Luận án Tiến sĩ Toán giải tích: Về một số bài toán xác định nguồn cho phương trình parabolic

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:136

Thêm vào BST

Báo xấu

41
lượt xem 4
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Mục đích nghiên cứu của Luận án này nhằm xác định nguồn cho phương trình parabolic, tập trung vào ba chủ đề: Thứ nhất, chúng tôi đưa ra các đánh giá ổn định. Thứ hai, chúng tôi đề xuất các phương pháp chỉnh hóa. Thứ ba, chúng tôi thiết lập các thuật toán, lập trình và đưa ra các ví dụ số để minh họa cho các phương pháp chỉnh hóa được đề xuất trong luận án này. Mời các bạn cùng tham khảo!

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Luận án Tiến sĩ Toán giải tích: Về một số bài toán xác định nguồn cho phương trình parabolic

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH LƯƠNG DUY NHẬT MINH VỀ MỘT SỐ BÀI TOÁN XÁC ĐỊNH NGUỒN CHO PHƯƠNG TRÌNH PARABOLIC LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC Nghệ An – 2021
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH LƯƠNG DUY NHẬT MINH VỀ MỘT SỐ BÀI TOÁN XÁC ĐỊNH NGUỒN CHO PHƯƠNG TRÌNH PARABOLIC CHUYÊN NGÀNH: TOÁN GIẢI TÍCH MÃ SỐ: 9 46 01 02 LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: 1. PGS. TS. NGUYỄN VĂN ĐỨC 2. TS. NGUYỄN TRUNG THÀNH Nghệ An – 2021
1 MỤC LỤC Lời cam đoan 3 Lời cảm ơn 4 Một số ký hiệu thường dùng trong luận án 5 Lời nói đầu 6 Chương 1. Kiến thức chuẩn bị 24 1.1. Một số kiến thức về Giải tích . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 1.2. Một số kiến thức về nửa nhóm các toán tử tuyến tính bị chặn . . 30 1.3. Bài toán đặt không chỉnh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 1.4. Phương pháp chỉnh hóa làm nhuyễn . . . . . . . . . . . . . . . 38 Chương 2. Bài toán xác định nguồn cho phương trình parabolic với hệ số phụ thuộc thời gian 42 2.1. Giới thiệu bài toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 2.2. Đánh giá ổn định . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 2.3. Chỉnh hóa bài toán xác định nguồn . . . . . . . . . . . . . . . 51 2.4. Thuật toán và ví dụ số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 2.5. Kết luận Chương 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72 Chương 3. Bài toán xác định nguồn cho phương trình parabolic bậc phân theo biến thời gian và không gian 73 3.1. Giới thiệu bài toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73 3.2. Đánh giá ổn định . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75 3.3. Chỉnh hóa bài toán xác định nguồn . . . . . . . . . . . . . . . 79 3.4. Thuật toán và ví dụ số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88 3.5. Kết luận Chương 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
2 Chương 4. Bài toán xác định nguồn cho phương trình parabolic trong không gian Banach 98 4.1. Giới thiệu bài toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98 4.2. Chỉnh hóa bài toán xác định nguồn . . . . . . . . . . . . . . . 100 4.3. Thuật toán và ví dụ số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114 4.4. Kết luận Chương 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118 Kết luận chung và kiến nghị 119 Danh mục công trình của NCS có liên quan đến luận án 121 Tài liệu tham khảo 122
3 LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan đây là công trình khoa học của riêng tôi. Luận án này được hoàn thành tại Trường Đại học Vinh, dưới sự hướng dẫn khoa học của PGS. TS. Nguyễn Văn Đức và TS. Nguyễn Trung Thành. Các đồng tác giả cũng đã đồng ý để tôi đưa các kết quả viết chung vào luận án. Các nội dung, kết quả, kết luận mà tôi trình bày trong luận án này là mới và chưa từng được công bố trong bất cứ công trình khoa học nào khác. Tác giả Lương Duy Nhật Minh
