giáo trình kĩ thuật nhiệt_chương 9

Chia sẻ: Phạm Việt Hùng Hùng | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:12

Thêm vào BST

Báo xấu

147
lượt xem 51
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Tham khảo tài liệu 'giáo trình kĩ thuật nhiệt_chương 9', kỹ thuật - công nghệ, điện - điện tử phục vụ nhu cầu học tập, nghiên cứu và làm việc hiệu quả

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: giáo trình kĩ thuật nhiệt_chương 9

.Ch−¬ng 9. dÉn nhiÖt æn ®Þnh 9.1. ®Þnh luËt fourier vµ hÖ sè dÉn nhiÖt 9.1.1 §Þnh luËt fourier vµ hÖ sè dÉn nhiÖt Dùa vµo thuyÕt ®éng häc ph©n tö, Fourier ®· chøng minh ®Þnh luËt c¬ b¶n cña dÉn nhiÖt nh− sau: Vec t¬ dßng nhiÖt tû lÖ thuËn víi vect¬ gradient nhiÖt ®é. BiÓu thøc cña ®Þnh luËt cã d¹ng vect¬ lµ: q = −λgr adt , d¹ng v« h−íng lµ: dt q = −λgradt = −λ . tn Theo ®Þnh luËt nµy, nhiÖt l−¬ng Q ®−îc dÉn qua diÖn tÝch F cña mÆt ®¼ng nhiÖt trong 1 gi©y ®−îc tÝnh theo c«ng thøc: ∂t Q = −∫ λ .dF ∂n F Khi gradt kh«ng ®æi trªn bÒ mÆt F, c«ng thøc cã d¹ng: ∂t Q = −λ .dF ∂n §Þnh luËt Fourier lµ ®Þnh luËtc¬ b¶n ®Ó tÝnh l−îng nhiÖt trao ®æi b»ng ph−¬ng thøc dÉn nhiÖt. 9.1.2 HÖ sè dÉn nhiÖt λ q HÖ sè cña ®Þnh luËt Fourier λ = , W/mK ®−îc gäi lµ hÖ sè dÉn nhiÖt. gradt HÖ sè dÉn nhiÖt λ ®Æc tr−ng cho kh¶ n¨ng dÉn nhiÖt cña vËt. Gi¸ trÞ cña λ phô thuéc vµo b¶n chÊt vµ kÕt cÊu cña vËt liÖu, vµo ®é Èm vµ nhiÖt ®é, ®−îc x¸c ®Þnh b»ng thùc nghiÖm víi tõng vËt liÖu vµ cho s½n theo quan hÖ víi nhiÖt ®é t¹i b¶ng c¸c th«ng sè vËt lý cña vËt liÖu. 9.2. Ph−¬ng tr×nh vi ph©n dÉn nhiÖt 9.2.1. Néi dung cña ph−¬ng tr×nh vi ph©n dÉn nhiÖt Ph−¬ng tr×nh vi ph©n dÉn nhiÖt lµ ph−¬ng tr×nh c©n b»ng nhiÖt cho mét ph©n tè bÊt kú n»m hoµn toµn bªn trong vËt dÉn nhiÖt. 9.2.2. ThiÕt lËp ph−¬ng tr×nh XÐt c©n b»ng nhiÖt cho ph©n tè dV bªn trong vËt dÉn, cã khèi l−îng riªng ρ, nhiÖt dung riªng Cv, hÖ sè dÉn nhiÖt λ, dßng nhiÖt ph©n tè lµ q , c«ng suÊt ph¸t nhiÖt qv. 95
