HỆ THỐNG KIẾN THỨC MÔN HÌNH HỌC PHẦN TRONG KHÔNG GIAN TỌA ĐỘ OXYZ

Chia sẻ: Hoang Thuy | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:23

Thêm vào BST

Báo xấu

508
lượt xem 195
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

a)Tọa độ điểm : * Điểm nằm trên các trục tọa độ -Nếu điểm M nằm trên trục hoành ox ; thì tọa độ M(x; 0;0) -Nếu điểm M nằm trên trục tung oy ; thì tọa độ M(0; y;0) -Nếu điểm M nằm trên trục cao oz ; thì tọa độ M(0; 0;z)

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: HỆ THỐNG KIẾN THỨC MÔN HÌNH HỌC PHẦN TRONG KHÔNG GIAN TỌA ĐỘ OXYZ

H TH NG KI N TH C MÔN HÌNH H C PH N TRONG KHÔNG GIAN T A OXYZ …………………………………….* * * ……………………………………….. KI N TH C CƠ B N : 1 - H tr c t a : z - N u : OM = x .i + y . j + z .k ; thì t a i m M là : M ( x;y;z) O x y - Tr c ox là tr c hoành ; trên ó có véc tơ i = (1;0;0) - Tr c oy là tr c tung ; trên ó có véc tơ j = (0;01;0) - Tr c oz là tr c cao ; trên ó có véc tơ k = ( 0 ; 0 ;1) - i m O là g c t a ; O ( 0;0;0) 2- Các công th c t a i m và vécto a)T a i m: * i m n m trên các tr c t a -N u i m M n m trên tr c hoành ox ; thì t a M(x; 0;0) -N u i m M n m trên tr c tung oy ; thì t a M(0; y;0) -N u i m M n m trên tr c cao oz ; thì t a M(0; 0;z) * i m n m trên các m t ph ng t a -N u i m M n m trong m t ph ng (oxy) ; thì t a M(x; y;0) -N u i m M n m trong m t ph ng (oyz) ; thì t a M(0; y;z) -N u i m M n m trong m t ph ng (oxz) ; thì t a M(x; 0;z) b)T a trung i m c a m t o n th ng ; trong tâm c a tam giác ; c a t di n A( x1 ; y1 ; z1 ) và B( x2 ; y2 ; z2 ) *T a trung i m M c a o n th ng AB ; v i
 x + x y + y2 z1 + z2  M 1 2 ; 1 ;  Thì t a trung i m M là : 2 2 2 A( x1 ; y1 ; z1 ) ; B( x2 ; y2 ; z2 ) ; *T a tr ng tâm G c a tam giác ABC ; v i C ( x3 ; y3 ; z3 ) . Thì t a tr ng tâm G  x + x + x y + y2 + y3 z1 + z2 + z3  G 1 2 3 ; 1 ;  3 3 3   A( x1 ; y1 ; z1 ) ; B( x2 ; y2 ; z2 ) ; *T a tr ng tâm G c a t di n ABCD ; v i C ( x3 ; y3 ; z3 ) ; D( x4 ; y4 ; z4 ) Thì t a trung i m G là :  x + x + x + x y + y2 + y3 + y4 z1 + z2 + z3 + z4  G 1 2 3 4 ; 1 ;  4 4 4   c) Công th c tính dài c a m t o n th ng A( x1 ; y1 ; z1 ) và B( x2 ; y2 ; z2 ) thì ta có : Cho hai i m : (x2 − x1 )2 + ( y2 − y1 )2 + (z2 − z1 )2 AB = Chú ý : dùng công th c tính dài o n th ng tính chu vi c a m t tam giác ; t giác ; kho ng cách t m t i m nm t i m b) T a vécto A( x1 ; y1 ; z1 ) và B( x2 ; y2 ; z2 ) ; khi ó ta có công th c tính t a * Cho hai i m AB là : AB = ( x2 − x1 ; y2 − y1; z2 − z1 ) c a vecto * Cho hai vecto: a = (a1 ; a 2 ; a3 ) và b = (b1 ; b2 ; b3 ) ; khi dó ta có các công th c tính như sau : Ct1: (T a vecto t ng và vecto hi u c a các vecto )
