Luận án Tiến sĩ Toán học: Nghiệm đại số của một số lớp phương trình vi phân đại số cấp một

Chia sẻ: Hương Hoa Cỏ Mới | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:101

Thêm vào BST

Báo xấu

19
lượt xem 5
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Mục đích của đề tài nhằm tìm kiếm một số lớp phương trình vi phân đại số cấp một có thể xác định được sự tồn tại hay không một nghiệm tổng quát đại số và trong trường hợp xác định, hãy đưa ra các thuật toán tính tường minh một nghiệm tổng quát đại số như vậy.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Luận án Tiến sĩ Toán học: Nghiệm đại số của một số lớp phương trình vi phân đại số cấp một

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN HÀ TRỌNG THI NGHIỆM ĐẠI SỐ CỦA MỘT SỐ LỚP PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN ĐẠI SỐ CẤP MỘT LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC Bình Định - 2021
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN HÀ TRỌNG THI NGHIỆM ĐẠI SỐ CỦA MỘT SỐ LỚP PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN ĐẠI SỐ CẤP MỘT Chuyên ngành : Đại số và lí thuyết số Mã số : 9460104 Phản biện thứ nhất : GS.TSKH. Phùng Hồ Hải Phản biện thứ hai : PGS.TS. Trương Công Quỳnh Phản biện thứ ba : PGS.TS. Mai Hoàng Biên TẬP THỂ HƯỚNG DẪN KHOA HỌC TS. NGÔ LÂM XUÂN CHÂU TS. LÊ THANH HIẾU Bình Định - 2021
i Lời cam đoan Tôi xin cam đoan mọi kết quả, nội dung của luận án “Nghiệm đại số của một số lớp phương trình vi phân đại số cấp một” là do tôi thực hiện dưới sự hướng dẫn của các thầy giáo TS. Ngô Lâm Xuân Châu và TS. Lê Thanh Hiếu. Các nội dung và kết quả sử dụng trong Luận án đều có trích dẫn và chú thích nguồn gốc, kết quả là trung thực, được các đồng tác giả cho phép sử dụng. Nếu có điều gì gian lận, tôi xin hoàn toàn chịu trách nhiệm trước pháp luật. Quy Nhơn, ngày 02 tháng 11 năm 2021 Người thực hiện Hà Trọng Thi
ii Lời cảm ơn Luận án được hoàn thành trong quá trình học tập và nghiên cứu tại Khoa Toán và Thống kê, Trường Đại học Quy Nhơn, dưới sự hướng dẫn của TS. Ngô Lâm Xuân Châu và TS. Lê Thanh Hiếu. Các thầy đã chỉ bảo tận tình và hướng dẫn tôi từ những bước đầu làm nghiên cứu. Các thầy hướng dẫn nghiêm túc và luôn tạo một tình cảm thân thiện trong suốt thời gian học tập. Trước tiên, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến TS. Ngô Lâm Xuân Châu và TS. Lê Thanh Hiếu. Tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành đến Lãnh đạo Trường Đại học Quy Nhơn, Phòng Đào tạo sau đại học đã tạo điều kiện tốt nhất để tôi học tập. Đặc biệt, tôi xin gửi lời cảm ơn đến Lãnh đạo Khoa Toán và Thống kê cùng các thầy cô giáo trong Khoa đã luôn ủng hộ, động viên tôi trong suốt thời gian tham gia học tập tại trường. Tôi xin cảm ơn Lãnh đạo Sở Giáo dục và Đào tạo Bình Định, các đồng nghiệp và bạn bè đã ủng hộ, động viên và tạo điều kiện tốt nhất để tôi tham gia học tập. Trân trọng.
