Giải hình học không gian bằng phương pháp tạo độ

Chia sẻ: Huy Nguyen | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:6

Thêm vào BST

Báo xấu

212
lượt xem 87
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Tài liệu tham khảo về Giải hình học không gian bằng phương pháp tạo độ...

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Giải hình học không gian bằng phương pháp tạo độ

ThS. ðoàn Vương Nguyên toancapba.com CHUYÊN ð GI I HÌNH H C KHÔNG GIAN B NG PHƯƠNG PHÁP T A ð I. PHƯƠNG PHÁP GI I TOÁN ð gi i ñư c các bài toán hình không gian b ng phương pháp t a ñ ta c n ph i ch n h tr c t a ñ thích h p. L p t a ñ các ñ nh, ñi m liên quan d a vào h tr c t a ñ ñã ch n và ñ dài c nh c a hình. Ta thư ng g p các d ng sau 1. Hình chóp tam giác a. D ng tam di n vuông Ví d 1. Cho hình chóp O.ABC có OA = a, OB = b, OC = c ñôi m t vuông góc. ði m M c ñ nh thu c tam giác ABC có kho ng cách l n lư t ñ n các mp(OBC), mp(OCA), mp(OAB) là 1, 2, 3. Tính a, b, c ñ th tích O.ABC nh nh t. Hư ng d n gi i Ch n h tr c t a ñ như hình v , ta có: O(0; 0; 0), A(a; 0; 0), B(0; b; 0), C(0; 0; c). d[M, (OAB)] = 3 ⇒ zM = 3. Tương t ⇒ M(1; 2; 3). xyz pt(ABC): + + = 1 abc 123 M ∈ (ABC) ⇒ + + = 1 (1). abc 1 VO.ABC = abc (2). 6 123 123 (1) ⇒ 1 = + + ≥ 3 3 . . abc abc 1 ⇒ abc ≥ 27 . 6 1 2 3 1 (2) ⇒ Vmin = 27 ⇔ = = = . a b c 3 b. D ng khác Ví d 2. T di n S.ABC có c nh SA vuông góc v i ñáy và ∆ABC vuông t i C. ð dài c a các c nh là SA = 4, AC = 3, BC = 1. G i M là trung ñi m c a c nh AB, H là ñi m ñ i x ng c a C qua M. Tính cosin góc ph ng nh di n [H, SB, C] 1
Hư ng d n gi i Ch n h tr c t a ñ như hình v , ta có: A(0; 0; 0), B(1; 3; 0), C(0; 3; 0), S(0; 0; 4) và H(1; 0; 0). mp(P) qua H vuông góc v i SB t i I c t ñư ng th ng SC t i K, d th y [H, SB, C] = ( IH, IK ) (1). SB = (−1; −3; 4) , SC = (0; −3; 4) suy ra: x = 1 − t x = 0        y = 3 − 3t , SC:  y = 3 − 3t ptts SB:        z = 4t   z = 4t      và (P): x + 3y – 4z – 1 = 0. 5 15 3 51 32 ( )( ) ⇒I ; ; , K 0; ; 882 25 25 IH.IK ⇒ cos[H, SB, C] = =… IH.IK Chú ý: N u C và H ñ i x ng qua AB thì C thu c (P), khi ñó ta không c n ph i tìm K. Ví d 3 (trích ñ thi ð i h c kh i A – 2002). Cho hình chóp tam giác ñ u S.ABC có ñ dài c nh ñáy là a. G i M, N là trung ñi m SB, SC. Tính theo a di n tích ∆ AMN, bi t (AMN) vuông góc v i (SBC). Hư ng d n gi i G i O là hình chi u c a S trên (ABC), ta suy ra O là tr ng tâm ∆ABC . G i I là trung ñi m c a BC, ta có: 3 a3 AI = BC = 2 2 a3 a3 ⇒ OA = , OI = 3 6 Trong mp(ABC), ta v tia Oy vuông góc v i OA. ð t SO = h, ch n h tr c t a ñ như hình v ta ñư c: a 3   3 ; 0; 0  O(0; 0; 0), S(0; 0; h), A       a3  a3a   ; 0; 0  , B  − ⇒ I − ; ; 0,     2   6 6     a3 a  a 3 a h  ; − ; 0  , M − C−  12 ; 4 ; 2        6 2    a3 a h  12 ; − 4 ; 2  . và N  −      5a 2 3  a2 3   ah    ⇒ n(AMN) =  AM, AN  =  ; 0;  , n(SBC) =  SB, SC  =  −ah; 0;   4     24  6   2
