S
Ở GIÁO DỤC & Đ
ÀO T
ẠO B
ÌNH
Đ
ỊNH
TRƯỜNG THPT NGUYỄN DU

Đ
Ư
ỜNG
NĂM HỌC 2018 – 2019
MÔN TOÁN LỚP 11
Thời gian làm bài 180 phút
Bài 1 : (6đ) Giải các phương trình sau :
1) 3
tg x tgx 1
4
2)
3 3
cos x sin x
2cos 2x
sin x cos x
Bài 2 : (3đ) Chứng minh rằng :
4 4 4
a b c abc a b c
Bài 3 : (3đ) Trong mp Oxy , cho điểm K(3;4) và đường tròn (C) : x2 + y2 – 6x + 2y – 6 = 0
.Viết phương trình đường tròn (C’) tâm K cắt (C) tại hai điểm A , B sao cho AB là cạnh hình vuông
có 4 đỉnh thuộc (C)
Bài 4 : (4đ) Giải hệ phương trình :
2 2
2 (1)
2 1 2 2 (2)
xy x y x y
x y y x x y
Bài 5 : (4đ) Một bài trắc nghiệm có 10 câu hỏi, mỗi câu hỏi có 4 phương án lựa chọn trong đó
có 1 đáp án đúng. Giả sử mỗi câu trả lời đúng được 5 điểm và mỗi câu trả lời sai bị trừ đi 2 điểm.
Một học sinh không học bài nên đánh hú họa một câu trả lời. Tìm xác suất để học sinh này nhận
điểm dưới 1.
ĐÁP ÁN ĐỀ THI HSG – KHỐI 11 – MÔN TOÁN – NH 2018-2019
Bài 1 :
1)
2
3
3
3
3 2
tgx 1
tgx 1
tg x tgx 1 tgx 1 tgx 1 1 0
4 tgx 1 tgx 1
tgx 1 tgx 1
tgx 0
tg x 4tg x 5tgx 0
2) ĐK: sin x 0
k2 x k2
cos x 0 2
PT cosx sin x 1 sin x cos x 2 cos x sin x sinx cos x 0
cos x sin x 0
1 sin x cos x 2 cos x sin x sinx cos x
Mà
sin x cos x 1; sin x cos x 1 2 cos x sin x sinx cos x 2
1 3
1 sin x cos x 1 sin 2x
2 2
Vậy PT có nghiệm duy nhất
x k2
4
Bài 2 : Ta có :
4 4 2 2
4 4 2 2
4 4 2 2
4 4 4 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
a b 2a b
b c 2b c
a c 2a c
2 a b c a b b c a b a c b c a c 2 ab c a bc abc 2abc a b c
Bài 4 : ĐK:
1, 0
x y
(1) 2 2
( ) ( ) ( )( 1 ) 0
y x y x y x y x y y x y
TH 1.
0
x y
(loại do
1, 0
x y
)
TH 2.
2 1 0 2 1
y x x y
thế vào pt (2) ta được
(2 1) 2 2 4 2 2 ( 1) 2 2( 1)
y y y y y y y y y
1 0
1
2
2 2
yy
y
y
. Do
0 2
y y
. Vậy hệ có nghiệm
( ; ) (5;2)
x y
- Chú ý. Do có thể phân tích được thành tích của hai nhân tử bậc nhất đối y (hay x) nên có thể giải pt
(1) bằng cách coi (1) là pt bậc hai ẩn y (hoặc x).
Bài 5 : Ta có xác suất để học sinh trả lời câu đúng là
1
4
và xác suất trả lời câu sai là
3
4
.
- Gọi
x
là số câu trả lời đúng, khi đó số câu trả lời sai là 10
x
- Số điểm học sinh này đạt được là :
4 2(10 ) 6 20
x x x
- Nên học sinh này nhận điểm dưới 1 khi
21
6 20 1
6
x x
- Mà
x
nguyên nên
x
nhận các giá trị:
0,1, 2, 3
.
- Gọi
i
A
(
0,1, 2,3
i) là biến cố: “Học sinh trả lời đúng
i
câu”
- A là biến cố: “ Học sinh nhận điểm dưới 1”
- Suy ra:
0 1 2 3
A A A A A
và
0 1 2 3
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
P A P A P A P A P A
- Mà:
10
10
1 3
( ) . 4 4
i i
i
i
P A C nên
10
3
10
0
1 3
( ) . 0,7759
4 4
i i
i
i
P A C .