a + b = (a1 + b1 ; a2 + b2 ; a3 + b3 ) và a − b = (a1 − b1 ; a2 − b2 ; a3 − b3 ) Ct2: (T a vecto tích m t s th c v i m t vecto ) ka = (ka1 ; ka2 ; ka3 ) (v i k l à m t s t h c b t k ỳ ) Ct3 : ( Tích vô hư ng hai vecto) ab = a1 .b1 + a2 .b2 + a3 .b3 Ct4 : ( Hai vecto cùng phương ) a1 a2 a3 a // b ⇔ a = k b ⇔ = = b1 b2 b3 Chú ý : V n d ng hai vecto cùng phương ch ng minh : -Ba i m th ng hàng ( hay không th ng hàng ; khi hai vecto không cùng phương ) -Hai ư ng th ng song song Ct5 : ( Hai vecto vuông góc ) a ⊥ b ⇔ ab = 0 ⇔ a1 .b1 + a2 .b2 + a3 .b3 = 0 Chú ý : V n d ng hai vecto vuông góc ch ng minh : -Tam giác vuông -Hai ư ng th ng vuông góc Ct6 : ( Hai vecto b ng nhau ) a1 = b1  a = b ⇔ a2 = b2 ( Hai vecto b ng nhau ) a = b 3 3 Chú ý : V n d ng hai vecto b ng nhau : -Tìm t a i m ; khi bi t t giác ó là m t hình bình hành Ct7: ( Tính góc c a hai vecto) a1 .b1 + a2 .b2 + a3 .b3 a.b () cos a; b = = a12 + a2 + a3 b12 + b2 + b32 2 2 2 a. . b
3) Tích có hư ng hai vecto và áp d ng c a nó : a) Khái ni m : Tích có hư ng hai vecto là m t vecto ; mà vuông góc v i hai vecto ó . [] ký hi u là : a; b b ) Công th c t a c a tích có hư ng hai vecto : *Cho hai vecto: a = (a1 ; a 2 ; a3 ) và b = (b1 ; b2 ; b3 ) ; khi dó ta có các công th c tính như sau : [a; b] =  a  a3 a3 a1 a1 a2  = (a2 .b3 − b2 .a3 ; a3 .b1 − b3 .a1 ; a1 .b2 − b1 .a2 ) 2 ; ;  b b3 b3 b1 b1 b2  2 c) Áp d ng c a tích có hư ng hai vecto -Ad1: ( Tính di n tích c a tam giác ABC ) 1 [ ] AB; AC S ∆ABC = 2 -Ad2 : ( Tính th tích c a t di n ABCD) 1 [ ] AB; AC . AD V∆ABCD = 6 -Ad3: ( Chúng minh b n i m A; B ; C ; D ng ph ng ) [ ] ng ph ng ⇔ AB; AC . AD = 0 Chúng minh b n i m A; B ; C ; D *Chú ý : dài ư ng cao c a tam 1) V n d ng công th c tính di n tích tam giác ta có th tính giác k t m t nh dài ư ng cao c a t 2) V n d ng công th c tính th tích t di n ta có th tính di n k t m t nh 3) V n d ng ch ng minh 4 i m ng ph ng ; ta ch ng minh 4 i m ó l p thành m t t di n ( N u không ng ph ng thì nó l p thành m t t giác )
3) Phương trình m t c u: a) N u m t c u ( S ) có tâm I ( a; b ; c ) và bán kính R thì phương trình m t c u là : (x − a )2 + ( y − b )2 + (z − c )2 = R 2 ( 1) l p ư c phương trình m t c u ta ph i tìm t a Chú ý : tâm và tính bán kính sau ó thay vào phương trình ( 1) Ví d : Vi t phương trình m t c u ( S ) ; trong các trư ng h p sau : 1)Khi bi t m t c u có tâm I và i qua m t i m M thì bán kính là : R = IM 2)Khi m t c u nh n MN làm ư ng kính thì t a tâm I là trung i m c a MN ; 1 và bán kính R = MN 2 3) Khi bi t m t c u có tâm I và ti p xúc v i m