Luận án Tiến sĩ Toán học: Tính hầu tuần hoàn, hầu tự đồng hình và dáng điệu tiệm cận của một số luồng thủy khí trên toàn trục thời gian

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:106

Thêm vào BST

Báo xấu

13
lượt xem 2
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Luận án Tiến sĩ Toán học "Tính hầu tuần hoàn, hầu tự đồng hình và dáng điệu tiệm cận của một số luồng thủy khí trên toàn trục thời gian" trình bày các nội dung chính sau: Sự tồn tại và tính ổn định của một số lớp nghiệm của phương trình tiến hóa trên không gian nội suy; Một số lớp nghiệm của phương trình Navier-Stokes trên không gian Lorentz có trọng Muckenhoupt; Một số lớp nghiệm của phương trình Boussinesq trong miền không bị chặn.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Luận án Tiến sĩ Toán học: Tính hầu tuần hoàn, hầu tự đồng hình và dáng điệu tiệm cận của một số luồng thủy khí trên toàn trục thời gian

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA HÀ NỘI LÊ THẾ SẮC TÍNH HẦU TUẦN HOÀN, HẦU TỰ ĐỒNG HÌNH VÀ DÁNG ĐIỆU TIỆM CẬN CỦA MỘT SỐ LUỒNG THỦY KHÍ TRÊN TOÀN TRỤC THỜI GIAN LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC Hà Nội - 2022
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA HÀ NỘI LÊ THẾ SẮC TÍNH HẦU TUẦN HOÀN, HẦU TỰ ĐỒNG HÌNH VÀ DÁNG ĐIỆU TIỆM CẬN CỦA MỘT SỐ LUỒNG THỦY KHÍ TRÊN TOÀN TRỤC THỜI GIAN Ngành : Toán học Mã số : 9460101 LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS. TSKH. Nguyễn Thiệu Huy Hà Nội - 2022
LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan các kết quả nghiên cứu trong luận án Tính hầu tuần hoàn, hầu tự đồng hình và dáng điệu tiệm cận của một số luồng thủy khí trên toàn trục thời gian là công trình nghiên cứu của tôi, hoàn thành dưới sự hướng dẫn của PGS.TSKH. Nguyễn Thiệu Huy. Các kết quả trong luận án là hoàn toàn trung thực và chưa từng được tác giả khác công bố trong bất kỳ một công trình nghiên cứu nào. Các nguồn tài liệu tham khảo được trích dẫn đầy đủ theo đúng quy định. Hà Nội, ngày 08 tháng 01 năm 2022 Người hướng dẫn Nghiên cứu sinh PGS. TSKH. Nguyễn Thiệu Huy Lê Thế Sắc i
LỜI CẢM ƠN Luận án này được thực hiện tại Trường Đại học Bách khoa Hà Nội dưới sự hướng dẫn của PGS.TSKH. Nguyễn Thiệu Huy. Thầy không chỉ là một nhà khoa học mà còn là một người vô cùng mẫu mực trong công việc cũng như trong cuộc sống. Thầy đã tận tình chỉ bảo, hướng dẫn giúp tôi hoàn thành luận án. Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn đặc biệt sâu sắc tới thầy. Tôi cũng xin gửi lời cảm ơn sâu sắc tới TS. Phạm Trường Xuân, người đã hướng dẫn, đồng hành và tận tình giúp đỡ tôi trong suốt quá trình nghiên cứu và hoàn thành luận án. Trong suốt thời gian làm nghiên cứu sinh tại Trường Đại học Bách Khoa Hà Nội, tôi đã nhận được nhiều tình cảm cũng như sự giúp đỡ của các thầy cô trong bộ môn Toán Cơ bản, các thầy cô trong Viện Toán Ứng dụng và Tin học. Đặc biệt, tôi đã nhận được những đóng góp, chia sẻ, động viên của các thành viên trong nhóm seminar “Dáng điệu tiệm cận nghiệm của phương trình vi phân và ứng dụng” tại Trường Đại học Bách Khoa Hà Nội do PGS.TSKH. Nguyễn Thiệu Huy điều hành. Tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành đến các thầy cô và các thành viên trong nhóm seminar. Nhân dịp này, tôi cũng bày tỏ sự cảm ơn chân thành tới Ban Giám hiệu, các Phòng, Ban liên quan, Khoa Công nghệ thông tin và Bộ môn Toán học thuộc trường Đại học Thủy lợi đã tạo điều kiện thuận lợi cho tôi học tập và nghiên cứu. Cuối cùng, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn đến gia đình và toàn thể bạn bè đã luôn khuyến khích, động viên chia sẻ những khó khăn trong cuộc sống, giúp tôi vững tâm học tập và nghiên cứu. Nghiên cứu sinh ii
