Luận án Tiến sĩ Toán học: Các bất đẳng thức Łojasiewicz: Sự tồn tại và tính toán các số mũ

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:113

Thêm vào BST

Báo xấu

20
lượt xem 5
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Luận án Tiến sĩ Toán học "Các bất đẳng thức Łojasiewicz: Sự tồn tại và tính toán các số mũ" trình bày các nội dung chính sau: Bất biến tô pô của kỳ dị đường cong phẳng: Các thương cực và số mũ Łojasiewicz gradient; Sự tồn tại và ổn định của cận sai số holder, bất đẳng thức Łojasiewicz toàn cục và các giá trị fedoryuk đặc biệt; Cận sai số holder toàn cục và bất đẳng thức Łojasiewiz gradient trong các cấu trúc O-tối tiểu.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Luận án Tiến sĩ Toán học: Các bất đẳng thức Łojasiewicz: Sự tồn tại và tính toán các số mũ

VIỆN HÀN LÂM KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ VIỆT NAM VIỆN TOÁN HỌC HOÀNG PHI DŨNG CÁC BẤT ĐẲNG THỨC ŁOJASIEWICZ: SỰ TỒN TẠI VÀ TÍNH TOÁN CÁC SỐ MŨ LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC Hà Nội - 2021
VIỆN HÀN LÂM KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ VIỆT NAM VIỆN TOÁN HỌC ———————- HOÀNG PHI DŨNG CÁC BẤT ĐẲNG THỨC ŁOJASIEWICZ: SỰ TỒN TẠI VÀ TÍNH TOÁN CÁC SỐ MŨ LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC Chuyên ngành: Hình học và tô pô Mã số: 9 46 01 05 Người hướng dẫn khoa học: PGS. TSKH. Hà Huy Vui Hà Nội - 2021
TÓM TẮT Luận án nghiên cứu về các bất đẳng thức Łojasiewicz, bao gồm bất đẳng thức Łojasiewicz gradient nhằm khảo sát tô pô của các mầm hàm trong trường hợp địa phương và sự tồn tại của bất đẳng thức Łojasiewicz cổ điển trong trường hợp toàn cục. Cụ thể hơn, trong trường hợp địa phương, luận án nghiên cứu các bất biến tô pô của kỳ dị đường cong phẳng sau: thương cực và số mũ Łojasiewicz gradient. Trong trường hợp toàn cục, luận án nghiên cứu sự tồn tại, ổn định của cận sai số Holder, ¨ bất đẳng thức Łojasiewicz toàn cục trong mối liên hệ với các giá trị Fedoryuk đặc biệt. Bên cạnh đó, luận án nghiên cứu sự tồn tại của cận sai số Holder ¨ và bất đẳng thức Łojasiewicz gradient cho hàm định nghĩa được trong các cấu trúc o-tối tiểu. Luận án gồm có bốn chương như sau: Trong Chương 1, chúng tôi nhắc lại một số kiến thức cơ sở về hàm giải tích, Định lý Puiseux, các bất đẳng thức Łojasiewicz, hình học của các cấu trúc o-tối tiểu, tập nửa đại số và một số kết quả trong giải tích biến phân. Trong Chương 2, chúng tôi trình bày khái niệm đa giác Newton tương ứng với một cung và phương pháp trượt để tính các khai triển Newton-Puiseux địa phương. Chúng tôi sử dụng phương pháp này để tính các thương cực và số mũ Łojasiewicz gradient trong trường hợp phức. Từ đó, chúng tôi chứng minh tập các thương cực và số mũ Łojasiewicz là những bất biến tô pô trong trường hợp kỳ dị đường cong phẳng phức không nhất thiết thu gọn. Một số ước lượng hiệu quả về các số mũ Łojasiewicz cũng được đưa ra trong chương này. Trong Chương 3, với f là một đa thức n biến thực, chúng tôi thiết lập một số công thức của tập Λ+ ( f ) là tập các giá trị có tập dưới mức tương ứng có cận sai số Holder ¨ toàn cục thoả mãn. Ngoài ra chúng tôi trình bày đặc trưng của cận sai số Holder ¨ trên tập n ∂f V1 := x∈R : (x) = 0 . ∂xn ii
