Luận án Tiến sĩ Toán học: Một số phương pháp hiệu chỉnh giải hệ phương trình toán tử đặt không chỉnh

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:118

Thêm vào BST

Báo xấu

24
lượt xem 4
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Nội dung luận án gồm 3 chương: chương 1 - hệ phương trình toán tử đặt không chỉnh; chương 2 - hiệu chỉnh cho hệ phương trình với toán tử liên tục và đóng yếu; chương 3 - hiệu chỉnh tìm nghiệm cho hệ phương trình phi tuyến với toán tử U− đơn điệu và liên tục Lipschitz trên không gian Banach. Mời các bạn tham khảo nội dung chi tiết đề tài!

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Luận án Tiến sĩ Toán học: Một số phương pháp hiệu chỉnh giải hệ phương trình toán tử đặt không chỉnh

VIỆN HÀN LÂM KHOA HỌC BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO VÀ CÔNG NGHỆ VIỆT NAM VIỆN CÔNG NGHỆ THÔNG TIN NGUYỄN ĐÌNH DŨNG MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP HIỆU CHỈNH GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH TOÁN TỬ ĐẶT KHÔNG CHỈNH LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC Hà Nội – 2014
VIỆN HÀN LÂM KHOA HỌC VÀ BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO CÔNG NGHỆ VIỆT NAM VIỆN CÔNG NGHỆ THÔNG TIN NGUYỄN ĐÌNH DŨNG MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP HIỆU CHỈNH GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH TOÁN TỬ ĐẶT KHÔNG CHỈNH Chuyên ngành: Toán học tính toán Mã số: 62.46.30.01 LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC Tập thể hướng dẫn khoa học: 1. GS.TS. Nguyễn Bường 2. TS. Nguyễn Công Điều Hà Nội – 2014
Mục lục Mở đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 Chương 1. Hệ phương trình toán tử đặt không chỉnh 15 1.1. Không gian Hilbert và không gian Banach . . . . . . . . 15 1.2. Phương pháp hiệu chỉnh Tikhonov . . . . . . . . . . . . 21 1.2.1. Khái niệm về bài toán đặt chỉnh và không chỉnh 21 1.2.2. Phương pháp hiệu chỉnh Tikhonov cho phương trình với toán tử liên tục và đóng yếu . . . . . . 22 1.2.3. Phương pháp hiệu chỉnh Browder-Tikhonov cho phương trình toán tử U − đơn điệu . . . . . . . 27 1.3. Hệ phương trình toán tử đặt không chỉnh và phương pháp hiệu chỉnh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 1.3.1. Bài toán dẫn đến hệ phương trình toán tử đặt không chỉnh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 1.3.2. Phương pháp hiệu chỉnh cho hệ phương trình với toán tử liên tục và đóng yếu . . . . . . . . . . . 35 Chương 2. Hiệu chỉnh cho hệ phương trình với toán tử liên tục và đóng yếu 42 2.1. Phương pháp hiệu chỉnh với nhiễu vế phải . . . . . . . . 42 2.2. Phương pháp hiệu chỉnh trong trường hợp nhiễu vế phải và nhiễu toán tử . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 1
