Đề thi HSG năm 2011 - 2012 môn Toán 11

ĐỀ THI HSG NĂM 2011- 2012<br /> Môn Thi : Toán 11<br /> Thời gian làm bài : 180 phút<br /> Câu I( 1 điểm): Giải phương trình<br /> (sin 2 x  sin x  4) cos x  2<br /> 0<br /> 2sin x  3<br /> <br /> Câu II(2 điểm):<br /> 1/ Từ các chữ số 1;2;3;4;5;6 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có 3 chữ số<br /> đôi một khác nhau sao cho mỗi số đó chia hết cho 3.<br /> 2/ Tìm số nguyên dương n sao cho:<br /> <br /> C<br /> <br /> 1<br /> 2 n 1<br /> <br /> 2<br /> <br /> 3<br /> <br /> 2 n 1<br /> <br />  2.2C 2n 1  3.22 C 2 n1  ...  (2n  1).22 n C 2 n1  2011<br /> <br /> Câu III(2 điểm) : Cho hàm số: y   x3  3 x 2  2 (C)<br /> 1/ Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) biết tiếp tuyến song song với<br /> đường thẳng y  9 x  2011 .<br /> 2/ Tìm tất cả các điểm thuộc đồ thị (C ) mà qua đó kẻ được một và chỉ một tiếp<br /> tuyến với đồ thị ( C ).<br /> Câu IV(2 điểm):<br /> 1/ Chứng minh phương trình :<br /> 2 x 4  mx3  nx 2  px  2011  0 có ít nhất 2 nghiệm với  m,n,p  R<br /> 2/ Tính :<br /> <br /> Lim<br /> x 1<br /> <br /> x 2  3  2011x  2009<br /> x 1<br /> <br /> Câu V( 3 điểm) : Cho hình chóp S.ABCD đáy là hình thoi tâm O, cạnh a, góc<br /> BAD=600 ; SO vuông góc với mặt phẳng (ABCD); SO <br /> <br /> 3a<br /> . Gọi E là trung<br /> 4<br /> <br /> điểm của AD, F là trung điểm của DE.<br /> 1/ Chứng minh (SOF)  (SAD).<br /> 2/ Tính khoảng cách từ O và C đến mặt phẳng (SAD).<br /> 3/ Gọi   là mặt phẳng qua BC và vuông góc với mặt phẳng (SAD). Xác định<br /> thiết diện của hình chóp với mặt phẳng   . Tính diện tích của thiết diện này.<br /> <br /> .........................Hết…………….<br /> <br /> Đáp án đề thi HSG môn toán lớp 11 lần 2 (2010-2011)<br /> Câu<br /> I<br /> <br /> Nội dung<br /> Xét phương trình:<br /> Điều kiện: sin x  <br /> <br /> ( Sin2 x  sin x  4) cos x  2<br /> 2sin x  3<br /> <br />  0 (1)<br /> <br /> Điểm<br /> 0,25<br /> <br /> 3<br /> 2<br /> <br /> 1<br /> 2<br /> 1<br /> 1<br />  sin2x(cosx- )+4(cosx- )=0<br /> 2<br /> 2<br /> 1<br />  (cosx- )(sin2x+4)=0<br /> 2<br /> <br />  x=   k 2<br /> 3<br /> <br /> Phương trình (1)  sin2x.cosx- sin2x+4cosx-2=0<br /> <br /> <br /> 3<br /> <br /> Đối chiếu với điều kiện: x=  k 2<br /> <br /> 0,5<br /> <br /> 0,25<br /> <br /> <br /> 3<br /> <br /> Vậy phương trình có nghiệm: x=  k 2<br /> II<br /> 1<br /> <br /> 2<br /> <br /> .