Theo ®Þnh luËt b¶o toµn n¨ng l−îng, ta cã: [§é biÕn thiªn néi n¨ng cña dV] = [HiÖu sè nhiÖt l−îng (vµo-ra) dV] + [l−îng nhiÖt sinh ra trong dV], tøc lµ: ∂t ρ.dV.C v = −divq.dV.dτ + q v .dV.dτ , ∂τ hay: ∂t q 1 = divq + v ∂τ ρ.C v ρ.C v Theo ®Þnh luËt fourier q = −λgr adt, khi λ = const ta cã: divq = div(−λgr adt ) = −λdiv(gr adt ) Trong ®ã: ∂ ⎛ ∂t ⎞ ∂ ⎛ ∂t ⎞ ∂ ⎛ ∂t ⎞ ⎜ ⎟+ ⎜ ⎟+ ⎜ ⎟=∇ t, 2 Div(gr a dt) = ∂x ⎝ ∂x ⎠ ∂y ⎜ ∂y ⎟ ∂z ⎝ ∂z ⎠ ⎝⎠ Víi: ⎧ ∂2t ∂2t ∂2t ⎪ 2 + 2 + 2 , (trong to¹ dé vu«ng gãc víi x, y, z) ⎪ ∂x ∂y ∂z ∇ t=⎨ 2 2 ∂ t 1 ∂t 1 ∂ 2 t ∂ 2 t ⎪ +. + + , (trong to¹ dé trô r, ϕ, z) ⎪ ∂r 2 r ∂r r 2 ∂ϕ 2 ∂z 2 ⎩ Ph−¬ng tr×nh vi ph©n dÉn nhiÖt lµ ph−¬ng tr×nh kÕt hîp hai ®Þnh luËt nãi trªn, cã d¹ng: ∂t λ ⎛ q⎞ q = ∇ 2 t + v = a⎜ ∇ 2 t + v ⎟ ∂τ ρ.C v ρ.C v λ⎠ ⎝ λ , m2/s., ®−îc gäi lµ hÖ sè khuyÕch t¸n nhiÖt, ®Æc tr−ng cho møc ®é víi a = ρ.C v tiªu t¸n nhiÖt trong vËt. 9.2.3. C¸c d¹ng ®Æc biÖt cña ph−¬ng tr×nh vi ph©n dÉn nhiÖt víi qv = 0 ∂t = 0 , ph−¬ng tr×nh cã d¹ng ∇ 2 t = 0 . Trong v¸ch Khi vËt æn ®Þnh nhiÖt, ∂τ ph¼ng réng v« h¹n vµ æn ®Þnh nhiÖt cã λ = const, tr−êng nhiÖt ®é t(x) ®−îc x¸c d2t = 0 . Trong ®iÒu kiÖn λ = const vµ æn ®Þnh nhiÖt, ®Þnh theo ph−¬ng tr×nh dx 2 tr−êng nhiÖt ®é t(r) trong v¸ch trô trßn dµI v« h¹n ®−îc x¸c ®Þnh theo ph−¬ng tr×nh vi ph©n dÉn nhiÖt trong to¹ ®é trô: d 2 t 1 dt + = 0. dx 2 r dr 9.3. C¸c ®iÒu kiÖn ®¬n trÞ 96
Ph−¬ng tr×nh vi ph©n dÉn nhiÖt nãi chung lµ ph−¬ng tr×nh ®¹o hµm riªng cÊp 2, chøa Èn lµ hµm ph©n bè nhiÖt ®é t(x, y, z, τ). NghiÖm tæng quat cña nã chøa nhiÒu h»ng sè tuú ý chän. ®Ó x¸c ®Þnh duy nhÊt nghiÖm riªng cña ph−¬ng tr×nh vi ph©n dÉn nhiÖt, cÇn ph¶i cho tr−íc mét sè ®iÒu kiÖn, gäi lµ c¸c ®iÒu kiÖn ®¬n trÞ. 9.3.1. Ph©n lo¹i c¸c ®iÒu kiÖn ®¬n trÞ Tuú theo néi dung, c¸c ®iÒu kiÖn ®¬n trÞ bao gåm 4 lo¹i sau: - §iÒu kiÖn h×nh häc cho biÕt mäi th«ng sè h×nh häc ®ñ ®Ó x¸c ®Þnh kÝch th−íc, h×nh d¹ng, vÞ trÝ cña hÖ vËt V. - §iÒu kiÖn vËt lý cho biÕt luËt ph©n bè c¸c th«ng sè vËt lý theo nhiÖt ®é t¹i mäi ®iÓm M ∈ V, tøc