iii Mục lục Mở đầu 1 1 Kiến thức chuẩn bị 6 1.1 Kiến thức cơ sở về đại số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.1.1 Mở rộng trường . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.1.2 Kết thức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.2 Đại số vi phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.2.1 Trường vi phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.2.2 Nghiệm của đa thức vi phân . . . . . . . . . . . . . 17 1.3 Đường cong đại số hữu tỷ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 2 Phép biến đổi tương đương trên các phương trình vi phân đại số cấp một 25 2.1 Phép biến đổi tương đương . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 2.2 Phép biến đổi M¨obius . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 3 Nghiệm đại số của phương trình vi phân đại số cấp một 38 3.1 Nghiệm đại số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 3.2 Một số tính chất bảo toàn của nghiệm . . . . . . . . . . . . 42
iv 3.3 Một chặn bậc cho nghiệm tổng quát đại số . . . . . . . . . 45 4 Sự tương đương của các phương trình vi phân đại số cấp một tham số hữu tỷ được 50 4.1 Phương trình vi phân đa thức . . . . . . . . . . . . . . . . 51 4.1.1 Bất biến vi phân qua phép biến đổi y = z + b . . . . 51 4.1.2 Bất biến vi phân qua phép biến đổi z = aw . . . . . 57 4.1.3 Bất biến vi phân qua phép biến đổi y = aw + b . . . 58 4.2 Phương trình vi phân Riccati . . . . . . . . . . . . . . . . 64 4.3 Phương trình vi phân Abel . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67 4.4 Phương trình vi phân đại số cấp một tham số hữu tỷ được . 72 4.5 Nghiệm tổng quát đại số của phương trình tham số hữu tỷ được thuộc lớp autonom . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78 Kết luận 87 Danh mục các công trình của tác giả liên quan đến Luận án 90 Tài liệu tham khảo 91
v BẢNG CÁC KÝ HIỆU C trường số phức i số phức đơn vị ảo C(x) trường vi phân các hàm hữu tỷ theo biến x K bao đóng đại số của trường K K[x] vành đa thức n biến x = (x1 , . . . , xn ) với hệ số trong K deg(f ) bậc của đa thức f K{y} vành các đa thức vi phân theo biến y trên trường K prem(P, F ) phần dư của phép chia đa thức vi phân P cho đa thức vi phân F res(f, g, x) kết thức của f và g theo biến x disc(f ) biệt thức của đa thức một biến f δF bậc tổng thể vi phân của đa thức vi phân F (1) AODE K tập các phương trình vi phân đại số cấp một trên trường K au + b M phép biến đổi M¨obius trên K ; M (u) = cu + d ΦM ánh xạ hữu tỷ tương ứng với phép biến đổi M¨obius M ; ∂M (u) ∂M (u) ΦM (u, v) = M (u), ∂x + ∂u v
vi (1) GK nhóm các phép biến đổi song hữu tỷ dạng ΦM (1) (1) • tác động của nhóm GK lên AODE K Tc ánh xạ tịnh tiến theo hằng c
1 MỞ ĐẦU Một phương trình vi phân đại số cấp một có dạng F (y, y 0 ) = 0, trong đó F ∈ C(x)[y, y 0 ] và F có chứa biến đạo hàm y 0 . Nếu F ∈ C[y, y 0 ] thì ta nói phương trình F (y, y 0 ) = 0 là autonom (tức là mọi hệ số của F đều là hằng số). Việc nghiên cứu các phương trình vi phân đại số cấp một bắt đầu từ cuối thế kỷ 19 và đầu thế kỷ 20 với các công trình tiêu biểu của L. Fuchs [14], H. Poincaré [27] và J. Malmquist [19]. Một nghiệm chung của F (y, y 0 ) = 0 ∂ và 0 F (y, y 0 ) = 