MỤC LỤC MỘT SỐ KÍ HIỆU DÙNG TRONG LUẬN ÁN 1 MỞ ĐẦU 3 1. Tổng quan về hướng nghiên cứu và lý do chọn đề tài . . . . . . . . 3 2. Mục đích, đối tượng và phạm vi nghiên cứu . . . . . . . . . . . . . 8 3. Phương pháp nghiên cứu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 4. Kết quả của luận án . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 5. Cấu trúc của luận án . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 Chương 1. KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 13 1.1 Nửa nhóm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 1.1.1 Nửa nhóm liên tục mạnh . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 1.1.2 Nửa nhóm giải tích . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 1.2 Không gian hàm, không gian nội suy và một số lớp hàm . . . . 16 1.2.1 Không gian nội suy thực . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1.2.2 Không gian Lorentz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 1.2.3 Không gian Lorentz với trọng Muckenhoupt . . . . . . . 21 1.2.4 Không gian Besov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 1.2.5 Hàm hầu tuần hoàn, hầu tự đồng hình . . . . . . . . . . 23 1.2.6 Hàm tựa hầu tuần hoàn, tựa hầu tự đồng hình có trọng . 27 Chương 2. SỰ TỒN TẠI VÀ TÍNH ỔN ĐỊNH CỦA MỘT SỐ LỚP NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH TIẾN HÓA TRÊN KHÔNG GIAN NỘI SUY 30 2.1 Tính chất nghiệm của phương trình tuyến tính . . . . . . . . . 31 2.1.1 Nghiệm hầu tuần hoàn, hầu tự đồng hình . . . . . . . . 31 2.1.2 Nghiệm tựa hầu tuần hoàn, tựa hầu tự đồng hình có trọng 37 2.2 Tính chất nghiệm của phương trình tiến hóa nửa tuyến tính . . 40 2.2.1 Sự tồn tại của một số lớp nghiệm . . . . . . . . . . . . . 40 2.2.2 Tính ổn định nghiệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 iii
2.3 Một số ứng dụng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 2.3.1 Phương trình Navier-Stokes trên miền ngoại vi . . . . . . 47 2.3.2 Dòng Navier-Stokes dọc theo vật cản vừa xoay vừa tịnh tiến 48 2.3.3 Phương trình Navier-Stokes trong miền có lỗ thủng . . . 50 2.3.4 Phương trình Navier-Stokes trong không gian Besov . . . 52 Chương 3. MỘT SỐ LỚP NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH NAVIER- STOKES TRÊN KHÔNG GIAN LORENTZ CÓ TRỌNG MUCKEN- HOUPT 56 3.1 Các đánh giá Lp −Lq giữa các không gian Lorentz có trọng Muck- enhoupt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 3.2 Phương trình tuyến tính trên không gian Lorentz có trọng Muck- enhoupt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 3.3 Phương trình nửa tuyến tính trên không gian Lorentz có trọng Muckenhoupt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62 Chương 4. MỘT SỐ LỚP NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH BOUSSI- NESQ TRONG MIỀN KHÔNG BỊ CHẶN 69 4.1 Dạng ma trận của hệ phương trình Boussinesq và các đánh giá Lp − Lq . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71 4.2 Tính chất nghiệm của phương trình tuyến tính . . . . . . . . . . 72 4.2.1 Nghiệm bị chặn, nghiệm hầu tuần hoàn và hầu tự đồng hình 72 4.2.2 Nghiệm tựa hầu tuần hoàn và tựa hầu tự đồng hình có trọng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79 4.3 Sự tồn tại và tính ổn định nghiệm của phương trình nửa tuyến tính 81 4.3.1 Sự tồn tại . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81 4.3.2 Tính ổn định . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83 KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ 90 1 Những kết quả đã đạt được . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90 2 Đề xuất một số hướng nghiên cứu tiếp theo . . . . . . . . . . . . 90 DANH MỤC CÁC CÔNG TRÌNH ĐÃ CÔNG BỐ CỦA LUẬN ÁN 92 TÀI LIỆU THAM KHẢO 93 iv