2.3. Phương pháp hiệu chỉnh cho hệ phương trình với toán tử tuyến tính liên tục . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 2.4. Một số kết quả tính toán . . . . . . . . . . . . . . . . . 65 2.4.1. Quy tắc dừng lặp và kết quả tính toán cho hệ phương trình toán tử tuyến tính . . . . . . . . . 65 2.4.2. Kết quả tính toán cho hệ phương trình toán tử phi tuyến . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76 Chương 3. Hiệu chỉnh tìm nghiệm cho hệ phương trình phi tuyến với toán tử U − đơn điệu và liên tục Lipschitz trên không gian Banach 81 3.1. Phương pháp hiệu chỉnh cho hệ phương trình với toán tử U − đơn điệu và liên tục Lipschitz trên không gian Banach 81 3.2. Nguyên lý tựa độ lệch chọn tham số hiệu chỉnh . . . . . 89 3.3. Tốc độ hội tụ của nghiệm hiệu chỉnh . . . . . . . . . . . 97 3.4. Một số kết quả tính toán . . . . . . . . . . . . . . . . . 99 Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106 Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107 2
LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi dưới sự hướng dẫn của GS.TS. Nguyễn Bường và TS. Nguyễn Công Điều. Các kết quả trình bày trong luận án là hoàn toàn trung thực và chưa từng được công bố trong các công trình của người khác. Nghiên cứu sinh Nguyễn Đình Dũng 3
LỜI CẢM ƠN Luận án này được hoàn thành tại Viện Công nghệ Thông tin thuộc Viện Hàn lâm Khoa học và Công nghệ Việt Nam dưới sự hướng dẫn của GS.TS. Nguyễn Bường và TS. Nguyễn Công Điều. Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn tới các thầy cô giáo thuộc Viện Công nghệ Thông tin đã tạo điều kiện và giúp đỡ tác giả trong quá trình học tập và làm luận án tại Viện, đặc biệt tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới GS. Nguyễn Bường và TS. Nguyễn Công Điều, những người thầy đã tận tình hướng dẫn và cung cấp nhiều tài liệu cần thiết để tác giả có thể hoàn thành luận án đúng thời hạn. Tác giả xin chân thành cảm ơn các thầy cô giáo thuộc Đại học Thái Nguyên và Ban Đào tạo - Đại học Thái Nguyên đã tạo điều kiện tốt nhất cho tác giả trong thời gian làm nghiên cứu sinh. Xin chân thành cảm ơn anh chị em nghiên cứu sinh và bạn bè đồng nghiệp đã trao đổi, động viên và khích lệ tác giả trong quá trình học tập, nghiên cứu và làm luận án tại Viện Công nghệ Thông tin. Nghiên cứu sinh Nguyễn Đình Dũng 4
MỘT SỐ KÝ HIỆU VÀ CHỮ VIẾT TẮT Rn Không gian Ơcơlit n-chiều. X∗ Không gian liên hợp của không gian Banach X. A∗ : Y ∗ → X ∗ Toán tử đối ngẫu của toán tử A : X → Y . H Không gian Hilbert. I Toán tử đơn vị. D(A) Miền xác định của toán tử A. R(A) Miền ảnh của toán tử A. A−1 Toán tử ngược của toán tử A. A0 (x) Đạo hàm Fréchet của toán tử A tại điểm x. hx, yi Tích vô hướng của x và y trong không gian Hilbert. kxkX Chuẩn của x trong không gian X. ρX (x, y) Metric của x và y trong không gian X. a∼b a tương đương với b. C[a, b] Không gian các hàm liên tục trên đoạn [a, b]. ∅ Tập rỗng. xn * x Dãy xn hội tụ yếu tới x. xn → x Dãy xn hội mạnh tới x. θ Phần tử không trong không gian Banach. S(x∗ , r) Hình cầu mở tâm x∗ bán kính r trong không gian Banach . N (A) Không gian không điểm của toán tử A. 5