cho biÕt (ρ, Cv, λ, a . . . ) = f(t, M ∈ V). - §iÒu kiÖn ban ®Çu cho biÕt luËt ph©n bè nhiÖt ®é t¹i thêi ®iÓm τ = 0 t¹i mäi ®iÓm M∈ V, tøc cho biÕt t(M ∈ V, τ = 0) = t(x, y, z). - §iÒu kiÖn biªn cho biÕt luËt ph©n bè nhiÖt ®é hoÆc c©n b»ng nhiÖt t¹i mäi ®iÓm M trªn biªn W cña hÖ V t¹i mäi thêi ®iÓm τ. NÕu ký hiÖu dßng nhiÖt qλ dÉn ∂t trong vËt V ®Õn M ∈ W lµ q λ = −λ = −λ.t n , th× ®iÒu kiÖn biªn cã thÓ cho ë ∂n d¹ng: t w = t (M, τ) hoÆc ⎫ ⎬∀M ∈¦ W, ∀τ ∈ (0, ∞) . q λ = −λt n (M, τ) = q (M, τ)⎭ §iÒu kiÖn h×nh häc, vËt lý vµ ®iÒu kiÖn biªn cÇn ph¶i cho tr−íc trong mäi bµi to¸n. Riªng ®iÒu kiÖn ban ®Çu chØ cÇn cho trong bµi to¸n kh«ng æn ®Þnh. 9.3.2. C¸c lo¹i ®iÒu kiÖn biªn T¹i mçi mÆt biªn Wi ∈ W = ∑Wi cña vËt V, tuú theo c¸ch ph©n bè nhiÖt ®é hoÆc c¸ch trao ®æi nhiÖt víi m«i tr−êng kh¸c nhau, ®iÒu kiÖn biªn cã thÓ ®−îc cho theo c¸c lo¹i sau ®©y: - §KB lo¹i 1: cho biÕt luËt ph©n bè nhiÖt ®é t¹i mäi ®iÓm M1 ∈ W1 ë d¹ng: tw1 = t(M1, τ). - §KB lo¹i 2: cho biÕt dßng nhiÖt qua ®iÓm M2 ∈ W2 lµ: q(M2, τ) = -λ.tn.(M2, τ). §Æc biÖt khi W2 ®−îc c¸ch nhiÖt tuyÖt ®èi hoÆc lµ mÆt ®èi xøng cña bµi to¸n, th× tn(M2, τ) = 0 vµ hµm t sÏ ®¹t cùc trÞ t¹i M2 ∈ W2. - §KB lo¹i 3: cho biÕt biªn W3 tiÕp xóc chÊt láng cã nhiÖt ®é tf víi hÖ sè to¶ nhiÖt α vµ luËt c©n b»ng nhiÖt t¹i W3 ∈ W3 cã d¹ng: qλ = qα hay -λ.tn.(M3, τ) = α[t(M3, τ) – tf ]. - §KB lo¹i 4: cho biÕt biªn W4 tiÕp xóc víi m«i tr−êng r¾n cã ph©n bè nhiÖt ®é t4 vµ luËt c©n b»ng nhiÖt t¹i W4 ∈ W4 lµ qλ = qλ4 hay -λ.tn.(M4, τ) = -λ4.tn.(M4, τ). 97
- §KB lo¹i 5: cho biÕt trªn biªn W5 cã sù trao ®æi chÊt do sù khuyÕch t¸n hay chuyÓn pha (ch¼ng h¹n do ho¸ láng, ho¸ r¾n hoÆc th¨ng hoa, kÕt tinh). Khi ®ã chÝnh biªn W5 sÏ di chuyÓn vµ khèi l−îng vËt V sÏ thay ®æi vµ ph−¬ng tr×nh c©n b»ng nhiÖt t¹i ®iÓm M5 trªn biªn W5 di ®éng sÏ cã d¹ng: dx 5 qλ = qλ’ + qr hay -λtn(M5, τ) = -λ’t’n(M5, τ) + r ρ. . dτ trong ®ã: dx 5 lµ tèc ®é di chuyÓn cña ®iÓm M5 ∈ W5, dτ r lµ nhiÖt chuyÓn pha j/kg. - §KB lo¹i 