4 LỜI CẢM ƠN Tác giả xin được bày tỏ lòng biết ơn chân thành và sâu sắc nhất đến những người Thầy của mình: PGS. TS. Nguyễn Văn Đức (Viện sư phạm Tự nhiên, Trường Đại học Vinh) và TS. Nguyễn Trung Thành (Giáo sư Đại học Rowan, Hoa Kỳ) là những người đã đặt bài toán, định hướng nghiên cứu cho tác giả. Trong suốt quá trình học tập và nghiên cứu, các Thầy luôn nhiệt tình và tận tâm chỉ dạy cho tác giả nhiều điều, dưới sự hướng dẫn khoa học của Thầy giáo PGS. TS. Nguyễn Văn Đức và Thầy giáo TS. Nguyễn Trung Thành, luận án đã được hoàn thành tại Trường Đại học Vinh. Tác giả cũng xin chân thành cảm ơn các quý Thầy Cô trong Bộ môn Giải tích, Viện Sư phạm Tự nhiên, Phòng đào tạo Sau đại học và các phòng ban chức năng của Trường Đại học Vinh đã tạo điều kiện thuận lợi để tác giả hoàn thành nhiệm vụ của nghiên cứu sinh. Tác giả xin tỏ lòng biết ơn tới gia đình, đồng nghiệp và những người bạn thân thiết đã luôn sẻ chia, giúp đỡ và động viên tác giả trong suốt quá trình học tập và nghiên cứu. Tác giả Lương Duy Nhật Minh
5 MỘT SỐ KÝ HIỆU THƯỜNG DÙNG TRONG LUẬN ÁN TT Các ký hiệu Giải thích ý nghĩa của ký hiệu 1 Lp (Rn ) Không gian các hàm có lũy thừa bậc p khả tích trên Rn , p = 1, 2 2 k · kL2 Chuẩn trong không gian L2 (Rn ) 3 F(v) := v b Phép biến đổi Fourier của hàm v ∈ L2 (Rn ) 4 F−1 (v) := v ˇ Phép biến đổi Fourier ngược của hàm v ∈ L2 (Rn ) 5 H p (Rn ) Không gian Sobolev H p (Rn ) 6 k · kHp Chuẩn trong không gian Sobolev H p (Rn ) 7 ||| · |||q Chuẩn ||| · |||q trong không gian Sobolev H p (Rn ) 8 k∗f Tích chập của các hàm k và f 9 Dν Nhân Dirichlet q n 2 10 Sν (g) Sν (g)(x) := π (Dν ∗ g)(x) 11 Mη,2 (Rn ) Tập hợp các hàm nguyên dạng mũ η theo biến x ∈ Rn thuộc L2 (Rn ) ∂α 12 Đạo hàm bậc phân Caputo với bậc α ∈ (0, 1) ∂tα 13 Eα,β , Eα,1 Hàm Mittag–Leffler 14 Rn Không gian thực n-chiều 15 ∆ Toán tử Laplace 16 N∗ , R∗ Tập các số nguyên dương và tập các số thực dương
6 LỜI NÓI ĐẦU 1. Lý do chọn đề tài Bài toán xác định nguồn của phương trình parabolic đã được các nhà khoa học quan tâm nghiên cứu từ những năm 60 của thế kỉ 20. Các nhà toán học có các công trình về bài toán xác định nguồn có thể kể ra là Cannon ([13, 14, 17]), Đinh Nho Hào ([51, 52]), Đặng Đức Trọng ([120, 121]), Hasanov ([55, 56]), Isakov ([63]), Li ([79, 80, 81, 82], Savateev ([107]), Prilepko ([99], [103]), Yang và Fu ([27, 133]),... Bài toán kể trên thường đặt không chỉnh theo nghĩa Hadamard ([45, 65]). Một bài toán được gọi là đặt chỉnh theo nghĩa Hadamard nếu nó thỏa mãn cả ba điều kiện sau: i) Nghiệm của bài toán luôn tồn tại. ii) Nghiệm của bài toán là duy nhất. iii) Nghiệm phụ thuộc liên tục vào dữ liệu của bài toán. Nếu ít nhất một trong ba điều kiện trên không được thỏa mãn, thì bài toán được gọi là đặt không chỉnh. Với bài toán đặt không chỉnh, một sai số nhỏ của dữ liệu cũng có thể dẫn đến sai lệch lớn về nghiệm. Do đó, bài toán đặt không chỉnh thường khó giải số hơn bài toán đặt chỉnh vì các dữ liệu sử dụng trong các bài toán này thường được tạo ra do đo đạc nên không tránh khỏi có sai số. Hơn nữa nhiều tính toán chỉ được thực hiện gần đúng. Để giải các bài toán đặt không chỉnh, các nhà khoa học thường đề xuất các phương pháp chỉnh hóa, tức là sử dụng nghiệm của một bài toán đặt chỉnh để làm nghiệm xấp xỉ cho bài toán đặt không chỉnh ban đầu. Các nghiên cứu về bài toán xác định nguồn của phương trình parabolic thường tập trung vào ba chủ đề chính đó là: i) Tính duy nhất nghiệm ([3, 5, 13, 20, 21, 59, 63, 64, 86, 99, 103]). ii) Tính ổn định nghiệm ([3, 5, 28, 31, 49, 50, 64, 71, 79, 86, 125, 134, 139]). iii) Các phương pháp chỉnh hóa và phương pháp giải số ([19, 27, 28, 32, 33, 48, 51, 52, 54, 55, 58, 94, 99, 129, 134, 135]).