0 được gọi là một nghiệm kỳ dị. Các nghiệm kỳ dị của ∂y phương trình F (y, y 0 ) = 0 luôn là nghiệm đại số và có hữu hạn nghiệm kỳ dị như vậy, đồng thời việc tìm các nghiệm kỳ dị này là đơn giản. Tuy nhiên, việc xác định liệu phương trình F (y, y 0 ) = 0 có nghiệm tổng quát đại số hay không và đưa ra một thuật toán tính toán tường minh một nghiệm tổng quát đại số như vậy là một vấn đề khó. Cho đến nay, vấn đề tìm nghiệm tổng quát đại số của một phương trình vi phân cấp một mới chỉ giải quyết một cách có hệ thống cho trường hợp phương trình vi phân autonom. Trong trường hợp này sự tồn tại một nghiệm đại số không tầm thường quyết định sự tồn tại nghiệm tổng quát đại số. Câu hỏi tự nhiên đặt ra là liệu có còn những lớp phương trình nào
2 khác rộng hơn và cũng có tính chất như vậy hay không? Vấn đề tương tự cho các phương trình vi phân cấp một không autonom (non-autonomous) mới chỉ giải quyết cho một số trường hợp đặc biệt; các lớp nghiệm hình thức của phương trình F (y, y 0 ) = 0 được quan tâm nghiên cứu là nghiệm hữu tỷ, nghiệm đại số, nghiệm liouville, ... Hiện nay các thuật toán hữu hiệu để tìm kiếm các dạng nghiệm nói trên chỉ giới hạn đối với các phương trình vi phân đặc biệt (hoặc có bậc thấp như phương trình vi phân tuyến tính, phương trình Clairaut, phương trình Riccati, phương trình Abel). Việc sử dụng các phép biến đổi M¨obius trình bày trong các bài báo [22, 23] có thể chỉ ra một lớp các phương trình vi phân đại số cấp một không autonom nhưng có thể biến đổi một cách tương đương về phương trình autonom và có nghiệm tổng quát đại số. Như vậy chúng ta cần những nghiên cứu lý thuyết cho vấn đề này. Bên cạnh đó, dựa vào một chặn bậc cho các nghiệm đại số không tầm thường của một phương trình vi phân đại số cấp một autonom, ta có thể suy ra một chặn bậc cho nghiệm tổng quát đại số. Vấn đề này được mở rộng như thế nào cho các phương trình vi phân cấp một không autonom cũng là một câu hỏi mở cần được nghiên cứu. Một nghiệm của phương trình vi phân đại số cấp một F (y, y 0 ) = 0 trong một trường mở rộng vi phân K của C(x) là một phần tử η ∈ K sao cho F (η, η 0 ) = 0, trong đó “ 0 ” là phép đạo hàm trên K mở rộng phép đạo hàm thông thường trên C(x). Nếu F là đa thức bậc một theo y 0 thì phương trình vi phân tương ứng được viết dưới dạng hữu tỷ y 0 = P (z, y)/Q(z, y),
3 trong đó P và Q là các đa thức 2 biến không có nhân tử chung. Bài toán tìm một chặn bậc cho các nghiệm đại số của phương trình vi phân dạng này được biết đến với tên gọi bài toán Poincaré. Trong một bài báo năm 1994, M. M. Carnicer [4] đã giải bài toán Poincaré trong trường hợp tổng quát, tức là kỳ dị của phương trình là nondicritical. Năm 1998, A. Eremenko [12] đã đưa ra một chặn bậc cho các nghiệm hữu tỷ của phương trình vi phân F (y, y 0 ) = 0. Liệu kết quả này có thể mở rộng được cho các nghiệm đại số hay không vẫn là một câu hỏi mở. Gần đây, R. Feng và các cộng sự [13, 2] đã đưa ra một chặn bậc cho các nghiệm đại số tổng quát của các phương trình vi phân đại số cấp một autonom. Hơn nữa, việc tính một nghiệm tổng quát đại số của các phương trình như vậy được quy về việc tính một nghiệm đại số không tầm thường. Vấn đề tính toán tường minh nghiệm hữu