t ph ng (P ) : Ax + By + Cz + D = 0 ; thì bán kính là : R = kho ng cách t tâm I n m t ph ng ó . Ta có : Ax I + By I + Cz I + D R= A2 + B 2 + C 2 b) Phương trình t ng quát c a m t c u ( S ) : x 2 + y 2 + z 2 − 2ax − 2by − 2cz + d = 0 ( 2 ) Trong ó : -T a tâm I ( a; b ; c ) -Bán kính R = a 2 + b 2 + c 2 − d ( v i : a 2 + b 2 + c 2 − d > 0 ) Chú ý : l p ư c phương trình m t c u i qua b n i m A; B ; C ; D cho trư c ; ta thay - b n i m ó vào phương trình ( 2) ; r i gi i h phương trình tìm : a; b ; c; d . ta ó ta vi t ư c phương trình m t c u ( S ) T -T phương trình ( 2) ta tìm ư c t a tâm và tính bán kính Ví d : 1)Vi t phương trình m t c u ( S ) ; bi t m t c u i qua b n i m A ( 1; 0; 0 ) ; B ( 0; 1; 0 ) ; C ( 0;0;1) và O ( 0;0; 0 )
2) Xác nh tâm và tính bán kính c a m t c u ( S ) : 2 2 2 a) x + y + z − 8 x + 2 y + 1 = 0 2 2 2 b) 4 x + 4 y + 4 z − 16 x + 8 y − 12 z − 2 = 0 4) PHƯƠNG TRÌNH M T PH NG Ki n th c 1 > Phương trình m t ph ng : D ng c a phương trình m t ph ng : -Phương trình Ax + By + Cz + D = 0 ( trong ó : A; B ; C không ng th i b ng 0) -Phương trình các m t ph ng t a : a) Phương trình m t ph ng (Oxy ) là : z = 0 b) Phương trình m t ph ng (Oyz ) là : x = 0 c) Phương trình m t ph ng (Oz x) là : y= 0 Ki n th c 2 > Phương pháp vi t phương trình m t ph ng : *Phương pháp chung :Mu n vi t phương trình c a m t ph ng ta ph i tìm vecto pháp tuy n n = ( A; B; C ) và m t i m M (x 0 ; y 0 ; z 0 ) mà m t ph ng i qua
Khi ó phương trình m t ph ng ư c vi t : A(x − x 0 ) + B( y − y 0 ) + C (z − z 0 ) = 0 . ó khai tri n và rút g n ưa v phương trình d ng trên T -Cách tìm vecto pháp tuy n c a m t ph ng : Cách 1: N u th y m t ph ng ã có m t ư ng th ng vuông góc v i m t ph ng thì Vecto pháp tuy n chính là vecto ch a o n th ng ó Cách này các bài t p : Bài 1:Vi t phương trình m t ph ng trung tr c c a o n th ng AB HDG: Bư c 1: Theo bài Vecto pháp tuy n c a m t ph ng là AB Bư c 2: M t ph ng i qua trung i m I c a o n th ng AB . Khi ó phương trình m t ph ng thành l p ư c ---------------------------------------------------------------------------------------------------- Bài 2: Vi t phương trình c a m t ph ng i qua i m M và vuông góc v i ư ng th ng AB HDG: Bư c 1: Theo bài Vecto pháp tuy n c a m t ph ng là AB Bư c 2: M t ph ng i qua i m M . Khi ó phương trình m t ph ng thành l p ưc ---------------------------------------------------------------------------------------------------- Bài 3: Vi t phương trình c a m t ph ng i qua i m M và vuông góc v i ư ng  x = x0 + a1t th ng (d) có phương trình  y = y 0 + a 2 t  z = z + a t  0 3 HDG: Bư c 1: Theo bài Vecto pháp tuy n c a m t ph ng là vecto ch phương c a Phương c a ư ng th ng ta có : n = (a1 ; a 2 ; a3 )