MỘT SỐ KÍ HIỆU DÙNG TRONG LUẬN ÁN N : Tập hợp các số tự nhiên. R : Tập hợp các số thực. R+ : Tập hợp các số thực không âm. X : Không gian Banach. L(X) : Không gian các ánh xạ tuyến tính bị chặn trên X. AP (R, X) : Không gian các hàm hầu tuần hoàn từ R → X. AA(R, X) : Không gian các hàm hầu tự đồng hình từ R → X. S p AA(R, X) : Không gian hàm hầu tự đồng hình theo nghĩa Stepanov từ R → X. Rn+ := {x = (x0 , xn ) ∈ Rn : xn > 0}. ( Z 1/p ) Lp (Ω) := u : Ω → X : kukp = ku(x)kp dx < ∞, 1 ≤ p < ∞ . Ω L∞ (Ω) := {u : Ω → X : kuk∞ = ess sup |u(x)| < ∞}. x∈R Z 1/p Lploc (Ω) := u : Ω → X : p ku(x)k dx < ∞} Ω0 với Ω0 ⊂ Ω là tập compact và 1 ≤ p < ∞. W k,p (Ω) := {u ∈ Lp (Ω) : Dα u ∈ Lp (Ω), với |α| ≤ k và 1 ≤ p < ∞}   p1 X với chuẩn kukk,p :=  kDα ukpp  . |α|≤k W k,∞ (Ω) := {u ∈ L∞ (Ω) : Dα u ∈ L∞ (Ω), với |α| ≤ k} với chuẩn kukk,∞ := max kDα uk∞ . |α|≤k C(R, X) := u : R → X liên tục . BC(R, X) := u : R → X liên tục và kuk∞ = sup ku(t)k < ∞ . t∈R ( ) BC(R+ , X) := u : R+ → X liên tục và kuk∞ = sup ku(t)k < ∞ . t∈R+ 1
U := {ρ : R → R+ |ρ khả tích địa phương}.    Zr  U∞ := ρ ∈ U : lim ρ(x)dx = ∞ .  r→∞  −r   Zr  1  P AA0 (R, ρ) := φ ∈ BC(R, X) : lim kφ(s)kX ρ(s)ds = 0 .  r→∞ m(r, ρ)  −r W P AP (R, X) := f ∈ C(R, X) : f = g + φ, với g ∈ AP (R, X) và φ ∈ P AA0 (R, X) . W P AA(R, X) := f ∈ C(R, X) : f = g + φ, với g ∈ AA(R, X) và φ ∈ P AA0 (R, X) . W S p AA(R, X) := f ∈ C(R, X) : f = g + φ, với g ∈ S p AA(R, X) và φ ∈ P AA0 (R, X) . K(t, x) := inf {kx0 kX0 + tkx1 kX1 , x = x0 + x1 , x0 ∈ X0 , x1 ∈ X1 } . (X0 , X1 )θ,q := x ∈ X0 + X1 : kxk(X0 ,X1 )θ,q < ∞, với 0 < θ < 1 và 1 ≤ q < ∞ ∞  1q Z dt với kxk(X0 ,X1 )θ,q :=  [t−θ K(t, x)]q  . t 0 (X0 , X1 )θ,∞ := x ∈ X0 + X1 : kxk(X0 ,X1 )θ,∞ < ∞, với 0 < θ < 1 với kxk(X0 ,X1 )θ,∞ := sup t−θ K(t, x). t∈(0,∞) (X0 , X1 )θ := x ∈ (X0 , X1 )θ,∞ : lim+ t−θ K(t, x) = lim t−θ K(t, x) = 0 . t→0 t→∞ C ∞ (Ω) : Không gian các hàm khả vi cấp vô hạn trên Ω. C0∞ (Ω) : Không gian các hàm khả vi vô hạn với giá compact trong Ω. ∞ C0,σ (Ω) := {v ∈ C0∞ (Ω) : divv = 0 trong Ω}. Lp,q (Ω) := u ∈ L1loc (Ω) : kukp,q < ∞, với 1 < p < ∞ và 1 ≤ q < ∞ ∞ 1/q Z q ds với kukp,q =  sµ({x ∈ Ω : |u(x)| > s})1/p  . s 0 Lpw (Ω) := u ∈ L1loc (Ω) : kukp,∞ < ∞, với 1 < p < ∞ với kukp,∞ = sup sµ({x ∈ Ω : |u(x)| > s})1/p . s>0 2
MỞ ĐẦU 1. Tổng quan về hướng nghiên cứu và lý do chọn đề tài Nghiên cứu nghiệm tuần hoàn, hầu tuần hoàn và sự khái quát của chúng đối với phương trình tiến hóa là một hướng nghiên cứu quan trọng liên quan đến tính chất nghiệm của phương trình tiến hóa theo thời gian. Đối với trường hợp nghiệm tuần hoàn, một số phương pháp thường được sử dụng như nguyên lý Massera [1, 2], nguyên lý điểm bất động của Tikhonov [3] hay hàm Lyapunov [4] được áp dụng cho một số lớp phương trình vi phân cụ thể. Các phương pháp phổ biến nhất cho việc chứng minh sự tồn tại nghiệm tuần hoàn là tính bị chặn của nghiệm và tính compact của ánh xạ Poincaré thông qua các phép nhúng compact [3, 4, 5, 6]. Tuy nhiên, với trường hợp phương trình đạo hàm