Luận án Tiến sĩ Toán học: Về liên thông kì dị chính qui trên lược đồ trên một vành

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:136

Thêm vào BST

Báo xấu

2
lượt xem 1
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Luận án Tiến sĩ Toán học "Về liên thông kì dị chính qui trên lược đồ trên một vành" trình bày các nội dung chính sau: Liên thông kì dị chính qui được tham số hóa bởi một vành; Khai triển lôgarit của liên thông trên đĩa thủng hình thức; Sơ lược về liên thông xác định trên trường đặc số dương.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Luận án Tiến sĩ Toán học: Về liên thông kì dị chính qui trên lược đồ trên một vành

VIỆN HÀN LÂM KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ VIỆT NAM VIỆN TOÁN HỌC Phạm Thanh Tâm VỀ LIÊN THÔNG KÌ DỊ CHÍNH QUI TRÊN LƯỢC ĐỒ TRÊN MỘT VÀNH LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC Hà Nội - 2024
VIỆN HÀN LÂM KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ VIỆT NAM VIỆN TOÁN HỌC Phạm Thanh Tâm VỀ LIÊN THÔNG KÌ DỊ CHÍNH QUI TRÊN LƯỢC ĐỒ TRÊN MỘT VÀNH Chuyên ngành: Đại số và Lý thuyết số Mã số: 9 46 01 04 LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC Tập thể hướng dẫn: GS. TSKH. Phùng Hồ Hải GS. TSKH. João Pedro Dos Santos Hà Nội - 2024
Mục lục Lời cam đoan v Lời cảm ơn vii Danh mục công trình ix Ký hiệu xi Lời mở đầu xiii 1 Thác triển liên thông hình thức kì dị chính qui lên PC \ {0, ∞} 1 1.1 Liên thông trên một vành vi phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.1.1 Liên thông và phương trình vi phân . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.1.2 Vectơ cyclic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.2 Liên thông hình thức kì dị chính qui . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.2.1 Liên thông hình thức có kì dị lôgarit . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.2.2 Liên thông hình thức kì dị chính qui . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.3 Liên thông trên PC \ {0, ∞} . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 1.3.1 Liên thông trên PC có kì dị lôgarit . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 1.3.2 Thác triển liên thông hình thức kì dị chính qui lên PC \ {0, ∞} . . . 15 1.4 Liên thông cùng tác động của một đại số Artin . . . . . . . . . . . . . . . . 21 2 Liên thông kì dị chính qui được tham số hóa bởi một vành 29 2.1 Liên thông kì dị chính qui . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 2.2 Liên thông được tham số hóa bởi một đại số địa phương Noether đầy đủ . . 36 2.2.1 Tiêu chuẩn về tính phẳng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 2.2.2 Liên thông kì dị chính qui trên R((x)) . . . . . . . . . . . . . . . . 40 2.2.3 Thác triển liên thông kì dị chính qui lên PR \ {0, ∞} . . . . . . . . . 49 2.3 Liên thông kì dị chính qui được tham số hóa bởi một đại số Hensel . . . . . 57
iv Mục lục 2.3.1 Liên thông hình thức kì dị chính qui được tham số hóa bởi một đại số Hensel định giá rời rạc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 2.3.2 Thác triển liên thông kì dị chính qui tham số hóa bởi đại số địa phương Noether và Hensel lên PR \ {0, ∞} . . . . . . . . . . . . . . 62 3 Khai triển lôgarit của liên thông trên đĩa thủng hình thức 73 3.1 Khai triển lôgarit của liên thông trên đĩa thủng hình thức . . . . . . . . . . 73 3.1.1 Khai triển Turrittin-Levelt-Jordan . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73 3.1.2 Khai triển lôgarit của liên thông hình thức . . . . . . . . . . . . . . 78 3.2 Khai triển lôgarit của liên thông được tham số hóa . . . . . . . . . . . . . . 83 3.2.1 Liên thông cùng tác động của một đại số Artin . . . . . . . . . . . 