6: cho biÕt biªn W6 tiÕp gi¸p víi m«i tr−êng ch©n kh«ng, ë ®ã chØ xÈy ra sù trao ®æi nhiÖt b»ng bøc x¹ vµ ph−¬ng tr×nh c©n b»ng nhiÖt t¹i W6 ∈ W6 cã d¹ng: qλ = qε hay -λtn(M6, τ) =εσ0T4(M6, τ). - §KB lo¹i 7: cho biÕt biªn W7 tiÕp xóc víi chÊt khÝ cã nhiÖt ®é Tk, ë ®ã cã sù trao ®æi nhiÖt b»ng c¶ ®èi l−u vµ bøc x¹. Ph−¬ng tr×nh c©n b»ng nhiÖt t¹i W7 ∈ W7 cã d¹ng: qλ = qλ + qr hay -λtn(M7, τ) = α[T(M7, τ) - Tk] + εσ0[T4(M7, τ) – T4k]. §KB lo¹i 7 cã thÓ qui vÒ lo¹i 3 nÕu viªt ph−¬ng tr×nh trªn ë d¹ng: qλ = α(Tw − Tk ) víi α = α + εσ 0 (Tw − Tk4 ) /(Tw − Tk ) , ®−îc gäi lµ hÖ 4 sè to¶ nhiÖ phøc hîp. §KB lo¹i 6 vµ lo¹i 7 lµ nh÷ng §KB kh«ng tuyÕn tÝnh. 9.3.3. M« h×nh bµi to¸n dÉn nhiÖt Bµi to¸n dÉn nhiÖt cã thÓ ®−îc m« t¶ b»ng mét hÖ ph−¬ng tr×nh vi ph©n (t) gåm ph−¬ng tr×nh vi ph©n dÉn nhiÖt vµ c¸c ph−¬ng tr×nh m« t¶ c¸c ®IÒu kiÖn ®¬n trÞ nh− ®· nªu ë môc (9.3): ⎧ ∂t ⎪ = a∇ 2 t ( t )⎨ ∂τ ⎪C¸c ph−ong trinh m« t¶ c¸c dkdt ⎩ Gi¶i bµi to¸n dÉn nhiÖt lµ t×m hµm ph©n bè nhiÖt ®é t(x, y, z, τ) tho¶ m·n mäi ph−¬ng tr×nh cña hÖ (t) nãi trªn. 9.4. DÉn nhiÖt æn ®Þnh trong v¸ch ph¼ng 9.4.1. V¸ch 1 líp, biªn lo¹i 1 9.4.1.1. Bµi to¸n Cho 1 v¸ch ph¼ng réng v« h¹n, dµy δ, (0 ≤ x ≤ δ), lµm b»ng vËt liÖu ®ång chÊt cã hÖ sè dÉn nhiÖt λ = const, nhiÖt ®é t¹i hai mÆt v¸ch ph©n bè ®Òu b»ng t1, t2 vµ kh«ng ®æi. T×m ph©n bè nhiÖt ®é t(x) bªn trong v¸ch. Bµi to¸n dÉn nhiÖt æn ®Þnh nµy ®−îc m« t¶ bëi hÖ ph−¬ng tr×nh (t) cã d¹ng: 98
⎧ d2t ⎪ 2 =0 (1) ⎪ dx ( t ) ⎨ t ( 0) = t 1 (2) ⎪ t ( δ) = t (3) ⎪ 2 ⎩ 9.4.1.2. T×m ph©n bè nhiÖt ®é t(x) NghiÖm tæng qu¸t cña ph−¬ng tr×nh vi ph©n dÉn nhiÖt (1) cã d¹ng t(x) = C1x + C2. C¸c h»ng sè C1, C2 ®−îc x¸c ®Þnh theo c¸c §KB (2) vµ (3): ⎧ t (0) = C 2 = t 1 ⎪ ( t )⎨ 1 t ( δ) = C 1 δ + C 2 = t 2 → C 1 = ( t 2 − t 1 ) ⎪ δ ⎩ 1 VËy ph©n bè nhiÖt ®é trong v¸ch lµ t(x) = t 1 − ( t 1 − t 2 ) x , cã d¹ng ®−êng δ th¼ng qua 2 ®iÓm (0. t1) vµ (δ, t2). 9.4.1.3. TÝnh dßng nhiÖt dÉn qua v¸ch Theo ®Þnh luËt Fourier ta cã: dt t 1 − t 2 ∆t q = −λ = = , (W/m2), ρ dx R λ δ , (m2K/W) gäi lµ nhiÖt trë cña v¸ch ph¼ng. víi R = λ 9.4.2. V¸ch n líp, biªn lo¹i 1 9.4.2.1. Bµi to¸n 99