7 Đã có rất nhiều công trình nghiên cứu về bài toán xác định nguồn cho phương trình parabolic do đây là mô hình toán học của các bài toán thực tiễn như xác định nguồn nhiệt trong phương trình truyền nhiệt ([14, 25, 27, 120]), xác định nguồn ô nhiễm nước, ô nhiễm không khí ([1, 80, 81, 82, 126, 140]),... Hiện nay có nhiều vấn đề mở liên quan đến bài toán xác định nguồn cho phương trình parabolic cần được nghiên cứu, trong đó các kết quả về đánh giá ổn định và chỉnh hóa cho trường hợp phương trình có hệ số phụ thuộc thời gian chưa được nghiên cứu một cách đầy đủ, chỉ có một vài kết quả về tính duy nhất nghiệm của dạng bài toán này được đưa ra trong [25, 111]. Hướng nghiên cứu về bài toán xác định nguồn của phương trình parabolic bậc phân đã nhận được sự quan tâm nghiên cứu của rất nhiều nhà khoa học ([5, 6, 53, 69, 70, 75, 87, 110, 127, 128, 134, 135]). Tuy nhiên, hầu hết các kết quả kể trên dành cho phương trình parabolic bậc phân theo biến thời gian hoặc theo biến không gian, chỉ có ít kết quả dành cho phương trình parabolic bậc phân theo cả biến không gian và thời gian ([3, 5, 69, 124]). Về các kết quả đánh giá ổn định và chỉnh hóa cho bài toán xác định nguồn của phương trình parabolic trong không gian Banach, theo sự tìm kiếm của chúng tôi, chỉ có một số kết quả trong các công trình của Prilepko, Piskarev, Shaw ([101]), Hasanov ([57]) và Schuster, Kaltenbacher, Hofmann, Kazimierski ([109]). Với các lý do trên, chúng tôi chọn đề tài nghiên cứu cho luận án của mình là: "Về một số bài toán xác định nguồn cho phương trình parabolic". 2. Mục đích nghiên cứu Luận án nghiên cứu một số bài toán xác định nguồn cho phương trình parabolic, tập trung vào ba chủ đề: Thứ nhất, chúng tôi đưa ra các đánh giá ổn định. Thứ hai, chúng tôi đề xuất các phương pháp chỉnh hóa. Thứ ba, chúng tôi thiết lập các thuật toán, lập trình và đưa ra các ví dụ số để minh họa cho các phương pháp chỉnh hóa được đề xuất trong luận án này. 3. Đối tượng nghiên cứu Luận án nghiên cứu bài toán xác định nguồn trong 03 trường hợp: i) Phương trình parabolic với hệ số phụ thuộc thời gian trong không gian Hilbert L2 (Rn ); ii) Phương trình parabolic bậc phân theo biến không gian và thời gian trong không gian Hilbert L2 (Rn );
8 iii) Phương trình parabolic trong không gian Banach. 4. Phạm vi nghiên cứu Chúng tôi nghiên cứu các đánh giá ổn định, các phương pháp chỉnh hóa và phương pháp số để giải các bài toán xác định nguồn cho: phương trình parabolic với hệ số phụ thuộc thời gian trong không gian Hilbert L2 (Rn ); phương trình parabolic bậc phân theo cả biến không gian và thời gian trong không gian Hilbert L2 (Rn ); phương trình parabolic trong không gian Banach. 5. Phương pháp nghiên cứu Đây là một đề tài thuộc lĩnh vực khoa học cơ bản chuyên ngành Toán Giải tích và Toán Ứng dụng. Do đó, chúng tôi chủ yếu sử dụng phương pháp suy luận lôgic trên cơ sở các kết quả đã có. Đồng thời chúng tôi sử dụng các phương pháp số để giải các bài toán xác định nguồn. 6. Ý nghĩa khoa học và thực tiễn Luận án góp phần làm phong phú thêm các kết quả nghiên cứu trong lĩnh vực bài toán ngược và bài toán xác định nguồn cho phương trình parabolic. Luận án đã đạt được một số kết quả về đánh giá ổn định, đề xuất các phương pháp chỉnh hóa và phương pháp số để giải bài toán xác định nguồn cho phương trình parabolic. Luận án có thể là tài liệu tham khảo cho học viên cao học, nghiên cứu sinh chuyên ngành Toán Giải tích, Toán Ứng dụng và những người quan tâm đến hướng nghiên cứu này. 7. Tổng quan và cấu trúc của luận án 7.1. Tổng quan một số vấn đề liên quan đến luận án Để tiện cho việc giới thiệu các kết quả nghiên cứu liên quan đến bài toán xác định nguồn cho phương trình parabolic, chúng tôi lấy một ví dụ cụ thể của phương trình parabolic tuyến tính trong không gian Hilbert. Cho T là số thực dương, X là không gian Hilbert với chuẩn k · k, u : [0, T ] → X là hàm từ [0, T ] đến X và F ∈ X . Ta xét bài toán giá trị ban đầu  u0 (t) + Au(t) = F, t ∈ (0, T ), (1) u(0) = 0, trong đó A là toán tử tuyến tính không bị chặn trên X . Bài toán (1) là bài
