Đề thi tuyển sinh lớp 10 trường THPT chuyên Hạ Long môn Toán năm 2017 - 2018 - Sở GD&ĐT Quảng Ninh

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO<br /> TỈNH QUẢNG NINH<br /> <br /> KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT NĂM 2017<br /> Môn thi: Toán (chuyên)<br /> <br /> ĐỀ THI CHÍNH THỨC<br /> <br /> (Dành cho thí sinh thi vào trường THPT Chuyên Hạ Long)<br /> Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề<br /> (Đề thi này có 01 trang)<br /> <br /> Câu 1. (2,0 điểm)<br /> Cho biểu thức:<br /> <br />  x<br /> 3<br /> 3<br /> 3 <br /> A 2<br />  3<br /> <br />  1 (với x  0; x  3 ).<br /> <br /> x<br /> x<br /> <br /> x<br /> 3<br /> <br /> 3<br /> x<br /> <br /> 27<br /> 3<br /> <br /> <br /> <br /> 1. Rút gọn biểu thức A.<br /> <br /> 2. Tính giá trị của biểu thức A khi x  3 <br /> <br /> 5  3  29  12 5 .<br /> <br /> Câu 2. (3,0 điểm)<br /> 1. Giải phương trình x3  x2  x x  1  2  0 .<br />  x 2  xy  2 y 2  0<br /> <br /> 2. Giải hệ phương trình <br /> .<br /> 2<br /> <br />  xy  3 y  x  3<br /> <br /> Câu 3. (1,0 điểm)<br /> Tìm các số tự nhiên n để A  n2018  n2008  1 là số nguyên tố.<br /> Câu 4. (3,0 điểm)<br /> Cho đường tròn (O; R), đường kính AB, M là một điểm tùy ý thuộc đường<br /> tròn (M khác A và B). Qua A và B lần lượt kẻ các đường thẳng d và d’ là tiếp tuyến<br /> với đường tròn. Tiếp tuyến tại M của đường tròn cắt d và d’ lần lượt tại C và D.<br /> Đường thẳng BM cắt d tại E.<br /> 1. Chứng minh CM = CA = CE.<br /> 2. Chứng minh AD  OE .<br /> 3. Tính độ dài đoạn AM theo R, nếu AE = BD.<br /> Câu 5. (1,0 điểm)<br /> Cho a; b thoả mãn a  2; b  2 . Chứng minh rằng:<br /> (a 2  1)(b2  1)  (a  b)(ab  1)  5 .<br /> <br /> ......................... Hết ...........................<br /> Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.<br /> Họ và tên thí sinh:.................................................................Số báo danh.....................<br /> Chữ ký của cán bộ coi thi 1:............................Chữ ký của cán bộ coi thi 2:................<br /> 1<br /> <br /> SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO<br /> TỈNH QUẢNG NINH<br /> <br /> HƯỚNG DẪN CHẤM THI TUYỂN SINH<br /> LỚP 10 THPT NĂM 2017<br /> Môn thi: Toán (chuyên)<br /> Dành cho thí sinh thi vào trường THPT Chuyên Hạ Long<br /> (Hướng dẫn này có 03 trang)<br /> <br /> ĐỀ THI CHÍNH THỨC<br /> <br /> Câu<br /> Sơ lược lời giải<br /> Câu 1 1. Với điều kiện xác định là x  0; x  3<br /> (2,0 điểm)<br /> <br />  x<br /> 3<br /> 3<br /> 3 <br /> <br /> A =  2<br />  3<br /> <br />  1<br /> <br />  x  x 3 3<br /> <br /> <br /> <br /> = <br /> <br /> 3<br /> <br />  x  x 3 3<br /> 2<br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> x  27  3<br /> <br /> x<br /> <br /> <br /> <br /> Điểm<br /> <br /> 0,5<br /> <br />  x  x 3  3 <br /> <br /> <br /> <br /> ( x  3 )( x  x 3  3) <br /> 3x<br /> <br /> 2<br /> <br /> 3<br /> <br /> 2<br /> <br />  x 2  x 3  3 <br /> <br /> <br /> 2<br /> <br /> <br /> 3x<br />  ( x  3 )( x  x 3  3) <br /> <br /> 1<br /> <br /> x 3<br /> ( x  3) 3  3<br /> <br /> = <br /> <br /> 0,5<br /> <br /> 2. Ta có :<br /> x 3<br /> <br /> 5  3  29  12 5<br /> <br />  3<br /> <br /> 5  3  (2 5  3) 2<br /> <br />  3<br /> <br /> 5  62 5<br /> <br />  3<br /> <br /> 5  ( 5  1) 2<br /> <br /> 0,75<br /> <br />  3 1<br /> nên thay x = 3 + 1 vào A ta có:<br /> A<br /> <br /> 1<br /> =<br /> x 3<br /> <br /> 1<br /> =1<br /> 3+1- 3<br /> <br /> Câu 2<br /> 1. ĐK: x  1.<br /> (3,0điểm) Biến đổi về phương trình x 2 ( x  1)  x x  1  2  0<br /> <br /> Đặt t  x x  1 ( t  0 )  t 2  x2 ( x  1) .<br /> Phương trình đã cho trở thành:<br /> t  1<br /> t2  t  2  0  <br /> t  2<br /> <br /> 0,25<br /> 0,25<br /> 0,25<br /> 0,5<br /> <br /> Kết hợp với điều kiện, ta được t  2<br /> Với t  2  x x 1  2  x3  x2  4  ( x  2)(x 2  x  2)  0<br /> 0,5<br /> <br /> x2<br /> <br />  x 2  xy  2 y 2  0 (1)<br /> 2. Giải hệ phương trình <br /> 2<br /> <br /> <br />  xy  3 y  x  3 (2)<br /> Phương trình (1)   x2  y 2   y  x  y   0   x  y  x  2 y   0 ,<br /> <br /> 2<br /> <br /> 0,75<br /> <br /> ta được x = y hoặc x = -2y<br /> 3<br /> 4<br /> <br /> * Với x = y, từ (2) ta có: 4 x2  x  3  0 , ta được x1  1, x2  .<br /> Khi đó, x1  y1  1, x2  y2  .<br /> <br /> 3<br /> 4<br /> * Với x = -2y, từ (2) ta có y 2  2 y  3  0 , ta được y1  1, y2  3<br /> <br /> 0,25<br /> <br /> Nếu y  1  x  2 . Nếu y  3  x  6 .<br /> <br /> 0,25<br /> <br /> 3 3<br /> Vậy hệ phương trình có nghiệm (x; y) là: (-1; -1);  ;  ; (2; -1);<br /> 4 4<br /> <br /> <br /> <br /> <br /> (-6; 3).<br /> Câu 3<br /> Tìm số tự nhiên n để A  n2018  n2008  1 là số nguyên tố.<br /> (1,0điểm) Xét n  0 thì A = 1 không là số nguyên tố;<br /> <br /> 0,25<br /> <br /> 0,25<br /> <br /> Xét n  1 thì A = 3 là số nguyên tố.<br /> Xét n > 1, ta thấy A > n2 + n + 1;<br /> A = n2018 – n2 + n2008 – n + n2 + n + 1<br /> 2<br /> <br /> 3 672<br /> <br /> = n ((n )<br /> <br /> 3 669<br /> <br /> – 1) + n.((n )<br /> <br /> 0,5<br /> 2<br /> <br /> – 1) + (n + n + 1)<br /> <br /> mà (n3)672 – 1 chia hết cho n3 -1, suy ra (n3)672 – 1 chia hết cho<br /> n2 + n + 1.<br /> 0,25<br /> <br /> Tương tự: (n3)669 – 1 chia hết cho n2 + n + 1<br /> Khi đó A chia hết cho n2 + n + 1 > 1 và A > n2 + n + 1<br /> nên A là hợp số.