83 3.2.2 Khai triển lôgarit của một liên thông được tham số hóa bởi một đại số định giá rời rạc đầy đủ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85 4 Sơ lược về liên thông xác định trên trường đặc số dương 91 4.1 Ký hiệu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91 4.2 t-liên thông . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92 4.3 Đa thức đặc trưng của p−độ cong . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94 5 Kết luận 99 Phụ lục A Cấu trúc của các tự đồng cấu tuyến tính 101 A.1 Cấu trúc của tự đồng cấu tuyến tính trên vành Artin . . . . . . . . . . . . . 101 A.2 Cấu trúc của các tự đồng cấu trên vành địa phương Noether Hensel . . . . . 103 Phụ lục B Môđun trên một vành vi phân tổng quát 107 B.1 Vành vi phân tổng quát . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107 B.2 Môđun trên một vành vi phân tổng quát . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108 B.2.1 Liên thông trên vành vi phân tổng quát . . . . . . . . . . . . . . . 108 B.2.2 Môđun trên một vành vi phân tổng quát . . . . . . . . . . . . . . . 109 B.2.3 Chứng minh khác của định lý chính . . . . . . . . . . . . . . . . . 112 Tài liệu tham khảo 115
LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan rằng ngoại trừ trường hợp có tham chiếu cụ thể đến công trình của người khác, nội dung của luận án này là bản gốc và chưa được nộp toàn bộ hoặc một phần để xem xét cho bất kỳ bằng cấp nào khác trong bất cứ một cơ sở giáo dục nào khác. Luận án này là công trình của riêng tôi, được hoàn thành dưới sự hướng dẫn của GS. TSKH. Phùng Hồ Hải và GS. TSKH. João Pedro Dos Santos. Đối với các kết quả viết chung với các tác giả khác, tôi đã nhận được sự nhất trí của đồng tác giả khi đưa vào luận án. Hà Nội, tháng 05 năm 2024 Tác giả Phạm Thanh Tâm
LỜI CẢM ƠN Luận án này được thực hiện và hoàn thành dưới sự hướng dẫn khoa học của GS. TSKH. Phùng Hồ Hải và GS. TSKH. João Pedro Dos Santos tại Viện Toán học, Viện Hàn lâm Khoa học và Công nghệ Việt Nam. Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới hai thầy hướng dẫn khoa học của tôi: GS. TSKH. Phùng Hồ Hải và GS. TSKH. João Pedro Dos Santos. Các thầy đã tận tình giúp đỡ tôi trong suốt quá trình tôi làm luận án. Khi tôi được hai thầy nhận hướng dẫn, mọi kiến thức về chuyên ngành và lĩnh vực nghiên cứu là rất mới mẻ với tôi. Các Thầy đã hướng dẫn, dìu dắt tôi nghiên cứu và khai thác các vấn đề xoay quanh bài toán của mình. Đặc biệt, những lúc khó khăn, bế tắc trong nghiên cứu các Thầy nhiệt tình giúp đỡ, động viên và khích lệ để giúp tôi từng bước tự tin hơn và vượt qua khó khăn. Tôi xin chân thành cảm ơn tới các thầy, cô trong các phòng: Đại số, Lý thuyết số, Hình học và Tô pô đã giúp đỡ và tạo điều kiện để tôi có được một môi trường làm việc và học tập tốt. Tôi xin chân thành cảm ơn tới các thầy, cô Trung tâm Đào tạo Sau đại học của Viện Toán học đã hỗ trợ tôi rất nhiệt tình trong quá trình tôi học tập, nghiên cứu và hoàn thiện các công việc cần thiết đối với việc học nghiên cứu sinh của tôi tại Viện Toán học. Tôi xin chân thành cảm ơn các thầy, cô trong Ban Lãnh đạo Viện Toán học, Hội đồng Khoa học Viện Toán học đã cho tôi cơ hội và những điều kiện thuận lợi để tôi được học tập, làm việc trong môi trường nghiên cứu tốt. Tôi cũng xin trân trọng cảm ơn tới các thầy, cô và các anh chị, các bạn đồng nghiệp trong Viện đã luôn quan tâm, chia sẻ, động viên tôi trong công việc và cuộc sống. Tôi xin chân thành cảm ơn các thầy trong Ban Giám hiệu Trường đại học sư phạm Hà Nội 2, Ban chủ nhiệm và các thầy cô Khoa Toán của nhà trường đã ủng hộ và tạo điều kiện cho tôi có được thời gian và điều kiện học tập tốt nhất. Qua đó góp phần giúp tôi hoàn thành được quá trình học tập và nghiên cứu của mình. Trong thời gian làm nghiên cứu sinh tôi, tôi đã nhận được những chia sẻ, trao đổi hữu ích về nội dung nghiên cứu cùng với TS. Nguyễn Chu Gia Vượng, TS. Nguyễn