Bư c 2: M t ph ng i qua i m M . Khi ó phương trình m t ph ng thành l p ưc ---------------------------------------------------------------------------------------------------- Bài 4: Vi t phương trình m t ph ng ( P ) i qua m t i m M và song song v i m t ph ng (Q ) : Ax + By + Cz + D = 0 HDG: Bư c 1: Theo bài m t ph ng ( P ) song song v i m t ph ng ( Q ); nên vécto Pháp tuy n c a m t ph ng ( P ) là : n = ( A; ; B; C ) Bư c 2: M t ph ng i qua i m M . Khi ó phương trình m t ph ng thành l p ưc --------------------------------------------------------------------------------------------- Cách 2 : N u m t ph ng i qua các i m A(x0 ;0;0 ) ; B(0; y0 ;0 ) ; C (0;0; z 0 ) ( Ba i m này l n lư t n m trên các tr c t a Ox ; Oy ; Oz) x y z =1 + + thì phương trình m t ph ng có d ng : x0 y 0 z 0 Cách 3: Ngoài các d ng bài t p ã nêu trên ; thì còn l i ta gi i như Sau : [] Bư c 1: G i n là vecto pháp tuy n c a m t ph ng ; theo bài ta có : n = a; b ( vecto tích có hư ng c a hai vecto) Bư c 2: Ch n m t i m m t ph ng i qua . Khi ó phương trình m t ph ng thành Lp ưc Ki n th c 3 > Các v trí tương i c a hai m t ph ng : Cho hai m t ph ng ( P ) : Ax + By + Cz + D = 0 và ( Q ) : A’x+ B’ y + C’z + D’= 0 Bư c 1 : Vi t ra các Vecto pháp tuy n c a hai m t ph ng Bư c 2: (l p lu n ) ABC ⇔ ≠ ≠ - hai m t ph ng c t nhau A' B' C '
ABCD ⇔ = = ≠ - hai m t ph ng song song A' B' C ' D' ABCD ⇔ = = = - hai m t ph ng trùng nhau A' B ' C ' D' Chú ý : hai m t ph ng vuông góc v i nhau ⇔ n ( P ) ⊥ n ( Q ) ⇔ n ( P ) .n ( Q ) = 0 ⇔ A. A'+ B.B'+C.C ' = 0 K i n th c 4 > Kho ng cách t m t i m n m t m t ph ng : ( ) Cho m t i m M x0 ; y0; ; z 0 và m t m t ph ng (P): Ax +B y +Cz +D = 0 ( ) i m M x0 ; y0; ; z 0 thì kho ng cách t n m t ph ng ( P) ư c tính b ng Ax 0 + By 0 + Cz 0 + D công th c : d (M /( P) ) = A2 + B 2 + C 2 CÁC D NG TOÁN ÁP D NG CÔNG TH C KHO NG CÁCH D NG 1 Tính kho ng cách t gi a hai m t ph ng( P ) và ( Q ) song song : Ax +By + Cz + D = 0 và Ax + By + Cz + D’ = 0 HDG Th c hi n theo các bư c sau : Bư c 1 ) L y m t i m M n m trong m t ph ng ( P ) Bư c 2 ) Tính kho ng cách t i mM n m t ph ng ( Q) D NG 2