Mở đầu Trong những bài toán nảy sinh từ thực tế, tồn tại một lớp các bài toán mà nghiệm không ổn định theo nghĩa một thay đổi nhỏ của dữ liệu đầu vào sẽ dẫn đến những thay đổi lớn của dữ liệu đầu ra (nghiệm của bài toán), thậm chí còn làm cho bài toán trở lên vô nghiệm. Lớp các bài toán trên được gọi là lớp bài toán không chính qui hay bài toán đặt không chỉnh. Khái niệm bài toán đặt chỉnh được Hadamard,J. [45] đưa ra khi nghiên cứu về ảnh hưởng của các điều kiện biên lên nghiệm của các phương trình elliptic cũng như parabolic. Xét bài toán tìm nghiệm của phương trình A(x) = f, (1) ở đây, A là toán tử từ không gian metric X vào không gian metric Y . Theo Hadamard bài toán (1) được gọi là đặt chỉnh (chính qui) nếu các điều kiện sau được thỏa mãn: 1. Phương trình (1) có nghiệm x0 với mọi f ∈ Y ; 2. Nghiệm x0 được xác định một cách duy nhất; 3. Nghiệm x0 phụ thuộc liên tục vào f . Một thời gian dài người ta nghĩ rằng mọi bài toán đặt ra đều thỏa mãn cả ba điều kiện trên. Nhưng thực tế chỉ ra rằng ý niệm đó sai lầm. 6
Nhất là khi máy tính điện tử ra đời, trong tính toán các bài toán thực tế bằng máy tính luôn xảy ra quá trình làm tròn số. Chính sự làm tròn đó dẫn đến những sai lệch đáng kể. Nếu ít nhất một trong ba điều kiện trên không được thỏa mãn thì bài toán (1) được gọi là bài toán đặt không chỉnh. Do lớp bài toán đặt không chỉnh có tầm quan trọng trong ứng dụng thực tế, nên nó đã thu hút sự quan tâm của nhiều nhà toán học nổi tiếng trên thế giới như V. K. Ivanov, M. M. Lavrentiev, A. N. Tikhonov...Một số nhà toán học Việt Nam cũng đi sâu nghiên cứu và có nhiều đóng góp cho lý thuyết các bài toán đặt không chỉnh như: P. K. Anh, Ng. Bường, Đ. N. Hào, Đ. Đ. Trọng... Để giải số bài toán đặt không chỉnh, bước đầu tiên Tikhonov đưa về bài toán đặt chỉnh bằng cách giả thiết là nghiệm cần tìm nằm vào trong một tập compact lồi M và ảnh A(M ) = N , sao cho khi f xấp xỉ bởi fδ ∈ N ta vẫn có nghiệm xδ thỏa mãn Axδ ∈ N . Do số liệu xấp xỉ là số liệu không chính xác, nên có thể xấp xỉ fδ lại không nằm vào tập A(M ). Khi đó, phương trình A(x) = fδ không có nghiệm theo nghĩa thông thường. Để khắc phục tình trạng này, Ivanov,V.K. (xem [51], [52]) đã đưa ra khái niệm tựa nghiệm cho phương trình (1). Theo Ivanov phần tử x˜ ∈ M làm cực tiểu phiếm hàm inf ρY (A(x), f ) được gọi là tựa nghiệm x∈M của (1) trên tập M , trong trường hợp M là tập compact của X, thì với mọi f ∈ Y bao giờ cũng tồn tại tựa nghiệm. Nếu f ∈ A(M ) thì tựa nghiệm chính là nghiệm thông thường. Tựa nghiệm cũng như nghiệm thông thường có thể không duy nhất. Trường hợp vế phải phương trình (1) thay đổi không nằm trong A(M ) 7