Cho v¸ch ph¼ng n líp, mçi líp thø i dµy δ, cã hÖ sè dÉn nhiÖt λ, 2 mÆt biªn cã nhiÖt ®é kh«ng ®æi, ph©n bè ®Òu vµ b»ng t0, tn cho tr−íc. TÝnh dßng nhiÖt q qua v¸ch vµ nhiÖt ®é c¸c mÆt tiÕp xóc ti, ∀i = 1 ÷ (n-1). 9.4.2.2. Lêi gi¶i Khi æn ®Þnh, dßnh nhiÖt q qua mäi líp lµ kh«ng ®æi: t 0 − t 1 t i − t i +1 t n −1 − t n q= = = δ1 δi δn λ1 λi λn §©y lµ hÖ n ph−¬ng tr×nh ®¹i sè tuyÕn tÝnh cña Èn sè ti vµ q. b»ng c¸ch khö c¸c Èn sè ti, ∀ i = 1 ÷ (n-1), sÏ t×m ®−îc: t0 − tn ∆t q= = , (W/m2). ∑ δi n Ri ∑λ i =1 i Thay q vµo lÇn l−ît mçi ph−¬ng tr×nh ta t×m ®−îc nhiÖt ®é c¸c mÆt tiÕp xóc: 1 ( t i −1 − t i ) x , ∀ i = 1 ÷ n. ti = ti-1 - δi Ph©n bè nhiÖt ®é trong mçi líp thø I lµ ®o¹n th¼ng cã d¹ng: 1 ( t i −1 − t i ) x , ∀ i = 1 ÷ n. ti(x) = ti-1 - δi 9.4.3. V¸ch mét líp, biªn lo¹i 3 9.4.3.1. Bµi to¸n Cho v¸ch ph¼ng réng v« h¹n, dµy δ, hÖ sè dÉn nhiÖt λ = const, mÆt x = 0 tiÕp xóc víi chÊt láng 1 cã nhiÖt ®é tf1 víi hÖ sè to¶ nhiÖt α1, mÆt x = δ tiÕp xóc víi chÊt láng 2 cã nhiÖt ®é tf2 víi hÖ sè to¶ nhiÖt α2, t×m ph©n bè nhiÖt ®é t(x) trong v¸ch. M« h×nh bµi to¸n cã d¹ng: 100
⎧ d2t ⎪ 2 =0 (1) ⎪ dx ⎪ ( t )⎨α 1 [t f 1 − t (0)] = −λ dt (0) (2) dx ⎪ dt (δ) ⎪α [t (δ) − t ] = −λ (3) ⎪2 f2 ⎩ dx 9.4.3.2. T×m ph©n bè t(x) NghiÖm tæng qu¸t cña (1) lµ: t(x) = C1x + C2. C¸c h»ng sè C1, C2 ®−îc x¸c ®Þnh theo (2) vµ (3): ⎧ α 1 ( t f 1 − C 2 ) = − λC 1 ⎨ ⎩α 2 (C1δ + C 2 − t f 2 ) = −λC1 Gi¶i hÖ nµy ta ®−îc: t f1 − t f 2 ⎧ ⎪C1 = λ λ +δ+ ⎪ α1 α2 ⎨ ⎪ λ ⎪ C 2 = t f1 + C1 α2 ⎩ Do ®ã ph©n bè t(x) cã d¹ng: ⎛ λ⎞ t f1 − t f 2 ⎜x + ⎟ t (x ) = t f 1 − ⎜ α1 ⎟ λ λ⎝ ⎠ +δ+ α1 α2 §å thÞ t(x) lµ ®o¹n th¼ng ®i qua 2 ®iÓm ⎛λ ⎞ ⎛ ⎞ λ R1⎜ − ⎜ α , t f 1 ⎟ vµ R 2 ⎜ δ + α , t f 2 ⎟ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 1 2 ®−îc gäi lµ c¸c ®iÓm ®Þnh h−íng cña §KB lo¹i 3. 9.4.3.3. TÝnh doang nhiÖt q Theo ®Þnh luËt Fourier ta cã: t f1 − t f 2 dt q = −λ = −λ C1 = , (W/m2), 1δ1 dx ++ α1 λ α 2 Theo biÓu thøc t(x) cã thÓ tÝnh nhiÖt ®é t¹i 2 mÆt v¸ch theo: t f1 − t f 2 ⎧ ⎪ t w1 = t (0) = t f 1 − αδ α ⎪ 1+ 1 + 1 λ α2 ⎪ ⎨ ⎪ t w 2 = t (δ) = t f 1 − t f 1 − t f 2 ⎛ δ + λ ⎞ ⎜ ⎟ λ⎜ α1 ⎟ λ ⎪ ⎝ ⎠ +δ+ ⎪ α1 α2 ⎩ 101