Chúng tôi khảo sát mối liên hệ giữa tập các giá trị Fedoryuk với ổn định của cận sai số Holder ¨ toàn cục. Từ đó chúng tôi phân loại được toàn bộ các kiểu ổn định của cận sai số Holder ¨ toàn cục theo tập các giá trị Fedoryuk. Chúng tôi chứng minh rằng nếu tập các giá trị Fedoryuk là hữu hạn thì tập Λ+ ( f ) khác rỗng. Từ đó suy ra, trong trường hợp hai biến, tập Λ+ ( f ) luôn khác rỗng. Chúng tôi đưa ra một ví dụ đặc biệt về một đa thức mà không tồn tại một giá trị nào mà tập dưới mức tương ứng nhận cận sai số Holder ¨ toàn cục với tập các giá trị Fedoryuk là vô hạn. Ngoài ra, chúng tôi thiết lập quy trình tính toán tập Λ+ ( f ) bằng khai triển Newton-Puiseux tại vô hạn của đường cong đại số. Bên cạnh đó, chúng tôi tính một số ví dụ minh hoạ cho một số kiểu ổn định đã được phân loại. Về bất đẳng thức Łojasiewicz toàn cục, chúng tôi xác định công thức tường minh của tập Λ( f ), là tập các giá trị t mà thớ tại đó nhận bất đẳng thức Łojasiewicz toàn cục. Chúng tôi chú ý đến các giá trị biên của tập Λ( f ), chúng là các giá trị Fedoryuk đặc biệt. Hơn nữa, chúng tôi chỉ ra một số ví dụ về tập Λ( f ) này. Điển hình là ví dụ về đa thức hai biến mà không có giá trị t nào để f −1 (t) có bất đẳng thức Łojasiewicz toàn cục, nói cách khác Λ( f ) = ∅. Trong Chương 4, chúng tôi đưa ra tiêu chuẩn tồn tại của cận sai số Holder ¨ cho các hàm định nghĩa được, liên tục trong các cấu trúc o-tối tiểu và mối liên hệ của cận sai số Holder ¨ với điều kiện Palais-Smale. Và sau cùng, chúng tôi nghiên cứu bất đẳng thức Łojasiewicz gradient cạnh thớ trong trường hợp hàm định nghĩa được, liên tục trong các cấu trúc o-tối tiểu. iii
ABSTRACT The thesis studies Łojasiewicz inequalities, they are Łojasiewicz gradient in- equality for investigating the topology of function germs in the local case and the existence for classical Łojasiewicz inequality in the global case. Explicitly, in the local case, the thesis investigates topological invariants of plane curve singu- larities: Polar quotients and Łojasiewicz gradient exponents. In the global case, the thesis studies the existence, stability of global Holderian ¨ error bounds and global Łojasiewicz inequality in the relationship with Fedoryuk values. Besides, we study the existence of global Holderian ¨ error bounds and Łojasiewicz gradi- ent inequality for definable functions in o-minimal structures. The thesis consists of four chapters: In Chapter 1, we recall some basic results on analytic functions, Puiseux’s the- orem, Łojasiewicz inequalities, geometry of o-minimal structures, semi-algebraic sets, variational analysis and required properties. In Chapter 2, we recall the Newton polygon relative to an arc and use sliding method to compute local Newton-Puiseux expansions. We use sliding method to compute polar quotients and Łojasiewicz gradient exponent in the complex case. Consequently, we prove that the set of polar quotients and Łojasiewicz gra- dient exponent are both topological invariants for plane curve singularities (not necessarily reduced). In Chapter 3, firstly, assume that f is a real polynomial in n variables, we give some formulas for Λ+ ( f ) which is the set of values t such that its sub-level set admits a global Holderian ¨ error bound. Moreover, we give a characterization of global Holderian ¨ error bound on the set n ∂f V1 := x ∈ R : (x) = 0 . ∂xn Next, we investigate the relationship between the set of Fedoryuk values and sta- bility of global Holderian ¨ error bounds. We prove that if the Fedoryuk set is finite, iv