viii Lời cảm ơn Hồng Đức, TS. Đào Văn Thịnh. Tôi rất biết ơn vì những hỗ trợ tích cực mà các tiến sĩ đã nhiệt tình dành cho tôi. Đặc biệt, tôi muốn gửi lời cảm ơn sâu sắc đến TS. Đào Văn Thịnh, người đã và đang cùng với tôi hoàn thành các nghiên cứu về vấn đề mà tôi quan tâm, giúp tôi có thêm động lực nghiên cứu. Bên cạnh đó tôi cũng mong muốn gửi lời cảm ơn đến PGS.TS. Nguyễn Tất Thắng, người đã chia sẻ kinh nghiệm làm việc và động viên tôi rất nhiều trong thời gian tôi học tập và nghiên cứu tại Viện Toán học. Tôi xin chân thành cảm ơn TS. Đỗ Văn Kiên và TS. Nguyễn Phương Đông đã giúp tôi đọc bản thảo và góp nhiều ý kiến quan trọng về văn phong và trình bày. Cuối cùng, tôi chân thành biết ơn tới những người thân trong đại gia đình của tôi: Bố, mẹ, các em, vợ và các con của tôi, những người đã luôn ở bên cạnh, chia sẻ, ủng hộ giúp đỡ để tôi có thể tập trung thời gian hoàn thành công việc học tập của mình. Hà Nội, tháng 05 năm 2024 Tác giả Phạm Thanh Tâm
DANH MỤC CÔNG TRÌNH ĐÃ CÔNG BỐ VÀ BÁO CÁO HỘI THẢO LIÊN QUAN ĐẾN LUẬN ÁN DANH MỤC CÔNG TRÌNH [1] P. H. Hai, J. P dos Santos and P.T.Tam, Algebraic theory of regular-singular connections with parameters, Rend. Sem. Mat. Univ. Padova 2023 (Online). DOI: 10.4171/RSMUP/134 [2] P. H. Hai, J. P dos Santos, P.T.Tam and D.V.Thinh, Prolongation of regular singu- lar connections on punctured affine line over a henselian ring, Communications in Algebra, 2024 (Online), 1–15. DOI:10.1080/00927872.2024.2314109. [3] P.T.Tam, Logarithmic decomposition of connections on a relatively punctured disk, to appear in Periodica Mathematica Hungarica. . [4] Phạm Thanh Tâm, Tính toán địa phương trên p-độ cong của các liên thông phụ thuộc tham số trong trường có đặc số dương, Tạp chí Trường ĐHSP Hà Nội 2, Số 55, 2018, p.13-20. CÁC KẾT QUẢ TRONG LUẬN ÁN ĐÃ ĐƯỢC BÁO CÁO TẠI HỘI NGHỊ, HỘI THẢO • Hội nghị nghiên cứu sinh Viện Toán học các năm: 2016-2021; • Hội thảo: Taiwan - Vietnam Workshop on Mathematics, National Sun Yat - Sen University, Kaohsiung, 5/2018; • Đại hội Toán học toàn quốc, Nha Trang, 7/2018;
x Danh mục công trình • Hội nghị: Vietnam-USA Joint Mathematical Meeting, Qui Nhơn, 10-13/6/2019; • Hội thảo: Singularity Theory and its Applications, Đà Lạt, 16-18/11/2020; • Hội nghị: ĐAHITO, Viện Toán học - ĐH Thái Nguyên, 10/2021; • Hội thảo: Hình học và Giải tích, Viện Toán học, 11/2021; • Workshop "Singularities, arrangements, and low-dim. topology", Viện Toán học, 12/2021; • Hội thảo: Một số vấn đề trong đại số và lý thuyết số. Viện Toán học 3/2022; • Hội thảo: Một số vấn đề trong lý thuyết kì dị và ứng dụng, Viện Toán học, 03/2022.
KÝ HIỆU VÀ QUY ƯỚC (1) Trong luận án này, ký hiệu C là một trường đóng đại số có đặc số không. Ký hiệu C[x± ] := C[x±1 ] và C((x)) := C x [x−1 ]. (2) Cố định τ là một tập con của C sao cho ánh xạ τ → C/Z là song ánh. (3) Cho X và Y là các tập con của C. Ký hiệu X ⊖Y = a − b : a ∈ X, b ∈ Y . (4) Cho ϕ ∈ C[x−1 ]/Z và f = a−m x−m + a−m+1 x−m+1 + ... + a−1 x−1 + a0 ∈ C[x−1 ] là một đại diện của ϕ. Ký hiệu p(ϕ) := a−m x−m + a−m+1 x−m+1 + ... + a−1 x−1 . (5) Cho A là một C-đại số bất kì và n là một số nguyên dương. • Ký hiệu A z vành các chuỗi lũy thừa hình thức của các biến z = (z1 , ..., zn ) với hệ số trong A. • Mỗi biến tự do x, ký hiệu A[x± ] := A[x±1 ] và A((x)) := A x [x−1 ]. (6) Cho ϕ là một tự đồng cấu tuyến tính của một C-không gian véc tơ hữu hạn chiều V. • Ký hiệu Spϕ là tập tất cả các giá trị riêng của ϕ. • Ký hiệu G(ϕ, ρ) là không gian véc tơ con riêng suy rộng của ϕ liên kết với ρ ∈ Spϕ . (7) Cho A là một C-đại số. • Ký hiệu PA là đường thẳng xạ ảnh trên A.
