Luận án Tiến sĩ Toán học: Về tập Iđêan nguyên tố gắn kết của môđun đối đồng điều địa phương

Chia sẻ: Hoa La Hoa | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:87

Thêm vào BST

Báo xấu

148
lượt xem 25
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Luận án Tiến sĩ Toán học: Về tập Iđêan nguyên tố gắn kết của môđun đối đồng điều địa phương do Trần Đõ Minh Châu thực hiện có kết cấu gồm 3 chương và phần kết luận - kiến nghị: Chương 1 - Kiến thức chuẩn bị, chương 2 - Môđun đối đồng điều địa phương với giá cực đại, chương 3 - Môđun đối đồng điều địa phương cấp cao nhất với giá tùy ý.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Luận án Tiến sĩ Toán học: Về tập Iđêan nguyên tố gắn kết của môđun đối đồng điều địa phương

§¹i häc huÕ Trêng §¹i häc S ph¹m TrÇn §ç Minh Ch©u VÒ tËp i®ªan nguyªn tè g¾n kÕt cña m«®un ®èi ®ång ®iÒu ®Þa ph¬ng luËn ¸n tiÕn sÜ to¸n häc HuÕ - 2014
§¹i häc HuÕ Trêng §¹i häc S ph¹m TrÇn §ç Minh Ch©u VÒ tËp i®ªan nguyªn tè g¾n kÕt cña m«®un ®èi ®ång ®iÒu ®Þa ph¬ng Chuyªn ngµnh: §¹i sè vµ lý thuyÕt sè M· sè: 62.46.01.04 luËn ¸n tiÕn sÜ to¸n häc Ngêi híng dÉn khoa häc: 1. PGS.TS. Lª ThÞ Thanh Nhµn 2. GS.TS. Lª V¨n ThuyÕt HuÕ - 2014
Lêi cam ®oan T«i xin cam ®oan ®©y lµ c«ng tr×nh nghiªn cøu cña riªng t«i. C¸c kÕt qu¶ viÕt chung víi t¸c gi¶ kh¸c ®· ®îc sù nhÊt trÝ cña ®ång t¸c gi¶ khi ®a vµo luËn ¸n. C¸c kÕt qu¶ cña luËn ¸n lµ míi vµ cha tõng ®îc ai c«ng bè trong bÊt k× c«ng tr×nh nµo kh¸c. T¸c gi¶ TrÇn §ç Minh Ch©u
Lêi c¶m ¬n LuËn ¸n nµy ch¾c ch¾n kh«ng thÓ hoµn thµnh ®îc nÕu kh«ng cã sù híng dÉn nghiªm kh¾c nhng v« cïng tËn t×nh vµ t©m huyÕt cña C« t«i-PGS.TS. Lª ThÞ Thanh Nhµn. T«i xin ®îc bµy tá lßng biÕt ¬n s©u s¾c ®Õn c«. C« ®· ®a t«i ®Õn víi §¹i sè giao ho¸n vµ truyÒn ®¹t cho t«i ph¬ng ph¸p nghiªn cøu, tõ c¸ch ®äc s¸ch, ph¸t hiÖn vµ n¶y sinh ra nh÷ng ý tëng to¸n häc ®Õn c¸ch gi¶i quyÕt vÊn ®Ò. T«i thùc sù thÊy m×nh trëng thµnh lªn rÊt nhiÒu vµ ngµy cµng say mª nghiªn cøu h¬n. T«i xin bµy tá lßng biÕt ¬n tíi ThÇy t«i-GS.TS. Lª V¨n ThuyÕt. ThÇy lu«n tËn t×nh, ®éng viªn t«i trong suèt bèn n¨m nghiªn cøu sinh. Sù ©n cÇn cña thÇy ®· gióp t«i vît qua nhiÒu khã kh¨n mçi khi xa nhµ. ThÇy lu«n lµ mét tÊm g¬ng vÒ sù say mª nghiªn cøu khoa häc còng nh sù cèng hiÕn cho céng ®ång To¸n häc ViÖt Nam ®Ó t«i häc tËp. LuËn ¸n ®îc hoµn thµnh díi sù híng dÉn tËn t×nh cña hai ngêi thÇy PGS.TS. Lª ThÞ Thanh Nhµn vµ GS.TS. Lª V¨n ThuyÕt. Mét lÇn n÷a t«i xin bµy tá lßng biÕt ¬n s©u s¾c ®Õn hai ngêi thÇy cña t«i vµ sÏ phÊn ®Êu h¬n n÷a ®Ó xøng ®¸ng víi c«ng lao cña thÇy, c«, xøng ®¸ng víi niÒm tin cña thÇy, c« ®· dµnh cho t«i. T«i xin tr©n träng c¶m ¬n c¸c thÇy gi¸o Khoa To¸n §HSP HuÕ, phßng Sau §H ®· lu«n gióp ®ì, t¹o mäi ®iÒu kiÖn ®Ó cho t«i häc tËp, nghiªn cøu vµ hoµn thµnh luËn ¸n nµy. T«i xin c¶m ¬n Ban gi¸m hiÖu trêng THPT Chuyªn Th¸i Nguyªn ®· cho t«i c¬ héi ®îc ®i häc tËp vµ nghiªn cøu. T«i xin c¶m ¬n Ban chñ nhiÖm
khoa To¸n vµ tæ §¹i sè Trêng §¹i häc S ph¹m-§¹i häc Th¸i Nguyªn ®· t¹o ®iÒu kiÖn vµ s¾p xÕp c«ng viÖc thuËn lîi cho t«i trong suèt thêi gian t«i viÕt luËn ¸n. T«i xin c¶m ¬n nh÷ng ®ång nghiÖp, c¸c anh, chÞ, em ®· vµ ®ang c«ng t¸c t¹i trêng THPT Chuyªn, chÞ NguyÔn ThÞ KiÒu Nga, b¹n TrÇn Nguyªn An ®· ®éng viªn, chia sÎ, gióp ®ì t«i trong suèt bèn n¨m nghiªn cøu sinh. Cuèi cïng, t«i muèn bµy tá lßng biÕt ¬n s©u s¾c tíi nh÷ng ngêi th©n trong gia ®×nh cña m×nh - nh÷ng ngêi ®· ®éng viªn, chia sÎ mäi khã kh¨n cïng t«i suèt nh÷ng n¨m th¸ng qua ®Ó t«i cã thÓ hoµn thµnh luËn ¸n.