then Λ+ ( f ) is non-empty set. This implies that, in the case of two variables, the set Λ+ ( f ) is always non-empty set. We give a special example of a polynomial, where the Fedoryuk set is infinite and there do not exist any value such that its sub-level set admits a Holderian ¨ error bound. Moreover, we classify all of the types of stability of global Holderian ¨ error bounds. Moreover, we give a proce- dure for computing of Λ+ ( f ) by using Newton-Puiseux expansions at infinity of algebraic curves. Besides, we compute an explicit example to illustrate some types of stability. About global Łojasiewicz inequality, we give some explicit formulas for Λ( f ) which is the set of value t such that its fibre f −1 (t) admits global Łojasiewicz inequality. We notice the values of boundary of the set Λ( f ), they are special Fedoryuk values. Moreover, we point out some interesting examples about it. Specially, we give a polynomial in two variables satisfies: There is no value t such that f −1 (t) admits the global Łojasiewicz inequality, i.e. Λ( f ) = ∅. In Chapter 4, we give a criterion for the existence of global Holderian ¨ error bounds for definable functions in o-minimal structures and the its relation to Palais-Smale condition. In conclusion, we study Łojasiewicz gradient inequality near the fiber for continuous, definable functions in o-minimal structures. v
LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của tôi được hoàn thành dưới sự hướng dẫn của PGS. TSKH. Hà Huy Vui. Các kết quả viết chung với các tác giả khác đã được sự nhất trí của các đồng tác giả trước khi đưa vào luận án. Các kết quả được nêu trong luận án là trung thực và chưa từng được ai công bố trong bất kỳ công trình nào khác. Hà Nội, tháng 12 năm 2021 Tác giả luận án Hoàng Phi Dũng vi
LỜI CẢM ƠN Luận án này được hoàn thành tại Viện Toán học dưới sự hướng dẫn của thầy tôi, PGS. TSKH. Hà Huy Vui. Thầy đã dành rất nhiều công sức và sự kiên nhẫn để dẫn tôi từng bước vào Hình học đại số thực và Lý thuyết Kỳ dị, giúp tôi làm quen với các bất đẳng thức Łojasiewicz, khai triển Puiseux của đường cong đại số, kỳ dị tại vô hạn cùng với cách làm toán và cách tư duy hình học. Bên cạnh đó, Thầy đã đặt bài toán và gợi ý liên tục cho tôi trong quá trình làm việc chung với Thầy. Thầy đã dìu dắt tôi một quá trình dài từ thời đại học, cao học và nghiên cứu sinh. Được làm việc dưới sự hướng dẫn của Thầy là một may mắn lớn của đời tôi, để tôi có thể hiểu một cách nghiêm túc về việc học. Tác giả xin được bày tỏ lòng biết ơn và kính trọng sâu sắc của mình đến Thầy Hà Huy Vui. Tác giả xin trân trọng cảm ơn PGS. TS. Phạm Tiến Sơn và TS. Nguyễn Hồng Đức về những thảo luận, góp ý cùng giúp đỡ quý báu. Trong quá trình học tập, hai anh đã giúp tôi hiểu về kỳ dị đường cong phẳng, cấu trúc o-tối tiểu và khái niệm đa giác Newton tương ứng với một cung. Hơn nữa, các anh còn là đồng tác giả trong một công trình chung của luận án. Tác giả cũng trân trọng cảm ơn Viện Toán học, Trung tâm Đào tạo sau đại học, các phòng chức năng của Viện Toán học đã cho tác giả một môi trường học tập và nghiên cứu lý tưởng để có thể hoàn thành luận án này. Tác giả xin trân trọng cảm ơn phòng Hình học tô pô đã tạo điều kiện thuận lợi để tác giả được tham gia các sinh hoạt khoa học và hội thảo thường niên của phòng từ 2010 đến nay. Trong suốt quá trình học tập, tác giả cũng đã nhận được sự giúp đỡ và động viên của các anh Đinh Sĩ Tiệp, Nguyễn Tất Thắng, Vũ Thế Khôi, Trần Giang Nam, Lê Quý Thường, Trần Nam Trung, Đỗ Trọng Hoàng, Đoàn Thái Sơn, Hồ Minh Toàn, Phạm Hùng Quý và chị Nguyễn Thị Thảo. Tác giả xin chân thành cám ơn. Ngoài ra, tác giả xin cảm ơn một số nghiên cứu sinh như các anh Hùng, Tâm, vii