Tìm các i m cách u hai m t ph ng ( P ) :Ax +By + Cz + D = 0 và ( Q ) : A’ x + B’ y +C’z + D’ = 0 HDG Th c hi n theo các bư c sau : Bư c 1 ) G i i m c n tìm là M (x ; y ; z ) Bư c 2 ) Theo bài ta có A' x + B ' y + C ' z + D' Ax + By + Cz + D : d (M /( P) ) = d (M /(Q) ) ⇔ = A2 + B 2 + C 2 A'2 + B '2 +C '2 A = B Bư c 3 ) Kh d u giá tr tuy t i ( theo công th c : A = B ⇔  )t ó  A = −B K t lu n các i m M D NG 3 Vi t phương trình m t c u ( S ) có tâm I và ti p xúc v i m t m t ph ng (P) Ax+By+Cz+D= 0 HDG: Th c hi n theo các bư c : Bư c 1) Theo bài m t c u tâm I và ti p xúc v i m t ph ng ( P) ; nên bán kính c a m t c u là : d (I /( P ) ) = R Bư c 2 ) V y phương trình m t c u là : ……… D NG 4 Vi t phương trình m t ph ng song song v i m t m t ph ng Ax+By+Cz+D= 0 2 2 2 và ti p xúc v i m t m t c u ( S ) x + y + z − 2ax − 2by − 2cz + d = 0 HDG:
Th c hi n theo các bư c : Bư c 1 ) G i ( P ) là m t ph ng c n tìm , theo bài m t ph ng c n tìm song song v i m t ph ng Ax + By + Cz + D = 0 nên phương trình m t ph ng ( P ) : Ax + B y + Cz + D’ = 0(1) ( v i D khác D’) Bư c 2 ) Tìm t a tâm I và tính bán kính c a m t c u (S) Bư c 3 ) Theo bài m t ph ng (P) ti p xúc v i m t c u ( S ) nên ta có : Kho ng cách t tâm I n m t ph ng (P ) b ng bán kính R d (I /( P ) ) = R (2) ; gi i ( 2)( theo công th c : A = B ⇔  A=B )t ó   A = −B tìm D’ thay D’ vào (1) ta có phương trình ( P) -------------------------------------------------------- PHƯƠNG TRÌNH Ư NG TH NG Ki n th c 1 > Cách vi t phương trình ư ng th ng : Mu n vi t phương trình c a ư ng th ng ta tìm vecto ch phương a = (a1 ; a 2 ; a3 ) c a ư ng th ng và tìm m t i m M (x0 ; y0; ; z0 ) mà ư ng th ng i qua . * Có hai d ng  x = x0 + a1t   y = y0 + a2 t D ng 1 : Phương trình tham s z = z + a t  0 3 D ng 2 : Phương trình chính t c x − x0 y − y 0 z − z 0 = = a1 a2 a3
Ki n th c 2 > Các v trí tương i c a ư ng th ng và m t ph ng Mu n xét ( hay ch ng minh ) các v trí tương i c a ư ng th ng(d) và m t ph ng (P) Ta th c hi n theo các bư c sau : Bư c 1: ư ng th ng ( d ) i qua i m M và có vecto ch phương a = (a1 ; a 2 ; a3 ) M t ph ng ( P ) có vecto pháp tuy n n = ( A; B; C ) . ( ây là bư c chung cho các trương h p ) Bư c 2: - TH 1 : ch ng minh ư ng th ng song song v i m t ph ng a) Ta tính tích vô hư ng c a a = (a1 ; a 2 ; a3 ) và n = ( A; B; C ) là : a.n = Aa1 + Ba2 + C.a3 = 0 . ta suy ra a ⊥ n ( 1) b) Ta thay t a i m M vào phương trình m t ph ng ( P ) ; mà không úng ta k t lu n M ∉ ( P) (2) c) T ( 1 ) và (2) ta k t lu n ư ng th ng ( d) song song m t ph ng ( P) - TH 2 : ch ng minh ư ng th ng n m trong m t ph ng a) Ta tính tích vô hư ng c a a = (a1 ; a 2 ; a3 ) và n = ( A; B; C ) là : a.n = Aa1 + Ba2 + C.a3 = 0 . ta suy ra a ⊥ n ( 1) b) Ta thay t a i m M vào phương trình m t ph ng ( P ) ; mà úng ta k t lu n M ∈ ( P) (2) c) T ( 1 ) và (2) ta k t lu n ư ng th ng ( d) n m trong m t ph ng ( P) ( ho ta nói m t ph ng ( P ch a ư ng th ng ( d ) )