2 Môc lôc Ch¬ng 1. KiÕn thøc chuÈn bÞ 14 1.1 BiÓu diÔn thø cÊp cho m«®un Artin . . . . . . . . . . . . . . . 14 1.2 M«®un ®èi ®ång ®iÒu ®Þa ph¬ng Artin . . . . . . . . . . . . . 16 1.3 Vµnh catenary phæ dông . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 1.4 ChiÒu vµ tÝnh b·o hßa nguyªn tè . . . . . . . . . . . . . . . . 22 Ch¬ng 2. M«®un ®èi ®ång ®iÒu ®Þa ph¬ng víi gi¸ cùc ®¹i 28 2.1 ChuyÓn i®ªan nguyªn tè g¾n kÕt qua ®Çy ®ñ . . . . . . . . . . 28 2.2 Trêng hîp vµnh catenary phæ dông víi thí h×nh thøc Cohen- Macaulay . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 2.3 §èi ®Þa ph¬ng hãa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 Ch¬ng 3. M«®un ®èi ®ång ®iÒu ®Þa ph¬ng cÊp cao nhÊt víi gi¸ tïy ý 56 3.1 TÝnh b·o hßa nguyªn tè . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 3.2 TËp i®ªan nguyªn tè g¾n kÕt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 3.3 §èi gi¸ vµ sè béi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64 KÕt luËn vµ kiÕn nghÞ 76 C¸c c«ng tr×nh liªn quan ®Õn luËn ¸n 78 Tµi liÖu tham kh¶o 79
3 Më ®Çu Vµo nh÷ng n¨m 1960, A. Grothendieck [18] ®· giíi thiÖu lý thuyÕt ®èi ®ång ®iÒu ®Þa ph¬ng dùa trªn c«ng tr×nh cña J. P. Serre [56] n¨m 1955 vÒ c¸c bã ®¹i sè. Ngay sau ®ã, lý thuyÕt nµy nhanh chãng ph¸t triÓn vµ ®îc nhiÒu nhµ to¸n häc trªn thÕ giíi quan t©m (cã thÓ kÓ ®Õn mét sè c«ng tr×nh ®iÓn h×nh nh [18], [19], [20], [22], [23], [25], [29], [31], [47], [50], [52], [57], [58]). Ngµy nay, lý thuyÕt ®èi ®ång ®iÒu ®Þa ph¬ng ®· trë thµnh c«ng cô kh«ng thÓ thiÕu trong nhiÒu lÜnh vùc kh¸c nhau cña to¸n häc nh §¹i sè giao ho¸n, H×nh häc ®¹i sè, §¹i sè tæ hîp... Mét trong nh÷ng kÕt qu¶ quan träng vÒ m«®un ®èi ®ång ®iÒu ®Þa ph¬ng lµ tÝnh triÖt tiªu. Cho M lµ m«®un trªn vµnh giao ho¸n Noether R. N¨m 1967, A. Grothendieck [18] ®· chØ ra r»ng m«®un ®èi ®ång ®iÒu ®Þa ph¬ng HIi (M ) triÖt tiªu t¹i mäi cÊp i > dim SuppR M vµ nÕu (R, m) lµ vµnh ®Þa ph¬ng, M lµ h÷u h¹n sinh th× Hmd (M ) 6= 0, trong ®ã d = dim M. Sau ®ã, «ng còng chøng minh ®îc ®é s©u cña M lµ sè i bÐ nhÊt ®Ó Hmi (M ) 6= 0. §Þnh lý triÖt tiªu Lichtenbaum-Hartshorne ([20], [50]) næi tiÕng cßn kh¼ng ®Þnh r»ng nÕu I lµ i®ªan cña vµnh ®Þa ph¬ng (R, m) víi dim R = n th× HIn (R) = 0 khi vµ chØ khi dim R/(I b R b + P) ≥ 1 víi mäi i®ªan nguyªn tè liªn kÕt chiÒu cao nhÊt P cña vµnh ®Çy ®ñ m-adic R. b TÝnh chÊt tiÕp theo ®îc rÊt nhiÒu ngêi quan t©m lµ tÝnh h÷u h¹n sinh cña m«®un ®èi ®ång ®iÒu ®Þa ph¬ng. Ngay c¶ khi M h÷u h¹n sinh th× HIi (M ) nh×n chung kh«ng h÷u h¹n sinh. V× thÕ ngêi ta ®Æt ra c©u hái víi ®iÒu kiÖn nµo th× m«®un HIi (M ) h÷u
4 h¹n sinh. N¨m 1978, G. Faltings [57] ®· ®Æc trng sè i bÐ nhÊt ®Ó HIi (M ) kh«ng h÷u h¹n sinh. ¤ng cßn ®a ra nguyªn lý ®Þa ph¬ng toµn côc vÒ tÝnh h÷u h¹n sinh cña m«®un ®èi ®ång ®iÒu ®Þa ph¬ng (xem [58]). Mét trong nh÷ng tÝnh chÊt rÊt ®îc chó ý cña m«®un ®èi ®ång ®iÒu ®Þa ph¬ng lµ tÝnh Artin. Cho (R, m) lµ vµnh giao ho¸n Noether ®Þa ph¬ng vµ M lµ R-m«®un h÷u h¹n sinh víi dim M = d. N¨m 1971, b»ng mét chøng minh ng¾n gän, sö dông gi¶i néi x¹ tèi tiÓu cña M vµ tÝnh Artin cña bao néi x¹ E(R/m), I. G. Macdonald vµ R. Y. Sharp [31] ®· suy ra ®îc Hmi (M ) lu«n lµ Artin víi mäi i ≥ 0. Sau ®ã, sö dông §Þnh lý triÖt tiªu Lichtenbaum-Hartshorne, R. Y. Sharp [50] ph¸t hiÖn ra líp m«®un ®èi ®ång ®iÒu ®Þa ph¬ng Artin thø hai lµ HId (M ). VÒ sau, L. Melkersson [34] ®· chøng minh l¹i hai kÕt qu¶ vÒ tÝnh Artin nµy b»ng