Kiên, Quyết, Bình,... đã và đang học tập và nghiên cứu tại Viện Toán học về những trao đổi, chia sẻ trong quá trình học tại Viện Toán học. Tác giả xin chân thành cám ơn Ban Giám đốc, Ban chủ nhiệm Khoa Cơ bản 1 và các đồng nghiệp của Học viện Công nghệ Bưu chính Viễn thông đã tạo điều kiện thuận lợi để tác giả vừa hoàn thành việc học tập, vừa đảm bảo công việc giảng dạy của mình. Cuối cùng, tác giả xin được bày tỏ lòng biết ơn tới hai người mẹ và các anh chị em trong gia đình đã luôn động viên, kiên nhẫn, chờ đợi kết quả học tập. Đặc biệt là người vợ Thanh Nga và con gái Thảo Nguyên, những người đã luôn hy sinh rất nhiều, luôn lo lắng, mong mỏi tôi tiến bộ từng ngày. Luận án này tôi xin được dành tặng cho những người mà tôi yêu thương và xin tưởng nhớ đến người Cha quá cố của mình. viii
MỤC LỤC Các ký hiệu xi Mở đầu 1 Chương 1. Một số kiến thức chuẩn bị 6 1.1 Các bất đẳng thức Łojasiewicz và Định lý Puiseux . . . . . . . . . . 6 1.1.1 Hàm giải tích nhiều biến . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.1.2 Các bất đẳng thức Łojasiewicz . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.1.3 Định lý Puiseux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.2 Một vài kết quả trong cấu trúc o-tối tiểu và hình học nửa đại số . . 11 1.3 Một số kết quả trong giải tích biến phân . . . . . . . . . . . . . . . . 15 Chương 2. Bất biến tô pô của kỳ dị đường cong phẳng: Các thương cực và số mũ Łojasiewicz gradient 17 2.1 Đa giác Newton tương ứng với một cung . . . . . . . . . . . . . . . 18 2.2 Tính bất biến tô pô của thương cực . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 2.3 Các số mũ Łojasiewicz gradient và một vài ước lượng hiệu quả . . 26 2.3.1 Số mũ Łojasiewicz gradient của mầm hàm giải tích phức . . 27 2.3.2 Số mũ Łojasiewicz gradient của mầm hàm giải tích thực . . 32 2.3.3 Ước lượng hiệu quả các số mũ Łojasiewicz . . . . . . . . . . 35 Chương 3. Sự tồn tại và ổn định của cận sai số Holder, ¨ bất đẳng thức Łojasiewicz toàn cục và các giá trị Fedoryuk đặc biệt 39 3.1 Cận sai số Holder ¨ toàn cục của tập dưới mức . . . . . . . . . . . . . 42 3.2 Mối liên hệ giữa các giá trị Fedoryuk với sự tồn tại của các cận sai số Holder ¨ toàn cục . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 3.3 Các kiểu ổn định của các cận sai số Holder ¨ toàn cục . . . . . . . . . 57 3.3.1 Trường hợp tập Fedoryuk là tập rỗng . . . . . . . . . . . . . 58 3.3.2 Trường hợp tập Fedoryuk là một tập hữu hạn và khác rỗng 59 3.3.3 Trường hợp tập Fedoryuk là một tập vô hạn . . . . . . . . . 61 ix
3.4 Tập Λ+ ( f ) trong trường hợp đa thức hai biến thực . . . . . . . . . . 61 3.4.1 Tính toán tập Λ+ ( f ) trong trường hợp hàm hai biến . . . . . 61 3.4.2 Ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66 3.5 Bất đẳng thức Łojasiewicz toàn cục cho hàm đa thức n biến thực . . 69 3.5.1 Tập các giá trị mà thớ tại đó thoả mãn bất đẳng thức Łojasiewicz toàn cục . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70 3.5.2 Một số ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72 Chương 4. Cận sai số Holder ¨ toàn cục và bất đẳng thức Łojasiewicz gradi- ent trong các cấu trúc o-tối tiểu 77 4.1 Cận sai số Holder ¨ toàn cục cho hàm định nghĩa được . . . . . . . . 78 4.1.1 Các bất đẳng thức kiểu Łojasiewicz gần tập và xa tập . . . . 79 4.1.2 Tiêu chuẩn tồn tại cận sai số Holder ¨ toàn cục . . . . . . . . . 82 4.1.3 Mối liên hệ giữa điều kiện Palais-Smale với sự tồn tại của cận sai số Holder ¨ toàn cục . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84 4.2 Bất đẳng thức Łojasiewicz gradient cạnh thớ . . . . . . . . . . . . . 86 Kết luận và kiến nghị 90 Danh mục công trình khoa học của tác giả liên quan đến luận án 91 Tài liệu tham khảo 93 x
