Ệ ƯƠ Ọ Ọ Ề Ỏ Ấ Ệ Ợ

. UBND HUY N L

NG TÀI Đ  THI CH N H C SINH GI I C P HUY N Đ T 1

Ạ ọ Ụ PHÒNG GIÁO D C VÀ ĐÀO T O Năm h c 2015 ­ 2016

Môn thi: Toán – L p 9ớ

ể ờ ờ ề Th i gian làm bài:150 phút (không k  th i gian giao đ )

+

Bài 1: (2,0 đi m)ể

2

1

1

+

x 2

x x x

+ x

x + x

x

1

+ 1 1

� � � �

� : � � �

- ứ ể 1.Cho bi u th c A = - -

ứ ể ọ a) Rút g n bi u th c A.

0

2A<

+

=

(cid:0) ứ ằ b) Ch ng minh r ng .

2

2 + x 2 + x

2 ­ x 2 ­ x

(cid:0) ứ ớ ể 2. Cho bi u th c: v i –2 < x < 2 và  x ị ủ    0. Tính giá tr  c a -

x + 2 x ­ 2 Bài 2: (2 đi m)ể

ể ứ bi u th c .

= x

x

+ - x

2 7

6

5 30

- ả ươ 1. Gi i ph ng trình:

1): y = ( m – 1 ) x – m2 – 2m   (V i m là tham s ) ố

ườ ớ 2. Cho hai đ ẳ ng th ng  (d

(d2): y = ( m – 2 ) x – m2 – m + 1

ạ ắ c t nhau t i G.

ạ ộ ể ị a) Xác đ nh to  đ  đi m G.

ỏ ằ ộ ườ ể ộ ố ị ẳ ổ ứ b) Ch ng t r ng đi m G luôn thu c m t đ ng th ng c  đ nh khi m thay đ i.

3: Bài

2 – 1 M 24.

2

ố ố ớ ằ ơ (2 đi m)ể a/ Cho p là s  nguyên t ứ  l n h n 3. Ch ng minh r ng   p

= A n

n

6

+ +  la sô chinh ph ́

2

+

́ ̀ ́ ự ươ ̀ b/ Tim sô t nhiên n sao cho ng

y

xy

- = x

2

3

2 0

;x y  th a mãn:  ỏ

- ố c/  Tìm các s  nguyên

1

ườ ườ ằ ng tròn tâm O, đ

ẳ ế ẳ ộ

ắ Bài 4: (3 đi m)ể   Cho đ ườ đ ườ đ ố ị ng th ng d c  đ nh n m ngoài  ớ ế ẻ ườ ng th ng d, k  2 ti p tuy n MA và MB v i  ng tròn, M di đ ng trên đ ạ i I. ng tròn (O,R), OM c t AB t

ứ

ủ ị ổ ể (cid:0) MAB đ u.ề

ố ị ứ ể ằ ộ ộ a. Ch ng minh tích OI.OM không đ i. b. Tìm v  trí c a M đ   c. Ch ng minh r ng khi M di đ ng trên d thì AB luôn đi qua m t đi m c  đ nh.

Bài 5: (1 đi mể )

+

+

ố ự ươ ứ ỏ Cho  các   s   th c   d ằ   ng  x;  y;  z  th a  mãn  x  +  y  +  z  =  1.  Ch ng  minh  r ng

x + x yz

y + y zx

z + z xy

9 4

(cid:0)

…………………H TẾ .…………………..

ề ồ (Đ  thi g m có 02 trang)

ượ ử ụ ệ ộ ả Thí sinh không đ c s  d ng tài li u. Cán b  coi thi không gi i thích gì thêm.

ọ ố H  và tên thí sinh:……………………………..;S  báo danh:…………………

2

ƯỚ Ẫ Ấ H NG D N CH M

Ệ ƯƠ Ụ Môn thi: Toán – L p 9ớ NG TÀI UBND HUY N L PHÒNG GIÁO D C VÀ ĐÀO T OẠ

ướ ẫ ấ Câu ý ng d n ch m

x

x

0,

(cid:0) (cid:0) Đáp án và h 1 Điêm̉ 0,25đ a/   v i ớ

+

Ta có A =

x

2

1

1

1

+

=

.

x 2

x x x

+ x

x + x

x

2 x

+ + - x x 2 (

1

+ 1 1

1

x

x + x

+ x

- - - - 0,25đ - - - -

) ( 1

x ) 1

� � � �

� : � � �

+ x

x

=

.

