95
.Ch−¬ng 9. dÉn nhiÖt æn ®Þnh
9.1. ®Þnh luËt fourier vµ hÖ sè dÉn nhiÖt
9.1.1 §Þnh luËt fourier vµ hÖ sè dÉn nhiÖt
Dùa vµo thuyÕt ®éng häc ph©n tö, Fourier ®· chøng minh ®Þnh luËt c¬ b¶n
cña dÉn nhiÖt nh− sau:
Vec t¬ dßng nhiÖt tû lÖ thuËn víi vect¬ gradient nhiÖt ®é.
BiÓu thøc cña ®Þnh luËt cã d¹ng vect¬ lµ: ,dtagrq λ−= d¹ng v« h−íng lµ:
.
tn
dt
gradtq λ−=λ−=
Theo ®Þnh luËt nµy, nhiÖt l−¬ng Q ®−îc dÉn qua diÖn tÝch F cña mÆt ®¼ng
nhiÖt trong 1 gi©y ®−îc tÝnh theo c«ng thøc:
∫∂
∂
λ−=
F
dF.
n
t
Q
Khi gradt kh«ng ®æi trªn bÒ mÆt F, c«ng thøc cã d¹ng:
dF.
n
t
Q
∂
∂
λ−=
§Þnh luËt Fourier lµ ®Þnh luËtc¬ b¶n ®Ó tÝnh l−îng nhiÖt trao ®æi b»ng
ph−¬ng thøc dÉn nhiÖt.
9.1.2 HÖ sè dÉn nhiÖt λ
HÖ sè cña ®Þnh luËt Fourier gradt
q
=λ , W/mK ®−îc gäi lµ hÖ sè dÉn nhiÖt.
HÖ sè dÉn nhiÖt λ ®Æc tr−ng cho kh¶ n¨ng dÉn nhiÖt cña vËt. Gi¸ trÞ cña λ
phô thuéc vµo b¶n chÊt vµ kÕt cÊu cña vËt liÖu, vµo ®é Èm vµ nhiÖt ®é, ®−îc x¸c
®Þnh b»ng thùc nghiÖm víi tõng vËt liÖu vµ cho s½n theo quan hÖ víi nhiÖt ®é t¹i
b¶ng c¸c th«ng sè vËt lý cña vËt liÖu.
9.2. Ph−¬ng tr×nh vi ph©n dÉn nhiÖt
9.2.1. Néi dung cña ph−¬ng tr×nh vi ph©n dÉn nhiÖt
Ph−¬ng tr×nh vi ph©n dÉn nhiÖt lµ ph−¬ng tr×nh c©n b»ng nhiÖt cho mét
ph©n tè bÊt kú n»m hoµn toµn bªn trong vËt dÉn nhiÖt.
9.2.2. ThiÕt lËp ph−¬ng tr×nh
XÐt c©n b»ng nhiÖt cho ph©n tè dV bªn trong vËt dÉn, cã khèi l−îng riªng
ρ, nhiÖt dung riªng Cv, hÖ sè dÉn nhiÖt λ, dßng nhiÖt ph©n tè lµ q, c«ng suÊt ph¸t
nhiÖt qv.
96
Theo ®Þnh luËt b¶o toµn n¨ng l−îng, ta cã:
[§é biÕn thiªn néi n¨ng cña dV] = [HiÖu sè nhiÖt l−îng (vµo-ra) dV] +
[l−îng nhiÖt sinh ra trong dV], tøc lµ:
τ+τ−=
τ∂
∂
ρd.dV.qd.dV.divq
t
C.dV. vv ,
hay:
v
v
vC.
q
qdiv
C.