9 toán thuận, trong đó ta cần xác định u khi F đã biết. Bài toán xác định nguồn cho (1) là tìm hàm nguồn F từ các đo đạc của hàm u. Đây là một bài toán ngược. Có nhiều kiểu đo đạc khác nhau được sử dụng, ví dụ: đo đạc trên biên, đo đạc tại thời điểm cuối hoặc đo đạc tại một số điểm rời rạc... Do đó, có rất nhiều dạng bài toán xác định nguồn cho phương trình parabolic. Các bài toán xác định nguồn là các bài toán đặt không chỉnh. Do tính đặt không chỉnh, nghiệm của bài toán không phải bao giờ cũng tồn tại và trong trường hợp tồn tại, nghiệm không phụ thuộc liên tục vào dữ liệu của bài toán. Điều này làm cho bài toán đặt không chỉnh khó giải hơn nhiều so với các bài toán đặt chỉnh. Thông thường, các nhà toán học phải đề xuất các phương pháp chỉnh hóa để giải các bài toán đặt không chỉnh. Sau đây, chúng tôi tóm tắt một số công trình tiêu biểu về bài toán xác định nguồn cho phương trình parabolic. Năm 1968, Cannon ([13]) đã xem xét bài toán xác định nguồn nhiệt từ quan sát trên biên. Giả sử V là một miền bị chặn trong không gian Rn với biên S và D là một tập con của S . Cannon xét bài toán tìm cặp hàm u = u(x, t) và f = f (x) cho bài toán giá trị biên ban đầu  ∆u − u = f, (x, t) ∈ V × (0, T ], t (2) u = φ, (x, t) ∈ S × (0, T ] ∪ V¯ × {t = 0}, với quan sát trên một phần của biên ∂u ¯ × [τ, T ], = g trên D (3) ∂n trong đó, ∆u là toán tử Laplace, φ(x, t) và g(x, t) là các hàm đã biết. Cannon đã chứng minh rằng tồn tại nhiều nhất một nghiệm (u, f ) cho phương trình trên và đã xây dựng một phương pháp tìm nghiệm xấp xỉ của bài toán. Để chứng tỏ rằng bài toán trên là đặt không chỉnh, Cannon đưa ra ví dụ     zxx − zt = f (x), (x, t) ∈ (0, 1) × (0, 1],   z(0, t) = z(1, t) = 0, t ∈ (0, 1],  (4)   z(x, 0) = 0, x ∈ [0, 1], zx (0, t) = (−1) an (1 − e−n2 π2 t ).    nπ Phương trình cuối trong (4) là dữ liệu đo của bài toán tại thời điểm t. Khi
10 đó, với mỗi số nguyên dương n, nghiệm của bài toán trên sẽ là  fn (x) = an sin(nπx), (5) zn (x, t) = (−1) an (1 − e−n2 π2 t ) sin(nπx). n2 π 2 √ ∂z Bằng cách chọn an = n, ta có dữ kiện (0, t) hội tụ đều về 0 nhưng kfn k ∂x lại tiến ra vô cùng. Năm 1993, Yamamoto ([130]) đã giải bài toán xác định nguồn nhiệt trong miền Ω × T trong đó Ω = (0, 1) × (0, 1), với nguồn nhiệt có dạng tách biến. Cụ thể, Yamamoto đã nghiên cứu bài toán giá trị biên ban đầu của phương trình truyền nhiệt trong không gian hai chiều     ut − ∆u = σ(t)f (x1 , x2 ) (x1 , x2 ) ∈ Ω, t ∈ (0, T ),  u(x1 , x2 , 0) = 0 (x1 , x2 ) ∈ Ω, (6)  ∂u (x , x , t) = 0   (x1 , x2 ) ∈ ∂Ω, t ∈ (0, T ).  1 2 ∂n Bài toán đặt ra là xác định f từ quan sát dữ kiện biên u(x1 , 0, t) ≡ h(x1 , t), x1 ∈ (0, 1). (7) Với giả thiết σ(0) 6= 0 và σ ∈ C 1 [0, T ], Yamamoto đã chứng minh tính duy nhất nghiệm và tính ổn định của bài toán này. Năm 1990, Cannon ([15]) cũng đã đạt được một số kết quả về đánh giá ổn định cho bài toán xác định nguồn của phương trình truyền nhiệt trong không gian R3 . Năm 1998, Cannon và cộng sự ([16]) đã đề cập đến bài toán xác định nguồn với hàm nguồn có dạng f (t) = f (u(t)). Trong bài báo này, họ chủ yếu nghiên cứu về tính duy nhất nghiệm. Năm 2004, Yi và Murio ([137, 138]) đã sử dụng phương pháp làm nhuyễn để giải bài toán xác định nguồn trong không gian một chiều và hai chiều. Họ đạt được các đánh giá ổn định, các đánh giá sai số cho nghiệm chỉnh hóa và cũng thực hiện một vài ví dụ số để làm rõ phương pháp mà họ đề xuất. Năm 2005, Đặng Đức Trọng cùng các cộng sự ([119]) đã nghiên cứu bài