mét ph¬ng ph¸p s¬ cÊp. NhiÒu th«ng tin vÒ hai líp m«®un ®èi ®ång ®iÒu ®Þa ph¬ng Artin Hmi (M ) vµ HId (M ) ®· ®îc ph¶n ¸nh th«ng qua c¸c c«ng tr×nh cña R. Y. Sharp [47], M. Brodmann-Sharp ([3], [4], [5]), M. Hochster vµ C. Huneke [21], K. E. Smith [53], K. Divaani-Aazar vµ P. Schenzel [17], H. Zo ¨schinger [61] vµ c¸c c«ng tr×nh cña N. T. Cêng cïng c¸c häc trß (xem [10], [11], [38], [39]). Theo I. G. Macdonald [30], tËp i®ªan nguyªn tè g¾n kÕt cña R-m«®un Artin A, kÝ hiÖu lµ AttR A, cã vai trß quan träng t¬ng tù nh tËp i®ªan nguyªn tè liªn kÕt ®èi víi m«®un h÷u h¹n sinh. Môc ®Ých cña luËn ¸n lµ nghiªn cøu tËp i®ªan nguyªn tè g¾n kÕt cña m«®un ®èi ®ång ®iÒu ®Þa ph¬ng cÊp bÊt k× víi gi¸ cùc ®¹i Hmi (M ) vµ m«®un ®èi ®ång ®iÒu ®Þa ph¬ng cÊp cao nhÊt víi gi¸ tïy ý HId (M ), tõ ®ã lµm râ cÊu tróc cña m«®un M vµ vµnh c¬ së R. §ång thêi, c¸c tËp i®ªan nguyªn tè g¾n kÕt nµy cßn ®îc nghiªn cøu trong mèi liªn hÖ víi sè béi, tÝnh b·o hßa nguyªn tè vµ ®èi ®Þa ph¬ng hãa cña hai líp m«®un ®èi ®ång ®iÒu ®Þa ph¬ng Hmi (M ) vµ HId (M ). Nh¾c l¹i r»ng mét R-m«®un Artin A ®îc gäi lµ tháa m·n tÝnh b·o hßa nguyªn
5 tè nÕu AnnR (0 :A p) = p víi mçi i®ªan nguyªn tè p chøa AnnR A. TÝnh b·o hßa nguyªn tè ®îc giíi thiÖu bëi N. T. Cêng vµ L. T. Nhµn [11] nh»m nghiªn cøu cÊu tróc cña m«®un Artin. Hmi (M ) cã cÊu tróc R Chó ý r»ng c¸c m«®un ®èi ®ång ®iÒu ®Þa ph¬ng b- i m«®un Artin nªn tËp i®ªan nguyªn tè g¾n kÕt cña Hm (M ) trªn Rb lu«n x¸c ®Þnh. C©u hái tù nhiªn ®Æt ra lµ mèi quan hÖ gi÷a hai tËp AttR Hmi (M ) vµ AttRb Hmi (M ) nh thÕ nµo. N¨m 1975, R. Y. Sharp [47] chøng minh ®îc khi i®ªan nguyªn tè P cña R b ch¹y trong Att b Hmi (M ) th× tËp c¸c i®ªan nguyªn R tè P ∩ R chÝnh lµ AttR Hmi (M ). ¤ng cßn ®a thªm mét sè th«ng tin vÒ chiÒu cña c¸c i®ªan nguyªn tè g¾n kÕt cña Hmi (M ) trªn R. Tuy nhiªn, vÊn ®Ò ngîc l¹i, cho tríc tËp AttR Hmi (M ), b»ng c¸ch nµo x¸c ®Þnh ®îc tËp AttRb Hmi (M ) vÉn cha ®îc gi¶i quyÕt. Trong luËn ¸n nµy, chóng t«i ®a ra c©u tr¶ lêi cho vÊn ®Ò ®ã. Khi R lµ ¶nh ®ång cÊu cña vµnh Gorenstein, R. Y. Sharp [47] ®· chøng minh nguyªn lý chuyÓn dÞch ®Þa ph¬ng ®Ó chuyÓn tËp i®ªan nguyªn tè g¾n kÕt cña Hmi (M ) qua ®Þa ph¬ng hãa HpRp i−dim R/p (Mp ). ý tëng nµy tiÕp tôc ®îc M. Brodmann vµ R. Y. Sharp [4] sö dông ®Ó nghiªn cøu chiÒu vµ sè béi i cho c¸c m«®un ®èi ®ång ®iÒu ®Þa ph¬ng Hm (M ) vµ më réng kÕt qu¶ ®ã cho líp vµnh catenary phæ dông cã mäi thí h×nh thøc lµ Cohen-Macaulay. Chó ý r»ng nguyªn lý chuyÓn dÞch ®Þa ph¬ng nµy kh«ng ®óng trong trêng hîp tæng qu¸t. V× thÕ bµi to¸n thø hai ®îc gi¶i quyÕt trong luËn ¸n nµy lµ t×m ®iÒu kiÖn cña vµnh c¬ së R ®Ó tån t¹i mét ®èi ®Þa ph¬ng hãa t¬ng thÝch víi mäi m«®un Hmi (M ). KÕt qu¶ cña I. G. Macdonald vµ R. Y. Sharp [31] n¨m 1971 ®· m« t¶ rÊt râ rµng tËp i®ªan nguyªn tè g¾n kÕt cña m«®un ®èi ®ång ®iÒu cÊp cao nhÊt víi gi¸ cùc ®¹i Hmd (M ) trªn R vµ R b. Tõ §Þnh lý triÖt tiªu Lichtenbaum- Hartshorne, n¨m 1981, R. Y. Sharp [50] tiÕp tôc m« t¶ tËp i®ªan nguyªn tè