tỷ, nghiệm đại số của các phương trình vi phân đại số cấp một không autonom vẫn tiếp tục thu hút nhiều sự quan tâm nghiên cứu của các nhà toán học trong và ngoài nước trong những năm gần đây. Phương pháp tìm nghiệm hữu tỷ trong bài báo của R. Feng [13], áp dụng cho các phương trình autonom, được mở rộng cho lớp các phương trình không autonom tham số hóa được trong các bài báo của L. X. C. Ngo và F. Winkler [25, 26, 22]. Các vấn đề này được nghiên cứu đầy đủ hơn trong luận án tiến sĩ của N. T. Vo [34] với các thuật toán mới để tìm nghiệm hữu tỷ của các phương trình như vậy. Bên cạnh vấn đề giải từng phương trình vi phân đại số cấp một, vấn đề xác định sự tương đương giữa các phương trình vi phân đại số cũng được đặt ra. Trong các bài báo [23, 24, 21], các tác giả đã đưa ra các quan hệ
4 tương đương khác nhau trên các phương trình vi phân đại số cấp một. Từ đó vấn đề giải một phương trình vi phân đại số có thể đưa về việc giải một phương trình trong lớp tương đương và sự phân loại các phương trình theo quan hệ tương đương đó. Mục đích của đề tài nhằm tìm kiếm một số lớp phương trình vi phân đại số cấp một có thể xác định được sự tồn tại hay không một nghiệm tổng quát đại số và trong trường hợp xác định, hãy đưa ra các thuật toán tính tường minh một nghiệm tổng quát đại số như vậy. Cụ thể, luận án tập trung nghiên cứu vấn đề về sự tồn tại và tính toán nghiệm tổng quát đại số của các phương trình vi phân đại số cấp một tương đương với phương trình autonom và phương trình vi phân đại số cấp một tham số hữu tỷ được. Từ đó đưa ra các thuật toán hữu hiệu để tìm nghiệm tổng quát đại số của các phương trình đó. Luận án, ngoài phần Mở đầu, Kết luận, Bảng các ký hiệu, Danh mục các công trình khoa học của tác giả, Tài liệu tham khảo, được bố cục trong 4 chương: Chương 1 trình bày những khái niệm và kết quả cơ bản được sử dụng trong luận án bao gồm kiến thức cơ sở về đại số, đại số vi phân, và đường cong đại số hữu tỷ. Chương 2 trình bày tổng quan về các phép biến đổi tương đương trên các phương trình vi phân đại số cấp một và nghiên cứu phép biến đổi tương đương tương ứng với một phép biến đổi M¨obius. Chúng tôi đưa ra một tính chất bất biến về bậc tổng thể vi phân của các phương trình vi phân đại số cấp một.
5 Chương 3 đưa ra một số tính chất bảo toàn nghiệm của các phương trình vi phân đại số cấp một thuộc một lớp tương đương dưới tác động của các phép biến đổi M¨obius. Đặc biệt, các nghiệm tổng quát đại số được bảo toàn. Kết hợp với tính chất bất biến của bậc tổng thể vi phân, chúng tôi đưa ra một chặn bậc cho nghiệm tổng quát đại số của phương trình vi phân đại số cấp một thuộc một lớp autonom. Từ đó chúng tôi đề xuất một thuật toán tìm nghiệm tổng quát đại số của các phương trình thuộc lớp tương đương autonom. Chương 4 đưa ra một tiêu chuẩn kiểm tra sự tương đương của các phương trình vi phân đa thức dạng y 0 = P (x, y). Từ đó chúng tôi đưa ra một thuật toán kiểm tra sự tương đương giữa các phương trình vi phân đại số cấp một tham số hữu tỷ được. Cuối cùng chúng tôi đề xuất một thuật toán khác để tính nghiệm tổng quát đại số của các phương trình vi phân đại số cấp một tham số hữu tỷ được và thuộc một lớp tương đương autonom.