11 toán tìm cặp hàm (u, f ) thỏa mãn     −ut + ∆u = φ(t)f (x), (t, x) ∈ (0, 1) × (0, 1),   u (0, t) = ux (1, t) = 0, t ∈ (0, 1),    x   u(x, 0) = 0, x ∈ (0, 1), (8)   u(1, t) = 0, x ∈ (0, 1),       u(x, 1) = g(x), x ∈ (0, 1),  trong đó hàm φ và hàm dữ liệu g đã được biết. Họ đã chứng minh tính duy nhất nghiệm (u, f ) và đề xuất phương pháp chỉnh hóa dựa trên phép biến đổi Fourier. Năm 2006, Đặng Đức Trọng cùng các cộng sự ([120]) đã mở rộng nghiên cứu bài toán trên cho nguồn nhiệt có dạng φ(t)f (x, y) trong không gian hai chiều. Họ đã chứng minh được rằng bài toán này có duy nhất nghiệm f (x, y). Bên cạnh đó, các tác giả đã sử dụng phương pháp chặt cụt tích phân và phương pháp biến đổi Fourier để chỉnh hóa bài toán. Năm 2009, Đặng Đức Trọng cùng các cộng sự ([121]) đã nghiên cứu bài toán xác định nguồn nhiệt có dạng tách biến trong không gian hai chiều. Cụ thể, họ đã xét bài toán xác định cặp hàm (u, f ) thỏa mãn    ut − ∆u = φ(t)f (x, y),   u (0, y, t) = u (1, y, t) = u (x, 0, t) = u (x, 1, t) = 0,  x x y y (9)   u(1, y, t) = 0,   u(x, y, 0) = g(x, y),  với (x, y) ∈ (0, 1) × (0, 1), t ∈ (0, T ), trong đó g ∈ L1 (Ω) và φ ∈ L1 (0, T ) đã biết. Họ đã xây dựng được nghiệm chỉnh hóa f từ dữ kiện không trơn bằng cách sử dụng phép nội suy và phương pháp chặt cụt chuỗi Fourier. Cũng trong năm 2009, Dou, Fu và Yang ([27]) đã đề xuất chỉnh hóa cho bài toán xác định nguồn của phương trình truyền nhiệt trong không gian một chiều bằng kỹ thuật dựa trên phương pháp tựa đảo. Họ đạt được đánh giá sai số giữa nghiệm chính xác và nghiệm chỉnh hóa theo luật chọn tham số chỉnh hóa kiểu tiên nghiệm, họ cũng thiết lập thuật toán giải số và thực hiện các ví dụ số để minh họa cho phương pháp chỉnh hóa. Năm 2010, Cheng, Zhao, Fu ([22]) đã sử dụng phương pháp chỉnh hóa Tikhonov để giải một bài toán xác định nguồn cho phương trình truyền nhiệt.
12 Cũng trong năm 2010, Yang và Fu ([131]) đã sử dụng phương pháp Tikhonov để xác định nguồn phụ thuộc thời gian của phương trình truyền nhiệt. Họ đã đưa ra phương pháp chỉnh hóa đồng thời họ cũng đạt được đánh giá sai số kiểu H¨older giữa nghiệm chỉnh hóa và nghiệm chính xác, họ cũng khẳng định trong bài báo rằng đánh giá sai số đạt được là tối ưu. Năm 2011, Ismailov và các cộng sự ([67]) chứng minh sự tồn tại và tính duy nhất nghiệm của bài toán xác định nguồn nhiệt như sau    ut = uxx + r(t)f (x, t), (x, t) ∈ DT ,   u(x, 0) = ϕ(x), 0 ≤ x ≤ 1,  (10)   u(0, t) = u(1, t), ux (1, t) = 0, 0 ≤ t ≤ T,   1 u(x, t)dx = E(t), R 0 ≤ t ≤ T,  0 trong đó, T > 0 cho trước, DT là tập được xác định bởi DT := {(x, t) : 0 < x < 1 : 0 < t ≤ T }. Năm 2012, Ma, Fu và Zhang ([88]) đã sử dụng phương pháp biến phân để xác định nguồn nhiệt phụ thuộc cả biến không gian và biến thời gian có dạng f (x, t) trong không gian một chiều. Cũng trong năm 2012, Hasanov ([55]) đã xác định nguồn phụ thuộc cả không gian và thời gian cho phương trình truyền nhiệt trong không gian một chiều. Tác giả cũng sử dụng phương pháp biến phân để xác định nguồn nhiệt có dạng F (x)H(t) trong không gian một chiều, họ đã tách thành hai bài toán xác định nguồn, bài toán thứ nhất là xác định F (x) khi biết H(t), bài toán thứ hai là biết F (x) và xác định H(t). Họ đã chứng minh tính duy nhất nghiệm của bài toán thứ nhất, tuy nhiên điều đó chưa chắc đúng ở bài toán thứ hai. Để giải hai bài toán trên họ đã sử dụng phương pháp chỉnh hóa gradient liên hợp và họ cũng xây dựng thuật toán và trình bày các ví dụ số để mô tả tính hữu hiệu của phương pháp chỉnh hóa mà họ đề xuất. Năm 2013, Hasanov và Pektas ([56]) đã áp dụng phương pháp gradient liên hợp để xác định hàm số phụ thuộc thời gian trong nguồn nhiệt có dạng tách biến với quan sát dữ kiện biên Dirichlet. Cụ thể, họ nghiên cứu bài toán
