KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT
HÀ NỘI
(2008-2009) – ĐỀ CHÍNH THỨC
Môn: Toán
Ngày thi: 18 – 6 – 2008
Bài 1 ( 2,5 điểm )
Cho biểu thức: 1:
1
x x
P
x x x x
1) Rút gọn P
2) Tìm giá trị của P khi x = 4
3) Tìm x để
13
3
P
Bài 2 ( 2,5 điểm ) Giải bài toán sau bằng cách lập phương trình:
Tháng thứ nhất hai tổ sản xuất được 900 chi tiết máy. Tháng tjhứ hai tổ I vươt mức 15% và tổ II
vượt mức 10% so với tháng thứ nhất, vì vậy hai tổ đã sản xuất được 1010 chi tiết máy. Hỏi tháng
thứ nhất mỗi tổ sản xuất được bao nhiêu chi tiết máy?
Bài 3 ( 3,5 điểm ) Cho parabol (P):
2
1
4
y x
và đường thẳng (d): y = mx + 1
1) Chứng minh với mọi giá trị cả m đường thẳng (d) luôn cắt parabol (P) tại hai điểm phân biệt.
2) Gọi A, B là hai giao điểm của (d) và (P). Tính diện tích tam giác OAB theo m (O là gốc tọa độ)
Bài IV (3,5 điểm )
Cho đường tròn (O) có đường kính AB = 2R và E là điểm bất kì trên đường tròn đó (E khác A và
B). Đường phân giác góc AEB cắt đoạn thẳng AB tại F và cắt đường tròn (O) tại điểm thứ hai là K.
1) Chứng minh tam giác KAF đồng dạng với tam giác KEA
2) Gọi I là giao điểm của đường trung trực đoạn EF với OE, chứng minh đường tròn (I) bán kính IE
tiếp xúc với đường tròn (O) tại E và tiếp xúc với đường thẳng AB tại F.
3) Chứng minh MN // AB, trong đó M và N lần lượt là giao điểm thứ hai của AE, BE với đường
tròn (I).
4) Tính giá trị nhỏ nhất của chu vi tam giác KPQ theo R khi E chuyển động trên đường tròn (O), với
P là giao điểm của NF và AK; Q là giao điểm của MF và BK.
Bài V ( 0,5 điểm )
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A,
4 4 2
1 3 6 1 ( 3)
A x x x x
----------HẾT ----------
ĐÁP ÁN KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT HÀ NỘI 2008- 2009
Bài I.Cho biểu thức xx
x
x
x
x
P
:
1
1
a) Rút gọn P
x
xx
P
x
xx
xx
xxx
xx
P
xx
x
xx
xx
xx
x
x
x
x
P
1
1.
1
1
1
1
:
1
1
1
:
1
1
:
1
1
b) Tính giá trị của P khi x = 4
Với x = 4 thì
2
7
4
144
P
c) Tìm x để
3
13
P
Đkxđ: x>0
031031313
3
131
3
13
xxxxx
x
xx
P
(1)
Đặt tx ; điều kiện t > 0
Phương trình (1)
0
3
10
3
2
t
t
; Giải phương trình ta được
3
1
3
t
t
(thoả mãn điều kiện)
*) Với t = 3 93 xx
*) Với
9
1
3
1
3
1 xxt
Bài II. Giải bài toán bằng cách lập phương trình
Gọi số chi tiết máy tổ thứ nhất làm được trong tháng đầu là x (xN*; x < 900; đơn
vị:chi tiết máy)
Số chi tiết máy tổ thứ hai làm được trong tháng đầu là 900-x (chi tiết máy)
Tháng thứ hai tổ I làm vượt mức 15% so với tháng thứ nhất nên tổ I làm được
115%x=1,15x (chi tiết máy)
Tháng thứ hai tổ II làm vượt mức 10% so với tháng thứ nhất nên tổ II làm được
110%(900-x)=1,1(900-x) (chi tiết máy)
Tháng thứ hai cả hai tổ làm được 1010 chi tiết máy nên ta có phương trình:
1,15x + 1,1(900-x) = 1010
1,15x + 1,1.900 – 1,1.x = 1010
0,05x = 20
x = 20:0,05
x = 400 (thoả mãn điều kiện)
vậy tháng thứ nhất tổ I sản xuất được 400 chi tiết máy
tổ II sản xuất được 900 – 400 = 500 chi tiết máy.
Bài III. Cho Parabol (P) 2
4
1xy và đường thẳng (d) y = mx + 1
1) Chứng minh với mọi giá trị của m đường thẳng (d) luôn cắt parabol (P) tại
hai điểm phân biệt.
Xét phương trình hoành độ giao điểm của (d) và (P):
(*)0441
4
122 mxxmxx
Học sinh có thể giải theo một trong hai cách sau:
Cách 1. mmm
0444)2(' 22
(*) luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi giá trị của m (d) luôn cắt (P) tại hai
điểm phân biệt với mọi giá trị của m.
