Đề thi HSG Toán lớp 9 cấp huyện Lương Tài 2015-2016 (Đề số 2)

Ệ ƯƠ

UBND HUY N L

Ọ Ệ Ợ Ỏ Đ Ề THI CH N H C SINH GI I CÁP HUY N Đ T 1

NG TÀI Ạ

ọ

Ụ PHÒNG GIÁO D C VÀ ĐÀO T O

ể ờ

150 phút (không k th i gian

giao

ờ Th i gian làm bài: đề)

Bài 1: (2,0 đi mể )

Ọ Năm h c 2015 2016 Môn thi: Toán L p 9ớ

P =

ứ

ể Cho bi u th c

1 x

x 1 x

x 1 + x

ọ

a) Tìm x ñeå P xaùc ñònh, rút g n P.

x =

ị ủ

b) Tính giá tr c a P khi

2 3+

- - - - � � � � � : � �� . � � �

ị ủ

ẳ

ỏ

c) Tìm giá tr c a x th a mãn đ ng th c

= ứ P. x 6 x 3

x 4

ả

ươ

i các ph

ng trình

- - -

3x2

3 2

Bài 2: (2,0 đi mể ) Gi a) x 2 2

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)

b) 9 Bài 3: (2,0 đi mể ) ứ

ố ỏ

ế

a) Ch ng minh r ng n u a, b, c là ba s th a mãn a + b + c = 2015

+ + =

ộ ố ằ

ả

ộ

và

thì m t trong ba s a, b, c ph i có m t s b ng 2015.

1 a

1 b

1 c

ằ 1 2015

x 2015 y

2 y

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)

(

ố )(

)

ỏ

b) Cho x và y th a mãn

2015 2015. Tính x + y.

ạ

ộ ế ườ

ườ

Bài 4: (3,0 đi mể ) Cho tam giác ABC cân t

i A n i ti p đ

ng tròn tâm O đ

ng kính BC.

ủ

ể

ọ

ọ G i D là trung đi m c a AB, E là tr ng tâm c a tam giác ACD, G là giao

ủ

ứ

ể

đi m c a CD và AO. Ch ng minh:

a) EG // AB b) OE (cid:0)

c) SDAC + SBDO =

SABC

ọ

ủ ạ

ừ

ể

Bài 5: (1,0 đi mể ) Cho tam giác ABC có 3 góc nh n(AB < AC)

. T trung đi m D c a c nh BC,

ớ ườ

ầ ượ

ủ

ắ

ẻ ườ k đ

ng vuông góc v i đ

ng phân giác c a góc A c t AB và AC l n l

ạ

ứ

i M và N. Ch ng minh: BM = CN.

ề

ồ

ượ ử ụ

ộ

ả

3 4

Ế H T (Đ thi g m có 01 trang) ệ

Thí sinh không đ

c s d ng tài li u. Cán b coi thi không gi

i thích gì thêm.

ọ

ố

H và tên thí sinh:.....................................................; S báo danh................................

ƯỚ

Ấ

Ệ ƯƠ Ụ

Ẫ NG D N CH M H Môn thi: Toán L p 9ớ

NG TÀI UBND HUY N L PHÒNG GIÁO D C VÀ ĐÀO T OẠ

Bài 1: (2 đi m)ể

Đáp án

Đi mể

Ý/Phầ n a)

0,25

- - = > - (cid:0) P x 0, x 1 , ĐKXĐ: x 1 x x � � � � x 1 � -� : �� x �� x 1 � �+ x �

0,25

+ - - - - - - - = x x 1 x 1 : ( x x 1 ) + x 1 x 1 x

(

0,75 đi mể

x x 1 ) + 1x � x 1 � �� : � �� x � � � � � = � �

- x x + - -

(

) 2 + x 1

0,25

(cid:0) = : = = x ( - x x ) + x 1 x 1 x x 1 x

) 1 ) x 1

0,25

2 = - ớ V i x = (cid:0) (cid:0) x ) 2 3 1- x 3 1

( ( x ĐKXĐ, x = 4 - 2 3 = (

(cid:0) 3

+ 2 (

) 2 - + 3 1 1

) ( 3 3 1

0,5 đi mể

0,25

Nên P = = = . (cid:0) 3 13 - 2 3 1

ĐK: x (cid:0) 4

- 3 - 4(cid:0)x

0,25

P. x = 6 x ) 2 ( + x 1 (cid:0) - 3 - . x = 6 x 4(cid:0)x x

(cid:0) - 3 - (

) 2 x 1+

0,75 đi mể

= 6 x 4(cid:0)x

(cid:0) -

(

- 3 - (cid:0) (*)

) 2 + x 2

0,25

- = x 4 0 x + 2 x + 1 = 6 x 4(cid:0)x

- (cid:0) - (cid:0) Do ( (cid:0) x > 0; , (cid:0) x (cid:0) 4

) 2 x 2

0 x 4 0

- - =

(

ể ả Nên đ (*) x y ra thì (cid:0) x = 4 (TM ĐKXĐ)

) 2 = x 2

0,25

0 và x 4 0

ế ậ K t lu n

Bài 2: (2 đi m)ể

Đáp án

Đi mể

Ý/Phầ n a)

(1)

3x2

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)

ĐK:

0,25

03x2

(1) (cid:0)

+ = +

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)

0a1x

0,25

Đ t: ặ

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)

1 đi mể

(1)

a.b + c = b + a.c

(cid:0)

a(b c) (b c) = 0

(cid:0)

(a 1)(b c) = 0 (cid:0)

(cid:0)