-

2 x

+ x

2 + x

1

1

+ x

x

1 + x

2 ) ( 1

- - (

) 1

0,25đ 1 1

x

x

0,

1

(cid:0) (cid:0) ta luôn có   A > 0 b/    v i ớ 0,25đ

+

+ (cid:0)

(cid:0) (cid:0)

x

x

1 1

2

ạ L i có: hay A  (cid:0) 2

+

+

2 x

x

1

2A< (cid:0)

0,25đ

V y ậ 0

=

=

�

0,25đ

a b

c d

a ­ b a + b

c ­ d c + d

+

ụ ế ấ 2   Áp  d ng  tính  ch t:  N u ;  t ừ ả  gi thi ế   t

=

=

2

2 + x 2 + x

2 ­ x 2 ­ x

2 2 ­ x 2 2 + x

2 1 + 2 1

- suy ra - 0,25

2

>

=

=

+

ừ ả ế T  gi thi t  –2 < x < 2   suy ra

(

)

�

�

0

3 2 2

2 ­ x 2 + x

2 ­ x 2 + x

2 + x 2 ­ x

2 �- � 2 1 � � �+� � 2 1 �

0,25

3

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) 17 12 2 (cid:0) x x 2 2

x (cid:0)

5

- Đk: 1

5x +  + 9) = 0

= x

x

+ - x

2 7

6

5 30

- (cid:0) (x2 – 8x + 16) + (x + 5 ­ 6

5x + ­ 3)2 = 0

- =

(cid:0) 0.5đ ( x – 4)2 + (

x

=� x

4

4 0 + - =

x

5 3 0

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) . (cid:0) (cid:0) 0.5đ

ậ V y x = 4.

ộ ể ủ ệ ươ ng trình: a/  Hoành đ  đi m G là nghi m c a ph 0.5đ 2 (m­1)x ­ m2 ­ 2m = (m ­ 2)x ­ m2 ­ m + 1

(cid:0) x = m + 1

2 ­ 2m

2 ộ ể Tung đ  đi m G là: y = (m­1) (m+1) ­ m

(cid:0) y = ­2m – 1

ạ ộ ể To  đ  đi m G là (m + 1 ; ­2m ­ 1)

b/   Có y = ­2m ­ 1  =  ­2(m + 1) + 1 0.5đ

Mà x = m + 1

(cid:0) y = ­2x + 1

ươ

ạ ộ ể ố ị ng trình đ ộ ườ ườ ng th ng  y = ­2x +  ẳ ẳ ố ng th ng y = ­2x + 1 c

ả To  đ  đi m G tho  mãn ph ỏ ứ 1 c  đ nh. Ch ng t  G luôn thu c đ ổ ị đ nh khi m thay đ i

0,25 a/  Ta có  p2 – 1 = (p – 1)(p + 1)

4

ẻ ơ l n h n 3 nên p l do đó  p – 1 và  p + 1  là

M 8      (1)

ố ớ ố Vì p là s  nguyên t ế ố ẵ hai s  ch n liên ti p , suy ra (p – 1)(p + 1)

ố ự ế nhiên liên ti p  p – 1; p; p + 1 ta có  (p – 1) p(p + 1) 0,25 Xét ba s  t M3.

ố ớ ế ơ 3 l n h n 3 nên p không chia h t cho 3, 3 là

M 3           (2)

ố ố Mà p là s  nguyên t ố s  nguyên t suy ra (p – 1)(p + 1)

2 – 1 M

0,25 ừ ế ợ ớ

2

T   (1) và (2)  k t h p v i  (3, 8)=1  và  3.8 = 24 suy ra p 24 (đpcm)

*

2

= A n + + = 2 n

2

2

+

= 2

�

�

k

n

n

+ n

6 k = 24 4

k (2 )

4

4

(2

1) +

́ ươ ̣ ng nên A co dang (cid:0) b/   = A n ́ ) 0.25 ́ ̀ + +  la sô chinh ph n k N   ( 6 + 2 -

k

2

2

1 23

+

+

�

� (cid:0)

k

n

k

(2

2

1)(2

- = n 1)