CÁC KÝ HIỆU R tập các số thực R+ tập các số thực không âm C tập các số phức N tập các số tự nhiên RN không gian Euclide N −chiều CN không gian phức N −chiều kxk chuẩn của véc tơ x ∅ tập rỗng x∈A phần tử x thuộc tập A x∈ /A phần tử x không thuộc tập A A ⊂ B( B ⊃ A) tập A là con của tập B A*B tập A không là con của tập B A∩B giao của hai tập A và B A∪B hợp của hai tập A và B A\B hiệu của tập A và tập B A×B tích Descartes của hai tập A và B BX ( x, ρ) hình cầu đóng tâm x với bán kính ρ trong X ∂BX ( x, ρ) biên của hình cầu tâm x bán kính ρ trong X BR hình cầu đóng tâm O với bán kính R trong Rn dist( x, S) khoảng cách từ x tới tập S ∇f gradient của hàm f { xn } dãy véc tơ xn xn → x dãy { xn } hội tụ tới x sup f cận trên đúng của f inf f cận dưới đúng của f ∂ˆ f ( x ) dưới vi phân Frechet của hàm f tại x ∂ f (x) dưới vi phân giới hạn của hàm f tại x xi
m f (x) độ dốc không trơn của hàm f |∇ f |( x ) độ dốc mạnh của hàm f α := (α1 , α2 , ..., α N ) một đa chỉ số đơn thức cấp |α| := ∑iN=1 αi α α x α := x1 1 x2α2 ...x NN ∂ toán tử vi phân theo biến x j ∂x j A := B A được định nghĩa bằng B A⇔B A tương đương với B ∃x tồn tại x ∀x với mọi x 2 kết thúc chứng minh L( f ) số mũ Łojasiewicz gradient của f L e( f ) số mũ Łojasiewicz của f P( f , φ ) đa giác Newton tương ứng với cung φ của f Q( f ) tập các thương cực của f ord(γ) cấp tăng tại gốc của chuỗi γ v( ϕ) cấp tăng tại vô hạn của chuỗi ϕ deg( f ) bậc của đa thức f Λ+ ( f ) tập các giá trị t sao cho tập dưới mức có một cận sai số Holder ¨ toàn cục Λ( f ) tập các giá trị t sao cho f −1 (t) có bất đẳng thức Łojasiewicz toàn cục e∞ ( f ) K tập các giá trị Fedoryuk của f B∞ ( f ) tập các giá trị rẽ nhánh tại vô hạn của f xii
MỞ ĐẦU Vào năm 1950, L. Schwartz đã đề xuất giả thuyết về chia phân bố như sau: Cho trước một phân bố T trong một tập mở Ω ⊂ Rn và một hàm đa thức ϕ. Khi đó luôn tồn tại một phân bố S trong Ω sao cho T = ϕS. Các bất đẳng thức Łojasiewicz ra đời nhằm giải quyết giả thuyết trên (xem [39, 62]). Hơn nữa, chúng còn có những mối liên hệ và ứng dụng trong các lĩnh vực khác nhau của toán học. Chẳng hạn, trong đại số giao hoán, hình học đại số và giải tích, những nghiên cứu kỳ dị địa phương của của hàm giải tích (xem [80, 81]), sự liên hệ với giả thuyết bội của Zariski (xem [76]), chứng minh giả thuyết gradient của Thom (xem [53]) và ứng dụng của một số phiên bản vô hạn chiều trong các phương trình đạo hàm riêng (xem [9, 41]). Luận án của chúng tôi quan tâm đến các bất đẳng thức Łojasiewicz sau đây: Cho f : Kn → K (K là trường C hoặc R) là một hàm giải tích với f (0) = 0. Khi đó bất đẳng thức Łojasiewicz gradient (xem [63, Mục 18, Mệnh đề 1]) khẳng định: • Tồn tại C > 0, ρ ∈ (0, 1) và một lân cận U của 0 ∈ Kn sao cho k∇ f ( x )k ≥ C | f ( x )|ρ với mọi x ∈ U. (1) • Cận dưới đúng của các số mũ ρ thỏa mãn bất đẳng thức trên được gọi là số mũ Łojasiewicz gradient của f (tại gốc) và được ký hiệu là L( f ). Đặt V := { x ∈ Kn | f ( x ) = 0} và K là một tập con compact của Kn . Khi đó bất đẳng thức Łojasiewicz cổ điển (xem [63, Mục 18, Định lý 2]) khẳng định rằng: • Tồn tại c > 0, α > 0 sao cho | f ( x )| ≥ c dist( x, V )α với mọi x ∈ K, (2) 1