cũng được Lavrentiev, M.M. [60] nghiên cứu. Tư tưởng phương pháp mà Lavrentiev đề xuất là thay phương trình (1) bằng phương trình xấp xỉ giải được với mọi vế phải và nghiệm của phương trình xấp xỉ phụ thuộc liên tục vào vế phải. Năm 1963, Tikhonov, A. N. (xem [75], [76], [77]) đưa ra một hướng mới giải quyết bài toán (1), đó là việc cực tiểu hóa phiếm hàm phụ thuộc tham số M α [x, fδ ] = ρ2 (A(x), fδ ) + αψ(x), (2) ở đây ψ là phiếm hàm ổn định trên không gian metric X, α là tham số hiệu chỉnh phụ thuộc δ, α = α(δ) được chọn sao cho khi δ → 0, ta có α(δ) → 0 và điểm cực tiểu xδα của phiếm hàm (2) hội tụ đến nghiệm của bài toán (1). Đối với bài toán (1), khi A : H → H là một toán tử liên tục và đóng yếu, Engl, H.W. [42] đã xét dạng cụ thể của (2) là M α [x, fδ ] = kAx − fδ k2 + αkxk2 (3) và chứng minh được bài toán (3) có nghiệm phụ thuộc liên tục vào fδ và hội tụ về nghiệm của (1) khi fδ → f . Trong trường hợp A là toán tử đơn điệu và hemi liên tục từ không gian Bannach X vào X ∗ , Alber,Ya.I.[5] đã xây dựng phương pháp hiệu chỉnh Tikhonov dựa vào việc giải phương trình A(x) + αU s (x) = fδ , (4) ở đây, U s là toán tử đối ngẫu tổng quát của X, tức là U s : X → X ∗ , thỏa mãn điều kiện hU s (x), xi = kxkkU s (x)k, kU s (x)k = kxks−1 , s ≥ 2. 8
Trong vài năm gần đây, do nhu cầu thực tế người ta đã xét mở rộng bài toán (1) cho một họ hữu hạn phương trình đặt không chỉnh (xem [22], [39], [46]), tức là tìm nghiệm x0 , sao cho Aj (x0 ) = fj , j = 1, 2, ..., N, (5) ở đây, Aj : X → Yj , X và Yj là các không gian Hilbert. Hệ phương trình (5) có thể đưa về một phương trình A(x) = f, (6) ở đây, A : X → Y xác định bởi A(x) = (A1 (x), A2 (x), ..., AN (x)), Y := Y1 × Y2 × ... × YN và f = (f1 , f2 , ..., fN ). Có thể coi (6) như là trường hợp riêng của (5) khi N = 1. Tuy nhiên, (5) có lợi hơn (6) ở chỗ (5) đề cập riêng rẽ từng tính chất của (Aj , fj ), còn (6) cho ta tính chất chung của (Aj , fj ) và nghiệm của (6) phải thỏa mãn các tọa độ giống nhau. Năm 2007, Haltmeier,M. [46] đã đưa ra phương pháp lặp cải tiến Landweber - Kaczmarz tìm nghiệm hiệu chỉnh lặp cho hệ (5) khi fj δ δ được xấp xỉ bởi fj j , kfj j − fj k ≤ δj , j = 1, 2, .., N , bao gồm phương pháp lặp xoay vòng Landweber - Kaczmarz (lLK) và phương pháp lặp nhúng Landweber - Kaczmarz (eLK) đồng thời được ứng dụng để hiệu chỉnh cho một số bài toán như bài toán ngược đối với thiết bị bán dẫn, bài toán chụp cắt lớp bằng nhiệt... Năm 2008, Hein,T. [48] đã đưa ra phương pháp hiệu chỉnh cho hệ phương trình với toán tử liên tục và đóng yếu dựa trên bài toán cực tiểu phiếm hàm ổn định không âm và nửa liên tục dưới yếu δ min{J(x) : kAj (x) − fj j k ≤ δj , j = 1, .., N }. (7) x∈D 9