Đặt A= {1;2;3;4;5;6}<br /> .Các tập hợp con của A gồm có 3 phần tử và tổng của các phần<br /> tử đó chia hết cho 3 là:<br /> {1;2;3}, {1;2;6}, {2;3;4}, {1;3;5}, {1;5;6},{2;4;6}, {3;4;5},<br /> {4;5;6}.<br />  Có 8 tập<br /> Ứng với mỗi tập hợp trên ta có thể lập được<br /> 3=3.2.1=6 (số) thỏa mãn yêu cầu bài toán<br /> Vậy có 8.6=48 số cần tìm<br /> Ta có (1  x) 2n1  c20n 1  c12 n1.x  c22n1.x 2  c23n1.x3  ....  c22nn11.x 2n1 (1)<br /> Lấy đạo hàm cả hai vế của (1) theo x ta được<br /> <br /> 0,5<br /> <br /> 0,5<br /> <br /> 0,25<br /> 0,5<br /> <br /> (2 n  1)(1  x) 2 n ( 1)  c12 n 1  2c22n 1.x  3.c23n 1.x 2  ....  (2n  1).c22nn11.x 2 n<br /> <br />  (2 n  1)(1  x) 2 n  c12 n 1  2c22n 1 .x  3.c23n 1.x 2  ....  (2n  1).c22nn11.x 2 n (2)<br /> <br /> Cho x=2 vào hai vế của (2) ta được:<br /> 1<br /> 2 n 1<br /> <br /> 2n  1  c<br /> <br />  ......  (2 n  1).c<br /> <br /> 2 n 1<br /> 2 n 1<br /> <br /> .2<br /> <br /> 0,25<br /> <br /> 2n<br /> <br /> Khi đó: 2n+1=2011  n=1005.<br /> Vậy n=1005.<br /> Đường thẳng  song song với đường thẳng y=-9x+2011 có 0,25<br /> phương trình dạng y= -9x+m (m  2011)<br /> Đường thẳng  là tiếp tuyến của (c )  hệ phương trình<br /> 0,25<br /> 3<br /> 2<br /> <br />  x  3 x  2  9 x  m<br /> <br /> 2<br />  3 x  6 x  9<br /> <br /> có nghiệm<br /> <br />  x  1<br /> <br /> Giải (2): <br /> x  3<br /> Nếu x=-1 thì thế vào phương trình (1) ta được m=-7 (thỏa mãn).<br />  phương trình tiếp tuyến: y=-9x-7.<br /> Nếu x=3 thì m=25( thỏa mãn)<br />  phương trình tiếp tuyến: y= -9x+25<br /> Vậy có 2 phương trình tiếp tuyến:y=-9x-7,y= -9x+25.<br /> 2<br /> <br /> 0,5<br /> <br /> 0,25<br /> Goi M(x0,f(x 0)  (c ); f(x0)=  x03  3 x02  2 .<br /> Đường thẳng  với hệ số góc k đi qua điểm M(x0,f(x0) có<br /> phương trình là: y= k(x-x0)+ f(x0)<br /> 0,25<br />  là tiếp tuyến của (c )  hệ phương trình<br /> 3<br /> 2<br /> <br />  x  3 x  2  k ( x  x0 )  f ( x0 )<br /> có nghiệm<br /> <br /> 2<br />  3 x  6 x  1<br /> <br />  (x-x0)[-2x2+(x0+3)x+x02-3x0]=0<br />  x  x0<br />  <br /> 2<br /> 2<br />  g ( x)  2 x  ( x0  3) x  x0  3 x0  0<br /> <br /> 0,5<br /> <br /> = (x0+3)2+8(x02-3x0)=9x02-18x0+9=9(x0-1)2>0<br /> Yêu cầu bài toán  g(x)=0 có nghiệm kép x=x0<br />   0<br /> <br />    x0  3<br />  x 0=1 M(1;0)<br />  4  x0<br /> <br /> Vậy M(1;0)<br /> IV<br /> 1<br /> <br /> Xét phương trình:<br /> Xét hàm số:<br /> <br /> 2 x 4  mx3  nx 2  px  2011  0 (1)<br /> f ( x)  2 x 4  mx3  nx 2  px  2011<br /> <br /> lim f ( x)  lim (2 x 4  mx 3  nx 2  px  2011)  <br /> <br /> x <br /> <br /> x <br /> <br />   b>0 sao cho f(b)