riêng trong các miền không bị chặn hay các phương trình có nghiệm không bị chặn thì các phép nhúng compact này không còn đúng nữa và do đó sự tồn tại nghiệm bị chặn sẽ khó đạt được. Điều này là do các điều kiện ban đầu phù hợp để đảm bảo tính bị chặn của nghiệm không dễ dàng tìm được. Một phương pháp để giải quyết những khó khăn này là sử dụng nguyên lý dạng Massera, nghĩa là nếu một phương trình vi phân có nghiệm bị chặn thì nó có nghiệm tuần hoàn. Thực tế, việc kết hợp giữa nguyên lý dạng Massera và không gian nội suy đã được sử dụng để chứng minh sự tồn tại nghiệm tuần hoàn của các phương trình cơ học chất lỏng (các dòng thủy khí) và các phương trình truyền nhiệt với hệ số thô, phương trình Ornstein - Uhlenbeck [7, 8]. Trong các công trình này, các hàm tử nội suy được sử dụng kết hợp với phương pháp Ergodic [8]. Đối với trường hợp các dòng thủy khí, sự tồn tại của nghiệm tuần hoàn của phương trình Navier-Stokes và các phương trình dạng Navier-Stokes trở thành hướng nghiên cứu quan trọng. Trong miền bị chặn, Serrin đã sử dụng tính ổn định của nghiệm bị chặn để chỉ ra sự tồn tại nghiệm tuần hoàn của phương trình Navier-Stokes [9]. Sau đó, sự tồn tại, duy nhất, tính ổn định và dáng điệu tiệm cận nghiệm tuần hoàn trên toàn không gian Rn , trên miền không bị chặn trong Rn và trên toàn trục thời gian R được mở rộng nghiên cứu trong 3
các công trình [10, 11, 12, 13]. Bên cạnh đó cũng có một số phương pháp khác được sử dụng rất hữu hiệu. Phương pháp đầu tiên phải kể đến là kỹ thuật “miền xâm lấn” được sử dụng bởi Heywood [14], Prodi [15], Prouse [16] và Yudovich [17] để chứng minh sự tồn tại nghiệm tuần hoàn trên miền không bị chặn. Ngoài ra, bằng cách sử dụng tính chất nội suy của không gian Lp yếu, Yamazaki [18] đã chỉ ra sự tồn tại và tính ổn định nghiệm tuần hoàn trên các miền ngoại vi. Cuối cùng, chúng ta cũng phải kể đến một số kết quả về nghiệm tuần hoàn của phương trình Navier-Stokes trên miền ngoại vi trong một số công trình như [19, 20, 21, 22]. Đối với trường hợp nghiệm hầu tuần hoàn, một số phương pháp được phát triển bởi Bochner, Stepanov, Besicovitch và Weyl thông qua định nghĩa cơ bản được đưa ra bởi H. Bohr [23] vào năm 1925. Lớp hàm hầu tuần hoàn đóng vai trò quan trọng trong việc nghiên cứu nhiều lĩnh vực toán học như: Phương trình vi phân, hệ động lực và giải tích điều hòa. Các kiến thức căn bản về hàm hầu tuần hoàn được trình bày khá đầy đủ trong [24, 25, 26]. Gần đây, nghiệm hầu tuần hoàn trên toàn trục thời gian được mở rộng nghiên cứu cho phương trình của các dòng thủy khí trong miền không bị chặn bởi Nguyễn Thiệu Huy & các cộng sự [27, 28] và Farwig & Tanuichi [29]. Cụ thể trong [28], các tác giả đã phát triển các phương pháp trong [8] để chứng minh nguyên lý dạng Massera và chỉ ra sự tồn tại, duy nhất và tính ổn định nghiệm hầu tuần hoàn cho phương trình Navier-Stokes trên miền ngoại vi, phương trình Navier- Stokes trong không gian Besov và phương trình Navier-Stokes-Oseen trong miền không bị chặn. Trong [27], các tác giả đã xét một lớp phương trình tiến hóa parabolic tổng quát và đưa ra hệ tiên đề cho nửa nhóm liên kết trên các không gian nội suy đảm bảo tính ổn định cấp đa thức, sau đó sử dụng các đánh giá Lp − Lq , các bất đẳng thức đối ngẫu và định lý nội suy tổng quát để chứng minh sự tồn tại, duy nhất của nghiệm hầu tuần hoàn và áp dụng các kết quả này cho các luồng thủy khí. Tiếp theo, tính ổn định cấp đa thức của nghiệm đủ nhỏ cho lớp phương trình tiến hóa parabolic này được chỉ ra trong [30]. Bên cạnh đó, Farwig & Tanuichi đã chứng minh được tính duy nhất toàn cục của nghiệm hầu tuần hoàn cho phương trình Navier-Stokes trong [29]. Khái niệm về hàm hầu tuần hoàn có trọng được giới thiệu đầu tiên bởi Zhang [31] vào năm 1994. Sau đó, Diagana [32] đã đưa ra khái niệm hàm tựa hầu tuần hoàn có trọng vào năm 2008. Trong những năm gần đây, loại hàm này nhận được 4