trong đó dist( x, V ) là khoảng cách từ điểm x tới tập V. • Cận dưới đúng của các số mũ α thoả mãn bất đẳng thức trên được gọi là số mũ Łojasiewicz của f và được ký hiệu là L e ( f ). Các bất đẳng thức trên so sánh các cấp tăng của chuẩn gradient với giá trị của hàm và hàm khoảng cách với giá trị của hàm trong các lân cận đủ bé. Vì vậy, nếu U, K là các tập không bị chặn thì các bất đẳng thức có thể không còn đúng (xem Ví dụ 4.2.1 và [16, Nhận xét 3.5]). Với bất đẳng thức Łojasiewicz cổ điển (2), trường hợp K = Rn , Hormander ¨ (xem [40, Bổ đề 2]) đã thay vế trái bởi một đại lượng lớn hơn | f ( x )| và ông đã thu được bất đẳng thức sau ∃c, α, β > 0 sao cho | f ( x )|(1 + | x | β ) ≥ c dist( x, V )α , ∀ x ∈ Rn . Khoảng 10 năm trước đây, các tác giả Hà Huy Vui và Nguyễn Hồng Đức trong [31] và Đinh Sĩ Tiệp, Hà Huy Vui, Nguyễn Thị Thảo trong [16] đã thay tập V bởi các tập đại số lớn hơn và đã thu được các bất đẳng thức Łojasiewicz trong một số trường hợp không compact và toàn cục. Các tác giả đã đề xuất dạng sau đây của bất đẳng thức Łojasiewicz toàn cục (xem [16] và [31]): ∃c, α, β > 0 sao cho | f ( x )|α + | f ( x )| β ≥ c dist( x, V ), ∀ x ∈ Rn . Bất đẳng thức toàn cục trên nói chung không phải bao giờ cũng tồn tại. Luận án này nghiên cứu về các bất đẳng thức Łojasiewicz gradient và bất đẳng thức Łojasiewicz toàn cục nêu trên, cụ thể là khảo sát các số mũ Łojasiewicz trong trường hợp địa phương và sự tồn tại cũng như ổn định của bất đẳng thức trong trường hợp toàn cục. Thông qua đó, những tính chất tô pô địa phương trong trường hợp phức và tại vô hạn trong trường hợp thực đã được phát hiện. Cụ thể, chúng tôi nghiên cứu những nội dung sau trong luận án: 1. Số mũ Łojasiewicz gradient và tập các thương cực trong trường hợp kỳ dị đường cong phẳng (không nhất thiết thu gọn) Một trong những mục đích chính của chúng tôi đó là chứng minh rằng trong trường hợp kỳ dị đường cong phẳng phức (không nhất thiết thu gọn) thì tập các 2
thương cực (xem [27, 81]) ∂f Q( f ) := ord f (γ(y), y) | γ là các nghiệm Newton-Puiseux của =0 ∂x nhưng không là nghiệm của f = 0 và số mũ Łojasiewicz gradient L( f ) là các bất biến tô pô. Cụ thể, chúng tôi sẽ chứng minh rằng tập các thương cực của kỳ dị đường cong phẳng có thể được tính toán từ các khai triển Newton–Puiseux của chính nó trong trường hợp kỳ dị không cần thu gọn (Định lý 2.2.4). Khi đó, sử dụng một kết quả của Parusinski ´ [73], chúng tôi thu được tính bất biến tô pô của tập các thương cực (Định lý 2.2.6). Hơn nữa, chúng tôi chứng tỏ rằng số mũ Łojasiewicz gradient L( f ) đạt được trên đường cực và có thể được suy từ thương cực trong trường hợp kỳ dị đường cong phẳng phức không nhất thiết thu gọn. Hệ quả là, số mũ Łojasiewicz gradient của các kỳ dị đường cong phẳng phức là một bất biến tô pô (Hệ quả 2.3.4). Trong trường hợp thực, chúng tôi cũng tính toán cụ thể số mũ Łojasiewicz gradient (Định lý 2.3.5). Chúng tôi sử dụng đa giác Newton tương ứng với một cung và phương pháp trượt (xem [30, 50]) để chứng minh các kết quả nói trên. Về ứng dụng của những kết quả trên, chúng tôi đưa ra các ước lượng hiệu quả của các số mũ Łojasiewicz của bất đẳng thức gradient và cả bất đẳng thức cổ điển theo bậc của hàm đa thức (Định lý 2.3.10). Các ước lượng đó tốt hơn một số ước lượng trước đó [13, 26, 47, 52, 74]. 2. Sự tồn tại và ổn định của cận sai số Holder ¨ toàn cục, bất đẳng thức Łojasiewicz toàn cục và mối liên hệ với các giá trị Fedoryuk đặc biệt Chúng tôi quan tâm đến cận sai số Holder ¨ toàn cục cho các hàm đa thức n biến thực. Trước hết, chúng tôi đưa ra các công thức tính tập Λ+ ( f ) bao gồm tất cả các giá trị t sao cho tập dưới mức tại t nhận một cận sai số Holder ¨ toàn cục. Từ các công thức đó, chúng tôi chỉ ra rằng tập Λ+ ( f ) có thể được xác định tường minh thông qua một số các giá trị đặc biệt của tập các giá trị Fedoryuk của f : e∞ ( f ) := {t ∈ R : ∃{ x k } ⊂ Rn , k x k k → ∞, k∇ f ( x k )k → 0, f ( x k ) → t}. K Cụ thể hơn, các giá trị đặc biệt đó gồm các giá trị ngưỡng và các giá trị biên 1 (xem Định nghĩa 3.1.3). Tập K của tập F+ e∞ ( f ) đóng vai trò quan trọng trong lý 3