1t
ρ
+
ρ
=
τ∂
∂
Theo ®Þnh luËt fourier ,dtagrq λ−=
khi λ = const ta cã:
)dtagr(div)dtagr(divqdiv λ−=λ−=
Trong ®ã:
Div(gradt) = t
z
t
zy
t
yx
t
x
2
∇=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
∂
∂
∂
∂
+
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
∂
∂
∂
∂
+
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
∂
∂
∂
∂,
Víi:
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎨
⎧
ϕ
∂
∂
+
ϕ∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
=∇
z) , r, trô dé to¹ (trong ,
z) y, x,víi gãc vu«ng dé to¹ (trong ,
2
2
2
2
22
2
2
2
2
2
2
2
2
z
tt
r
1
r
t
.
r
1
r
t
z
t
y
t
x
t
t
Ph−¬ng tr×nh vi ph©n dÉn nhiÖt lµ ph−¬ng tr×nh kÕt hîp hai ®Þnh luËt nãi
trªn, cã d¹ng:
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
λ
+∇=
ρ
+∇
ρ
λ
=
τ∂
∂v
2
v
v
2
v
q
ta
C.
q
t
C.
t
víi a =
v
C.ρ
λ, m2/s., ®−îc gäi lµ hÖ sè khuyÕch t¸n nhiÖt, ®Æc tr−ng cho møc ®é
tiªu t¸n nhiÖt trong vËt.
9.2.3. C¸c d¹ng ®Æc biÖt cña ph−¬ng tr×nh vi ph©n dÉn nhiÖt víi qv = 0
Khi vËt æn ®Þnh nhiÖt, 0
t=
τ
∂
∂
, ph−¬ng tr×nh cã d¹ng 0t
2=∇ . Trong v¸ch
ph¼ng réng v« h¹n vµ æn ®Þnh nhiÖt cã λ = const, tr−êng nhiÖt ®é t(x) ®−îc x¸c
®Þnh theo ph−¬ng tr×nh 0
dx
td
2
2
=. Trong ®iÒu kiÖn λ = const vµ æn ®Þnh nhiÖt,
tr−êng nhiÖt ®é t(r) trong v¸ch trô trßn dµI v« h¹n ®−îc x¸c ®Þnh theo ph−¬ng
tr×nh vi ph©n dÉn nhiÖt trong to¹ ®é trô:
0
d
r
dt
r
1
dx
td
2
2
=+ .
9.3. C¸c ®iÒu kiÖn ®¬n trÞ
97
Ph−¬ng tr×nh vi ph©n dÉn nhiÖt nãi chung lµ ph−¬ng tr×nh ®¹o hµm riªng
cÊp 2, chøa Èn lµ hµm ph©n bè nhiÖt ®é t(x, y, z, τ). NghiÖm tæng quat cña nã chøa
nhiÒu h»ng sè tuú ý chän.
®Ó x¸c ®Þnh duy nhÊt nghiÖm riªng cña ph−¬ng tr×nh vi ph©n dÉn nhiÖt, cÇn
ph¶i cho tr−íc mét sè ®iÒu kiÖn, gäi lµ c¸c ®iÒu kiÖn ®¬n trÞ.
9.3.1. Ph©n lo¹i c¸c ®iÒu kiÖn ®¬n trÞ
Tuú theo néi dung, c¸c ®iÒu kiÖn ®¬n trÞ bao gåm 4 lo¹i sau:
- §iÒu kiÖn h×nh häc cho biÕt mäi th«ng sè h×nh häc ®ñ ®Ó x¸c ®Þnh kÝch
th−íc, h×nh d¹ng, vÞ trÝ cña hÖ vËt V.
- §iÒu kiÖn vËt lý cho biÕt luËt ph©n bè c¸c th«ng sè vËt lý theo nhiÖt ®é t¹i
mäi ®iÓm M ∈ V, tøc cho biÕt (ρ, Cv, λ, a . . . ) = f(t, M ∈ V).
- §iÒu kiÖn ban ®Çu cho biÕt luËt ph©n bè nhiÖt ®é t¹i thêi ®iÓm τ = 0 t¹i
mäi ®iÓm M∈ V, tøc cho biÕt t(M ∈ V, τ = 0) = t(x, y, z).