9.5. DÉn nhiÖt trong v¸ch trô 9.5.1. Trô mét líp, biªn lo¹i 1 Bµi to¸n: Cho v¸ch trô 1 líp ®ång chÊt, b¸n kÝnh trong r1, ngoµi r2, λ = const, hai mÆt biªn cã nhiÖt ®é t1, t2. T×m ph©n bè nhiÖt ®é t(r) trong trô vµ nhiÖt l−îng Q ql = , (W/m), truyÒn qua 1m dµi mÆt trô. Trong to¹ ®é trô, m« h×nh bµi to¸n trªn l cã d¹ng: ⎧ d 2 t 1 dt ⎪ 2+ =0 (1) r dr dr ⎪ ( t )⎨ t (r1 ) = t 1 (2) ⎪ t (r ) = t (3) ⎪2 2 ⎩ 9.5.1.2. T×m ph©n bè t(r) dt §æi biÕn u = th× ph−¬ng tr×nh vi ph©n dÉn nhiÖt (1) cã d¹ng: dr du u du dr + = 0 hay =− . dr r u r LÊy tÝch ph©n lÇn 1 ta cã: ln C1 C dt dt = u = 1 → dt = C1 . Lnu = - ln r + ln C1 = hay ln r dr r r LÊy tÝch ph©n lÇn 2 ta cã nghiÖm tæng qu¸t cña (1) lµ: t(r) = C1ln r + C2, C¸c h»ng sè C1, C2 ®−îc tÝnh theo §KB (2) vµ (3): t − t2 ⎧ C =− 1 t (r1 ) = t 1 = C1 ln r1 + C 2 ⎫ ⎪ 1 ⎪ r ⎬→⎨ ln 2 t (r2 ) = t 2 = C1 ln r2 + C 2 ⎭ ⎪ r1 ⎪C 2 = t 1 − C1 ln r1 ⎩ VËy ph©n bè nhiÖt ®é trong v¸ch trô cã d¹ng: t1 − t 2 r t (r ) = t 1 − ln r r1 ln 2 r1 §−êng cong t(r) cã d¹ng logarit ®i qua 2 ®iÓm (r1, t1) vµ (r2, t2). 9.5.1.3. TÝnh nhiÖt l−îng Dßng nhiÖt qua 1m2 mÆt trô b¸n kÝnh r bÊt kú lµ: λ( t 1 − t 2 ) , w/m2, C dt q = −λ = −λ 1 = r dr r r ln 2 r1 102
lu«n gi¶m khi r t¨ng. L−îng nhiÖt qua 1m dµi mÆt trô b¸n kÝnh r bÊt kú lµ: (t − t ) Q q.2πrl ∆t , (w/m), ql = = = −2πλC1 = 1 2 = r 1 l l Rl ln 2 2πλ r1 Víi R l = 1 ln r2 , (mK/W) lµ nhiÖt trë cña 1m trô. V× ql = const víi mäi 2πλ r1 mÆt trô, kh«ng phô thuéc vµo b¸n kÝnh r nªn ql ®−îc coi lµ 1 ®¹i l−îng ®Æc tr−ng cho dÉn nhiÖt qua v¸ch trô. 9.5.2. Trô n líp biªn lo¹i 1 9.5.2.1. Bµi to¸n Cho v¸ch trô n líp, b¸n kÝnh trong r0, r1, . . . ri, . . . rn, cã hÖ sè dÉn nhiÖt λi, cã nhiÖt ®é 2 mÆt biªn kh«ng ®æi t0, tn. T×m l−îng nhiÖt ql , qua 1m dµi mÆt trô, nhiÖt ®é ti, ∀ i = 1 ÷ (n-1) c¸c mÆt tiÕp xóc vµ ph©n bè nhiÖt ®é ti(r) trong mçi líp. 9.5.2.2. Lêi gi¶i V× ql = const víi mäi líp nªn cã hÖ ph−¬ng tr×nh: ( t i −1 − t i ) ql = , ∀i = 1 ÷ n, n ri 1 ∑ 2πλ ln r i =1 i −1 i B»ng c¸ch khö (n-1) Èn ti, ∀ i = 1 ÷ (n-1) se thu ®−îc: (t 0 − t n ) ql = , , (W/m) n ri 1 ∑ 2πλ ln r i =1 i −1 i n trong ®ã: R l = ∑ 1 ln ri , , (mK/W) lµ tæng nhiÖt trë cña 1m v¸ch trô n líp. i =1 2 πλ i ri −1 TÝnh ti, ∀ i = 1 ÷ (n-1) lÇn l−ît theo ql ta ®−îc: r 1 t l = t l −1 − ln i , ∀i = 1 ÷ (n − 1), 2πλ i ri −1 Ph©n bè nhiÖt ®é trong mçi líp thø i cã d¹ng: t i − t i −1 r t l (r ) = t l − , ∀i = 1 ÷ (n − 1), ln ri ri −1 ln ri −1 103
lµ ®−êng cong logarit ®I qua 2 ®iÓm (ri-1, ti-1) vµ (ri, ti). 9.5.3. V¸ch trô mét líp biªn lo¹i 3 9.5.3.1. Bµi to¸n T×m ph©n bè nhiÖt ®é t(r) trong v¸ch trô ®ång chÊt cã r1, r2, λ cho tr−íc, mÆt trong tiÕp xóc víi chÊt láng nãng cã tf1, α1, mÆt ngoµi tiÕp xóc víi chÊt láng l¹nh cã tf2, α2. Trong to¹ ®é trô, m« h×nh bµi to¸n cã d¹ng: ⎧ d 2 t 1 dt + =0 ⎪ (1) dr r dr ⎪ ( t )⎨ α 1 [t f 1 − t (r1 )] = −λt r (r1 ) (2) ⎪α [t (r ) − t ] = −λt (r ) (3) ⎪2 2 f2 r2 ⎩ 9.5.3.2. T×m ph©n bè t(r) NghiÖm tæng qu¸t cña (1) lµ: t(r) = C1x + C2. C¸c h»ng sè C1, C2 ®−îc x¸c ®Þnh theo c¸c §KB (2) vµ (3): ⎧ C1 ⎪ α 1 ( t f 1 − C1 ln r1 − C 2 ) = −λ r ⎪ ⎨ 1 C1 ⎪α 2 (C1 ln r2 + C 2 − t f 2 ) = −λ ⎪ ⎩ r2 Gi¶i ra ta ®−îc: t f 2 − t f1 C1 = ; vµ C2 = tf2 + C1; λ λ r2 + + ln α 1 r1 α 2 r2 r1 VËy: ⎛r λ⎞ t f1 − t f 2 ⎜ ln + ⎜ r α r ⎟. t (r ) = t f 1 − ⎟ λ λ r ⎝1 11⎠ + + ln 2 α 1 r1 α 2 r2 r1 ⎛ ⎞ λ §å thÞ t(r) cã d¹ng loarit tiÕp tuyÕn t¹i r1 qua ®iÓm R 1 ⎜ r1 − , t f 1 ⎟ vµ tiÕp ⎜ ⎟ α ⎝ ⎠ 1 ⎛ ⎞ λ tuyÕn t¹i r1 qua ®iÓm R 2 ⎜ r2 + ,tf2 ⎟ . ⎜ ⎟ α2 ⎝ ⎠ 9.5.3.3. TÝnh nhiÖt l−îng q1 L−îng nhiÖt qua 1m dµi mÆt trô kh«ng ®æi vµ b»ng: 104