nhiều sự quan tâm của các nhà toán học. Điều này được thể hiện rõ thông qua rất nhiều công trình nghiên cứu chuyên sâu về nghiệm hầu tuần hoàn có trọng cho các phương trình vi phân và phương trình sai phân (xem [33, 34, 35, 36, 37]). Khái niệm về hàm hầu tự đồng hình lần đầu được giới thiệu bởi Bochner như một sự tổng quát hóa của hàm hầu tuần hoàn trong các công trình nghiên cứu hình học vi phân có liên quan tới các nhóm rời rạc (xem [38, 39]). Trong suốt những năm gần đây, việc nghiên cứu về khái niệm này cũng như sự mở rộng của nó với các loại nghiệm khác nhau của phương trình vi phân và phương trình sai phân nhận được mối quan tâm lớn của các nhà toán học (xem [40, 41, 42, 43]). Sau đó, các nhóm nghiên cứu của N’Guérékata (xem [44]) và của Xiao (xem [45]) đã tổng quát hóa khái niệm hàm hầu tự đồng hình bằng hàm hầu tự đồng hình có trọng và cũng đã thiết lập sự tồn tại, duy nhất của nghiệm hầu tự đồng hình với một lớp các phương trình tiến hóa. Gần đây, Blot & các cộng sự giới thiệu khái niệm hàm tựa hầu tự đồng hình có trọng để khái quát hóa khái niệm hàm tựa hầu tuần hoàn có trọng. Các tác giả cũng đã chứng minh một cách đầy đủ các tính chất quan trọng của hàm tựa hầu tự đồng hình có trọng (xem [46]). Khái niệm về hàm hầu tự đồng hình theo nghĩa Stepanov (xem [47]) được đưa ra bởi Casarino như là một sự khái quát hóa hàm hầu tự đồng hình theo ý tưởng của Stepanov. Tiếp nối sự phát triển đó là sự ra đời của hàm tựa hầu tự đồng hình theo nghĩa Stepanov có trọng được giới thiệu bởi Xia & Fan (xem [48]). Sau đó, nhiều công trình về sự tồn tại, duy nhất nghiệm hầu tự đồng hình theo nghĩa Stepanov và nghiệm tựa hầu tự đồng hình theo nghĩa Stepanov có trọng của các lớp phương trình vi phân cụ thể được công bố (xem [49, 50, 51, 52, 53, 54, 55]). Trong tất cả các công trình này, các tác giả đã giải quyết được trường hợp nửa nhóm liên kết ổn định mũ. Cụ thể, các tác giả đã sử dụng tính ổn định mũ của nửa nhóm để chứng minh nguyên lý dạng Massera cho việc chỉ ra sự tồn tại, duy nhất nghiệm của phương trình tuyến tính và sử dụng nguyên lý điểm bất động để chỉ ra sự tồn tại nghiệm đủ nhỏ cho trường hợp phương trình phi tuyến. Tóm lại, từ lịch sử của quá trình nghiên cứu các loại nghiệm cho phương trình parabolic tổng quát nói chung và phương trình các dòng thủy khí nói riêng, chúng tôi nhận thấy có một số phương pháp chủ đạo như sau: • Đối với một số lớp phương trình tiến hóa cụ thể có thể sử dụng nguyên lý điểm bất động của Tikhonov hay hàm Lyapunov để chỉ ra sự tồn tại nghiệm tuần hoàn. 5