5a 2 2 1  AM, AN  = a 10 . (AMN) ⊥ (SBC) ⇒ n(AMN).n(SBC) = 0 ⇒ h2 = ⇒ S∆AMN =   12 2 16 2. Hình chóp t giác a) Hình chóp S.ABCD có SA vuông góc v i ñáy và ñáy là hình vuông (ho c hình ch nh t). Ta ch n h tr c t a ñ như d ng tam di n vuông. b) Hình chóp S.ABCD có ñáy là hình vuông (ho c hình thoi) tâm O ñư ng cao SO vuông góc v i ñáy. Ta ch n h tr c t a ñ tia OA, OB, OS l n lư t là Ox, Oy, Oz. Gi s SO = h, OA = a, OB = b ta có O(0; 0; 0), A(a; 0; 0), B(0; b; 0), C(–a; 0; 0), D(0;–b; 0), S(0; 0; h). c) Hình chóp S.ABCD có ñáy hình ch nh t ABCD và AB = b. ∆SAD ñ u c nh a và vuông góc v i ñáy. G i H là trung ñi m AD, trong (ABCD) ta v tia Hy vuông góc v i AD. Ch n h tr c t a ñ Hxyz ta có:   a a a a a 3 ( )( )( )( ) H(0; 0; 0), A ; 0; 0 , B ; b; 0 , C − ; b; 0 , D − ; 0; 0 , S  0; 0; .    2 2 2 2 2  3. Hình lăng tr ñ ng Tùy theo hình d ng c a ñáy ta ch n h tr c như các d ng trên. Chú ý + Hình chóp tam giác ñ u có ñáy là tam giác ñ u và các c nh bên b ng nhau, nhưng không nh t thi t ph i b ng ñáy. Chân ñư ng cao là tr ng tâm c a ñáy. + T di n ñ u là hình chóp tam giác ñ u có c nh bên b ng ñáy. + Hình h p có ñáy là hình bình hành nhưng không nh t thi t ph i là hình ch nh t. II. CÁC D NG BÀI T P 1. CÁC BÀI TOÁN V HÌNH CHÓP TAM GIÁC Bài 1 (trích ñ thi ð i h c kh i D – 2002). Cho t di n ABCD có c nh AD vuông góc (ABC), AC = AD = 4cm, AB = 3cm, BC = 5cm. Tính kho ng cách t ñ nh A ñ n (BCD). Bài 2. Cho ∆ABC vuông t i A có ñư ng cao AD và AB = 2, AC = 4. Trên ñư ng th ng vuông góc v i (ABC) t i A l y ñi m S sao cho SA = 6. G i E, F là trung ñi m c a SB, SC và H là hình chi u c a A trên EF. 1. Ch ng minh H là trung ñi m c a SD. 2. Tính cosin c a góc gi a hai m t ph ng (ABC) và (ACE). 3. Tính th tích hình chóp A.BCFE. Bài 3. Cho hình chóp O.ABC có các c nh OA = OB = OC = 3cm và vuông góc v i nhau t ng ñôi m t. G i H là hình chi u c a ñi m O lên (ABC) và các ñi m A’, B’, C’ l n lư t là hình chi u c a H lên (OBC), (OCA), (OAB). 1. Tính th tích t di n HA’B’C’. 2. G i S là ñi m ñ i x ng c a H qua O. Ch ng t S.ABC là t di n ñ u. Bài 4. Cho hình chóp O.ABC có OA, OB, OC ñôi m t vuông góc. G i α, β, γ l n lư t là góc nh di n c nh AB, BC, CA. G i H là hình chi u c a ñ nh O trên (ABC). 1. Ch ng minh H là tr c tâm c a ∆ABC . 1 1 1 1 2= 2+ 2+ . 2. Ch ng minh OC2 OH OA OB 3. Ch ng minh cos2 α + cos2 β + cos2 γ = 1. 3
4. Ch ng minh cos α + cos β + cos γ ≤ 3. Bài 5. Cho hình chóp O.ABC có OA = a, OB = b, OC = c vuông góc v i nhau t ng ñôi m t. G i M, N, P l n lư t là trung ñi m BC, CA, AB. 1. Tính góc ϕ gi a (OMN) và (OAB). 2. Tìm ñi u ki n a, b, c ñ hình chi u c a O trên (ABC) là tr ng tâm ∆ANP . 1 1 1 3. Ch ng minh r ng góc ph ng nh di n [N, OM, P] vuông khi và ch khi 2 = 2 + 2 . a b c Bài 6. Cho hình chóp S.ABC có ∆ABC vuông cân t i A, SA vuông góc v i ñáy. Bi t AB = 2, (ABC),(SBC) = 600 . 1. Tính ñ dài SA. 2. Tính kho ng cách t ñ nh A ñ n (SBC). 