- TH 3 : ch ng minh ư ng th ng c t m t ph ng a) Ta tính tích vô hư ng c a a = (a1 ; a 2 ; a3 ) và n = ( A; B; C ) là : a.n = Aa1 + Ba2 + C.a3 ≠ 0 . ta suy ra hai vecto này không vuông góc b ) K t lu n ư ng th ng ( d ) c t m t ph ng ( P ) ư ng th ng vuông góc v i m t ph ng Chú ý : Khi vecto ch phương a = (a1 ; a 2 ; a3 ) c a ư ng th ng và vecto pháp tuy n [] C a n = ( A; B; C ) c a m t ph ng ( P ) cùng phương ⇔ a; n = 0 Hình v tương ng : Chú ý : Mu n tìm giao i m c a ư ng th ng và m t ph ng ta gi i h phương trình  A. x + B . y + C . z + D = 0 (1)  x = x + a t ( 2)  0 1   y = y 0 + a 2 t ( 3)  z = z 0 + a 3t ( 4 )  ( Gi i h : b ng phương pháp th : l y (2); (3 ) ; (4) thay vào (1) ) -N u h có m t nghi m duy nh t thì ư ng th ng c t m t ph ng - N u h vô nghi m thì ư ng th ng song song v i m t ph ng - N u h có vô s nghi m thì ư ng th ng n m trong m t ph ng ( ho c m t ph ng ch a ư ng th ng )
Ki n th c 3 > Các v trí tương i gi a hai ư ng th ng Mu n xét ( hay ch ng minh ) các v trí tương i c a hai ư ng th ng (d) và (d’) Ta th c hi n theo các bư c sau : : ư ng th ng ( d ) i qua i m M và có vecto ch phương a = (a1 ; a 2 ; a3 ) ư ng th ng ( d’ ) i qua i m N và có vecto ch phương b = (b1 ; b2 ; b3 ) ( ây là bư c chung cho các trương h p ) , Sau ó ta căn c vào cho mà ta làm TH1: Xét ( hay ch ng minh ) Hai ư ng th ng c t nhau Ta th c hi n theo các bư c sau : [] Bư c 1:Ta tính a; b tích có hư ng c a hai vecto ch phương a = (a1 ; a 2 ; a3 ) và b = (b1 ; b2 ; b3 ) [] Bư c 2: Ta tính t a ô vecto MN và sau ó tính a; b .MN = 0 (1) T ( 1) ta k t lu n ( d ) c t ( d’) TH2: xét ( hay ch ng minh ) Hai ư ng song song Ta th c hi n theo các bư c sau : [] Bư c 1:Ta tính a; b tích có hư ng c a hai vecto ch phương a = (a1 ; a 2 ; a3 ) và b = (b ; b ; b ) ; mà [a; b ] = 0 ( 1) khi ó hai vesto ch phương cùng phương 1 2 3 Bư c 2: Ta thay t a i m M c a ư ng th ng ( d) vào phương trình c a ư ng Th ng (d’) mà không th a mãn . Thì ta k t lu n ( d) song song ( d’)
TH3: xét ( hay ch ng minh ) Hai ư ng trùng nhau Ta th c hi n theo các bư c sau : [] Bư c 1:Ta tính a; b tích có hư ng c a hai vecto ch phương a = (a1 ; a 2 ; a3 ) và b = (b ; b ; b ) ; mà [a; b ] = 0 ( 1) khi ó hai vecto ch phương cùng phương 1 2 3 Bư c 2: Ta thay t a i m M c a ư ng th ng ( d) vào phương trình c a ư ng Th ng (d’) mà th a mãn . Thì ta k t lu n ( d) trùng ( d’) TH4: xét ( hay ch ng minh ) Hai ư ng chéo nhau Ta th c hi n theo các bư c sau : [] Bư c 1:Ta tính a; b tích có hư ng c a hai vecto ch phương a = (a1 ; a 2 ; a3 ) và b = (b ; b ; b ) ; mà [a; b ] ≠ 0 1 2 3 [] vecto MN và sau ó tính a; b .MN ≠ 0 (1) Bư c 2 Ta tính t a T ( 1) ta k t lu n ( d ) chéo ( d’) CÁC CHÚ Ý: 1)Hai ư ng th ng vuông góc ⇔ a ⊥ b ⇔ a .b = 0 [] 2)Hai ư ng th ng cùng n m trong m t m t ph ng ⇔ a ; b .MN = 0 3)Tìm giao i m c a hai ư ng th ng: tìm giao i m c a hai ư ng th ng ta gi i h phương trình tìm nghi m ; n u: -H có m t nghi m duy nh t ⇔ hai ư ng th ng c t nhau -H có vô s nghi m ⇔ hai ư ng th ng trùng nhau -H có vô nghi m và hai vecto ch phương cùng phương ⇔ hai ư ng th ng Song song -H có vô nghi m và hai vecto ch phương không cùng phương ⇔ hai ư ng th ng chéo nhau Các hình v tương ng : b
b a a a a b b (h - 1) (h - 2) (h - 3) (h - 4) 7) CÁC BÀI TOÁN V HÌNH CHI U VUÔNG GÓC C A M T I M a) Tìm hình chi u vuông góc c a i m M ( x0 ; y0 ; z 0 ) trên các tr c t a -Trên tr c hoành Ox là i m A( x0 ;0;0 ) -Trên tr c hoành Oy là i m B(0; y 0 ;0) -Trên tr c hoành Oz là i m C (0;0; z 0 ) b) Tìm hình chi u vuông góc c a i m M ( x0 ; y0 ; z 0 ) trên các m t ph ng t a -Trên tr c mp( Oxy) là i m A( x0 ; y0 ;0) -Trên tr c mp(Oyz) là i m B(0; y0 ; z 0 ) -Trên tr c mp(Oz x) là i m C ( x0 ;0; z 0 ) c) Tìm hình chi u vuông góc c a i m M ( x0 ; y0 ; z 0 ) lên m t ph ng (P) Ax + By + C z + D = 0 HDG: -G i H (x; y ;z) là hình chi u c a M ( x0 ; y0 ; z 0 ) trên m t ph ng Ax + By + Cz +D = 0.
-G i (d) là ư ng th ng i qua M ( x0 ; y0 ; z 0 ) và vuông góc v i m t ph ng (P); nên vecto ch phương c a ư ng th ng (d) là a = ( A; B; C ) ; nên phương trình c a (d)  x = x0 + At  là:  y = y0 + Bt  z = z + Ct  0 - Ta có H = (d ) ∩ ( P) . Do ó t a c a H là nghi m c a h phương trình  x = x0 + At (1)  y = y + Bt (2)  0  ( gi i h b ng phép th )  z = z 0 + Ct (3)  Ax + By + Cz + D = 0(4)  d) Tìm hình chi u vuông góc c a i m M ( x0 ; y0 ; z 0 ) lên ư ng th ng  x = x0 + a1t   y = y0 + a2 t z = z + a t  ) 3 HDG: -G i H (x; y ;z) là hình chi u c a M ( x0 ; y0 ; z 0 ) lên ư ng th ng . Ta có : MH = ( x − x0 ; y − y0 ; z − z 0 ) vuông góc v i vecto ch phương a = (a1 ; a 2 ; a3 ) ; nên : MH ⊥ a ⇔ MH .a = 0 ⇔ a1 ( x − x0 ) + a 2 ( y − y0 ) + a3 ( z − z 0 ) = 0 (1) M t khác H ( x;y;z ) n m trên ư ng th ng . Nên x;y;z là nghi m c a h phương trình (1) và phương trình c a ư ng th ng 8) BÀI TOÁN TÌM T A IM I X NG V I M T I M QUA ; M T PH NG ; Ư NG TH NG • Tìm t a c am t i m i x ng v i m t i m M qua m t ph ng (P) Ta th c hi n theo các bư c sau :