Cách 2. Vì a.c = 1. (-4) = -4 <0 m
(*) luôn có hai nghiệm phân biệt trái dấu với mọi giá trị của m (d) luôn cắt
(P) tại hai điểm phân biệt với mọi giá trị của m.
2) Gọi A, B là hai giao điểm của (d) và (P). Tính diện tích tam giác OAB theo m
(O là gốc toạ độ)
3,5
3
2,5
2
1,5
1
0,5
-0,5
-1
-1,5
-3
-2
-1
1 2
3
y2
y2
x2
-x1
O
A
B
D
C
Vì phương trình hoành độ giao điểm có hai nghiệm phân biệt trái dấu nên đồ thị
hai hàm số có dạng trên.
Gọi toạ độ điểm
1 1 2 2
( ; ); ( ; )
A x y B x y
; giả sử x1 < 0 < x2
Gọi hình chiếu vuông góc của B, A lên Ox lần lượt là C, D
Ta có:
2
11
2
22
121122
4
1
;
4
1
;;
xyADxyBC
xxODOCCDxxODxxOC
Ta có
21211
2
22
2
1
3
1
3
212
2
1
2
2
2
11
2
22
12
2
1
2
2
8
1
8
1
8
1
8
1
8
1
8
14
1
).(
2
1
4
1
.
2
1
2
4
1
4
1
.
2
1
.
2
1
2
)(
xxxxxxxxxxxxxxS
xxxx
xxxx
S
ADODBCOC
CDBCAD
SSSS
OAB
OAB
OADOBCABCDOAB
Áp dụng hệ thức Vi-et cho phương trình (*) ta có:
4;4 2121
xxmxx
Ta có
21
2
21
22
21
22
21
2
21
2
21
14
14116
11616164
xxmxx
mmxx
mmxxxxxx
1214).4.(
8
1
8
122
2121 mmxxxxSOAB
Bài IV.
1
1
Q
M
P
N
I
F
K
A
O
B
E
a) Chứng minh
KAF đồng dạng với
KEA
Xét (O) có
·
·
AEK KEB
(EK là phân giác Ê)
»
»
AK KB
(hai cung chắn hai góc nội tiếp bằng nhau)
µ
µ
1 1
E A
(hai góc nội tiếp chắn hai cung bằng nhau)
Xét KAF và KEA:
µ
K
chung
µ
µ
1 1
E A
(chứng minh trên)
KAF đồng dạng với KEA (g-g)
b) Chứng minh
KAF đồng dạng với
KEA
- Chứng minh đường tròn (I;IE) tiếp xúc với (O tại E
Ta có O, I, E thẳng hàng và OI = OE – EI nên (I;IE) tiếp xúc với (O).
- Chứng minh đường tròn (I;IE) tiếp xúc AB tại F:
Dễ dàng chứng minh được EIF cân tại I và EOK cân tại O
·
·
·
IFE OKE ( OEK)
Mà hai góc này bằng nhau ở vị trí đồng vị
IF // OK (dấu hiệu nhận biết)
Vì
»
»
AK KB
(chứng minh trên)
·
90
o
AOK
OK AB
Ta có IF // OK ;
OK AB
IFAB
Mà IF là một bán kính của (I;IE)
(I;IE) tiếp xúc với AB tại F
c) Chứng minh MN//AB
Xét (O):
·
90
o
AEB
(góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)
Xét (I;IE):
·
90
MEN
(vì
·
90
o
AEB
)
MN là đường kính của (I;IE)
EIN cân tại I
Mà EOB cân tại O
·
·
·
ENI OBE ( IEN)
Mà hai góc này ở vị trí đồng vị
MN//AB
d)Tính giá trị nhỏ nhất của chu vi tam giác KPQ theo R khi E chuyển động trên
(O)
Học sinh dễ dàng chứng minh được tứ giác PFQK là hình chữ nhật; tam giác BFQ
là tam giác vuông cân tại Q
Chu vi KPQ = KP + PQ + KQ
mà PK = FQ (PFQK là hình chữ nhật)
FQ = QB (BFQ vuông cân tại Q) PK = QB
PQ = FK (PFQK là hình chữ nhật)
Chu vi KPQ = KP + PQ + KQ = QB + QK + FK = BK + FK
Vì (O) cố định, K cố định (hs tự chứng minh K là điểm chính giữa cung AB)
FK FO ( quan hệ đường vuông góc, đường xiên)
Chu vi KPQ nhỏ nhất = BK + FO khi E là điểm chính giữa cung AB.
Ta có FO = R
Áp dụng định lí Py-ta-go trong tam giác vuông cân FOB tính được BK =
2
R
Chu vi KPQ nhỏ nhất = R +
2 2 1
R R