xii Ký hiệu • Ký hiệu A0 = PA ∖ {∞} và A∞ = PA ∖ {0} là hai tập mở chính tắc của PA . • Ký hiệu OPA là bó cấu trúc của PA . d (8) Với A là một C-đại số, ký hiệu ϑ : A((x)) → A((x)) là đạo hàm x trên A((x)); cụ dx thể ϑ xác định bởi ϑ ∑ an xn = ∑ nan xn . (9) Với mỗi số nguyên dương s, đặt xs là một căn bậc s của x. Đạo hàm ϑ trên R((x)) được mở rộng thành đạo hàm trên R((xs )) một cách tự nhiên. Cụ thể, đạo hàm ϑ trên R((xs )) được xác định bởi ϑ = s−1 xs dxs . d (10) Với A là một C-đại số, ký hiệu • Mm×n (A) cho vành các ma trận cỡ m × n với hệ số trong R. • Mn (A) cho vành các ma trận vuông cấp n với hệ số trong R. (11) Với A là một C-đại số và p ∈ Spec (A), ký hiệu k(p) là trường thặng dư của vành địa phương Ap tại p. (12) Với (A, mA ) là một vành địa phương, ký hiệu • A là đầy đủ hóa theo tô pô mA -adic của R; • (Ah , mh ) là vành Hensel hóa của A tại iđêan cực đại mA . A (13) Với A là một C-đại số, f ∈ A và r ∈ N∗ , ký hiệu   f ··· 0 0  .. ..  ♭ ∗ . . 0 Jr ( f ) =  . .  . . .. .  .   . . . . . 0 · · · ∗ f r×r (14) Cho một A-môđun E và k là một số nguyên dương. • Với x ∈ A, ký hiệu (0 : xk )E = {e ∈ E : xk e = 0}. • Ký hiệu Sk (E) đại số đối xứng thuần nhất bậc k của E.
LỜI MỞ ĐẦU Cho C là trường đóng đại số có đặc số không bất kì và PC \ {0, ∞} là đường thẳng xạ ảnh bỏ 2 điểm. Một bài toán thác triển quan trọng là mở rộng một môđun hữu hạn cùng liên thông trên lân cận hình thức thủng SpecC((x)) của 0 ∈ PC thành một môđun nhất quán cùng liên thông trên toàn bộ PC \ {0, ∞}. Trong [9, Section 15], Deligne khẳng định các môđun hữu hạn cùng liên thông kì dị chính qui trên SpecC((x)) mở rộng lên toàn bộ PC \ {0, ∞} cùng tính kì dị chính qui tại ∞. Mở rộng này là một tương đương giữ phạm trù các liên thông trên PC \ {0, ∞} kì dị chính qui tại {0, ∞} và phạm trù các liên thông kì dị chính qui trên trường các chuỗi Laurent C((x)). Việc mở rộng thác triển của Deligne thu hút được sự quan tâm nghiên cứu của nhiều nhà toán học, chẳng hạn như: N. Katz dựa theo lý thuyết phân loại các môđun cùng liên thông trên C((x)) của Levelt [38] cho một mở rộng các môđun cùng liên thông trên SpecC((x)) lên PC \ {0, ∞} mà không yêu cầu điều kiện về tính kì dị chính qui [32]. Sau đó L. Kindler mở rộng công việc của Katz cho trường hợp các liên thông trên đường thẳng xạ ảnh bỏ hai điểm trên trường có đặc số dương [36]. Ta nhắc lại tương đương của Deligne mô tả trong [9]. Ta gọi một C-đại số A là đại số vi phân nếu tồn tại một ánh xạ C-tuyến tính (C-đạo hàm) ∂ : A → A thỏa mãn qui tắc Leibniz ∂ (ab) = ∂ (a)b + a∂ (b) với mọi a, b ∈ A. Xét C((x)) và C x là các C-đại số vi phân với C-đạo hàm tương ứng cho bởi ϑ ∑ an xn = ∑ nan xn . Một liên thông trên (C((x)), ϑ ) là một C((x))-không gian véc tơ hữu hạn chiều M cùng một tự đồng cấu C-tuyến tính ∇ : M → M thỏa mãn ∇( f m) = ϑ ( f )m + f ∇(m) với mọi f ∈ C((x)) và m ∈ M. Một liên thông trên (C x , ϑ ) có kì dị lôgarit là một C x -môđun hữu hạn sinh M cùng tự đồng cấu C-tuyến tính ∇ : M → M thỏa mãn qui tắc Leibniz. Ký hiệu MC C((x))/C là phạm trù các liên thông trên C((x)) và MClog C x /C là phạm trù các liên thông trên C x có kì dị lôgarit. Ta có hàm tử γC x : MClog C x /C −→ MC C((x))/C