Dựa trên khoảng cách Bregman D(xδ , x0 ) := J(xδ )−J(x0 )−hJ 0 (x0 ), xδ − x0 i, Hein đã đưa ra các kết quả về tốc độ hội tụ của nghiệm hiệu chỉnh xδ về nghiệm x0 của hệ khi bổ sung điều kiện nguồn lên tất cả các toán tử Aj , j = 1, 2, ..., N . Năm 2011, Cezaro,A.D. [38] đã đưa ra phương pháp lặp cải tiến Tikhonov với các toán tử Aj liên tục, khả vi Fréchet trên miền đóng yếu Dj , bao gồm phương pháp lặp Tikhonov - Kaczmarz (iTK) và phương pháp lặp xoay vòng Tikhonov - Kaczmarz (L - iTK). Phương pháp này được xây dựng dựa trên cơ sở của phương pháp lặp Levenberg- Marquardt-Kaczmarz [15] và phương pháp lặp cải tiến Landweber - Kaczmarz [46]. Cách tiếp cận theo phương pháp lặp xoay vòng và phương pháp đưa về không gian tích thực hiện rất phức tạp khi N lớn. Cụ thể, khi xét sự hội tụ của nghiệm hiệu chỉnh về nghiệm của hệ cũng như đánh giá tốc độ hội tụ của nghiệm hiệu chỉnh theo các cách tiếp cận này đòi hỏi phải thỏa mãn ba điều kiện đặt lên từng toán tử Aj , bao gồm điều kiện khả vi Fréchet với các đạo hàm Fréchet giới nội đều trong lân cận nghiệm của (5), điều kiện nón tiếp tuyến cục bộ và điều kiện nguồn trên nghiệm của (5) (xem [38]). Vì vậy, việc nới lỏng các điều kiện lên các toán tử là một trong các mục tiêu của luận án. Cụ thể, liệu có thể xây dựng được phương pháp hiệu chỉnh khác mà sự hội tụ cũng như đánh giá tốc độ hội tụ của nghiệm hiệu chỉnh chỉ cần dựa vào điều kiện của một toán tử hay không? Trong trường hợp Aj là các dưới vi phân của các phiếm hàm lồi trên không gian Banach X, Buong,Ng. [22] đã xây dựng phương pháp hiệu 10
chỉnh dựa vào việc giải phương trình N X αµj Ahj (x) + αU (x) = θ, (8) j=1 µ1 = 0 < µj < µj+1 < 1, j = 2, .., N − 1, ở đây, U (x) là toán tử đối ngẫu chuẩn tắc từ X vào X ∗ , tức là U (x) = U 2 (x). Khi Aj : H → H là các toán tử đơn điệu và h-liên tục, Buong,Ng., Thuy,Ng.T.T. [34] đã đề xuất phương pháp hiệu chỉnh lặp bậc không tìm nghiệm xấp xỉ cho bài toán Aj (x) = θ, j = 1, 2, ..., N, (9) bằng sơ đồ lặp N ! X x(k+1) = x(k) − βk αkj Aj (x(k) ) + αkN +1 (x(k) − x∗ ) , (10) j=1 ở đây, xấp xỉ đầu x(0) và x∗ là phần tử trong không gian H và αk , βk là các dãy số dương. Hệ (9) cũng được Anh,Ph.K., Chung,C.V. [7] xét đến khi Aj : H → H có tính chất ngược đơn điệu mạnh bằng phương pháp hiệu chỉnh lặp song song. Các kết quả đạt được của phương pháp cho nghiệm hiệu chỉnh hội tụ về nghiệm có chuẩn nhỏ nhất. Một câu hỏi đặt ra là, khi Aj là các toán tử U − đơn điệu liệu có thể xây dựng được các phương pháp hiệu chỉnh giống như (8) hay không? Trong luận án này, chúng tôi đề cập đến hai vấn đề nêu trên. Cụ thể, đối với vấn đề thứ nhất, chúng tôi đưa ra phương pháp hiệu chỉnh N X 2 kAj (x) − fjδ k + αkx − x∗ k2 → min, (11) X j=1 11
