Thứ Ba, ngày 18 tháng 7 năm 2017
Bài 1. Với mỗi số nguyên
0
1,
a
xét dãy số nguyên dương
01 2
,, , ...
aa a
xác định
bởi:
1
3trong
nn
n
n
a a
aa
nÕu lµ sè nguyªn,
trêng hîp ngîc l¹i,
với mỗi số nguyên n 0.
Hãy xác định tất cả các số
0
a
sao cho tồn tại số A mà
n
aA
với vô hạn số n.
Bài 2. Kí hiệu
là tập số thực. Hãy tìm tất cả các hàm số
:f
sao cho với
mọi số thực x và y,
(( ) ( )) ( ) ( ).
ff x f y f x y f xy
Bài 3. Một cô thợ săn và một con thỏ tàng hình chơi trò chơi sau trên mặt phẳng.
Điểm xuất phát
0
A
của con thỏ và điểm xuất phát
của cô thợ săn trùng nhau. Sau
n – 1 lượt chơi, con thỏ ở điểm
1
n
A
và cô thợ săn ở điểm
1.
n
B
Ở lượt chơi thứ n,
có ba điều lần lượt xảy ra theo thứ tự dưới đây:
(i) Con thỏ di chuyển một cách không quan sát được tới điểm
sao cho
khoảng cách giữa
1
n
A
và
bằng đúng 1.
(ii) Một thiết bị định vị thông báo cho cô thợ săn về một điểm
,
n
P
đảm bảo
khoảng cách giữa
n
P
và
n
A
không lớn hơn 1.
(iii) Cô thợ săn di chuyển một cách quan sát được tới điểm
sao cho khoảng
cách giữa
1
n
B
và
bằng đúng 1.
Hỏi điều sau đây sai hay đúng: cho dù con thỏ có di chuyển như thế nào và các điểm
được thiết bị định vị thông báo có là những điểm nào, cô thợ săn luôn có thể chọn
cho mình cách di chuyển sao cho sau
9
10
lượt chơi, cô ta có thể khẳng định chắc
chắn rằng khoảng cách giữa mình và con thỏ không vượt quá 100?
Language: Vietnamese Thời gian làm bài: 4 giờ 30 phút
Mỗi bài toán được cho tối đa 7 điểm
Vietnamese (vie), day 1
Thứ Tư, ngày 19 tháng 7 năm 2017
Bài 4. Cho R và S là hai điểm phân biệt trên đường tròn sao cho RS không phải là
đường kính. Cho là tiếp tuyến tại R của . Lấy điểm T sao cho S là trung điểm của
đoạn thẳng RT. Lấy điểm J trên cung nhỏ
RS
của sao cho đường tròn ngoại tiếp
của tam giác JST cắt tại hai điểm phân biệt. Gọi A là giao điểm gần R nhất của
và . Đường thẳng AJ cắt lại tại K. Chứng minh rằng KT tiếp xúc với .
Bài 5. Cho số nguyên N 2. Có N(N 1) cầu thủ bóng đá, trong đó không có hai
người nào có cùng chiều cao, đứng thành một hàng ngang. Ngài Alex muốn đưa
N(N – 1) cầu thủ ra khỏi hàng sao cho ở hàng ngang mới nhận được, gồm 2N cầu
thủ còn lại, N điều kiện sau được đồng thời thỏa mãn:
(1) không có cầu thủ nào đứng giữa hai cầu thủ cao nhất,
(2) không có cầu thủ nào đứng giữa cầu thủ cao thứ ba và cầu thủ cao thứ tư,
(N) không có cầu thủ nào đứng giữa hai cầu thủ thấp nhất.
Chứng minh rằng Ngài Alex luôn có thể làm được điều đó.
Bài 6. Cặp có thứ tự các số nguyên (x, y) được gọi là điểm nguyên thủy nếu ước số
chung lớn nhất của x và y bằng 1. Cho tập S gồm hữu hạn điểm nguyên thủy. Chứng
minh rằng tồn tại số nguyên dương n và các số nguyên
12
,, ..., n
aa a
sao cho với mỗi
điểm (x, y) thuộc S, ta có:
12 2 1
0 1 2 1
... 1.
nn n n n
n n
ax a x y a x y a xy a y
Language: Vietnamese Thời gian làm bài: 4 giờ 30 phút
Mỗi bài toán được cho tối đa 7 điểm
Vietnamese (vie), day 2