3. Tính góc ph ng nh di n [A, SB, C]. Bài 7. Cho hình chóp O.ABC có OA = a, OB = b, OC = c vuông góc v i nhau t ng ñôi m t. 1. Tính bán kính r c a m t c u n i ti p hình chóp. 2. Tính bán kính R c a m t c u ngo i ti p hình chóp. Bài 8 (trích ñ thi ð i h c kh i D – 2003). Cho hai m t ph ng (P) và (Q) vuông góc v i nhau, giao tuy n là ñư ng th ng (d). Trên (d) l y hai ñi m A và B v i AB = a. Trong (P) l y ñi m C, trong (Q) l y ñi m D sao cho AC, BD cùng vuông góc v i (d) và AC = BD = AB. Tính bán kính m t c u ngo i ti p t di n ABCD và kho ng cách t ñ nh A ñ n (BCD) theo a. Bài 9. Cho hình chóp S.ABC có ñáy là tam giác vuông t i B, AB = a, BC = 2a. C nh SA vuông góc v i ñáy và SA = 2a. G i M là trung ñi m c a SC. 1. Tính di n tích ∆MAB theo a. 2. Tính kho ng cách gi a MB và AC theo a. 3. Tính góc ph ng nh di n [A, SC, B]. Bài 10. Cho t di n S.ABC có ∆ABC vuông cân t i B, AB = SA = 6. C nh SA vuông góc v i ñáy. V AH vuông góc v i SB t i H, AK vuông góc v i SC t i K. 1. Ch ng minh HK vuông góc v i CS. 2. G i I là giao ñi m c a HK và BC. Ch ng minh B là trung ñi m c a CI. 3. Tính sin c a góc gi a SB và (AHK). 4. Xác ñ nh tâm J và bán kính R c a m t c u ngo i ti p S.ABC. Bài 11. Cho hình chóp S.ABC có ∆ABC vuông t i C, AC = 2, BC = 4. C nh bên SA = 5 và vuông góc v i ñáy. G i D là trung ñi m c nh AB. 1. Tính cosin góc gi a hai ñư ng th ng AC và SD. 2. Tính kho ng cách gi a BC và SD. 3. Tính cosin góc ph ng nh di n [B, SD, C]. Bài 12. Cho hình chóp S.ABC có ñáy là tam giác ñ u c nh a. SA vuông góc v i ñáy và SA = a 3 . 1. Tính kho ng cách t ñ nh A ñ n (SBC). 2. Tính kho ng cách gi a hai ñư ng th ng AB và SC. Bài 13. Cho hình chóp tam giác ñ u S.ABC có ñ dài c nh ñáy là a, ñư ng cao SH = h. M t ph ng (α) ñi qua AB và vuông góc v i SC. 1. Tìm ñi u ki n c a h theo a ñ (α) c t c nh SC t i K. 2. Tính di n tích ∆ABK . 3. Tính h theo a ñ (α) chia hình chóp thành hai ph n có th tích b ng nhau. Ch ng t r ng khi ñó tâm m t c u n i ti p và ngo i ti p trùng nhau. 2. CÁC BÀI TOÁN V HÌNH CHÓP T GIÁC Bài 14. Cho hình chóp S.ABCD có ñáy hình vuông c nh a, SA = a và vuông góc v i ñáy. G i E là trung ñi m CD. 4
1. Tính di n tích ∆ SBE. 2. Tính kho ng cách t ñ nh C ñ n (SBE). 3. (SBE) chia hình chóp thành hai ph n, tính t s th tích hai ph n ñó. Bài 15. Cho hình chóp S.ABCD có ñáy hình vuông c nh a. C nh bên SA vuông góc v i ñáy và SA = a 3 . 1. Tính kho ng cách t ñ nh C ñ n (SBD). 2. Tính kho ng cách gi a hai ñư ng th ng SD và AC. 3. Tính góc ph ng nh di n [B, SC, D]. Bài 16. Cho hình chóp S.ABCD có ñáy hình vuông c nh 3cm. C nh bên SA vuông góc v i ñáy và SA = 3 2 cm. Mp (α) ñi qua A và vuông góc v i SC c t các c nh SB, SC, SD l n lư t t i H, M, K. 1. Ch ng minh AH vuông góc v i SB, AK vuông góc v i SD. 2. Ch ng minh BD song song v i (α) . 3. Ch ng minh HK ñi qua tr ng tâm G c a ∆SAC . 4. Tính th tích hình kh i ABCDKMH. Bài 17. Cho hình chóp S.ABCD có ñáy là hình ch nh t, AB = a, AD = b. C nh bên SA vuông góc v i ñáy và SA = 2a. G i M, N là trung ñi m c nh SA, SD. 1. Tính kho ng cách t A ñ n (BCN). 2. Tính kho ng cách gi a SB và CN. 3. Tính góc gi a hai m t ph ng (SCD) và (SBC). 