0,25

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)

ớ

ả

V i a = 1

(cid:0)

x 1 = 1 (cid:0)

x = 2 (tho mãn

11x

đk)

(cid:0) (cid:0) (cid:0)

(cid:0)

x 2 = x + 3 (cid:0)

0x = 5

V i b = c

ớ vô nghi mệ

ậ

ươ

ệ

V y ph

ng trình (1) có nghi m x = 2

0,25

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)

0,25

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)

x Đ t ặ

x .9 5 3(cid:0)y (v i ớ )

9 (cid:0) 9

0,5

(cid:0) y

Khi đó, ta có:

1 đi mể

(cid:0)x

(cid:0) x y (cid:0) (cid:0) y (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) y y x 5 0 (cid:0) y x x 5 5 (cid:0) (cid:0) 5 x

ừ

ượ

ủ

ệ

ươ

T đó tìm đ

c nghi m c a ph

ng trình là:

0,25

y .4(cid:0)

Bài 3: (2 đi m)ể

Đi mể

Ý/Ph nầ a)

Đáp án 1 1 c b

+ + = + + - � ( ( ) = ) 0 1 a 1 b 1 c 1 + + a b c 1 a 1 + + a b c

�

+ a b

(

)(

= ) 0

= + � 0 + a b ab )

(

1 + + c a b c ) 2

)

+ + + c + =

+ +

� �

a b ab ac bc + a b b c c a

) 0

)(

( (

+ a b + + c a b c ( 1 ab

)( )( + = a b (cid:0) + =�(cid:0) b c (cid:0) + = c a

(cid:0)

ế ế ế

ố

ộ ố ằ

(cid:0)

2 y

ả trong 3 s a, b, c ph i có m t s b ng 0. ) =

0 0 0 +) N u a + b = 0 thì suy ra c = 2015 +) N u b + c = 0 thì suy ra a = 2015 +) N u a + c = 0 thì suy ra b = 2015 ỏ ứ Ch ng t ( 2 + + x

+ + 2015 y x 2015

)(

2015 (hai nhaân töû v.traùi phaûi

2 x

2 y

+ + = = + - x 2015 2015 y

)

1 đi mể

0,5

khaùc 0) Nên ( + 2015 2 + y 2015 y

+2 + - ươ T ng t ự + y y 2015 = 2015 x

ế ế ộ C ng v theo v , ta có

0,5

x + y + - x - y +2y 2015 + +2y 2015+ +2x 2015 = +2x 2015

(cid:0) 2(x + y) = 0 nên x + y = 0

Bài 4: (3 đi m)ể

Đáp án

Đi mể

Ý/Phầ n

1 đi mể

ẽ

V hình chính xác

0,25

ắ

ế ng trung tuy n CM, DN

ở

c aủ (cid:0) ADC chúng c t nhau

ế

ắ

ạ

ọ

i G, nên G là tr ng tâm

0,25

ứ Ch ng minh EG //AB: ườ ẻ K các đ E Hai trung tuy n AO và CD c t nhau t ABC

(cid:0)

Xét (cid:0) MCD, ta có:

(cid:0)

EG // DM hay EG // AB

0,5

(cid:0) CE CM CG CD 2(cid:0) 3

ứ

CD :

ườ

ủ

ể

0,5

ạ

(cid:0)

DN (2)

BC, mà BC // DN nên OG (cid:0) ự

(cid:0) OG (cid:0)

1 đi mể

Ch ng minh OE OD (cid:0) AB (Đ ng kính qua trung đi m D c a dây AB) Mà EG // AB nên EG (cid:0) OD (1) (cid:0) ABC cân t i A ừ T (1) và (2) suy ra G là tr c tâm hay OE (cid:0)

0,5

ứ

Ch ng minh:

SDAC + SBDO =

SABC:

(cid:0) ODE, do đó OE (cid:0)

3 4

ODC

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) S OC OA BC OA BCOA . 1 2 1 2 1 2 1 2 1 8

ABC

0,5

ODC

1 đi mể

V y Sậ

ABC = 4 SODC hay SODC =

SABC

BCOA . (cid:0) (cid:0) 4 S S BCOA . 1 2 1 2 1 8

SABC =

Ta có SDAC + SBDO = SABC – SODC = SABC –

SABC

1 4

1 4 3 4

0,5

Bài 5: (1 đi m)ể

Đáp án

Đi mể

Ý/Phầ n

0,25

ủ

ẳ

ẻ ườ

V hình chính xác Ch ng minh: BM = CN ủ ể G i K là giao đi m c a MN và đ T B k đ

1 đi mể

ạ

ừ

ườ

ườ ớ ng th ng song song v i MN nó c t AC t i A (AK v a là đ

ng phân giác c a góc A ắ ạ i P ừ ng cao v a là

(cid:0) (cid:0)

ươ

ạ

AM = AN (1)

ự (cid:0) ABP cân t

ng t

i A

AB = AP

AK.T

0,5

ừ

(cid:0)

ủ

ể

N là trung

ẽ ứ ọ ừ AMN là tam giác cân t ườ đ ng phân giác) BP//MN nên BP (cid:0) (2) BM = AM – AB ; PN = AN – AP (3) T (1),(2),(3) suy ra BM = PN (4) Trong (cid:0) BCP, D là trung đi m c a BC, DN// BP đi mể ủ c a CP hay NP = NC (5). (cid:0) BM = CN ừ T (4),(5)

0,25

ả

ể

ố

L u ý: Các cách gi

ẫ i khác đúng v n cho đi m t

i đa.

(cid:0)