xiv Lời mở đầu cho bởi γC x (M , ∇) = C((x)) ⊗ M , ∇ . Một liên thông trong MC C((x))/C là C x kì dị chính qui nếu nó đẳng cấu với ảnh của một liên thông bởi γC x . Ký hiệu MCrs C((x))/C là phạm trù con đầy của MC C((x))/C gồm các liên thông kì dị chính qui trên C((x)). Xét C-đại số vi phân các đa thức Laurent C[x± ] với C-đạo hàm ϑ . Một liên thông trên PC \ {0, ∞} là một C[x± ]-môđun hữu hạn M cùng tự đồng cấu ∇ : M → M thỏa mãn qui tắc Leibniz. Ký hiệu MC C[x± ]/C là phạm trù các liên thông trên PC \ {0, ∞} và MClog PC /C là phạm trù các liên thông trên PC có kì dị lôgarit tại {0, ∞}. Liên thông trên PC \ {0, ∞} có kì dị chính qui tại {0, ∞} nếu nó đẳng cấu với một vật trong ảnh của hàm tử γPC : MClog PC /C −→ MC C[x± ]/C . Trong [9, §15], Deligne xây dựng hàm tử MCrs C((x))/C −→ MCrs C[x± ]/C (I) là hàm tử ngược của hàm tử hạn chế r : MCrs C[x± ]/C −→ MCrs C((x))/C . Ta thu được (I) là một tương đương (tương đương Deligne), hơn nữa MCrs C[x± ]/C trở thành một phạm trù Tannaka trên C. Phạm trù Tannaka được nghiên cứu và phát triển mạnh mẽ bởi Saavedra [46], Van de Put - M. Singer [47], Kedlaya [34, 35],... Gần đây, N.Đ. Dương, P.H. Hải và J.P. Dos Santos trong các công trình [10, 12, 13, 22, 23] đã đưa ra những mô tả Tannaka về cấu trúc đối với các họ liên thông được tham số hóa bởi một vành. Những kết quả này tạo ra một cách tiếp cận khác cho việc nghiên cứu các liên thông nói chung và các liên thông kì dị chính qui nói riêng, đó là theo cách tiếp cận của đối ngẫu Tannaka. Mục tiêu của luận án là nghiên cứu sự tồn tại của tương đương Deligne khi thay trường C bởi một đại số địa phương Noether, Hensel R trên một trường đóng đại số đặc số không, chẳng hạn R là vành các chuỗi lũy thừa hình thức C t1 , ...,tn hoặc Hensel hóa của vành địa phương hóa của vành đa thức C t1 , ...,tn tại iđêan cực đại (t1 , ...,tn ), xem [41, Corollary 4.17]. Nghiên cứu bước đầu cho ta một số hiểu biết về tính biểu diễn Tannaka của phạm trù các liên thông kì dị chính qui trên đường thẳng xạ ảnh trên R bỏ 2 điểm PR \ {0, ∞}. Luận án được chia thành 4 chương và 2 phụ lục. Chương 1 giới thiệu một số khái niệm cơ bản của liên thông và đưa ra chứng minh khác cho tương đương Deligne, đồng thời khẳng định sự tồn tại của các OPC -lưới lôgarit cùng với điều kiện chính tắc của số mũ của liên thông trên PC \ {0, ∞} kì dị chính qui tại {0, ∞} (xem Định
xv lý 1.3.13). Phần cuối Chương 1 mở rộng các kết quả này đối với các liên thông kì dị chính qui cùng một tác động của một C-đại số địa phương Artin (xem Hệ quả 1.4.8). Chương 2 thiết lập tương đương Deligne khi thay thế trường C bởi R là một C-đại số địa phương, Noether và Hensel. Một số khó khăn nảy sinh vì nhiều kết quả trên trường không còn đúng khi xét trên vành, chẳng hạn: khai triển Jordan của ma trận, tính phẳng của môđun. Trong bối cảnh này, luận án đưa ra một tiêu chuẩn về tính phẳng cho các liên thông trên R((x)) (xem Định lý 2.2.4). Để thiết lập tương đương Deligne, chúng tôi xét hai trường hợp đối với vành R. Đầu tiên, xét R là một C-đại số địa phương, Noether và đầy đủ theo tôpô adic xác định bởi iđêan cực đại của R. Luận án khẳng định mỗi liên thông trên R((x)) có duy nhất một mô hình lôgarit trong MClog R x /R thỏa mãn điều kiện chính tắc của số mũ (xem Định lý 2.2.8). Khi đó, ta thu được hàm tử hạn chế MCrs (R[x± ]/R) −→ MCrs (R((x))/R). (II) là một tương đương phạm trù. Hơn nữa, như hệ quả của Định lý 1.3.13, mỗi liên thông trên PR ∖ {0, ∞} kì dị chính qui tại {0, ∞} có dạng một liên thông Euler. Trường