13 tìm nguồn nhiệt phụ thuộc thời gian trong bài toán truyền nhiệt dưới đây   u − (k(x)ux )x = F (x)H(t), (x, t) ∈ (0, l) × (0, Tf ),  t   u(x, 0) = u0 (x), x ∈ (0, l), (11)   u (0, t) = 0, u(l, t) = 0, t ∈ (0, Tf ],  x với quan sát H(t) := u(0, t), t ∈ (0, Tf ], (12) trong đó Tf > 0, k(x) ∈ L∞ [0, l], f và u0 là các đại lượng cho trước. Các tác giả sử dụng phương pháp gradient liên hợp để chỉnh hóa bài toán trên, họ xây dựng thuật toán và thực hiện các ví dụ số để mô tả cho phương pháp chỉnh hóa mà họ đề xuất. Hướng nghiên cứu về bài toán xác định nguồn cho phương trình parabolic cũng được Đinh Nho Hào cùng các cộng sự quan tâm nghiên cứu. Họ đề xuất giải các bài toán này với quan sát tích phân ([51], [94]). Cụ thể, trong [51], các tác giả đã nghiên cứu bài toán sau. Cho Ω là một miền bị chặn trong Rn với biên ∂Ω và T là một số thực dương cho trước. Kí hiệu Q := Ω × (0, T ], S := ∂Ω × (0, T ], xác định f1 (x) và f2 (t) trong bài toán   u = ∆u + g0 (x, t) + f1 (x)g1 (t) + f2 (t)g2 (x), (x, t) ∈ Q,  t   u|t=0 = u0 (x), x ∈ Ω, (13)   u| = u ,  S S và thêm các điều kiện sau Z l1 u := ω1 (x)u(x, t)dx = h(t), t ∈ (0, T ), Ω Z T u(x, t)dt = g(x), x ∈ Ω, Z 0 ω1 (x)f1 (x)dx = C0 . Ω Các tác giả đã chứng minh được sự tồn tại và tính duy nhất nghiệm. Sau đó, họ sử dụng phương pháp gradient liên hợp để chỉnh hóa bài toán này. Các ví dụ số trong không gian một chiều và hai chiều cũng đã được họ trình bày để minh họa cho phương pháp chỉnh hóa. Trong [94], các tác giả nghiên cứu
14 bài toán sau trong miền Ω ⊂ Rn n  ∂u P ∂ ∂u ∂t − ∂xi ai (x, t) ∂xi + b(x, t)u = f (t)ϕ(x, t) + g(x, t),       i=1  (x, t) ∈ Q := Ω × (0, T ],  (14) u(x, t) = 0, (x, t) ∈ S := ∂Ω × (0, T ],       u(x, 0) = u0 (x), x ∈ Ω,  ở đây, ∂Ω là biên của Ω, ai (i = 1, ..., n), b và ϕ ∈ L∞ (Q), g ∈ L2 (Q), f ∈ L2 (0, T ) và u0 ∈ L2 (Ω). Các tác giả đã giải bài toán bằng phương pháp sai phân hữu hạn và đề xuất thuật toán để giải số bài toán này. Năm 2016, Yang và các cộng sự ([136]) đã giải bài toán xác định nguồn phụ thuộc thời gian của phương trình truyền nhiệt, cụ thể họ xét trường hợp xác định hàm nguồn chỉ phụ thuộc vào biến thời gian trong bài toán sau     ut − uxx = f (t), x > 0, t > 0,   u(x, 0) = 0, x > 0,      u(0, t) = 0, t > 0, (15)   u(x, t)|x→∞ bị chặn , t > 0,       u(1, t) = g(t),  t > 0. Họ khôi phục lại hàm nguồn từ dữ liệu bổ sung u(1, t) = g(t). Bằng cách sử dụng phương pháp làm nhuyễn để chỉnh hóa, họ đạt được đánh giá sai số kiểu Logarit cho nghiệm chỉnh hóa theo luật chọn tham số chỉnh hóa kiểu tiên nghiệm và hậu nghiệm. Năm 2018, Prilepko và các cộng sự ([103]) cũng xem xét bài toán xác định nguồn cho phương trình parabolic với quan sát tích phân, họ đã nghiên cứu về sự tồn tại nghiệm và tính duy nhất nghiệm. Cũng trong năm 2018, Yan Gu và cộng sự ([43]) đã xem xét bài toán xác định nguồn phụ thuộc thời gian trong không gian ba chiều. Họ sử dụng phương pháp sai phân hữu hạn để chỉnh hóa bài toán xác định nguồn trong không gian ba chiều. Họ xét bài toán: Xác định u(x, y, z, t) và f (t) thỏa mãn  ∂u(x,y,z,t) ∂ 2 u(x,y,z,t) ∂ 2 u(x,y,z,t) ∂ 2 u(x,y,z,t)  = 2 + 2 + ∂z 2 + f (t),  ∂t ∂x ∂y   u(x, y, z, 0) = u0 (x, y, z), với (x, y, z) ∈ Ω, (16)   u(x, y, z, t) = b(x, y, z, t), với (x, y, z) ∈ ∂Ω, t ∈ [0, t ],  max