6 g¾n kÕt cña HId (R) trªn vµnh R. b Sau ®ã, K. Divaani-Aazar vµ P. Schenzel [17] ®· më réng kÕt qu¶ nµy cho m«®un. MÆc dï vËy, vÊn ®Ò x¸c ®Þnh tËp i®ªan nguyªn tè g¾n kÕt cña HId (M ) trªn vµnh R vÉn lµ vÊn ®Ò më. Bµi to¸n thø ba ®îc gi¶i quyÕt trong luËn ¸n nµy lµ m« t¶ tËp i®ªan nguyªn tè g¾n kÕt cña m«®un HId (M ) trªn vµnh R trong mèi liªn hÖ víi tÝnh b·o hßa nguyªn tè, ®èi ®Þa ph¬ng hãa vµ c«ng thøc béi liªn kÕt cña m«®un nµy. VÒ ph¬ng ph¸p tiÕp cËn, ®Ó nghiªn cøu m«®un ®èi ®ång ®iÒu ®Þa ph¬ng víi gi¸ cùc ®¹i, nÕu R lµ th¬ng cña vµnh Gorenstein th× b»ng c¸ch sö dông ®èi ngÉu ®Þa ph¬ng vµ c¸c tÝnh chÊt quen biÕt cña m«®un h÷u h¹n sinh ta cã i thÓ thu ®îc nh÷ng th«ng tin cña Hm (M ) mét c¸ch nhanh chãng. Tuy nhiªn, trªn vµnh tïy ý, chóng t«i ph¶i sö dông khÐo lÐo tËp gi¶ gi¸ giíi thiÖu bëi M. Brodmann vµ R. Y. Sharp [4] vµ nh÷ng tÝnh chÊt ®Æc thï vÒ chiÒu cña m«®un Artin ®Ó chøng minh c¸c kÕt qu¶. §Ó nghiªn cøu líp m«®un HId (M ), chóng t«i cÇn ®Õn nh÷ng hiÓu biÕt s©u vÒ §Þnh lý ph©n tÝch nguyªn s¬ Noether, tÝnh chÊt ®èi h÷u h¹n cña HId (M ) vµ mét sè kÕt qu¶ ®· biÕt vÒ líp m«®un ®èi ®ång ®iÒu ®Þa ph¬ng nµy. LuËn ¸n ®îc chia lµm 3 ch¬ng. Ch¬ng 1 nh¾c l¹i mét sè kiÕn thøc c¬ së nh biÓu diÔn thø cÊp, m«®un ®èi ®ång ®iÒu ®Þa ph¬ng Artin, tÝnh catenary phæ dông cña vµnh, chiÒu vµ tÝnh b·o hßa nguyªn tè cña m«®un Artin. Ch¬ng 2, ®îc viÕt dùa theo c¸c bµi b¸o [7] vµ [41], tr×nh bµy c¸c kÕt qu¶ cña luËn ¸n vÒ tËp i®ªan nguyªn tè g¾n kÕt cña m«®un ®èi ®ång ®iÒu ®Þa ph¬ng cÊp tïy ý víi gi¸ cùc ®¹i. Ch¬ng 3 tr×nh bµy c¸c kÕt qu¶ cña luËn ¸n vÒ tËp i®ªan nguyªn tè g¾n kÕt cña m«®un ®èi ®ång ®iÒu ®Þa ph¬ng cÊp cao nhÊt víi gi¸ bÊt k× dùa theo bµi b¸o [40] . Trong suèt luËn ¸n, lu«n gi¶ thiÕt (R, m) lµ vµnh giao ho¸n Noether ®Þa ph¬ng, M lµ R-m«®un h÷u h¹n sinh cã chiÒu Krull dim M = d vµ A lµ R-m«®un Artin.
7 Trong Ch¬ng 2, chóng t«i tr×nh bµy c¸c kÕt qu¶ liªn quan ®Õn viÖc chuyÓn tËp i®ªan nguyªn tè g¾n kÕt cña Hmi (M ) qua ®Çy ®ñ m-adic. Cô thÓ, chóng t«i ®Æc trng vµnh catenary phæ dông víi c¸c thí h×nh thøc Cohen-Macaulay th«ng qua mèi quan hÖ gi÷a c¸c tËp AttR Hmi (M ) vµ AttRb Hmi (M ). Chóng t«i còng ®a ra ®iÒu kiÖn cÇn cña vµnh c¬ së R ®Ó tån t¹i mét hµm tö ®èi ®Þa ph¬ng hãa t¬ng thÝch víi mäi m«®un Artin Hmi (M ). Víi mçi R-m«®un h÷u h¹n sinh, c«ng thøc sau ®îc suy ra tõ [33, §Þnh lý 23.2(ii)] cho ta mèi quan hÖ gi÷a tËp i®ªan nguyªn tè liªn kÕt cña M vµ tËp i®ªan nguyªn tè liªn kÕt cña M c [ AssRb M c= AssRb (R/p b R). b p∈AssR M Tuy nhiªn c«ng thøc ®èi ngÉu cho m«®un Artin A [ AttRb A = AssRb (R/p b R)b (1) p∈AttR A nh×n chung kh«ng ®óng thËm chÝ khi A = Hmi (M ) (xem VÝ dô 2.1.2). Chóng t«i chØ ra r»ng c«ng thøc (1) ®óng cho mäi m«®un Artin A khi vµ chØ khi ¸nh x¹ c¶m sinh f a : Spec(R) b → Spec(R) lµ song ¸nh. H¬n n÷a, nÕu gi¶ thiÕt R lµ vµnh th¬ng cña vµnh Gorenstein ®Þa ph¬ng (R0 , m0 ) chiÒu n, kÝ hiÖu K i (M ) lµ R-m«®un h÷u h¹n sinh Extn−i 0 R0 (M, R ) víi mçi sè nguyªn i ≥ 0. M«®un K i (M ) ®îc gäi lµ m«®un khuyÕt thø i cña M vµ K(M ) := K d (M ) ®îc gäi lµ m«®un chÝnh t¾c cña M. Khi ®ã §Þnh lý §èi ngÉu ®Þa ph¬ng cho ta c¸c ®¼ng cÊu Hmi (M ) ∼ = HomR (K i (M ), E(R/m)) víi mäi i, trong ®ã E(R/m) lµ bao néi x¹ cña trêng thÆng d R/m. Trong trêng hîp nµy, sö dông c¸c tÝnh chÊt ®· biÕt cña i®ªan nguyªn tè liªn kÕt cña K i (M ) vµ ®èi ngÉu ®Þa ph¬ng, ®èi ngÉu Matlis, chóng t«i chøng minh ®îc mèi quan hÖ sau gi÷a AttR Hmi (M ) vµ AttRb Hmi (M ) [ AttRb Hmi (M ) = AssRb (R/p b R). b (2) i (M ) p∈AttR Hm