thuyết kỳ dị [12, 19, 29, 50, 54, 71]. Từ đó, bằng việc khảo sát mối quan hệ giữa hai tập Λ+ ( f ) và K e∞ ( f ), chúng tôi đạt được những kết quả sau: e∞ ( f ) là tập hữu hạn, thì Λ+ ( f ) là khác rỗng (Định lý 3.2.7). Nói riêng, • Nếu K Λ+ ( f ) luôn là tập khác rỗng trong trường hợp đa thức 2 biến (Hệ quả 3.2.8); e∞ ( f ) là vô hạn và Λ+ ( f ) là một tập rỗng (Ví • Tồn tại một đa thức f với tập K dụ 3.2.9); • Mô tả tường minh công thức của tập Λ+ ( f ) (Định lý 3.1.4), đây là một tập con nửa đại số của R, từ đó, tất cả các kiểu ổn định của cận sai số Holder ¨ với nhiễu giá trị t có thể được phân loại đầy đủ (Định lý 3.3.4). Các kết quả nói trên dẫn đến bài toán sau: Tính tập Λ+ ( f ). Trong trường hợp hai biến, chúng tôi đưa ra lời giải hoàn chỉnh cho bài toán này. Cụ thể, với f là một đa thức 2 biến thực bất kỳ thì tập Λ+ ( f ) có thể được tính toán tường minh và theo một quy trình bằng cách sử dụng các khai triển Newton-Puiseux tại vô hạn của f ( x, y) = 0 (xem Mục 3.4.1 và 3.4.2). Từ việc nghiên cứu sự tồn tại của cận sai số Holder ¨ toàn cục mà thực chất là bất đẳng thức Łojasiewicz toàn cục một phía (Định lý 3.1.4), chúng tôi tiếp tục khảo sát tập Λ( f ) (Định lý 3.5.4), là tập các giá trị t sao cho thớ f −1 (t) có bất đẳng thức Łojasiewicz toàn cục. Chúng tôi chú ý đến các giá trị biên của tập Λ( f ) này, chúng là những giá trị Fedoryuk đặc biệt mà khi t chạy qua đó thì tính chất có (hay không có) của bất đẳng thức Łojasiewicz sẽ thay đổi. Chúng tôi chỉ ra một số ví dụ cụ thể về tập Λ( f ), một vài ví dụ trong số đó là thú vị, chẳng hạn Ví dụ 3.5.11 về một đa thức hai biến mà không tồn tại thớ f −1 (t) nào thoả mãn bất đẳng thức Łojasiewicz toàn cục. Ngoài ra, chúng tôi mở rộng một số kết quả trong bài báo của Hà Huy Vui [32] về tiêu chuẩn cho sự tồn tại cận sai số Holder ¨ toàn cục, đồng thời khảo sát bất đẳng thức Łojasiewicz gradient cạnh thớ cho các hàm định nghĩa được trong các cấu trúc o-tối tiểu. Theo như chúng tôi được biết, cùng với công trình của Tạ Lê Lợi [61], Đinh Sĩ Tiệp, Hà Huy Vui và Phạm Tiến Sơn [18] thì đây là một trong những kết quả đầu tiên về cận sai số Holder ¨ toàn cục cho lớp hàm định nghĩa 4
được, thuộc một hướng nghiên cứu gần đây của Tối ưu hoá, đó là Tối ưu hoá của các hàm thuần (tame optimization [6, 42]). Luận án có bố cục như sau: • Trong Chương 1, chúng tôi nhắc lại một số kiến thức cơ sở về hàm giải tích, các bất đẳng thức Łojasiewicz, Định lý Puiseux, hình học của các cấu trúc o-tối tiểu, tập nửa đại số và một số kết quả trong giải tích biến phân. • Trong Chương 2, Mục 2.1 trình bày phương pháp trượt để tính các khai triển Newton–Puiseux địa phương. Mục 2.2 trình bày kết quả về thương cực. Chúng tôi tính toán thương cực và số mũ Łojasiewicz gradient trong trường hợp phức và thực bằng phương pháp trượt trong các Mục 2.3.1 và 2.3.2. Một số ước lượng hiệu quả về các số mũ Łojasiewicz thuộc về Mục 2.3.3. • Trong Chương 3, Mục 3.1, chúng tôi trình bày đặc trưng của cận sai số Holder ¨ trên tập V1 và các công thức của tập Λ+ ( f ). Mục 3.2 chúng tôi khảo sát mối liên hệ giữa tập các giá trị Fedoryuk với tập Λ+ ( f ), kết quả chính ở mục này là Định lý 3.2.7, hệ quả và Ví dụ 3.2.9. Mục 3.3 trình bày về sự ổn định của cận sai số Holder ¨ toàn cục. Mục 3.4 dành cho trường hợp đa thức 2 biến. Quy trình tính toán tập Λ+ ( f ) nằm trong Mục 3.4.1 và Mục 3.4.2. Trong Mục 3.5, ở Mục 3.5.1 chúng tôi trình bày về bất đẳng thức Łojasiewicz toàn cục và công thức của Λ( f ). Mục 3.5.2 dành cho việc trình bày một loạt các ví dụ minh hoạ mà ví dụ điển hình là Ví dụ 3.5.11 và 3.5.13. • Trong Chương 4, Mục 4.1.2 trình bày tiêu chuẩn tồn tại của cận sai số Holder ¨ cho các hàm định nghĩa được, liên tục trong các cấu trúc o-tối tiểu. Mục 4.1.3 đưa ra mối liên hệ của cận sai số Holder ¨ với điều kiện Palais-Smale. Và cuối cùng, Mục 4.2 đề cập đến bất đẳng thức với độ dốc không trơn trong trường hợp cạnh thớ của bất đẳng thức Łojasiewicz gradient. 5
Chương 1 MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Trong chương này, chúng tôi giới thiệu một số kiến thức cơ sở cần dùng cho các chương sau. Các kết quả được chọn trình bày xoay quanh các bất đẳng thức Łojasiewicz, Định lý Puiseux, cấu trúc o-tối tiểu, tập nửa đại số và một số kết quả trong giải tích biến phân. 1.1 Các bất đẳng thức Łojasiewicz và Định lý Puiseux 1.1.1 Hàm giải tích nhiều biến Với x = ( x1 , . . . , xn ) ∈ Cn (hay Rn ), ta ký hiệu x α = x1 1 . . . xnαn . Đặt α | x | = max{| xi | : xi ∈ C, 1 ≤ i ≤ n}, 1 k x k = (| x1 |2 + · · · + | xn |2 ) 2 . Định nghĩa 1.1.1. Cho D là một tập con mở trong Cn (hay Rn ). Một hàm giá trị phức (hay thực) f xác định trên D được gọi là một hàm giải tích phức (hay giải tích thực) trên D nếu với mỗi điểm w ∈ D, tồn tại một lân cận U ⊂ D, w ∈ U sao cho hàm f biểu diễn được qua chuỗi lũy thừa ∞ f (x) = ∑ aν ( x − w)ν , |ν|=0 trong đó chuỗi này hội tụ với mọi x ∈ U. Để nghiên cứu về hàm giải tích phức trong lân cận của một không điểm, người ta thường dùng Định lý chuẩn bị Weierstrass. Trước hết, ta nêu định nghĩa về hàm giải tích chính quy cấp k theo một biến nào đó. 6
Định nghĩa 1.1.2. Một hàm giải tích phức f trong một tập mở chứa gốc tọa độ được gọi là chính quy cấp k theo x1 nếu f ( x1 , 0, . . . , 0) có cấp tăng bằng k tại x1 = 0. Định lý 1.1.3 (Định lý chuẩn bị Weierstrass). Nếu f là hàm giải tích chính quy cấp k theo x1 thì f có thể phân tích dưới dạng f ( x1 , . . . , xn ) = u( x1 , . . . , xn )( x1k + a1 ( x2 , . . . , xn ) x1k−1 + · · · + ak ( x2 , . . . , xn )), trong đó các a j là các hàm giải tích thỏa mãn a j (0, . . . , 0) = 0 và u là một hàm giải tích, khả nghịch trong lân cận gốc tọa độ và thỏa mãn u(0, . . . , 0) 6= 0. Vì u không triệt tiêu trong một lân cận của 0 ∈ Cn nên tập các không điểm của f trùng với tập các không điểm của đa thức x1k + a1 ( x2 , . . . , xn ) x1k−1 + · · · + ak ( x2 , . . . , xn ). Đa thức này được gọi là đa thức Weierstrass. Vậy bằng Định lý chuẩn bị Weier- strass, ta đưa việc nghiên cứu địa phương tại không điểm của một hàm giải tích bất kỳ về việc nghiên cứu địa phương tại không điểm của đa thức Weierstrass tương ứng của hàm đó. 1.1.2 Các bất đẳng thức Łojasiewicz Các bất đẳng thức Łojasiewicz thể hiện các tính chất hình học địa phương trong một lân cận của không điểm của hàm giải tích. Bất đẳng thức Łojasiewicz dạng tổng quát so sánh cấp tăng giữa hai hàm giải tích được phát biểu như sau (xem [4, 5, 20, 63]): Cho K là một tập con compact của Kn và f , g : K → K là hai hàm giải tích thoả mãn f −1 (0) ⊂ g−1 (0). Khi đó, tồn tại c, α > 0 sao cho | f ( x )| ≥ c| g( x )|α , ∀ x ∈ K. (1.1) Bất đẳng thức trên đây là tổng quát hoá của các bất đẳng thức sau, xin nhắc lại hai bất đẳng thức trong mục mở đầu: Cho f : Kn → K (K là trường C hoặc R) là một hàm giải tích với f (0) = 0. Khi đó bất đẳng thức Łojasiewicz gradient (xem [63, Mệnh đề 1]) khẳng định: 7