15 trong đó, u0 (x, y, z) và b(x, y, z, t) là các hàm đã biết. Cũng trong năm này, Ismailov ([68]) đã giải bài toán xác định nguồn cho phương trình truyền nhiệt với điều kiện biên Wentzell–Neumann không địa phương. Năm 2019, Hazanee và các cộng sự ([59]) đã xét bài toán xác định nguồn phụ thuộc thời gian cho phương trình truyền nhiệt với điều kiện biên không địa phương trong không gian một chiều     ut (x, t) = uxx (x, t) + F (x, t, u), (x, t) ∈ ΩT = (0, 1) × (0, T ],   u(x, 0) = ϕ(x), x ∈ [0, 1],  (17)   u(0, t) + bu(1, t) = 0, t ∈ [0, T ],   u (0, t) + u (1, t) = 0, t ∈ [0, T ],  x x với T > 0, ϕ là hàm đã biết và b 6= ±1. Họ giải quyết bài toán xác định nguồn bằng phương pháp giá trị biên và đạt được đánh giá sai số cho nghiệm chỉnh hóa theo luật chọn tham số kiểu tiên nghiệm và hậu nghiệm. Họ đề xuất thuật toán và các ví dụ số để minh họa cho phương pháp chỉnh hóa. Trong [21], với các đo đạc địa phương trong miền Ω tại các thời điểm cố định, các tác giả xét bài toán xác định nguồn λ(t)f (x) trong hệ phương trình khuếch tán sau     ut − ∆u = λ(t)f (x), x ∈ Ω, t > 0,   u(x, t) = 0, x ∈ ∂Ω, t ≥ 0,  (18)   u(x, 0) = u0 (x), x ∈ Ω0 ⊆ Ω,   u(x, T ) = g(x), x ∈ Ω0 ⊆ Ω,  trong đó λ(t) > 0, u0 (x) được cho trước và g(x) là dữ liệu tại thời điểm cuối t > 0. Các tác giả sử dụng phương pháp giải tích mở rộng (the analytic continuation method) để chứng minh tính duy nhất nghiệm và đưa ra đánh giá ổn định cho bài toán này. Có nhiều phương pháp chỉnh hóa để giải bài toán xác định nguồn cho phương trình parabolic, chẳng hạn như: phương pháp tựa đảo ([134, 135]), phương pháp Tikhonov ([129, 131]), phương pháp tựa giá trị biên ([128]), phương pháp biến phân ([88]), phương pháp gradient liên hợp ([55, 56]), phương pháp làm nhuyễn ([40, 46, 47, 91, 136]). Trong luận án này, chúng tôi sử dụng phương pháp làm nhuyễn để chỉnh hóa bài toán xác định nguồn
16 cho phương trình parabolic với hệ số phụ thuộc thời gian trong không gian Hilbert, sau đó chúng tôi tiếp tục sử dụng phương pháp này để chỉnh hóa bài toán xác định nguồn cho phương trình parabolic bậc phân theo biến thời gian và không gian trong không gian Hilbert. Tuy nhiên, đối với bài toán xác định nguồn cho phương trình parabolic trong không gian Banach thì phương pháp làm nhuyễn không sử dụng được, do đó chúng tôi sử dụng một phương pháp dựa trên lý thuyết nửa nhóm để chỉnh hóa bài toán này. Một số kết quả sử dụng lý thuyết nửa nhóm để giải bài toán xác định nguồn cho phương trình parabolic trong gian Banach có ở các công trình [57, 105]. Sau đây, chúng tôi tóm tắt về các dạng bài toán xác định nguồn cho phương trình parabolic mà luận án nghiên cứu và tóm tắt về những kết quả chính mà luận án đã đạt được. i) Thứ nhất, chúng tôi nghiên cứu bài toán xác định nguồn cho phương trình parabolic với hệ số phụ thuộc thời gian trong không gian Hilbert L2 (Rn ). Khi tìm hiểu về dạng bài toán này, chúng tôi nhận thấy rằng đối với bài toán xác định nguồn cho phương trình parabolic với hệ số không phụ thuộc thời gian, có nhiều kết quả đạt được liên quan đến tính duy nhất nghiệm [13, 59, 63, 64, 99, 103]; đánh giá ổn định [28, 31, 32, 49, 50, 64, 79, 125] và các phương pháp chỉnh hóa [27, 28, 32, 33, 48, 51, 52, 54, 55, 58, 94, 99, 129]. Trong luận án này, chúng tôi đề xuất nghiên cứu bài toán tìm cặp hàm {u(x, t), f (x)} thỏa mãn: ∂u    (x, t) = a(t)∆u(x, t) + f (x)h(t), x ∈ Rn , t ∈ (0, T ),  ∂t  u(x, 0) = 0, x ∈ Rn , (19)   x ∈ Rn ,  u(x, T ) = g(x),  với ∆ là toán tử Laplace, các hàm a(t), h(t) đã biết và g(x) là dữ liệu tại thời điểm cuối T > 0. Kết quả liên quan đến trường hợp hệ số phụ thuộc thời gian như trong luận án mà chúng tôi đề xuất là chưa phổ biến. Chỉ có một vài kết quả về tính duy nhất nghiệm của dạng bài toán này được đưa ra trong [25, 111]. Trong [25], các tác giả xét bài toán xác định nguồn phụ thuộc biến không gian cho phương trình parabolic với các hệ số phụ thuộc vào không gian và thời gian. Cụ thể, với miền Ω ⊂ Rn , họ xét bài toán xác