• Đối với phương trình Navier-Stokes trong miền bị chặn có thể sử dụng phương pháp Serrin, nghĩa là dùng tính ổn định để chỉ ra sự tồn tại nghiệm tuần hoàn hoặc phương pháp sử dụng tính bị chặn của nghiệm và tính compact của ánh xạ Poincaré. • Đối với nghiệm tuần hoàn, hầu tuần hoàn và một số lớp nghiệm khác của phương trình tiến hóa parabolic có thể sử dụng phương pháp chứng minh nguyên lý dạng Massera để chỉ ra sự tồn tại các lớp nghiệm này cho phương trình tuyến tính tương ứng, sau đó dùng nguyên lý điểm bất động để chỉ ra sự tồn tại nghiệm đủ nhỏ của phương trình phi tuyến. Trong miền bị chặn, nửa nhóm ổn định mũ có thể chỉ ra tính bị chặn của các nghiệm trong không gian Lp thông thường. Trong miền không bị chặn, nửa nhóm ổn định cấp đa thức cần sử dụng các đánh giá Lp − Lq và các định lý nội suy để chỉ ra tính bị chặn của nghiệm trong các không gian nội suy phù hợp. Từ bối cảnh lịch sử và tầm quan trọng trong việc nghiên cứu về các lớp nghiệm đủ tốt đối với phương trình tiến hóa dạng parabolic trong miền không bị chặn trên các không gian nội suy, chúng tôi sẽ tiếp tục phát triển phương pháp sử dụng lý thuyết nội suy, không gian nội suy, nguyên lý dạng Massera để nghiên cứu các bài toán về sự tồn tại, duy nhất của một số lớp nghiệm đủ tốt định nghĩa trên toàn trục thời gian và tính ổn định của chúng cho các phương trình tiến hóa và hệ phương trình có liên quan. Trong luận án này, chúng tôi sẽ nghiên cứu 3 dạng phương trình sau: • Dạng 1. Xét phương trình tiến hóa tổng quát dạng: u0 (t) + Au(t) = BG(u)(t), t ∈ R, (1) trong đó −A là toán tử sinh của C0 -nửa nhóm (e−tA )t≥0 và B là “toán tử liên kết” giữa các không gian phát sinh trong phương trình. Sau đó, chúng tôi áp dụng (1) vào phương trình các dòng thủy khí với B = Pdiv. Tuy nhiên, trong một số ứng dụng khác của (1) cho các phương trình truyền nhiệt với hệ số thô hoặc phương trình Ornstein-Uhlenbeck thì B = I là toán tử đồng nhất. 6
• Dạng 2. Xét phương trình Navier-Stokes trên nửa không gian Rn+ :     ut + (u · ∇)u − ∆u + ∇π = divF trong R × Rn+ , trong R × Rn+ ,    ∇·u = 0 (2)   u(t, x) = 0 trên R × ∂Rn+ ,  lim u(t, x) = 0 với t ∈ R.    |x|→∞ Áp dụng phép chiếu Helmholtz ta thu được u0 (t) + Au(t) = Pdiv(−u(t) ⊗ u(t) + F (t)), t ∈ R. (3) • Dạng 3. Xét hệ phương trình Boussinesq trong các miền Ω sau: Không gian Rn , nửa không gian Rn+ , miền bị chặn trong Rn (n ≥ 3) hoặc là một miền ngoại vi Ω trong Rn (n ≥ 4) với biên ∂Ω thuộc lớp C 2+µ (µ > 0).    ut + (u · ∇)u − ∆u + ∇p = θg + divF trong R × Ω,    ∇·u = 0 trong R × Ω, (4)    θ t − ∆θ + (u · ∇)θ = divf trong R × Ω,  u(t, x) = θ(t, x) = 0 trên R × ∂Ω,  x trong đó g := G là trường hấp dẫn; f và F là các ten-xơ bậc hai với |x|3 divf là hàm nhiệt độ và divF là hàm ngoại lực. Áp dụng phép chiếu Helmholtz ta thu được  u0 (t) + Au(t) = P(θ(t)g(t)) + Pdiv(−u(t) ⊗ u(t) + F (t)), (5) θ0 (t) + Bθ(t) = div(−θ(t)u(t)) + divf (t). Đối với các phương trình tiến hóa parabolic tổng quát dạng (1), trong công trình [7] của Geissert, Hieber & Nguyễn Thiệu Huy, các tác giả đã đưa ra hệ tiên đề cho nửa nhóm liên kết sau đó chỉ ra sự tồn tại của nghiệm bị chặn của phương trình tuyến tính liên kết và nghiệm đủ nhỏ của (1) với điều kiện ban đầu u(0) = u0 . Sự tồn tại, duy nhất và tính ổn định của nghiệm đủ tốt hầu tuần hoàn trong các không gian nội suy đã được chứng minh trong các công trình gần đây của Nguyễn Thiệu Huy & các cộng sự [27, 30]. Tuy nhiên, sự tồn tại của các nghiệm tựa hầu tuần hoàn có trọng, hầu tự đồng hình, hầu tự đồng hình theo nghĩa Stepanov và tựa hầu tự đồng hình có trọng định nghĩa trên toàn trục thời gian và tính ổn định của chúng cho đến nay vẫn là các vấn đề mở. 7
