ả

Cán b  coi thi không gi

i thích gì thêm.

ọ

ố

H  và tên thí sinh:.....................................................; S  báo danh................................

Ấ

Ệ ƯƠ Ụ

Ẫ ƯỚ NG D N CH M H Môn thi:Toán ­ L p 9ớ

UBND HUY N L NG TÀI   PHÒNG GIÁO D C VÀ ĐÀO T OẠ

Bài 1: (2đi m)ể

x

x

0;

1

+

Ý/Ph nầ Đáp án (cid:0) (cid:0) Đi mể 0,25 a ĐKXĐ

- - -

( +

x

x

x

x

x

) 1

=

=

P

+

+

x

x x

+ - 1 (

1

x

+ x

+ x

2 ) ( 1

- Ta có 0,75 -

) ( 1 ) 1

ụ b

-

(

+ x

+ x

2

+

= -

=

x

Q

2

2 2 2

2 x

Áp d ng BĐT Cô – si ta có: ) 1 0,75 - (cid:0) - -

x V y GTLN c a Q=

� � + x � � � �   khi x=2

2 2 2

Bài 2: (2 đi m)ể

- - ủ ậ 0,25

Đáp án Đi mể Ý/Phầ n

x

0

a 0,25 -

x

x

+ + x 4 + = x 4

+ = x 9 + - x 1

=

�

+

x

x

x

�

x

x

x

)

5(

4 + = 4

5 + + 9 + + 9

(cid:0) (1) ĐKXĐ: x (cid:0) 0.  + - x 1 + - 9 0,25

+ +

(2) 0,25

x

x

x

3

9

+ (cid:0) 9

+ = 1

3

+ ,d u ấ

x 9 ệ

x ử ạ i x=0 là nghi m pt. ệ ẳ

(cid:0) ừ x 0,25

1 + + x 1 + + x 1              T  (1),(2) suy ra:  + =               1 2 9 ả “=” x y ra khi x=0. Th  l ậ V y pt đã cho có nghi m x=0. ườ ọ ớ V i m i m, đ 0).

ố ạ ộ b ng th ng (d) không đi qua g c to  đ  O(0;

(cid:0) ườ ẳ ả m = 4, ta có đ ng th ng y = 1, do đó kho ng cách t ừ

0,25 ế O đ n (d) là 1 (1). (cid:0) ườ ẳ ả ng th ng x = ­1, do đó kho ng cách

B

; 0

ừ t (cid:0) ầ ượ ạ   i: t t

=

=

OA

, OB

và ắ ụ � .  � � 0,25 m = 3, ta có đ ế  O đ n (d) là 1 (2).  m  (cid:0)  4, m  (cid:0) 1 � � A 0; �-� � m 3 � ạ 3 thì (d) c t tr c Oy, Ox l n l 1 � � -� m 4 ớ H  OH vuông góc v i AB, trong tam giác vuông AOB,

1 m 3

1 m 4

ta có: - -

2

=

+

=

+ 2

(

)

(

m 3

) = 2 m 4

+ 2m 14m 25

2

2

2

1 OH

1 OA

1 OB

- - -

=

1 2

0,25 - (cid:0)

2 ủ

(3).

2 7 1 � � + 2 m � � 2 2 � � (cid:0) � Suy ra        2OH 2 OH T  (1), (2), (3) ta có GTLN c a OH là

2 , đ t đ

ừ ạ ượ c khi và

7 2

ỉ ch  khi m = .

7 2

Bài 3: (2,0 đi m)ể

0,25 ế ậ K t lu n: m = .

Đáp án Đi mể Ý/Phầ n

*

=

=

(

)

a 0,25

(

ﾥ �

,

m n ,

) 1

m n ,

+ +

x y

y z

2013 2013

. Ta có

2

=

=

=

�

�

�

xz

y

�

( nx my mz ny

m n ) 2013

2

2

2

2

= 2

+

+

+

- (cid:0) - - (cid:0) . - 0,25 (cid:0)

= nx my = mz ny ) 2

(

)

+ xz

y

+ x

z

0 0 = 2 y

x y ( + + y x

y m = n z ) ( + - x

z

y

z

x

z

x

2

2

2

+

2 +

y

y

z

- - 0,25

2

2

1 x = + +

+

x

z

) ( = z y + + >  và  x z + y z y - + = z y

1

x

y

z

x ừ

= = =  (th a mãn).