8 Chó ý r»ng tån t¹i vµnh Noether ®Þa ph¬ng R kh«ng thÓ viÕt díi d¹ng th¬ng cña vµnh Gorenstein ®Þa ph¬ng nhng c«ng thøc (2) vÉn ®óng víi mäi R-m«®un h÷u h¹n sinh M vµ víi mäi sè nguyªn i ≥ 0 (xem VÝ dô 2.1.8). V× thÕ mét c©u hái tù nhiªn lµ liÖu quan hÖ (2) cßn ®óng trong trêng hîp tæng qu¸t h¬n, khi R lµ vµnh catenary phæ dông vµ mäi thí h×nh thøc lµ Cohen-Macaulay. §Þnh lý sau, lµ kÕt qu¶ chÝnh ®Çu tiªn cña Ch¬ng 2, tr¶ lêi mét phÇn cho c©u hái nµy. ë ®©y, víi mçi R-m«®un Artin A, ta kÝ hiÖu N-dimR A lµ chiÒu Noether cña A giíi thiÖu bëi R. N. Roberts [46]. §Þnh lý 2.2.5. C¸c mÖnh ®Ò sau lµ t¬ng ®¬ng: (i) R lµ vµnh catenary phæ dông vµ mäi thí h×nh thøc cña R lµ Cohen- Macaulay; [ (ii) min AttRb Hmi (M ) = min AssRb (R/p b R)b víi mäi R-m«®un i (M ) p∈AttR Hm h÷u h¹n sinh M vµ víi mäi sè nguyªn i ≥ 0; (iii) dim(R/ AnnR Hmi (M )) = N-dimR Hmi (M ) víi mäi R-m«®un h÷u h¹n sinh M vµ víi mäi sè nguyªn i ≥ 0. C«ng cô chÝnh ®Ó chøng minh §Þnh lý 2.2.5 lµ kh¸i niÖm gi¶ gi¸ giíi thiÖu bëi M. Brodmann vµ R.Y. Sharp [4]. Víi mçi sè nguyªn i ≥ 0, gi¶ gi¸ thø i cña M , kÝ hiÖu lµ PsuppiR (M ), ®îc cho bëi c«ng thøc i−dim R/p PsuppiR (M ) = {p ∈ Spec(R) : HpRp (Mp ) 6= 0}. Chó ý r»ng PsuppiR (M ) cã vai trß quan träng trong nghiªn cøu chiÒu vµ sè béi cho Hmi (M ) (xem [4], [38]) còng nh quü tÝch kh«ng Cohen-Macaulay vµ quü tÝch kh«ng Cohen-Macaulay suy réng cña M (xem [2], [14], [42]), trong ®ã vai trß cña PsuppiR (M ) ®èi víi m«®un Artin Hmi (M ) theo nghÜa nµo ®ã t¬ng tù nh tËp gi¸ ®èi víi m«®un h÷u h¹n sinh. Tõ §Þnh lý 2.2.5, chóng t«i suy ra mét ®Æc trng n÷a cho líp vµnh catenary phæ dông vµ mäi thí h×nh thøc lµ Cohen-Macaulay th«ng qua mèi quan hÖ gi÷a PsuppiR (M )
9 vµ PsuppiRb (M c). HÖ qu¶ 2.2.8. C¸c mÖnh ®Ò sau lµ t¬ng ®¬ng: (i) R lµ vµnh catenary phæ dông vµ mäi thí h×nh thøc cña R lµ Cohen- Macaulay; (ii) PsuppiR M = {P ∩ R | P ∈ PsuppiRb (M c)} víi mäi R-m«®un h÷u h¹n sinh M vµ víi mäi sè nguyªn i ≥ 0. Víi mçi i®ªan nguyªn tè p cña R, hµm tö ®Þa ph¬ng hãa t¹i p lµ hµm tö khíp, tuyÕn tÝnh tõ ph¹m trï c¸c R-m«®un ®Õn ph¹m trï c¸c Rp -m«®un tháa m·n Mp lµ Rp -m«®un Noether vµ Mp 6= 0 víi mäi p ⊇ AnnR M. Hµm tö nµy ®ãng vai trß quan träng trong nghiªn cøu m«®un Noether. Tuy nhiªn, ngay c¶ khi p ⊇ AnnR A, nÕu p 6= m th× Ap = 0. V× thÕ, trªn nhiÒu khÝa c¹nh, hµm tö ®Þa ph¬ng hãa kh«ng h÷u Ých trong viÖc nghiªn cøu m«®un Artin. Do ®ã chóng ta cÇn x©y dùng víi mçi p ∈ Spec(R) mét hµm tö "®èi ®Þa ph¬ng hãa" Fp : MR → MRp tõ ph¹m trï c¸c R-m«®un ®Õn ph¹m trï c¸c Rp -m«®un sao cho Fp t¬ng thÝch víi mäi R-m«®un Artin A, nghÜa lµ Fp cã c¸c tÝnh chÊt sau: (a) Fp lµ tuyÕn tÝnh vµ khíp trªn ph¹m trï c¸c R-m«®un Artin; (b) Fp biÕn c¸c R-m«®un Artin thµnh c¸c Rp -m«®un Artin; (c) Fp (A) 6= 0 nÕu p ⊇ AnnR A víi mçi R-m«®un Artin A. Chóng t«i chØ ra mét ®iÒu kiÖn cÇn ®Ó tån t¹i hµm tö ®èi ®Þa ph¬ng hãa nh vËy trong ®Þnh lý sau. Nh¾c l¹i r»ng ¸nh x¹ tù nhiªnR→R b ®îc gäi lµ tháa m·n tÝnh chÊt ®i lªn nÕu víi bÊt k× p, q ∈ Spec(R), Q ∈ Spec(R) b tháa m·n q ⊆ p vµ Q ∩ R = q, tån t¹i P ∈ Spec(R) b sao cho Q ⊆ P vµ P ∩ R = p. §Þnh lý 2.3.8. Gi¶ sö víi mçi p ∈ Spec(R) lu«n tån t¹i mét hµm tö Fp : MR → MRp tháa m·n c¸c tÝnh chÊt (a), (b), (c). Khi ®ã ¸nh x¹
10 tù nhiªn R→R b tháa m·n tÝnh chÊt ®i lªn. §Æc biÖt, mäi thí h×nh thøc cña R ®Òu lµ vµnh Artin. Mét sè t¸c gi¶ ®· x©y dùng ®èi ®Þa ph¬ng hãa Fp , víi mçi p ∈ Spec(R) (xem [35], [45], [53]...). Tuy nhiªn kh«ng mét ®èi ®Þa ph¬ng hãa nµo tháa m·n c¶ ba tÝnh chÊt (a), (b), (c) ë trªn. Còng trong [4], víi gi¶ thiÕt R lµ catenary phæ dông vµ mäi thí h×nh thøc lµ Cohen-Macaulay, M. Brodmann i−dim(R/p) vµ R.Y. Sharp ®· xem vai trß cña Rp -m«®un HpRp (Mp ) nh lµ ®èi ®Þa i ph¬ng hãa cña m«®un ®èi ®ång ®iÒu ®Þa ph¬ng Hm (M ) ®Ó x©y dùng thµnh c«ng c«ng thøc béi liªn kÕt cña Hmi (M ). C©u hái ®Æt ra lµ víi ®iÒu kiÖn nµo ta cã ®îc mét ®èi ®Þa ph¬ng hãa t¬ng thÝch cho mäi m«®un ®èi ®ång ®iÒu ®Þa ph¬ng Hmi (M )? §Þnh lý díi ®©y lµ c©u tr¶ lêi bé phËn cho c©u hái nµy. §Þnh lý 2.3.11. Gi¶ sö tån t¹i, víi mçi p ∈ Spec(R), mét hµm tö khíp, tuyÕn tÝnh Fp : MR → MRp trªn ph¹m trï c¸c R-m«®un sao cho Fp (Hmi (M )) lµ Artin vµ Fp (Hmi (M )) 6= 0 víi bÊt k× p ⊇ AnnR Hmi (M ), víi mäi sè nguyªn i vµ víi mäi R-m«®un h÷u h¹n sinh M . Khi ®ã vµnh R lµ catenary phæ dông vµ mäi thí h×nh thøc cña R lµ Cohen-Macaulay. PhÇn cuèi cña Ch¬ng 2 ®a ra vÝ dô cho thÊy ®èi ®Þa ph¬ng hãa t¬ng thÝch cho mäi m«®un Artin nh×n chung kh«ng tån t¹i ngay c¶ khi R lµ th¬ng cña vµnh chÝnh quy Noether ®Þa ph¬ng (xem VÝ dô 2.3.9). Trong Ch¬ng 3, chóng t«i quan t©m ®Õn tËp i®ªan nguyªn tè g¾n kÕt cña m«®un ®èi ®ång ®iÒu ®Þa ph¬ng cÊp cao nhÊt víi gi¸ bÊt k× trong mèi liªn hÖ víi tÝnh b·o hßa nguyªn tè vµ sè béi cña m«®un nµy. Theo N. T. Cêng vµ L. T. Nhµn [11], mét R-m«®un A tháa m·n tÝnh b·o hßa nguyªn tè nÕu AnnR (0 :A p) = p víi mäi i®ªan nguyªn tè p ⊇ AnnR A. TÝnh b·o hßa nguyªn tè nh×n chung kh«ng tháa m·n víi mäi m«®un ®èi ®ång ®iÒu ®Þa ph¬ng Artin (xem [11, VÝ dô 4.4]). Trong [10], N. T. Cêng - N. T. Dung
11 - L. T. Nhµn ®· ®Æc trng tÝnh b·o hßa nguyªn tè cho m«®un ®èi ®ång ®iÒu ®Þa ph¬ng cÊp cao nhÊt víi gi¸ cùc ®¹i Hmd (M ) th«ng qua tÝnh catenary cña vµnh R/ AnnR (Hmd (M )) vµ chØ ra r»ng nÕu R lµ miÒn nguyªn kh«ng catenary th× Hmdim R (R) kh«ng b·o hßa nguyªn tè. Víi cÊp i tïy ý, L. T. Nhµn vµ T. N. An [38] ®· ®Æc trng tÝnh b·o hßa nguyªn tè cña Hmi (M ). Hä chøng minh r»ngHmi (M ) tháa m·n tÝnh b·o hßa nguyªn tè nÕu vµ chØ i i nÕu PsuppR (M ) = Var AnnR Hm (M ) (xem [38, §Þnh lý 3.1]). Chó ý r»ng m«®un ®èi ®ång ®iÒu ®Þa ph¬ng HId (M ) lµ Artin vµ m«®un nµy cã thÓ kh«ng tháa m·n tÝnh b·o hßa nguyªn tè ngay c¶ khi R lµ th¬ng cña vµnh chÝnh quy (xem VÝ dô 3.3.7). §Ó nghiªn cøu tËp i®ªan nguyªn tè g¾n kÕt cña HId (M ), chóng t«i ®Æc trng tÝnh b·o hßa nguyªn tè cho m«®un nµy th«ng qua tÝnh catenary cña vµnh råi chuyÓn nã vÒ m«®un ®èi ®ång ®iÒu ®Þa ph¬ng cÊp cao nhÊt víi gi¸ cùc ®¹i cña mét m«®un th¬ng cña M. KÝ hiÖu \ 0= N (p) lµ mét ph©n tÝch nguyªn s¬ thu gän cña m«®un con 0 cña p∈AssR M M vµ p AssR (I, M ) = p ∈ AssR M | dim(R/p) = d, I + p = m . \ §Æt N = N (p). V× mçi phÇn tö cña AssR (I, M ) ®Òu lµ i®ªan p∈AssR (I,M ) nguyªn tè liªn kÕt tèi tiÓu cña M nªn N kh«ng phô thuéc vµo sù lùa chän ph©n tÝch nguyªn s¬ thu gän cña m«®un con 0. §Þnh lý 3.1.2. C¸c mÖnh ®Ò sau lµ t¬ng ®¬ng: (i) HId (M ) tháa m·n tÝnh b·o hßa nguyªn tè; √ (ii) Vµnh R/ AnnR HId (M ) lµ catenary vµ I + p = m víi mäi i®ªan nguyªn tè g¾n kÕt p cña HId (M ); (iii) Vµnh R/ AnnR HId (M ) lµ catenary vµ HId (M ) ∼ = Hmd (M/N ). Trong [50], tõ §Þnh lý triÖt tiªu Lichtenbaum-Hartshorne, R. Y. Sharp ®· m« t¶ tËp i®ªan nguyªn tè g¾n kÕt cho m«®un ®èi ®ång ®iÒu ®Þa ph¬ng
12 HIdim R (R) trªn vµnh ®Çy ®ñ R b nh sau q AttRb HIdim R (R) = {P ∈ Ass(R) b | dim(R/P) b = dim R, I R b + P = mR}. b KÕt qu¶ nµy ®· ®îc K. Divaani-Aazar vµ P. Schenzel [17] më réng cho m«®un. Trong luËn ¸n nµy, tõ §Þnh lý 3.1.2, chóng t«i më réng kÕt qu¶ trªn cña R. Y. Sharp cho trêng hîp m«®un HId (M ) tháa m·n tÝnh b·o hßa nguyªn tè. HÖ qu¶ 3.2.2. NÕu HId (M ) tháa m·n tÝnh b·o hßa nguyªn tè th× p AttR HId (M ) = p ∈ AssR M | dim(R/p) = d, I + p = m . PhÇn cuèi cña ch¬ng dµnh ®Ó nghiªn cøu ®èi gi¸ vµ sè béi