Đối với phương trình Navier-Stokes trong nửa không gian (2), trong các công trình [56, 57] các tác giả đã chứng minh một số bất đẳng thức Lp − Lq trong trường hợp 1 < p ≤ q < ∞ cho dòng chảy Stokes với các dữ kiện ban đầu trong không gian Lp có trọng. Sau đó, Bae cũng thu được một số kết quả cho trường hợp p = 1, q = ∞ (xem [58]). Sử dụng các đánh giá Lp − Lq này, các tác giả đã chỉ ra được sự tồn tại và duy nhất nghiệm đủ tốt của phương trình Navier-Stokes trong Rn+ . Sau đó, Kobayashi & Kubo (xem [59]) đã thu được một số đánh giá Lp − Lq khác cho không gian Lp có trọng dạng ws (x) = hxisp với 1 0 ≤ s < (n − 1)(1 − ). Gần đây, Kobayashi & Kubo tiếp tục chỉ ra được một p số bất đẳng thức L − Lq cho trọng dạng hx0 is1 hxn isn (xem [60]). Những kết quả p đó giúp Kobayashi & Kubo không chỉ chứng minh được sự tồn tại và duy nhất nghiệm đủ tốt mà còn chỉ ra được dáng điệu tiệm cận nghiệm của phương trình Navier-Stokes khi t → ∞. Tuy nhiên, việc chỉ ra sự tồn tại, duy nhất và tính ổn định của nghiệm đủ tốt hầu tuần hoàn và một số lớp nghiệm khác trên toàn trục thời gian cho phương trình (2) vẫn là bài toán mở. Đối với phương trình Boussinesq trong miền không bị chặn và trên nửa trục thời gian R+ với điều kiện ban đầu u(0, x) = u0 (x) và θ(0, x) = θ0 (x), sự tồn tại của nghiệm yếu và nghiệm đủ tốt của hệ (4) đã được nghiên cứu trong một số công trình gần đây bởi Fife [61], Cannon [62], Hishida [63], Ferreira [64, 65], dáng điệu tiệm cận nghiệm được nghiên cứu bởi Ferreira [66]. Sự tồn tại của nghiệm tuần hoàn được nghiên cứu trong Roa [67] và Nakao [68]. Tuy nhiên, việc nghiên cứu sự tồn tại, duy nhất và tính ổn định của nghiệm hầu tuần hoàn, hầu tự đồng hình và một số lớp nghiệm có trọng khác của phương trình (4) trên toàn trục thời gian đến nay vẫn còn nhiều vấn đề cần nghiên cứu. Từ lịch sử quá trình nghiên cứu và các lý do trên đây dẫn chúng tôi đến việc lựa chọn đề tài: Tính hầu tuần hoàn, hầu tự đồng hình và dáng điệu tiệm cận của một số luồng thủy khí trên toàn trục thời gian. 2. Mục đích, đối tượng và phạm vi nghiên cứu • Mục đích nghiên cứu của luận án: Nghiên cứu sự tồn tại, duy nhất và tính ổn định của nghiệm đủ tốt hầu tuần hoàn, hầu tự đồng hình, hầu tự đồng hình theo nghĩa Stepanov, tựa hầu tuần hoàn có trọng, tựa hầu tự đồng 8
hình có trọng và tựa hầu tự đồng hình theo nghĩa Stepanov có trọng của các phương trình và hệ phương trình tiến hóa (1), (2) và (4) trong các không gian nội suy. • Đối tượng nghiên cứu của luận án: Một số lớp nghiệm của các phương trình tiến hóa tổng quát (1), phương trình Navier-Stokes trên nửa không gian (2) và hệ phương trình Boussinesq (4) trong miền không bị chặn và trên toàn trục thời gian R trong các không gian nội suy như không gian Lorentz, không gian Lorentz có trọng Muckenhoupt, không gian Besov và không gian tích Đề-Các của các không gian Lorentz. • Phạm vi nghiên cứu của luận án: Trong luận án này, chúng tôi nghiên cứu sự tồn tại, duy nhất và tính ổn định của nghiệm đủ tốt hầu tuần hoàn, hầu tự đồng hình, hầu tự đồng hình theo nghĩa Stepanov, tựa hầu tuần hoàn có trọng, tựa hầu tự đồng hình có trọng và tựa hầu tự đồng hình theo nghĩa Stepanov có trọng tương ứng với ba lớp phương trình: - Phương trình tiến hóa parabolic tổng quát có dạng (1) với điều kiện nửa nhóm liên kết ổn định cấp đa thức trong các không gian nội suy tổng quát. Sau đó áp dụng vào các phương trình động lực học thủy khí dạng Navier-Stokes trong miền không bị chặn. - Phương trình Navier-Stokes (2) trên nửa không gian và trong các không gian Lorentz có trọng Muckenhoupt. - Phương trình Boussinesq (4) trên miền không bị chặn trong không gian tích Đề-Các của các không gian Lorentz. 3. Phương pháp nghiên cứu • Sử dụng phép chiếu Helmholtz và dạng ma trận của hệ phương trình để chuyển các phương trình và hệ phương trình cụ thể về dạng tổng quát phục vụ nghiên cứu. • Sử dụng lý thuyết về hàm hầu tuần hoàn, hầu tự đồng hình, các loại hàm có trọng, lý thuyết nửa nhóm giải tích, lý thuyết nội suy, đánh giá Lp − Lq , đánh giá Lp − Lq có trọng, bất đẳng thức đối ngẫu và định lý nội suy tổng 9