- §iÒu kiÖn biªn cho biÕt luËt ph©n bè nhiÖt ®é hoÆc c©n b»ng nhiÖt t¹i mäi
®iÓm M trªn biªn W cña hÖ V t¹i mäi thêi ®iÓm τ. NÕu ký hiÖu dßng nhiÖt qλ dÉn
trong vËt V ®Õn M ∈ W lµ n
t.
n
t
qλ−=
∂
∂
λ−=
λ, th× ®iÒu kiÖn biªn cã thÓ cho ë
d¹ng:
),0(,W¦M
),M(q),M(tq
),M(tt
n
w∞∈τ∀∈∀
⎭
⎬
⎫
τ=τλ−=
τ=
λ
hoÆc .
§iÒu kiÖn h×nh häc, vËt lý vµ ®iÒu kiÖn biªn cÇn ph¶i cho tr−íc trong mäi
bµi to¸n. Riªng ®iÒu kiÖn ban ®Çu chØ cÇn cho trong bµi to¸n kh«ng æn ®Þnh.
9.3.2. C¸c lo¹i ®iÒu kiÖn biªn
T¹i mçi mÆt biªn Wi ∈ W = ∑Wi cña vËt V, tuú theo c¸ch ph©n bè nhiÖt ®é
hoÆc c¸ch trao ®æi nhiÖt víi m«i tr−êng kh¸c nhau, ®iÒu kiÖn biªn cã thÓ ®−îc cho
theo c¸c lo¹i sau ®©y:
- §KB lo¹i 1: cho biÕt luËt ph©n bè nhiÖt ®é t¹i mäi ®iÓm M1 ∈ W1 ë d¹ng:
t
w1 = t(M1, τ).
- §KB lo¹i 2: cho biÕt dßng nhiÖt qua ®iÓm M2 ∈ W2 lµ:
q(M
2, τ) = -λ.tn.(M2, τ).
§Æc biÖt khi W2 ®−îc c¸ch nhiÖt tuyÖt ®èi hoÆc lµ mÆt ®èi xøng cña bµi
to¸n, th× tn(M2, τ) = 0 vµ hµm t sÏ ®¹t cùc trÞ t¹i M2 ∈ W2.
- §KB lo¹i 3: cho biÕt biªn W3 tiÕp xóc chÊt láng cã nhiÖt ®é tf víi hÖ sè
to¶ nhiÖt α vµ luËt c©n b»ng nhiÖt t¹i W3 ∈ W3 cã d¹ng:
q
λ = qα hay -λ.tn.(M3, τ) = α[t(M3, τ) – tf ].
- §KB lo¹i 4: cho biÕt biªn W4 tiÕp xóc víi m«i tr−êng r¾n cã ph©n bè
nhiÖt ®é t4 vµ luËt c©n b»ng nhiÖt t¹i W4 ∈ W4 lµ qλ = qλ4 hay -λ.tn.(M4, τ) =
-λ4.tn.(M4, τ).
98
- §KB lo¹i 5: cho biÕt trªn biªn W5 cã sù trao ®æi chÊt do sù khuyÕch t¸n
hay chuyÓn pha (ch¼ng h¹n do ho¸ láng, ho¸ r¾n hoÆc th¨ng hoa, kÕt tinh). Khi ®ã
chÝnh biªn W5 sÏ di chuyÓn vµ khèi l−îng vËt V sÏ thay ®æi vµ ph−¬ng tr×nh c©n
b»ng nhiÖt t¹i ®iÓm M5 trªn biªn W5 di ®éng sÏ cã d¹ng:
q
λ = qλ’ + qr hay -λtn(M5, τ) = -λ’t’n(M5, τ) + r τ
ρ
d
dx
.5.
trong ®ã:
τ
d
dx5 lµ tèc ®é di chuyÓn cña ®iÓm M5 ∈ W5,
r lµ nhiÖt chuyÓn pha j/kg.
- §KB lo¹i 6: cho biÕt biªn W6 tiÕp gi¸p víi m«i tr−êng ch©n kh«ng, ë ®ã
chØ xÈy ra sù trao ®æi nhiÖt b»ng bøc x¹ vµ ph−¬ng tr×nh c©n b»ng nhiÖt t¹i W6 ∈
W6 cã d¹ng:
q
λ = qε hay -λtn(M6, τ) =εσ0T4(M6, τ).