3 4. Tìm ñi u ki n c a a và b ñ cos CMN = . Trong trư ng h p ñó tính th tích hình chóp 3 S.BCNM. Bài 18. Cho hình chóp S.ABCD có ñáy là hình vuông c nh a. ∆SAD ñ u và vuông góc v i (ABCD). G i H là trung ñi m c a AD. 1. Tính d(D, (SBC)), d(HC, SD). 2. M t ph ng (α) qua H và vuông góc v i SC t i I. Ch ng t (α) c t các c nh SB, SD. 3. Tính góc ph ng nh di n [B, SC, D]. Bài 19. Cho hình chóp S.ABCD có ñáy là hình thoi tâm O. SO vuông góc v i ñáy và SO = 2a 3 , AC = 4a, BD = 2a. M t ph ng (α) qua A vuông góc v i SC c t các c nh SB, SC, SD t i B ', C', D' . 1. Ch ng minh ∆B ' C ' D ' ñ u. 2. Tính theo a bán kính m t c u n i ti p S.ABCD. Bài 20. Cho hình chóp S.ABCD có ñáy là hình ch nh t v i AB = a, AD = 2a. ðư ng cao SA = 2a. Trên c nh CD l y ñi m M, ñ t MD = m (0 ≤ m ≤ a) . 1. Tìm v trí ñi m M ñ di n tích ∆SBM l n nh t, nh nh t. a 2. Cho m = , g i K là giao ñi m c a BM và AD. Tính góc ph ng nh di n [A, SK, B]. 3 3. CÁC BÀI TOÁN V HÌNH H P – LĂNG TR ð NG Bài 21. Cho hình l p phương ABCD.A’B’C’D’ c nh a. G i I, K, M, N l n lư t là trung ñi m c a A’D’, BB’, CD, BC. 1. Ch ng minh I, K, M, N ñ ng ph ng. 2. Tính kho ng cách gi a IK và AD. 3. Tính di n tích t giác IKNM. Bài 22 (trích ñ thi ð i h c kh i A – 2003). Cho hình l p phương ABCD.A’B’C’D’. Tính góc ph ng nh di n [B, A’C, D]. Bài 23. Cho hình l p phương ABCD.A’B’C’D’ c nh a. Tìm ñi m M trên c nh AA’ sao cho (BD’M) c t hình l p phương theo thi t di n có di n tích nh nh t. Bài 24. Cho hình l p phương ABCD.A’B’C’D’ c nh a. 5
1. Ch ng minh A’C vuông góc v i (AB’D’). 2. Tính góc gi a (DA’C) và (ABB’A’). 3. Trên c nh AD’, DB l y l n lư t các ñi m M, N th a AM = DN = k (0 < k < a 2). a. Ch ng minh MN song song (A’D’BC). b. Tìm k ñ MN nh nh t. Ch ng t khi ñó MN là ño n vuông góc chung c a AD’ và DB. Bài 25. Cho hình h p ch nh t ABCD.A’B’C’D’ có AB = 2, AD = 4, AA’ = 6. Các ñi m M, N th a AM = mAD, BN = mBB' (0 ≤ m ≤ 1). G i I, K là trung ñi m c a AB, C’D’. 1. Tính kho ng cách t ñi m A ñ n (A’BD). 2. Ch ng minh I, K, M, N ñ ng ph ng. 3. Tính bán kính ñư ng tròn ngo i ti p ∆A ' BD . 4. Tính m ñ di n tích t giác MINK l n nh t, nh nh t. Bài 26. Cho hình l p phương ABCD.A’B’C’D’ có ñ dài c nh là 2cm. G i M là trung ñi m AB, N là tâm hình vuông ADD’A’. 1. Tính bán kính R c a m t c u (S) qua C, D’, M, N. 2. Tính bán kính r c a ñư ng tròn (C) là giao c a (S) và m t c u (S’) qua A’, B, C’, D. 3. Tính di n tích thi t di n t o b i (CMN) và hình l p phương. Bài 27 (trích ñ thi ð i h c kh i B – 2003) Cho hình lăng tr ñ ng ABCD.A’B’C’D’ có ñáy hình thoi c nh a, BAD = 600. G i M, N là trung ñi m c nh AA’, CC’. 1. Ch ng minh B’, M, D, N cùng thu c m t m t ph ng. 2. Tính AA’ theo a ñ B’MDN là hình vuông. Bài 28. Cho hình lăng tr ñ ng tam giác ABC.A’B’C’ có ñáy là tam giác vuông t i A. Cho AB = a, AC = b, AA’ = c. M t ph ng (α) qua B và vuông góc v i B’C. 1. Tìm ñi u ki n c a a, b, c ñ (α) c t c nh CC’ t i I (I không trùng v i C và C’). 2. Cho (α) c t CC’ t i I. a. Xác ñ nh và tính di n tích c a thi t di n. b. Tính góc ph ng nh di n gi a thi t di n và ñáy. 6