mà tốc độ hội tụ của nghiệm hiệu chỉnh được đánh giá chỉ dựa trên điều kiện của một toán tử A1 . Trong trường hợp các toán tử Aj : X → X là U − đơn điệu và liên tục Lipschitz trên không gian Banach phản xạ và lồi chặt có chuẩn khả vi Gâteaux đều, chúng tôi đưa ra phương pháp hiệu chỉnh hệ phương trình (5) dựa vào việc giải phương trình N X µ ˜ A1 (x) + α (Aj (x) − fjδ ) + α(x − x∗ ) = f1δ (12) j=2 ˜ ∈ (0, 1) là hằng số cố và đưa ra cách chọn tham số α = α(δ), ở đây, µ định. Theo phương pháp này, tốc độ hội tụ của nghiệm hiệu chỉnh được đánh giá mà chỉ cần dựa vào điều kiện đặt lên một toán tử A1 . Các kết quả đạt được trong luận án này là kết quả trong quá trình học tập và nghiên cứu tại Viện Công nghệ Thông tin - Viện Hàn lâm Khoa học và Công nghệ Việt Nam. Ngoài phần mở đầu, kết luận và tài liệu tham khảo, các kết quả nghiên cứu được trình bày thành ba chương. Chương 1 trình bày các khái niệm cơ bản về không gian Hilbert và không gian Banach, về bài toán đặt không chỉnh, từ đó giới thiệu phương pháp hiệu chỉnh Tikhonov cho phương trình với toán tử liên tục và đóng yếu và phương pháp hiệu chỉnh Browder-Tikhonov cho phương trình với toán tử U − đơn điệu. Trên cơ sở hiệu chỉnh cho phương trình, chương này còn giới thiệu bài toán dẫn đến hệ phương trình toán tử đặt không chỉnh và các phương pháp hiệu chỉnh. Chương 2 giới thiệu các kết quả đạt được khi xây dựng phương pháp hiệu chỉnh cho hệ phương trình với các toán tử có tính chất liên tục và đóng yếu, đồng thời các kết quả số được thực hiện nhằm khẳng định tính đúng đắn của phương pháp. Cuối cùng, chương 3 trình bày phương pháp hiệu chỉnh cho hệ phương trình phi tuyến đối với toán tử U − đơn điệu và liên tục Lipschitz trên 12
không gian Banach phản xạ và lồi chặt có chuẩn khả vi Gâteaux đều. Các công trình đã công bố có liên quan đến luận án: [1] Buong,Ng., Dung,N.D. (2009), Regularization for a Common Solu- tion of a System of Nonlinear Ill-Posed Equations, Int. Journal of Math. Analysis, 3(34), 1693 - 1699. [2] Buong,Ng., Dung,N.D. (2011), Regularization for a common solution of a system of ill-posed equations involving linear bounded mappings, Ap- plied Mathematical Sciences, 5(76), 3781 - 3788. [3] Buong,Ng., Dung,N.D. (2011), Regularization for a common solution of a system of ill-posed equations involving linear bounded mappings with perturbative data, Thainguyen University Journal of Science and Tech- nology, 83(7), 73 - 79. [4] Buong,Ng., Dung,N.D. (2012), Convergence Rates in Regularization for Nonlinear Ill-Posed Equations with Perturbative Data, Applied Math- ematical Sciences, 6(127), 6301 - 6310. [5] Buong,Ng., Dung,N.D. (2013), Regularization for a common solution of a finite system of nonlinear ill-posed equations involving Lipschitz continuous and accretive mappings on Banach spaces, Kỷ yếu Hội thảo Quốc gia lần thứ XV về một số vấn đề chọn lọc của Công nghệ Thông tin và Truyền thông, Hà Nội, 3-4/12/2012. [6] Buong,Ng., Dung,N.D. (2014), A regularized parameter choice in reg- ularization for a common solution of a finite system of ill-posed equations involving Lipschitz continuous and accretive mappings, Zh. Vychisl. Mat. i Mat. Fiziki, 54(3), 397 - 406. 13