Bư c 1: Tìm t a H là hình chi u vuông góc c a M trên m t ph ng ( P) Bư c 2: G i N là i m i x ng c a M qua m t ph ng ( P) . Ta có H là trung i m MN ; t ó tìm t a i mN • Tìm t a c am t i m i x ng v i m t i m M qua ư ng th ng (d) Ta th c hi n theo các bư c sau : Bư c 1: Tìm t a H là hình chi u vuông góc c a M trên ư ng th ng (d) Bư c 2: G i N là i m i x ng c a M qua ư ng th ng (d) . Ta có H là trung i m MN ; t ó tìm t a i mN 9)CÁC CÔNG TH C V KHO NG CÁCH: (x B − x A )2 + ( y B − y A )2 + (z B − z A )2 Ct 1: Kho ng cách gi a hai i m : AB = V n d ng Ct1: gi i các bài t p : Bài 1 : Ch ng minh tam giác cân ; tam giác u ; tam giác vuông ; tam giác vuông cân ( b ng cách tính dài ba c nh c a tam giác : n u có hai c nh b ng nhau thì tam giác cân; ba c nh b ng nhau thì tam giác u; n u th a mãn nh lý Pitago thì tam giác vuông ) Bài 2 : Tính chu vi tam giác (B ng cách tính dài ba c nh c a tam giác R i l y ba c nh c ng l i ) Ct 2: Kho ng cách t m t i m n m t ph ng Ax0 + By0 + Cz 0 + D d (M /( P ) ) = A2 + B 2 + C 2 Chú ý : Tính kho ng cách t ư ng th ng song song n m t p h ng b ng Kho ng cách t m t i m M trên ư ng th ng n m t p h ng [a; MN ] n ư ng th ng : d (M / d ) = Ct3: Kho ng cách t m t i m a Chú ý : kho ng cách gi a 2 ư ng th ng song song b ng kho ng cách t m t i m M trên ư ng th ngnày n ư ng th ng kia
[a;b].MN d (d / d ') = Ct4 : Kho ng cách gi a hai ư ng th ng chéo nhau [a;b] 10)BÀI TOÁN VI T PHƯƠNG TRÌNH HÌNH CHI U VUÔNG GÓC C A Ư NG TH NG LÊN M T PH NG  x = x0 + a1t  Cho ư ng th ng ( d ) :  y = y0 + a 2 t và m t ph ng ( P ) :Ax + By + Cz + D = 0 z = z + a t  0 3 vi t phương trình hình chi u vuông góc c a ư ng th ng ( d ) lên m t ph ng ( P) ta th c hi n theo các bư c sau: ư ng th ng ( d) i qua i m M ( x0 ; y0 ; z 0 ) và có vecto ch phương Bư c 1: a = (a1 ; a 2 ; a3 ) . M t ph ng ( P ) có vecto pháp tuy n n = ( A; B; C ) Bư c 2: Xét v trí tương i c a (d ) và ( P ). B ng cách tính a.n = a1 . A + a2 .B + a3 .C -TH1: N u a.n = a1 . A + a 2 .B + a3 .C = 0 ; thi ( d ) song song ( P). Trong trư ng h p này ta gi i như sau: d M d’ H
a) Ta tìm t a H là hình chi u vuông góc c a M trên m t ph ng ( P ). ưn b) ư ng th ng ( d’) i qua H và song song v i ( d) ; ó chính là ư ng th ng c n tìm -TH2:N u a.n = a1 . A + a 2 .B + a3 .C ≠ 0 ; thi ( d ) c t ( P). Trong trư ng h p này ta gi i như sau : a)Tìm t a giao i m N c a ( d ) và ( P) ; b)Tìm t a H là hình chi u vuông góc c a M trên ( P ) . c) ư ng th ng i qua hai i m N và H là ư ng th ng c n tìm d M H N d’ PH N BÀI T P : I ) CÁC BÀI T P V T A Oxyz ; cho : u = i − 2 j + 3k ; v = 2 j + 3k ; r = i − 2 j BÀI 1 > Trong không gian t a 1) Tìm t a các vecto ó 2) Tính các tích vô hư ng : u.v ; u.r ; r.v ()()() 3) Tính coossin c a các góc : u; v ; u; r ; r; v các vecto: a = 2u − 3v + r ; b = u − v + 2r 4) Tính t a () () () 5) Ch ng minh r ng : cos 2 u; i + cos 2 u; j + cos 2 u; k = 1 sao cho : c + 2u = 3v + r 6) Tìm t a vecto c ;