2

23

k

23 + = n - = n

2

2

1 1

(cid:0) - - (cid:0)

+

�

�

0.5

- ́ ̀ + = n 1 23 2 - = n 1 1 2

̀ (Vi 23 la sô nguyên tô va 2k + 2n + 1> 2k – 2n ­1) = 6 5 ́ ́ k � � = n � ̀ ́ ̀ k 2 � � k 2 � ́ ơ ươ ̣ ̀ Vây v i n = 5 thi A la sô chinh ph ng

2

+

c/

�

�

y

xy

- = x

+ 2 x

+ xy

= 2 y

+ 2 x

2

3

2 0

2

+ x 3

2

+ x (

= 2 y )

+ x (

+ x 1)(

2)

- 0,25đ

(*)

ủ ố ươ ủ ủ VT c a (*) là s  chính ph ố ng; VP c a (*) là tích c a 2 s

+ =

= -

�

�

+ =

= -

=� y =� y

1 0 2 0

1 2

1 2

x � � x �

x � � x �

x y = - ( ; )

( 1;1)

x y = - )

( 2; 2)

ố ằ ế ả nguyên liên ti p nên ph i có 1 s  b ng 0. 0,25đ

ặ ố ậ V y có 2 c p s  nguyên ho c ặ ( ;

5

4

A

O

I

K

B

(d)

M H

ẽ ế V  hình đúng đ n câu a

ế ủ ườ ế ng tròn (O,R) a)  Vì MA, MB là hai ti p tuy n c a đ

0,25đ (cid:0) OA (cid:0) MA OB (cid:0) MB ;

(cid:0) (cid:0) ứ ượ ừ OAM (cid:0) OBM Ch ng minh đ c t đó suy ra   MA = MB

0,25đ ườ ự ủ ạ ẳ   ng trung tr c c a đo n th ng

ạ L i có  OA=OB  suy ra OM là đ AB

(cid:0) OM (cid:0) AB 0,25đ

(cid:0) ạ ườ (cid:0) OMB vuông t i B có BI là đ ng cao

(cid:0) OB2 = OI.OM

(cid:0) OI.OM = R2 không đ i.ổ

ạ ứ i M (ch ng minh trên) b)  (cid:0) AMB cân t 0,5đ

0  (cid:0)

ề Đ  ể (cid:0) AMB đ u thì góc AMB = 60 góc BMO = 300 0,25đ

(cid:0) OBM vuông t

(cid:0) ạ i B có OB = 0,5 OM

6

(cid:0) OM = 2.OB = 2R

ậ ế       K t lu n 0,5đ

(cid:0) d, H (cid:0) OIK

ắ ạ H c  đ nh, OH c t AB t i K. (cid:0) (cid:0) ứ ạ ẻ c/    K  OH   Ch ng minh d   (cid:0) và  OHM ố ị ồ đ ng d ng

(cid:0) OH.OK = OI. OM = R2 không đ iổ 0,25đ (cid:0) ố ị ổ OK không đ i, K OH 0,25đ ổ (cid:0)  Mà O, H c  đ nh nên OH không đ i  ố ị c  đ nh

0,25đ (cid:0) ố ị  K c  đ nh

0,25đ

Ta có  x + yz = x(x + y + z) + yz = (x + y)(z + x).

0.25đ ươ ự T ng t ta có  y + zx = (x + y)(y + z);  z + xy = (y + z)(z + x)

Do đó:

+

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) x y z y yx ( ) ) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) x zx z x z ( zy ( yy )( x ) z )( xz ( x ) 0,25đ (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) yz x z xyz (2 xy x ) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) 5 z x x y yy )( yy )( z z )( z )( ) (

2

2

+

+

2xyz + (x y)(y z)(z x)

1 + = 4

9 4

+

+

+

=

(cid:0) ụ = ( vì áp d ng BĐT Côsi cho hai 0,25đ

(x y)(y z)(z x) 2 xy.2 yz.2 zx

8xyz

= = =

�

(cid:0) ố ươ s  d ng ta có: ))

x

y

z

1 3

0,25đ ứ ả ẳ Đ ng th c x y ra .

…………………H TẾ .…………………..

7

8