Các kết quả của luận án đã được báo cáo tại: - Hội thảo Tối ưu và Tính toán khoa học lần thứ VIII, Ba vì, 20- 22/4/2010. - Hội thảo Quốc gia lần thứ XIII về một số vấn đề chọn lọc của Công nghệ Thông tin và Truyền thông, "Các công nghệ tính toán hiện đại", Hưng Yên, 19-20/8/2010. - Hội nghị khoa học kỷ niệm 35 năm ngày thành lập Viện Công nghệ Thông tin - Viện Hàn lâm Khoa học và Công nghệ Việt Nam, Hà Nội, 26/12/2011. - Hội thảo Quốc gia lần thứ XV về một số vấn đề chọn lọc của Công nghệ Thông tin và Truyền thông, Hà Nội, 3-4/12/2012. - Hội thảo Tối ưu và Tính toán khoa học lần thứ XI, Ba vì, 24- 27/4/2013. - Đại hội Toán học Việt Nam lần thứ VIII, Nha Trang, 10-14/08/2013. - Các buổi Seminar khoa học của Phòng Thống kê - Tính toán và ứng dụng, Viện Công nghệ Thông tin - Viện Hàn lâm Khoa học và Công nghệ Việt Nam. 14
Chương 1 Hệ phương trình toán tử đặt không chỉnh Chương này gồm ba mục. Mục 1.1 trình bày các khái niệm cơ bản trong không gian Hilbert và không gian Banach. Mục 1.2 giới thiệu khái niệm bài toán đặt không chỉnh và phương pháp hiệu chỉnh Tikhonov cho phương trình với toán tử liên tục và đóng yếu cùng với phương pháp hiệu chỉnh Browder-Tikhonov cho phương trình với toán tử U − đơn điệu. Trong mục 1.3, chúng tôi giới thiệu hệ phương trình đặt không chỉnh, các bài toán dẫn về hệ phương trình đặt không chỉnh và một số phương pháp hiệu chỉnh cho hệ bài toán này. 1.1. Không gian Hilbert và không gian Banach Trong mục này, chúng tôi nhắc lại một số khái niệm được sử dụng trong các chương sau (xem [3], [6], [18], [21], [44], [49], [53], [64]). Định nghĩa 1.1 Không gian tuyến tính X được gọi là không gian tiền Hilbert hay còn gọi là không gian có tích vô hướng, nếu trên X xác định một hàm thực hai biến, ký hiệu là hx, yi và được gọi là tích vô hướng của x và y nếu thỏa mãn điều kiện sau: • Với mọi x, y ∈ X, hx, yi = hy, xi; • Với mọi x, y, z ∈ X, hx + y, zi = hx, zi + hy, zi; 15
• Với mọi x, y ∈ X và số thực β bất kỳ hβx, yi = β hx, yi; • Với mọi x ∈ X, hx, xi ≥ 0 và hx, xi = 0 khi và chỉ khi x = 0. Với hàm kxk = hx, xi1/2 thì X trở thành một không gian định chuẩn. Không gian với tích vô hướng đầy đủ được gọi là không gian Hilbert. Không gian định chuẩn X được gọi là không gian Banach, nếu nó là không gian đủ. Cho x và y thuộc không gian tích vô hướng X, khi đó ta có các quy tắc sau: • Bất đẳng thức tam giác: kx + yk ≤ kxk + kyk; • Bất đẳng thức Cauchy - Schwarz: |hx, yi| ≤ kxkkyk; • Quy tắc hình bình hành: kx + yk2 + kx − yk2 = 2kxk2 + 2kyk2 . Định nghĩa 1.2 Trong không gian Banach X, toán tử đa trị U : X → ∗ 2X được gọi là toán tử đối ngẫu chuẩn tắc nếu U (x) = {u(x) ∈ X ∗ : hx, u(x)i = kxkku(x)k, ku(x)k = kxk}. Định nghĩa 1.3 Toán tử A : X → X được gọi là • U − đơn điệu trên X, nếu tồn tại u(x − y) ∈ U (x − y) sao cho hA(x) − A(y), u(x − y)i ≥ 0 với ∀x, y ∈ X. • U − đơn điệu mạnh trên X với hằng số α, nếu tồn tại một hằng số α > 0 sao cho hA(x) − A(y), u(x − y)i ≥ αkx − yk2 , ∀x, y ∈ X. 16
• Ngược U − đơn điệu mạnh với hằng số λ trên X, nếu tồn tại một hằng số dương λ sao cho hA(x) − A(y), u(x − y)i ≥ λkA(x) − A(y)k2 , ∀x, y ∈ X, • m− U − đơn điệu trong X, nếu A là U − đơn điệu và R(A+λI) = X, ∀λ > 0. • Liên tục Lipschitz trên X, nếu kA(x) − A(y)k ≤ Lkx − yk, ∀x, y ∈ X, ở đây, L là hằng số dương. Khi L = 1 thì A được gọi là toán tử không giãn. Dễ thấy, nếu A là toán tử ngược U − đơn điệu mạnh với hằng số λ thì A là liên tục Lipschitz với hằng số 1/λ. Định nghĩa 1.4 (xem [18]) Toán tử T được gọi là giả co chặt trên không gian Banach X, nếu tồn tại λ ∈ [0, 1) sao cho với mọi x, y ∈ X ta có hT x − T y, u(x − y)i ≤ kx − yk2 − λkx − y − (T x − T y)k2 , hay có thể viết dưới dạng h(I − T )x − (I − T )y, u(x − y)i ≥ λk(I − T )x − (I − T )yk2 . Do đó, I − T là ngược U − đơn điệu mạnh với hằng số λ. Nếu λ = 0, thì T được gọi là giả co. Nếu T là giả co, thì A := I − T là U − đơn điệu, và ngược lại, nếu A là U − đơn điệu thì T = I − A là giả co. Định nghĩa 1.5 Cho X là không gian tuyến tính định chuẩn và S(0, 1) := {x ∈ X : kxk = 1} . 17
Không gian X được gọi là có chuẩn khả vi Gâteaux, nếu giới hạn kx + tyk − kxk lim t→0 t tồn tại với mọi x, y ∈ S(0, 1). Không gian X có chuẩn khả vi Gâteaux đều nếu giới hạn trên hội tụ đều với mọi x ∈ S(0, 1). Không gian X được gọi là lồi chặt nếu ∀x, y ∈ S(0, 1) với x 6= y, ta có k(1 − λ)x + λyk < 1, ∀λ ∈ (0, 1). Định nghĩa 1.6 Tập S trong không gian Banach X được gọi là một tập lồi, nếu với mọi x, y ∈ S thì {λx + (1 − λ)y : λ ∈ [0, 1]} ⊆ S. Nếu S là tập lồi đóng và S 6= ∅ thì ∀x ∈ X tồn tại duy nhất một phần tử x∗ ∈ S sao cho kx − x∗ k = inf kx − yk. y∈S Định nghĩa 1.7 Phiếm hàm ϕ(x) với x ∈ X được gọi là lồi, nếu ϕ(αx + (1 − α)y) ≤ αϕ(x) + (1 − α)ϕ(y), ∀α ∈ [0, 1], x, y ∈ X. Định nghĩa 1.8 (xem [3]) Cho không gian Banach `∞ với (a1 , a2 , ...) ∈ `∞ và chuẩn kak∞ = supi∈N |ai | và µ là phiếm hàm tuyến tính liên tục trên `∞ . Ký hiệu µk (ak ) := µ((a1 , a2 , ...)), khi đó µ được gọi là giới hạn Banach nếu µ thỏa mãn kµk = µk (1) = 1 và µk (ak+1 ) = µk (ak ) với (a1 , a2 , ...) ∈ `∞ . Với giới hạn Banach µ, ta có lim inf ak ≤ µk (ak ) ≤ lim sup ak k→∞ k→∞ với mọi (a1 , a2 , ...) ∈ `∞ . Nếu a = (a1 , a2 , ...) ∈ `∞ , b = (b1 , b2 , ...) ∈ `∞ và ak → c (ak − bk → 0, khi k → ∞), ta có µk (ak ) = µ(a) = c (µk (ak ) = µk (bk )). 18