6 Chương 1 Kiến thức chuẩn bị Chúng tôi trình bày những khái niệm và kết quả cơ bản được sử dụng trong luận án bao gồm kiến thức cơ sở về đại số, đại số vi phân, và đường cong đại số hữu tỷ. 1.1 Kiến thức cơ sở về đại số 1.1.1 Mở rộng trường Các khái niệm và kết quả trong phần này được trình bày dựa theo tài liệu [18]. Định nghĩa 1.1. Cho K là một trường. Nếu K là trường con của một trường L thì ta nói L là một mở rộng trường của K . Ta có thể xem L như là một không gian véctơ trên trường K . Ta nói L là một mở rộng hữu hạn của K nếu chiều của L trên K là hữu hạn. Ký hiệu [L : K] là chiều của không gian véctơ L trên K và gọi [L : K] là bậc của mở rộng L trên K .
7 Định nghĩa 1.2. Cho L là một mở rộng của trường K . Phần tử α ∈ L được gọi là một phần tử đại số trên K nếu có một đa thức một biến khác không trong K[x] nhận α làm nghiệm; ngược lại, α được gọi là phần tử siêu việt trên K . √ Ví dụ 1.3. Phần tử 2 ∈ R là đại số trên Q vì đa thức x2 − 2 ∈ Q[x] √ nhận 2 là một nghiệm. Mệnh đề 1.4. Cho α ∈ L là một phần tử đại số trên K . Khi đó có duy nhất một đa thức một biến bất khả quy trên K có bậc bé nhất và có hệ số cao nhất bằng 1 nhận α làm nghiệm. Đa thức trong mệnh đề trên được gọi là đa thức tối tiểu của phần tử α trên trường K . Định nghĩa 1.5. Một mở rộng L của K được gọi là đại số nếu mọi phần tử của L là đại số trên K . Mệnh đề 1.6. Nếu L là một mở rộng hữu hạn của K thì L là một mở rộng đại số trên K . Cho K là một trường, L là một mở rộng của K và α ∈ L. Ta ký hiệu K(α) là trường con bé nhất của L chứa K và α. Ta có f (α) K(α) = | f, g ∈ K[x], g(α) 6= 0 . g(α) Mệnh đề 1.7. Cho α là một phần tử đại số trên K . Khi đó K(α) = K[α] và [K(α) : K] bằng bậc của đa thức tối tiểu của α trên K . Cho K là một trường con của L và α1 , . . . , αn ∈ L. Ký hiệu K(α1 , . . . , αn ) là trường con bé nhất của L chứa K và các phần tử α1 , . . . , αn . Khi đó f (α1 , . . . , αn ) K(α1 , . . . , αn ) = | f, g ∈ K[x1 , . . . , xn ], g(α1 , . . . , αn ) 6= 0 . g(α1 , . . . , αn )
8 Định nghĩa 1.8. Mở rộng L của K được gọi là hữu hạn sinh trên K nếu tồn tại các phần tử α1 , . . . , αn ∈ L sao cho L = K(α1 , . . . , αn ). Mệnh đề 1.9. Cho L là một mở rộng hữu hạn của K . Khi đó L là hữu hạn sinh trên K . Mệnh đề 1.10. Cho L = K(α1 , . . . , αn ) là một mở rộng hữu hạn sinh trên K . Nếu α1 , . . . , αn là đại số trên K thì L = K(α1 , . . . , αn ) là mở rộng hữu hạn trên K . Định nghĩa 1.11. Một trường L được gọi là đóng đại số nếu mọi đa thức trong L[x] với bậc dương có nghiệm trong L. Mọi trường K đều có một mở rộng đại số và đóng đại số. Một mở rộng như thế được gọi là bao đóng đại số của K và ký hiệu là K. √ Ví dụ 1.12. a) Ta có dãy mở rộng trường Q ⊂ Q( p) ⊂ R ⊂ C, trong đó p là một số nguyên tố. √ √ b) Ta có dimQ Q( p) = 2 với một cơ sở là {1, p}; dimR C = 2 với một cơ sở là {1, i}, i2 = −1; R là một không gian véctơ vô hạn chiều trên Q. c) Tập Q tất cả các số phức đại số trên Q lập thành một trường và là bao đóng đại số của Q. Mở rộng Q không là một mở rộng hữu hạn của Q. 1.1.2 Kết thức Các khái niệm và kết quả trong phần này được trình bày dựa theo tài liệu [8].