Q l λt r 2πrl (t f 1 − t f 2 ) ql = = = , (w/m), r2 1 1 1 l l + + ln 2πr1 α 1 2πr2 α 2 2πλ r1 NhiÖt ®é c¸c mÆt biªn lµ: λ (t f 1 − t f 2 ) r1 α 1 t w1 = t (r1 ) = t f 1 − λ λ r + + ln 2 r1 α 1 r2 α 2 r1 λ r ( t f 1 − t f 2 )(ln 2 + ) r1 r1α 1 . = t (r2 ) = t f 1 − t w2 λ λ r + + ln 2 r1 α 1 r2 α 2 r1 9.6. DÉn nhiÖt qua c¸nh Khi muèn t¨ng c−êng truyÒn nhiÖt, ng−êi ta th−êng g¾n c¸c c¸nh trªn mÆt to¶ nhiÖt, ch¼ng h¹n trªn xilanh hoÆc stato cña c¸c ®éng c¬. Theo kÕt c©u, ng−êi ta cã thÓ g¾n c¸nh th¼ng, c¸nh trßn tiÕt diÖn kh«ng ®æi, h×nh thang hoÆc tam gi¸c. §Æc ®IÓm cña c¸nh lµ chiÒu dµy δ cña c¸nh rÊt bÐ so víi c¸c kÝch th−íc kh¸c, do ®ã nhiÖt ®é t¹i mçi tiÕt diÖn f ®−îc coi lµ ph©n bè ®Òu vµ chØ thay ®æi theo chiÒu cao x cña c¸nh. 9.6.1. Bµi to¸n truyÒn nhiÖt qua c¸nh ph¼ng cã tiÕt diÖn kh«ng ®æi T×m ph©n bè nhiÖt ®é vµ l−îng nhiÖt truyÒn qua 1 c¸nh th¼ng cã diÖn tÝch f = δL vµ chu vi tiÕt diÖn u = 2(L + δ) kh«ng ®æi, khi nã tiÕp xóc chÊt láng nãng cã nhiÖt ®é tf1 víi hÖ sè to¶ nhiÖt α1 vµ t¹i ®Ønh c¸nh lµ αl, biÕt chiÒu cao l vµ nhiÖt ®é t¹i gèc lµ t0. ⎧ d 2 t 1 dt + =0 ⎪ (1) dr r dr ⎪ ( t )⎨ α 1 [t f 1 − t (r1 )] = −λt r (r1 ) (2) ⎪α [t (r ) − t ] = −λt (r ) (3) ⎪2 2 f2 r2 ⎩ 9.6.2. T×m ph©n bè nhiÖt ®é T¹i ®é cao x xÐt ph©n tè dV = f.dx cña c¸nh. Ph©n tè nµy cã biªn lo¹i 3 t¹i mÆt udx nªn nã kh«ng ph¶i ph©n tè trong, kh«ng tu©n theo ph−¬ng tr×nh ∂t = a∇ 2 t , Ph−¬ng tr×nh c©n b»ng nhiÖt cho dV lµ: ∂τ δQα = Qx - Qx+dx . 105
NÕu gäi θ(x) = t(x) – tf th× ph−¬ng tr×nh trªn cã d¹ng: dθ dθ ⎞ d 2θ d⎛ αθudx = −λ f + λ ⎜ θ + dx ⎟f = λf 2 dx , hay dx ⎝ dx ⎠ dx dx αu θ"− θ = θ"− − m 2 θ = 0 λf αu , (m-1). víi m = λf NghiÖm tæng qu¸t cña ph−¬ng tr×nh trªn cã d¹ng: θ(x) = C1eml + C2e-ml. C¸c h»ng sè C1 vµ C2 t×m theo §KB lo¹i 1 t¹i x = 0 vµ lo¹i 3 t¹i x = l: θ(0) = t 0 − t f = θ 0 ⎫ ⎧ θ 0 = C1 + C 2 ⎪ ⎬ → ⎨mC e ml − mC e − ml = − α 1 (C e ml − C e − ml ) − λθ' (l) = α 2 θ(i) ⎭ ⎪ 1 λ ⎩ 2 1 2 Gi¶i ra ta ®−îc: α1 ch[m(l − x )] + sh[m(l − x )] mλ θ( x ) = θ 0 α ch (ml) + 1 sh (ml) mλ Trong tÝnh to¸n kü thuËt, cã thÓ coi α1 = 0 (do f