hợp tiếp theo, xét R là một miền nguyên C-đại số địa phương, Noether và Hensel. Trong trường hợp này, Mệnh đề 2.3.6 khẳng định mỗi liên thông trong MCrs (R((x))/R) có một mô hình lôgarit thỏa mãn điều kiện chính tắc của số mũ. Ký hiệu MC◦ (∗/R) là rs phạm trù con của MCrs (∗/R) gồm các vật là ∗-môđun phẳng. Khi đó, ta thu được MC◦ (R((x))/R) −→ MC◦ (R[x± ]/R) rs rs (III) là một tương đương (xem Định lý 2.3.14). Đặc biệt khi R là một C-đại số định giá rời rạc Hensel, hàm tử MCrs (R((x))/R) −→ MCrs (R[x± ]/R) (IV) là một tương đương giữa các phạm trù gồm tất cả các liên thông kì dị chính qui tương ứng (xem Định lý 2.3.15). Chương 3 xét R là một C-đại số định giá rời rạc đầy đủ đặc số không. Chương này nghiên cứu sự tồn tại của khai triển lôgarit của một lớp các liên thông tồn tại một dạng Turrittin-Levelt-Jordan trong MC R((x))/R (xem Định lý 3.2.10). Trong chương này, chúng tôi cũng chỉ ra một số trường hợp tồn tại khai triển Turrittin-Levelt-Jordan đối với các liên thông trên R((x)) (xem Mệnh đề 3.2.9).
xvi Lời mở đầu Chương 4 quan tâm đến một chủ đề khá độc lập so với các chương còn lại của luận án, đó là các liên thông trên một lược đồ xạ ảnh, trơn xác định trên một trường đặc số p > 0. Chương này đưa ra một chứng minh tổng quát cho một đồng nhất thức về p-độ cong (xem Định lý 4.3.5) mà là một mở rộng kết quả của C. Pauly - Y. Laszlo [37, Proposition 3.2] (đối với đường cong xạ ảnh trơn) và T. Mochizuki [42, Lemma 4.2] (cho các mặt xạ ảnh trơn). Phụ lục A đưa ra một mô tả cấu trúc của các tự đồng cấu tuyến tính của các môđun hữu hạn trên một vành Artin hoặc trên một vành địa phương Noether Hensel. Nội dung chính là các Mệnh đề A.1.1 và Bổ đề A.2.4 về sự tồn tại "khai triển Jordan" của một tự đồng cấu tuyến tính của các môđun hữu hạn trên một vành Artin hoặc trên một vành địa phương Noether Hensel. Phụ lục B mục đích trình bày Định lý B.2.4, đây một kết quả về tính xạ ảnh của môđun trên vành vi phân tổng quát của André. Ngoài ra chúng tôi cũng đưa ra một chứng minh khác cho kết quả này (xem Mục B.2.3) dựa trên các iđêan Fitting của một môđun.
Chương 1 Thác triển liên thông hình thức kì dị chính qui lên PC \ {0, ∞} Trong chương này, chúng tôi cung cấp một chứng minh của tương đương Deligne về thác triển liên thông kì dị chính qui từ lân cận hình thức thủng lên đường thẳng xạ ảnh bỏ 2 điểm. Chúng tôi cũng cho một mở rộng tương đương này đối với trường hợp các liên thông được trang bị cùng một tác động của C-đại số Artin. 1.1 Liên thông trên một vành vi phân Mục này giới thiệu về liên thông trên một vành vi phân và mối quan hệ của chúng với hệ phương trình vi phân tuyến tính. Nội dung trong mục này được trích dẫn từ [4]. 1.1.1 Liên thông và phương trình vi phân Định nghĩa 1.1.1 ([4, Definition 2.2.1]). Cho F là một C-đại số giao hoán có đơn vị và một tự đồng cấu C-tuyến tính ∂ : F −→ F thỏa mãn ∂ (ab) = a∂ (b) + b∂ (a) với mọi a, b ∈ F. Ta nói (F, ∂ ) hoặc đơn giản F là một C-đại số vi phân. Nếu F là một trường, (F, ∂ ) được gọi là một trường vi phân. Ánh xạ C-tuyến tính ∂ được gọi là một C-đạo hàm trên F. Ví dụ 1.1.2. 1) Vành các chuỗi Taylor C x và ánh xạ C-tuyến tính ϑ : C x → C x cho bởi ϑ ∑ an xn = ∑ nan xn là một C-đại số vi phân. 2) Vành các chuỗi Laurent C((x)) và ánh xạ C-tuyến tính ϑ : C((x)) → C((x)) cho bởi ϑ ∑ an xn = ∑ nan xn là một trường vi phân trên C.