cho m«®un HId (M ). Víi hµm tö "®èi ngÉu víi ®Þa ph¬ng hãa" ®Þnh nghÜa bëi K. E. Smith [53] Fp (−) = HomR HomR (−, E(R/m)), E(R/p) tõ ph¹m trï c¸c R-m«®un ®Õn ph¹m trï c¸c Rp -m«®un, trong ®ã E(−) lµ bao néi x¹, ta thÊy r»ng nÕu R ®Çy ®ñ th× Fp (H d (M )) ∼ d−dim R/p I =H pRp (M/N )p . KÕt qu¶ nµy gîi ý cho chóng t«i ®Þnh nghÜa kh¸i niÖm tËp ®èi gi¸ cña m«®un ®èi ®ång ®iÒu ®Þa ph¬ng HId (M ). TËp nµy ®îc kÝ hiÖu lµ CosR (HId (M )), vµ ®îc cho bëi c«ng thøc d−dim(R/p) CosR (HId (M )) = p ∈ Spec(R) | HpRp (M/N )p 6= 0 , trong ®ã N x¸c ®Þnh nh trong §Þnh lý 3.1.2. §Þnh lý sau ®©y ®a ra ®Æc trng kh¸c cho tÝnh b·o hßa nguyªn tè cña HId (M ) th«ng qua tËp ®èi gi¸. §Þnh lý 3.3.5. C¸c mÖnh ®Ò sau lµ t¬ng ®¬ng: (i) HId (M ) tháa m·n tÝnh b·o hßa nguyªn tè; (ii) CosR (HId (M )) = Var(AnnR HId (M )). §Ó chøng minh §Þnh lý 3.3.5, chóng t«i cÇn sö dông kÜ thuËt ph©n tÝch nguyªn s¬ kh¸ phøc t¹p. §Þnh lý 3.3.5 còng kh¼ng ®Þnh r»ng CosR (HId (M ))
13 lµ tËp con ®ãng cña Spec(R) trong t«p« Zariski khi m«®un ®èi ®ång ®iÒu ®Þa ph¬ng HId (M ) tháa m·n tÝnh b·o hßa nguyªn tè. Chó ý r»ng CosR (HId (M )) cã thÓ kh«ng ®ãng thËm chÝ khi I = m (xem [4, VÝ dô 3.2]). Chóng t«i còng ®a ra vÝ dô chøng tá r»ng ngay c¶ khi R lµ th¬ng cña vµnh chÝnh quy ®Þa ph¬ng vµ tËp CosR (HId (M )) lµ ®ãng, HId (M ) vÉn kh«ng tháa m·n tÝnh b·o hßa nguyªn tè (xem VÝ dô 3.3.7). Theo D. Kirby [27], nÕu q lµ i®ªan cña R sao cho (0 :A q) cã ®é dµi h÷u h¹n th× `R (0 :A qn+1 ) lµ mét ®a thøc bËc N-dimR A víi hÖ sè h÷u tû khi n ®ñ lín, ta kÝ hiÖu ®a thøc nµy lµ ΘqA (n). §Æt N-dimR A = s. Ta cã biÓu diÔn e0 (q, A) s ΘqA (n) = `R (0 :A qn+1 ) = n + ®a thøc cã bËc nhá h¬n s s! khi n 0, trong ®ã e0 (q, A) lµ mét sè nguyªn d¬ng. Ta gäi e0 (q, A) lµ sè béi cña A øng víi q (xem [4], [13]). Trong [4], M. Brodmann vµ R. Y. Sharp i ®· giíi thiÖu kh¸i niÖm tËp gi¶ gi¸ PsuppR (M ) ®Ó x©y dùng thµnh c«ng c«ng thøc béi liªn kÕt cho m«®un Hmi (M ). KÕt qu¶ cuèi cïng cña Ch¬ng 3 lµ sö dông tËp ®èi gi¸ CosR (HId (M )) ®Ó ®a ra c«ng thøc liªn kÕt vÒ sè béi cho HId (M ) khi m«®un nµy tháa m·n tÝnh b·o hßa nguyªn tè. Chó ý r»ng N vµ AssR (I, M ) vÉn ®îc kÝ hiÖu nh trong §Þnh lý 3.1.2. HÖ qu¶ 3.3.8. Cho q lµ i®ªan m-nguyªn s¬. NÕu HId (M ) tháa m·n tÝnh b·o hßa nguyªn tè th× X 0 (q, HId (M )) 0 e = `Rp HpR p (M/N )p e(q, R/p). p∈CosR (HId (M )) dim(R/p)=d X 0 H¬n n÷a, e (q, HId (M )) = e(q, M/N ) = `Rp (Mp )e(q, R/p). p∈AssR (I,M )
14 Ch¬ng 1 KiÕn thøc chuÈn bÞ Trong ch¬ng nµy, chóng t«i nh¾c l¹i mét sè kiÕn thøc ®· biÕt vÒ biÓu diÔn thø cÊp vµ tËp i®ªan nguyªn tè g¾n kÕt, m«®un ®èi ®ång ®iÒu ®Þa ph¬ng Artin, chiÒu vµ tÝnh b·o hßa nguyªn tè cña m«®un Artin, líp vµnh catenary phæ dông nh»m thuËn tiÖn cho viÖc theo dâi kÕt qu¶ trong c¸c ch¬ng sau. Trong suèt c¶ ch¬ng, lu«n gi¶ thiÕt (R, m) lµ vµnh giao ho¸n Noether ®Þa ph¬ng, b lµ vµnh ®Çy ®ñ m-adic cña R, M lµ R-m«®un h÷u h¹n sinh víi R chiÒu lµ d, A lµ R-m«®un Artin vµ L lµ mét R-m«®un (kh«ng nhÊt thiÕt h÷u h¹n sinh hay Artin). Ta còng kÝ hiÖu I lµ i®ªan tïy ý cña R vµ Var(I) lµ tËp c¸c i®ªan nguyªn tè cña R chøa I. 1.1 BiÓu diÔn thø cÊp cho m«®un Artin Lý thuyÕt biÓu diÔn thø cÊp cho c¸c m«®un ®îc giíi thiÖu bëi I. G. Macdonald [30] cã thÓ xem lµ ®èi ngÉu cña lý thuyÕt ph©n tÝch nguyªn s¬. Trong tiÕt nµy, chóng ta nh¾c l¹i mét sè kh¸i niÖm vµ kÕt qu¶ vÒ biÓu diÔn thø cÊp. §Þnh nghÜa 1.1.1. (i) Mét R-m«®un L ®îc gäi lµ thø cÊp nÕu L 6= 0 vµ víi mçi x ∈ R, phÐp nh©n bëi x trªn L lµ toµn cÊu hoÆc lòy linh. Trong trêng hîp nµy, tËp hîp c¸c phÇn tö x ∈ R sao cho phÐp nh©n bëi x trªn L lµ lòy