<br /> Tóm lại số tự nhiên cần tìm là n = 1.<br /> Câu 4<br /> (3,0<br /> điểm)<br /> <br /> D<br /> E<br /> <br /> 0,25<br /> <br /> M<br /> C<br /> <br /> F<br /> <br /> A<br /> <br /> B<br /> O<br /> <br /> I<br /> <br /> 1. Gọi F là giao điểm của OC và AM, ta có OC  AM.<br /> Ta có, CM = CA (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau).<br /> Hai tam giác vuông AME và AFC đồng dạng,<br /> AE AM<br /> <br />  2  AE  2 AC  AC  CE .<br /> nên<br /> AC AF<br /> Vậy CM = CA = CE.<br /> 2. Gọi giao điểm của EO với d’ là I,<br /> Chứng minh được AEBI là hình bình hành  BE//AI.<br /> 3<br /> <br /> 0,75<br /> <br /> 0,5<br /> <br /> Ta có, OD  BE  OD  AI, mà AB  DI<br />  O là trực tâm của  ADI<br />  OI  AD  OE  AD (đpcm).<br /> 3.<br /> Tam giác COD vuông tại O (vì OC, OD là hai phân giác của hai<br /> góc kề bù), có OM là đường cao nên OM2 = CM.MD.<br /> Theo phần 1, ta có EC = CA = CM  2CM = AE,<br /> mà BD = MD và AE = BD (gt)  2CM = MD.<br /> 2<br /> 2<br /> 2<br />  2CM = R (do MO = R và OM = CM.MD)<br /> R 2<br /> 2<br />  AE = R 2 (do AE = 2CM).<br /> <br />  CM =<br /> <br /> Do trong giác vuông AEB tại A, ta có<br />  AM <br /> <br /> AE. AB<br /> AE 2  AB 2<br /> <br /> <br /> <br /> 0,5<br /> <br /> 0,25<br /> <br /> 0,5<br /> <br /> 1<br /> 1<br /> 1<br /> <br /> <br /> 2<br /> 2<br /> AM<br /> AE<br /> AB 2<br /> <br /> 0,25<br /> <br /> 2R 3<br /> .<br /> 3<br /> <br /> Câu 5<br /> Xét hiệu M  (a 2  1)(b2  1)  (a  b)(ab  1)  5<br /> (1,0điểm)<br />  (a 2b2  a 2b  ab2  ab)  (a 2  b2  a  b  ab)  4<br /> 1<br />  ab(a  1)(b 1)  (a  b)2  a(a  2)  b(b  2)   4 .<br /> 2<br /> Chỉ ra với a  2 thì a(a  1)  2 và a(a  2)  0<br /> <br /> 0,5<br /> <br /> b  2 thì b(b  1)  2 và b(b  2)  0<br /> 1<br /> (a  b)2  a(a  2)  b(b  2)   0<br /> 2<br /> 2<br /> 2<br />  M  0 hay (a  1)(b  1)  (a  b)(ab  1)  5 .<br /> <br /> nên ab(a  1)(b 1)  4 ;<br /> <br /> 0,5<br /> <br /> Những chú ý khi chấm thi:<br /> 1. Hướng dẫn chấm này chỉ trình bày sơ lược một cách giải. Bài làm của học sinh<br /> phải chi tiết, lập luận chặt chẽ, tính toán chính xác mới cho điểm tối đa.<br /> 2. Các cách giải khác nếu đúng vẫn cho điểm. Tổ chấm trao đổi và thống nhất điểm<br /> chi tiết.<br /> 3. Có thể chia nhỏ điểm thành phần nhưng không dưới 0,25 điểm và phải thống nhất<br /> trong cả tổ chấm. Điểm thống nhất toàn bài là tổng số điểm toàn bài đã chấm, không<br /> làm tròn.<br /> ...................................... Hết .............................................<br /> <br /> 4<br /> <br />