2 Thác triển liên thông hình thức kì dị chính qui lên PC \ {0, ∞} Xét phương trình vi phân tuyến tính cấp n ∂ n y + an−1 ∂ n−1 y + · · · + a1 ∂ y + a0 y = 0, (1.1) trong đó a0 , a1 , · · · , an−1 ∈ F. Đặt   ···   y 0 1 0   ··· ...   ∂y  ···  Y = ; G= .    ···  ... ...  0 1    ∂ n−1 y −a0 −a1 · · · −an−1 Phương trình (1.1) trở thành tìm Y ∈ F n sao cho ∂Y = GY. (1.2) Khái niệm liên thông dưới đây được gọi là môđun vi phân trong [4, Section 2.4, p.6] hoặc môđun cùng liên thông trong [30, Section 1.0, p.178]. Định nghĩa 1.1.3. Cho C-đại số vi phân (F, ∂ ). Một liên thông trên (F, ∂ ) là một cặp (M, ∇∂ ) gồm một F-môđun hữu hạn M và một tự đồng cấu C-tuyến tính ∇∂ : M → M thỏa mãn ∇∂ ( f m) = ∂ ( f )m + f ∇∂ (m) với mọi f ∈ F và m ∈ M. Ta gọi m ∈ M sao cho ∇(m) = 0 là nhát cắt ngang của (M, ∇∂ ). Cho (M, ∇∂ ) là một liên thông trên (F, ∂ ) sao cho M là F-môđun xạ ảnh. Đặt M ∨ = HomF (M, F) và ∇∨ : HomF (M, F) → HomF (M, F) cho bởi ∇∨ (s) = ∂ ◦ s − s ◦ ∇∂ ∂ ∂ với mỗi s ∈ HomF (M, F). Ta nói (M ∨ , ∇∨ ) là liên thông đối ngẫu của (M, ∇∂ ). Một ∂ phần tử s ∈ M ∨ sao cho ∂ (s(m)) = s(∇ (m)) với mọi m ∈ M được gọi là một nghiệm ∂ của (M, ∇∂ ) trên F. Nhận xét 1.1.4. Cho liên thông (M, ∇∂ ) trên (F, ∂ ) sao cho M là F-môđun tự do cùng cơ sở m = {m1 , ..., mn }. Khi đó, tồn tại các ai j ∈ F sao cho ∇∂ m j = ∑n ai j mi với 1 ≤ i=1 i, j ≤ n. Ta gọi (ai j )n là ma trận của ∇∂ đối với m, ký hiệu bởi H = Mat(∇∂ , m). Hơn n n nữa, nếu bi j ∈ F sao cho ∇∨ (m∨ ) = ∑ bi j m∨ , ta có ∇∨ (m∨ )(mk ) = ∑ bi j m∨ (mk ) = ∂ j i ∂ j i i=1 i=1 bk j . Bởi vì ∇∨ (m∨ ) = ∂ ◦ m∨ − m∨ ◦ ∇∂ , ta dẫn đến ∂ j j j ∇∨ (m∨ )(mk ) = ∂ ◦ m∨ (mk ) − m∨ ◦ ∇∂ (mk ) = −a jk . ∂ j j j
1.2 Liên thông hình thức kì dị chính qui 3 Vì vậy, ta thu được Mat(∇∨ , m∨ ) = −H t . Hơn nữa, nghiệm Y ∈ F n của (M, ∇∂ ) trên ∂ F là nghiệm của phương trình vi phân ∂ (Y ) = H t Y. 1.1.2 Vectơ cyclic Định nghĩa 1.1.5 ([4, Definition 3.2.5]). Cho (F, ∂ ) là một C-đại số vi phân và (M, ∇∂ ) là một liên thông trên (F, ∂ ). Phần tử m ∈ M được gọi là một phần tử cyclic của (M, ∇∂ ) nếu m = {m, ∇∂ m, · · · , ∇n−1 m} là một hệ sinh của F-môđun M. Trong ∂ trường hợp F là một trường vi phân ta nói m là một vectơ cyclic của (M, ∇∂ ). Ví dụ 1.1.6. Xét C-đại số vi phân (C[x], ∂x ) cùng với ∂x là đạo hàm theo x. Mỗi f ∈ C[x] là phần tử cyclic khi và chỉ khi f là đa thức hằng khác không. Ví dụ 1.1.7. Cho C((x))-môđun M = ⟨e1 , e2 ⟩C((x)) tự do hạng 2. Liên thông (M, ∇) 1 trên C((x)) xác định bởi ∇(e1 ) = e1 + e2 và ∇(e2 ) = e2 . Ta có e1 là một vectơ cyclic x của (M, ∇). Chi tiết của bổ đề sau có thể xem trong [31] hoặc [4, Lemma 3.3.2, p.19]. Bổ đề 1.1.8. Cho (F, ∂ ) là một C-đại số vi phân địa phương với iđêan cực đại m và (M, ∇∂ ) là một liên thông trên (F, ∂ ). Khi đó, nếu m chứa một phần tử x sao cho ∂ (x) ∈ F × thì (M, ∇∂ ) chứa một phần tử cyclic. 