- §KB lo¹i 7: cho biÕt biªn W7 tiÕp xóc víi chÊt khÝ cã nhiÖt ®é Tk, ë ®ã cã
sù trao ®æi nhiÖt b»ng c¶ ®èi l−u vµ bøc x¹. Ph−¬ng tr×nh c©n b»ng nhiÖt t¹i W7 ∈
W7 cã d¹ng:
qλ = qλ + qr hay -λtn(M7, τ) = α[T(M7, τ) - Tk] + εσ0[T4(M7, τ) – T4k].
§KB lo¹i 7 cã thÓ qui vÒ lo¹i 3 nÕu viªt ph−¬ng tr×nh trªn ë d¹ng:
qλ = )TT( kw −α víi )TT/()TT( kw
4
k
4
w0 −−εσ+α=α , ®−îc gäi lµ hÖ
sè to¶ nhiÖ phøc hîp. §KB lo¹i 6 vµ lo¹i 7 lµ nh÷ng §KB kh«ng tuyÕn tÝnh.
9.3.3. M« h×nh bµi to¸n dÉn nhiÖt
Bµi to¸n dÉn nhiÖt cã thÓ ®−îc m« t¶ b»ng mét hÖ ph−¬ng tr×nh vi ph©n (t)
gåm ph−¬ng tr×nh vi ph©n dÉn nhiÖt vµ c¸c ph−¬ng tr×nh m« t¶ c¸c ®IÒu kiÖn ®¬n
trÞ nh− ®· nªu ë môc (9.3):
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧∇=
τ∂
∂
dkdt c¸c t¶ m« trinh ph−ong C¸c
ta
t
)t(
2
Gi¶i bµi to¸n dÉn nhiÖt lµ t×m hµm ph©n bè nhiÖt ®é t(x, y, z, τ) tho¶ m·n
mäi ph−¬ng tr×nh cña hÖ (t) nãi trªn.
9.4. DÉn nhiÖt æn ®Þnh trong v¸ch ph¼ng
9.4.1. V¸ch 1 líp, biªn lo¹i 1
9.4.1.1. Bµi to¸n
Cho 1 v¸ch ph¼ng réng v« h¹n, dµy δ, (0 ≤ x ≤ δ), lµm b»ng vËt liÖu ®ång
chÊt cã hÖ sè dÉn nhiÖt λ = const, nhiÖt ®é t¹i hai mÆt v¸ch ph©n bè ®Òu b»ng t1, t2
vµ kh«ng ®æi.
T×m ph©n bè nhiÖt ®é t(x) bªn trong v¸ch. Bµi to¸n dÉn nhiÖt æn ®Þnh nµy
®−îc m« t¶ bëi hÖ ph−¬ng tr×nh (t) cã d¹ng:
99
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎨
⎧
=δ
=
=
(3)
(2)
(1)
2
1
2
2
t)(t
t)0(t
0
dx
td
)t(
9.4.1.2. T×m ph©n bè nhiÖt ®é t(x)
NghiÖm tæng qu¸t cña ph−¬ng tr×nh vi ph©n dÉn nhiÖt (1) cã d¹ng
t(x) = C1x + C2. C¸c h»ng sè C1, C2 ®−îc x¸c ®Þnh theo c¸c §KB (2) vµ (3):
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
−
δ
=→=+δ=δ
==
)tt(
1
CtCC)(t
tC)0(t
)t(
121221
12
VËy ph©n bè nhiÖt ®é trong v¸ch lµ t(x) = x)tt(
1
t211 −
δ
−, cã d¹ng ®−êng
th¼ng qua 2 ®iÓm (0. t1) vµ (δ, t2).
9.4.1.3. TÝnh dßng nhiÖt dÉn qua v¸ch
Theo ®Þnh luËt Fourier ta cã:
R
t
tt
dx
dt
q21 ∆
=
λ
ρ
−
=λ−= , (W/m2),
víi R = λ
δ, (m2K/W) gäi lµ nhiÖt trë cña v¸ch ph¼ng.
9.4.2. V¸ch n líp, biªn lo¹i 1
9.4.2.1. Bµi to¸n