Đề thi HSG cấp huyện đợt 1 môn Toán lớp 9 năm 2015-2016 - Phòng GD&ĐT Lương Tài - Đề số 3

Chia sẻ: 01629871 01629871 | Ngày: | Loại File: DOC | Số trang:8

Thêm vào BST

Báo xấu

93
lượt xem 5
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Tham khảo Đề thi HSG cấp huyện đợt 1 môn Toán lớp 9 năm 2015-2016 Phòng GD&ĐT Lương Tài Đề số 3 dành cho các em học sinh đang chuẩn bị cho kỳ kiểm tra, qua đó các em sẽ được làm quen với cấu trúc đề thi và củng cố lại kiến thức căn bản nhất.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Đề thi HSG cấp huyện đợt 1 môn Toán lớp 9 năm 2015-2016 - Phòng GD&ĐT Lương Tài - Đề số 3

. UBND HUYỆN LƯƠNG TÀI ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN ĐỢT 1 PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO Năm học 2015 2016 Môn thi: Toán – Lớp 9 Thời gian làm bài:150 phút (không kể thời gian giao đề) Bài 1: (2,0 điểm) �x+2 x 1 � x −1 1.Cho biểu thức A = � � + + �: �x x − 1 x + x +1 1− x � � 2 a) Rút gọn biểu thức A. b) Chứng minh rằng 0 < A 2 . 2 + x + 2 x 2. Cho biểu thức: = 2 với –2
Bài 4: (3 điểm) Cho đường tròn tâm O, đường thẳng d cố định nằm ngoài đường tròn, M di động trên đường thẳng d, kẻ 2 tiếp tuyến MA và MB với đường tròn (O,R), OM cắt AB tại I. a. Chứng minh tích OI.OM không đổi. b. Tìm vị trí của M để MAB đều. c. Chứng minh rằng khi M di động trên d thì AB luôn đi qua một điểm cố định. Bài 5: (1 điểm) Cho các số thực dương x; y; z thỏa mãn x + y + z = 1. Chứng minh rằng x y z 9 + + x + yz y + zx z + xy 4 …………………HẾT.………………….. (Đề thi gồm có 02 trang) Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm. Họ và tên thí sinh:……………………………..;Số báo danh:………………… 2
UBND HUYỆN LƯƠNG TÀI HƯỚNG DẪN CHẤM PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO Môn thi: Toán – Lớp 9 Câu ý Đáp án và hướng dẫn chấm Điêm̉ a/ với x 0, x 1 0,25đ Ta có A = �x+2 x 1 � x −1 x + 2 + x − x − x − x −1 2 � + + �: 2 = �x x − 1 x + x + 1 1 − x � . 0,25đ � � x − 1 x + x + 1 x −1 ( )( ) x − 2 x +1 2 2 . = 1 ( )( x −1 x + x +1 ) x −1 x + x + 1 0,25đ 1 b/ với x 0, x 1 ta luôn có A > 0 0,25đ 2 Lại có: x + x + 1 1 2 hay A 2 x + x +1 0,25đ Vậy 0 < A 2 0,25đ 2 Áp dụng tính chất: Nếu a = c � a b = c d ; từ giả thiết b d a + b c + d 2 + x + 2 x 2 2 x 2 −1 = 2 suy ra = 2 + x − 2 x 2 2 + x 2 +1 0,25 Từ giả thiết –2