1.2 Liên thông hình thức kì dị chính qui d Ký hiệu ϑ = x dx là C-đạo hàm trên C-đại số các chuỗi Taylor C x hoặc C-đại số các chuỗi Laurent C((x)). 1.2.1 Liên thông hình thức có kì dị lôgarit Xét phạm trù EndC mà mỗi vật là một cặp (V, A) của một C-không gian vectơ hữu hạn chiều V và một tự đồng cấu C-tuyến tính A : V → V , cấu xạ từ (V, A) đến (V ′ , A′ ) là đồng cấu C-tuyến tính ϕ : V → V ′ sao cho A′ ϕ = ϕA. Cho (V, A), (V ′ , A′ ) là các vật trong EndC . Đặt HA,A′ : HomC ((V, A), (V ′ , A′ )) −→ HomC ((V, A), (V ′ , A′ ))
4 Thác triển liên thông hình thức kì dị chính qui lên PC \ {0, ∞} là ánh xạ C-tuyến tính cho bởi HA,A′ (ϕ) = A′ ϕ −ϕA. Ta có HomC ((V, A), (V ′ , A′ )), HA,A′ là một vật trong EndC . Dựa theo [48, Problem 4.1, p.19], giá trị riêng của HA,A′ có dạng λ = α − β trong đó α ∈ SpA′ và β ∈ SpA . Vì vậy, ta có đẳng thức sau SpH = SpA′ ⊖ SpA . A,A′ Định nghĩa 1.2.1. Một liên thông có kì dị lôgarit trên C x là một C x -môđun hữu hạn M cùng một tự đồng cấu C-tuyến tính ∇ : M → M thỏa mãn ∇( f m) = ϑ ( f )m + f ∇(m) với mọi f ∈ C x và m ∈ M . Một cấu xạ giữa (M , ∇) và (M ′ , ∇′ ) là đồng cấu C x -tuyến tính ϕ : M −→ M ′ sao cho ϕ∇′ = ∇ϕ. Ta gọi liên thông có kì dị lôgarit trên C x đơn giản là liên thông lôgarit trên C x . Ký hiệu MClog (C x /C) phạm trù các liên thông lôgarit trên C x . Cho (M , ∇) ∈ MClog (C x /C) sao cho M là C x -môđun tự do và m = {m1 , ..., mn } là C x -cơ sở của M . Đặt Mat(∇, m) = (ai j )n là ma trận của ∇ đối với m. Giả sử m′ = {m′ , ..., m′ } là một C x −cơ sở khác của M và T là ma trận chuyển cơ sở từ m 1 n sang m ′ . Khi đó, ma trận B = Mat(∇, m′ ) xác định bởi (phép biến đổi định cỡ): B = T −1 ϑ T + T −1 AT. (1.3) Ví dụ 1.2.2. Cho (M , ∇), (M ′ , ∇′ ) ∈ MClog (C x /C). Ta định nghĩa liên thông ∇ ⊗ ∇′ trên M ⊗C x M ′ bởi ∇ ⊗ ∇′ (mi ⊗ m′ ) = ∇(mi ) ⊗ m′ + mi ⊗ ∇′ (m′ ). i i i Ta có (M ⊗C x M ′ , ∇ ⊗ ∇′ ) là một liên thông lôgarit trên C x , nó được gọi là tích tenxơ của (M , ∇) và (M ′ , ∇′ ). Ví dụ 1.2.3. Cho (M , ∇), (M ′ , ∇′ ) ∈ MClog (C x /C). Xét tự đồng cấu C-tuyến tính D : HomC x (M , M ′ ) −→ HomC x (M , M ′ ) cho bởi D(h) = ∇′ ◦ h − h ◦ ∇. Với mỗi a ∈ C x và h ∈ HomC x (M , M ′ ), ta có: D(ah) =∇′ ◦ (ah) − ah ◦ ∇, dùng qui tắc Leibniz =ϑ (a)h + a∇′ ◦ h − ah ◦ ∇ =ϑ (a)h + a(∇′ ◦ h − h ◦ ∇) =ϑ (a)h + aD(h).