9 Định nghĩa 1.13. Cho hai đa thức f, g ∈ K[x] có bậc dương f =am xm + · · · + a0 , am 6= 0 g =bn xn + · · · + b0 , bn 6= 0. Kết thức (resultant) của f và g đối với x, ký hiệu res(f, g, x), là định thức của ma trận Sylvester cấp (m + n) xác định như sau   am am−1 am−2 · · · a1 a0 0 0 ··· 0   0  am am−1 · · · a2 a1 a0 0 ··· 0   ... .. ... ... .. .. .. ... ... ..     . . . . .   0 0 ··· ··· am am−1 am−2 am−3 · · · a0    Syl(f, g, x) =   ,   bn bn−1  bn−2 · · · ··· ··· b0 0 ··· 0   ...  0  bn bn−1 ··· ··· b1 b0 ··· 0   . .. ..   .. ... ... ... ... ... ... ...  . .   0 0 0 bn bn−1 ··· ··· ··· ··· b0 trong đó số dòng các hệ số của f là n và số dòng các hệ số của g là m. Mệnh đề 1.14. Hai đa thức f, g ∈ K[x] có nhân tử chung trong K[x] khi và chỉ khi res(f, g, x) = 0. Mệnh đề 1.15. Cho các đa thức f, g ∈ K[x] có bậc dương. Khi đó tồn tại các đa thức A, B ∈ K[x] sao cho res(f, g, x) = Af + Bg. Hơn nữa, các hệ số của A, B là các đa thức nguyên theo các hệ số của f và g .
10 Kết thức có thể định nghĩa cho các đa thức nhiều biến bằng cách xem các đa thức nhiều biến như là các đa thức một biến với hệ số thuộc vành các đa thức theo các biến còn lại. Mệnh đề 1.16. Cho f, g ∈ K[x1 , . . . , xn ] là các đa thức có bậc dương theo x1 . Khi đó 1. res(f, g, x1 ) ∈ hf, gi ∩ K[x2 , . . . , xn ]. 2. res(f, g, x1 ) = 0 khi và chỉ khi f và g có một nhân tử chung trong K[x1 , . . . , xn ] có bậc dương theo x1 . Hệ quả 1.17. Cho f, g ∈ C[x]. Khi đó res(f, g, x) = 0 khi và chỉ khi f, g có một nghiệm chung trong C. Mệnh đề 1.18. Cho f, g ∈ C[x1 , . . . , xn ] là các đa thức có bậc dương theo x1 với các hệ số đầu theo x1 lần lượt là ak , bl . Nếu res(f, g, x1 ) triệt tiêu tại (c2 , . . . , cn ) ∈ Cn−1 thì hoặc 1. ak hoặc bl triệt tiêu tại (c2 , . . . , cn ), hoặc 2. tồn tại c1 ∈ C sao cho f và g triệt tiêu tại (c1 , c2 , . . . , cn ) ∈ Cn . Định nghĩa 1.19. Biệt thức (discriminant) của đa thức 1 biến f ∈ K[x] bậc m, ký hiệu disc(f ), được xác định bởi m(m−1) (−1) 2 disc(f ) = res(f, f 0 , x). am Ví dụ 1.20. a) Cho f (x) = a0 + a1 x + a2 x2 . Khi đó f 0 (x) = a1 + 2a2 x và