x 2 17 12 2 x 2 1 Đk: x −5 x 2 − 7 x = 6 x + 5 − 30 (x2 – 8x + 16) + (x + 5 6 x + 5 + 9) = 0 ( x – 4)2 + ( x + 5 3)2 = 0 0.5đ x−4 =0 � x = 4 . x+5 −3= 0 0.5đ Vậy x = 4. a/ Hoành độ điểm G là nghiệm của phương trình: 0.5đ 2 (m1)x m2 2m = (m 2)x m2 m + 1 x = m + 1 2 Tung độ điểm G là: y = (m1) (m+1) m2 2m y = 2m – 1 Toạ độ điểm G là (m + 1 ; 2m 1) b/ Có y = 2m 1 = 2(m + 1) + 1 0.5đ Mà x = m + 1 y = 2x + 1 Toạ độ điểm G thoả mãn phương trình đường thẳng y = 2x + 1 cố định. Chứng tỏ G luôn thuộc đường thẳng y = 2x + 1 cố định khi m thay đổi a/ Ta có p2 – 1 = (p – 1)(p + 1) 0,25 4
Vì p là số nguyên tố lớn hơn 3 nên p lẻ do đó p – 1 và p + 1 là hai số chẵn liên tiếp , suy ra (p – 1)(p + 1) M 8 (1) Xét ba số tự nhiên liên tiếp p – 1; p; p + 1 ta có (p – 1) p(p + 1) 0,25 M3. 3 Mà p là số nguyên tố lớn hơn 3 nên p không chia hết cho 3, 3 là số nguyên tố suy ra (p – 1)(p + 1) M 3 (2) 0,25 Từ (1) và (2) kết hợp với (3, 8)=1 và 3.8 = 24 suy ra p2 – 1 M 24 (đpcm) b/ A = n 2 + n + 6 la sô chinh ph ̀ ́ ́ ương nên A co dang ́ ̣ A = n 2 + n + 6 = k 2 (k N*) � 4n 2 + 4n + 24 = 4k 2 � (2k ) 2 − (2n + 1) 2 = 23 0.25 2k + 2n + 1 = 23 � (2k + 2n + 1)(2k − 2n − 1) = 23 � 2k − 2n − 1 = 1 (Vi 23 la sô nguyên tô va 2k + 2n + 1> 2k – 2n 1) ̀ ̀ ́ ́ ̀ 0.5 �2k + 2n + 1 = 23 �k =6 �� 2k − 2n − 1 = 1 �n=5 ̣ ơi n = 5 thi A la sô chinh ph Vây v ́ ̀ ̀ ́ ́ ương c/ y 2 + 2 xy − 3 x − 2 = 0 � x 2 + 2 xy + y 2 = x 2 + 3x + 2 � ( x + y ) 2 = ( x + 1)( x + 2) 0,25đ (*) VT của (*) là số chính phương; VP của (*) là tích của 2 số nguyên liên tiếp nên phải có 1 số bằng 0. 0,25đ x +1 = 0 � x = −1 � y = 1 � �� x+2=0 � x = −2 � y = 2 � Vậy có 2 cặp số nguyên ( x; y ) = (−1;1) hoặc ( x; y ) = (−2; 2) 5
4 A O I K B (d) M H Vẽ hình đúng đến câu a a) Vì MA, MB là hai tiếp tuyến của đường tròn (O,R) 0,25đ OB MB ; OA MA Chứng minh được OAM OBM từ đó suy ra MA = MB 0,25đ Lại có OA=OB suy ra OM là đường trung trực của đoạn thẳng AB OM AB 0,25đ OMB vuông tại B có BI là đường cao OB2 = OI.OM OI.OM = R2 không đổi. b) AMB cân tại M (chứng minh trên) 0,5đ Để AMB đều thì góc AMB = 600 góc BMO = 300 0,25đ OBM vuông tại B có OB = 0,5 OM 6
OM = 2.OB = 2R Kết luận 0,5đ c/ Kẻ OH d, H d H cố định, OH cắt AB tại K. Chứng minh OIK và OHM đồng dạng OH.OK = OI. OM = R2 không đổi 0,25đ Mà O, H cố định nên OH không đổi OK không đổi, K OH 0,25đ cố định 0,25đ K cố định 0,25đ Ta có x + yz = x(x + y + z) + yz = (x + y)(z + x). Tương tự ta có y + zx = (x + y)(y + z); z + xy = (y + z)(z + x) 0.25đ Do đó: x y z x( y z ) y ( z x) z ( x y ) x yz y zx z xy ( x y )( y z )( z x) 0,25đ 2 (x y )( y z )( z x) xyz 5 ( x y )( y z )( z x) 2xyz 1 9 = 2 + 2+ = ( vì áp dụng BĐT Côsi cho hai (x + y)(y + z)(z + x) 4 4 0,25đ số dương ta có: (x + y)(y + z)(z + x) 2 xy.2 yz.2 zx = 8xyz )) 1 Đẳng thức xảy ra � x = y = z = . 0,25đ 3 …………………HẾT.………………….. 7
8