ố ố là s  nguyên t nên (cid:0) Vì  2 x (cid:0) (cid:0) 0,25 ỏ

1 T  đó suy ra  x(1 + x + x2 ) = 4y(y ­ 1) (cid:0)

x + x2 + x3 + 1 = 4y2 – 4y + 1

b 0,25

ố ẻ ọ

(cid:0)

d là s  lố ẻ  nên d = 1

2  + 1,x + 1)  (cid:0) ẻ  2M d mà d l ớ

ố

ố

ề

ố

cùng nhau v i x, y là các s  nguyên 2  + 1 và x + 1 đ u là s  chính

ố

ươ

2 và x2  + 1 là hai s  chính ph

ế (cid:0) ng liên ti p

x2 = 0

0,25

ngươ i có x  x = 0

ượ

(x2  + 1)(x + 1) = (2y ­ 1)2  (1) Do (2y ­ 1)2  là s  l , g i d = (x  x2  + 1M d và (x + 1)(x – 1) M d (cid:0) nên x2  + 1 và x + 1 nguyên t ố thì (2y ­ 1)2 là s  chính ph ươ ng nên x ph ạ l  (cid:0) Thay x = 0 vào ph

c  y = 0, và y =1

0,25

ậ

ươ ặ ố ự V y các c p s  t

ng trình (1) ta tìm đ  nhiên  (x,y) là (0,1); (0,0).

Bài 4: (3,0 đi m)ể

0,25

Ý/Ph nầ Đáp án Đi mể

A

E

F

G

O

a

H

B

C

M

D

0,25

? BEC= = 090  ( cùng nhìn c nh BC) ườ ộ ườ ng kính BC. ạ ng tròn đ

b

ứ : CH//BD  (2)

0,5 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 ừ

ự BHCD là hình bình hành ủ ủ ể ể c

AHD

=

�

AHD

GM 1 AM 3

=

D ế ủ 0,25 0,25 0,25 D ủ ọ ? BFC Suy ra B, C, E, F thu c đ Ta có  ?A CD = 090   (cid:0) DC ^ AC Mà HE ^ AC; suy ra BH//DC  (1) ươ Ch ng minh t ng t T  (1) và (2) suy ra   Ta có M trung đi m c a BC suy ra M trung đi m c a  HD. Do đó AM, HO trung tuy n c a  (cid:0) G tr ng tâm c a

GM 1 AM 3

ABC

Bài 5: (1,0 đi m)ể

ủ ể Xét tam giác ABC có M trung đi m c a BC, 0,25 D Suy ra G là trong tâm c a ủ

Ý/Ph nầ Đáp án Đi mể

)

(cid:0) (cid:0)

+

(cid:0) ụ    Do a,b,c > 0 áp d ng BĐT Cauchy , ta có :       a + (b + c)  cba (  (cid:0)

(cid:0)  0,25 (cid:0) (cid:0) (cid:0)

ượ ự ươ c : T

2   a [a + (b + c)]  2a b c a 2 cba  ta thu đ b 2 cba

a cb ng t b ac

c ba

c 2 cba

(cid:0) (cid:0) , 0,25 (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)

b c a+ +

c a b+

(cid:0) 0,25 ộ ế ượ c: C ng theo v  ta đ 2

ấ ờ ả ể ồ

a b c+ + ủ ằ D u b ng c a ba BĐT trên không th  đ ng th i x y ra , vì khi đó có :     a = b + c , b = c + a , c = a + b nên a + b + c = 0 ( trái  ớ v i gi

ố ươ ế ả ề t a, b, c đ  là s  d ng ). thi 0,25

2(cid:0)

a cb

b ac

c ba

(cid:0) (cid:0) ừ T  đó suy ra : (cid:0) (cid:0) (cid:0)