17 định nguồn thỏa mãn    ∂u + Lu = f (x) trong Ω × (0, T ),  u=0 trên ∂Ω × (0, T ), (20)   u(x, 0) = u (x) với x ∈ Ω,  0 với T > 0 là thời điểm cuối, L là toán tử elliptic vi phân tuyến tính cấp hai với hệ số phụ thuộc vào cả biến thời gian và không gian, ∂Ω là biên của miền Ω. Họ xác định hàm nguồn f (x) với các điều kiện của bài toán thuận và thêm thông tin bổ sung từ dữ liệu đo đạc tại một thời điểm nhất định u(x, T ) = ΨT (x). Họ đã chứng minh tính duy nhất nghiệm và đưa ra một phương pháp lặp ổn định để giải bài toán này. Trong [111], các tác giả đưa ra các kết quả về tính duy nhất nghiệm của một số bài toán xác định nguồn cho phương trình parabolic tuyến tính với hệ số phụ thuộc thời gian. Một ví dụ về bài toán xác định nguồn mà họ xét trong nghiên cứu này đó là: xác định f (x) thỏa mãn     ∂u(x, t) + L(t)u(x, t) = f (x)h(t) trong Ω × (0, T ),  u=0 trên ∂Ω × (0, T ), (21)   u(x, 0) = u (x) với x ∈ Ω,  0 với h(t) cho trước và các thông tin của L(t), T, u(x, T ), Ω, ∂Ω tương tự [25]. Quay lại với bài toán xác định nguồn cho phương trình parabolic với hệ số phụ thuộc thời gian trong luận án, chúng tôi chứng minh đánh giá ổn định kiểu H¨older cho bài toán này (Định lý 2.2.1). Phương pháp làm nhuyễn đã được sử dụng để chỉnh hóa bài toán. Chúng tôi đạt được các đánh giá sai số kiểu H¨older cho nghiệm chỉnh hóa theo luật chọn tham số chỉnh hóa kiểu tiên nghiệm và hậu nghiệm (Định lý 2.3.2 và 2.3.5). Chúng tôi đề xuất thuật toán và trình bày các ví dụ số để minh họa cho phương pháp chỉnh hóa đã sử dụng. ii) Thứ hai, chúng tôi nghiên cứu bài toán xác định nguồn cho phương trình parabolic bậc phân theo biến thời gian và không gian trong không gian Hilbert L2 (Rn ). Trong những năm gần đây, các phương trình đạo hàm riêng bậc phân đã được nhiều nhà khoa học quan tâm nghiên cứu vì đây là một vấn đề toán học có tính ứng dụng thực tiễn. Các nhà khoa học sử dụng phương trình đạo hàm riêng bậc phân để mô tả các hiện tượng vật lí, quá trình truyền
18 nhiệt, phản ứng hóa học, ô nhiễm nguồn nước, tốc độ tăng trưởng dân số, bệnh thủy đậu, các mô hình bệnh do virus, các vấn đề trong hóa học, sinh học, kỹ thuật cơ khí, xử lý tín hiệu, lý thuyết điều khiển, lĩnh vực tài chính ([9, 10, 18, 41, 90, 97, 104, 108, 127]). Bài toán xác định nguồn cho phương trình parabolic bậc phân cũng là mô hình bài toán thực tế. Phương trình parabolic bậc phân xuất hiện khi ta thay đạo hàm bậc nguyên trong phương trình ban đầu bằng một đạo hàm bậc phân. Theo sự tìm kiếm của chúng tôi, có nhiều nghiên cứu về bài toán xác định nguồn cho phương trình parabolic bậc phân (xem [75, 86, 87, 127, 128, 133, 134, 135] và các tài liệu tham khảo trong các nghiên cứu đó). Các nghiên cứu liên quan đến tính duy nhất nghiệm của bài toán này có thể xem tại [5, 20, 86]; các nghiên cứu về đánh giá ổn định, xem tại [3, 5, 71, 86, 134] và các nghiên cứu về phương pháp chỉnh hóa có thể tìm thấy tại [19, 134, 135] cùng các tài liệu tham khảo trong các công bố đó. Năm 2013, Zhang, Wei ([127]) đã đưa ra đánh giá ổn định và chỉnh hóa của bài toán xác định nguồn cho phương trình khuếch tán bậc phân. Năm 2014, Yang và các cộng sự ([133]) đã giải bài toán xác định nguồn cho phương trình khuếch tán bậc phân theo thời gian bằng phương pháp làm nhuyễn. Họ xét bài toán xác định hàm nguồn f (t) dưới đây     ∂0α+ u(x, t) − uxx (x, t) = f (t), x > 0, t > 0,   u(x, 0) = 0, x ≥ 0,  (22)   u(0, t) = 0, u(1, t) = g(t), t ≥ 0,   u(x, t)| x→∞ bị chặn, t ≥ 0,  trong đó kí hiệu ∂0α+ u(x, t) là đạo hàm bậc phân Caputo theo thời gian với bậc α (0 < α ≤ 1) được định nghĩa như sau ([90]) Z t α 1 ∂u(x, s) ds ∂0+ u(x, t) = , 0 < α < 1, Γ(1 − α) 0 ∂s (t − s)α ∂u(x, t) ∂0α+ u(x, t) = , α = 1. ∂t Mục đích của họ là xác định f (t) từ dữ liệu đo trên biên u(1, t) = g(t). Các tác giả trong [133] đưa ra đánh giá sai số theo luật chọn tham số kiểu tiên nghiệm và hậu nghiệm. Đối với luật chọn tham số kiểu tiên nghiệm, họ đạt được đánh giá ổn định kiểu H¨older. Đối với luật chọn tham số kiểu hậu