15 linh lµm thµnh mét i®ªan nguyªn tè, ch¼ng h¹n lµ p, vµ ta gäi L lµ p-thø cÊp. (ii) Cho L lµ R-m«®un. Mét biÓu diÔn L = L1 + . . . + Ln , trong ®ã mçi Li lµ m«®un con pi -thø cÊp L, ®îc gäi lµ mét biÓu diÔn thø cÊp cña L. NÕu L = 0 hoÆc L cã biÓu diÔn thø cÊp th× ta nãi L lµ biÓu diÔn ®îc. BiÓu diÔn nµy ®îc gäi lµ tèi tiÓu nÕu c¸c i®ªan nguyªn tè pi lµ ®«i mét kh¸c nhau vµ mçi Li lµ kh«ng thõa víi mäi i = 1, . . . , n. Chó ý r»ng, nÕu L1 , L2 lµ c¸c m«®un con p thø cÊp cña L th× L1 + L2 còng lµ m«®un con p-thø cÊp cña L. V× thÕ mäi biÓu diÔn thø cÊp cña L ®Òu cã thÓ ®a ®îc vÒ d¹ng tèi tiÓu b»ng c¸ch bá ®i nh÷ng thµnh phÇn thõa vµ gép l¹i nh÷ng thµnh phÇn cïng chung mét i®ªan nguyªn tè. TËp hîp {p1 , . . . , pn } lµ ®éc lËp víi viÖc chän biÓu diÔn thø cÊp tèi tiÓu cña L vµ ®îc gäi lµ tËp c¸c i®ªan nguyªn tè g¾n kÕt cña L, kÝ hiÖu lµ AttR L. C¸c h¹ng tö Li , víi i = 1, . . . , n, ®îc gäi lµ c¸c thµnh phÇn thø cÊp cña L. NÕu pi lµ tèi tiÓu trong tËp AttR L th× pi ®îc gäi lµ i®ªan nguyªn tè g¾n kÕt c« lËp cña L vµ Li ®îc gäi lµ thµnh phÇn thø cÊp c« lËp cña L. MÖnh ®Ò 1.1.2. (Xem [30, 4.2]) Gi¶ sö L lµ mét R-m«®un biÓu diÔn ®îc. Khi ®ã c¸c ph¸t biÓu sau lµ ®óng: (i) AttR L 6= ∅ khi vµ chØ khi L 6= 0. (ii) min AttR L = min Var(AnnR L). §Æc biÖt, dim(R/ AnnR L) = max{dim(R/p) | p ∈ AttR L}. (iii) Cho 0 → L0 → L → L00 → 0 lµ d·y khíp c¸c R-m«®un biÓu diÔn ®îc. Khi ®ã ta cã AttR L00 ⊆ AttR L ⊆ AttR L0 ∪ AttR L00 . §Þnh lý sau ®©y cho ta mét líp c¸c m«®un biÓu diÔn ®îc. §Þnh lý 1.1.3. [30, §Þnh lý 5.2] Mäi m«®un Artin ®Òu biÓu diÔn ®îc.
16 Cho A lµ R-m«®un Artin vµ rb ∈ R b, u ∈ A. Gäi (rn )n∈N lµ d·y C«si trong R ®¹i diÖn cho líp rb. V× Ru cã ®é dµi h÷u h¹n nªn tån t¹i sè tù nhiªn k sao cho mk u = 0. Chó ý r»ng tån t¹i n0 sao cho rn − rm ∈ mk víi mäi m, n ≥ n0 . Suy ra rn u = rn0 u víi mäi n ≥ n0 . Ta ®Þnh nghÜa tÝch v« híng rbu = rn u. Khi ®ã A cã cÊu tróc tù nhiªn nh R 0 b-m«®un. Víi cÊu tróc nµy, mét m«®un con cñaA xÐt nh R-m«®un khi vµ chØ khi nã lµ m«®un con cña A xÐt nh R b-m«®un. Do ®ã A lµ R b-m«®un Artin. NÕu xem R b-m«®un A nµy nh lµ R-m«®un x¸c ®Þnh bëi ®ång cÊu tù nhiªn R → R b th× ta ®îc cÊu tróc R-m«®un ban ®Çu trªn A. Nh vËy, tËp i®ªan nguyªn tè g¾n kÕt cña A trªn R vµ R b lu«n x¸c ®Þnh vµ ta cã mèi liªn hÖ gi÷a c¸c tËp i®ªan nguyªn tè g¾n kÕt nµy nh sau. MÖnh ®Ò 1.1.4. [50, Bæ ®Ò 2.1] AttR A = {P ∩ R | P ∈ AttRb A}. MÖnh ®Ò sau ®©y cho ta mèi liªn hÖ gi÷a tËp c¸c i®ªan nguyªn tè g¾n kÕt cña m«®un Artin A vµ ®é dµi cña A. MÖnh ®Ò 1.1.5. [3, HÖ qu¶ 7.2.12] A 6= 0 vµ `R (A) < ∞ khi vµ chØ khi AttR A = {m}. 1.2 M«®un ®èi ®ång ®iÒu ®Þa ph¬ng Artin Lý thuyÕt ®èi ®ång ®iÒu ®Þa ph¬ng ®îc giíi thiÖu ®Çu tiªn bëi A. Grothendieck [18] vµo nh÷ng n¨m 1960 vµ nhanh chãng ph¸t triÓn, ®îc nhiÒu nhµ to¸n häc trªn thÕ giíi quan t©m (cã thÓ kÓ ®Õn mét sè c«ng tr×nh ®iÓn h×nh nh [18], [19], [20], [22], [23], [25], [29], [31], [47], [50], [52], [57], [58]). Ngµy nay, lý thuyÕt ®èi ®ång ®iÒu ®Þa ph¬ng ®· trë thµnh c«ng cô kh«ng thÓ thiÕu trong nhiÒu lÜnh vùc kh¸c nhau cña to¸n häc nh §¹i sè giao ho¸n, H×nh häc ®¹i sè, §¹i sè tæ hîp... Mét sè tÝnh chÊt rÊt ®îc chó ý cña m«®un ®èi ®ång ®iÒu ®Þa ph¬ng lµ tÝnh triÖt tiªu, tÝnh h÷u h¹n sinh vµ tÝnh Artin. Kho¶ng nh÷ng n¨m 1970, I. G. Macdonald vµ R. Y. Sharp ([31],