quát để chứng minh nguyên lý dạng Massera trong việc nghiên cứu sự tồn tại một số lớp nghiệm của phương trình tuyến tính. • Sử dụng các đánh giá Lp − Lq , đánh giá Lp − Lq có trọng, tính Lipschitz của phần phi tuyến và nguyên lý ánh xạ co để nghiên cứu sự tồn tại và tính ổn định một số lớp nghiệm đủ nhỏ của phương trình nửa tuyến tính. 4. Kết quả của luận án Trong luận án, chúng tôi đã chứng minh được sự tồn tại, duy nhất và tính ổn định cấp đa thức của nghiệm đủ tốt hầu tuần hoàn, hầu tự đồng hình, hầu tự đồng hình theo nghĩa Stepanov, tựa hầu tuần hoàn có trọng, tựa hầu tự đồng hình có trọng và tựa hầu tự đồng hình theo nghĩa Stepanov có trọng cho ba lớp phương trình sau đây: • Phương trình tiến hóa parabolic tổng quát (1) trong các không gian nội suy tổng quát. Sau đó áp dụng vào các phương trình động lực học thủy khí. Các kết quả này nằm trong Chương 2 của luận án và đã mở rộng các kết quả trước đây bằng việc nghiên cứu các lớp nghiệm đủ tốt trên toàn trục thời gian. • Phương trình Navier-Stokes trên nửa không gian (2) trong các không gian Lorentz có trọng Muckenhoupt. Các kết quả này nằm trong Chương 3 của luận án và đã mở rộng một phần kết quả của Chương 2 về phương trình Navier-Stokes. Đặc biệt, khi các trọng Muckenhoupt bằng nhau thì chúng ta thu được kết quả về tính ổn định cấp đa thức như ở Chương 2. • Phương trình Boussinesq trên miền ngoại vi (4) trong không gian tích Đề- Các của các không gian Lorentz. Các kết quả này nằm ở Chương 4 của luận án và đã mở rộng các kết quả ở Chương 2 về phương trình Navier- Stokes trên miền ngoài. Đặc biệt, khi hàm nhiệt độ bằng 0 ta thu được các kết quả như ở Chương 2. Các kết quả của luận án là những đóng góp mới vào lý thuyết định tính của phương trình vi phân nói chung và phương trình tiến hóa dạng parabolic nói riêng về các mặt: sự tồn tại, duy nhất và tính ổn định cấp đa thức của một số lớp nghiệm đủ tốt định nghĩa trên toàn trục thời gian trong trường hợp nửa 10
nhóm liên kết ổn định cấp đa thức. Các kết quả nghiên cứu trong luận án được viết thành 04 bài báo và 01 bản thảo đang gửi đăng được liệt kê ở Danh mục các công trình đã công bố của luận án. Các kết quả này đã được báo cáo tại: • Seminar “Dáng điệu tiệm cận của phương trình vi phân và ứng dụng”, Trường Đại học Bách khoa Hà Nội (2018-2021). • Trường Đông về phương trình tiến hóa và ứng dụng tại VIASM (12/2019). 5. Cấu trúc của luận án Ngoài các phần: Lời cam đoan, Lời cảm ơn, Một số kí hiệu dùng trong luận án, Mở đầu, Kết luận, Tài liệu tham khảo, Danh mục các công trình đã công bố của luận án, luận án được chia thành 4 chương sau: Chương 1. Kiến thức chuẩn bị. Trình bày một số kiến thức chuẩn bị cho luận án. Trước tiên là một số định nghĩa và các tính chất của nửa nhóm liên tục mạnh, nửa nhóm giải tích. Tiếp theo, chúng tôi nhắc lại một cách vắn tắt một số kiến thức căn bản của lý thuyết nội suy: Không gian nội suy, định lý nội suy, không gian Lorentz, không gian Lorentz có trọng Muckenhoupt và không gian Besov. Cuối cùng, chúng tôi trình bày các định nghĩa và một số tính chất của các lớp hàm: Hầu tuần hoàn, hầu tự đồng hình, hầu tự đồng hình theo nghĩa Stepanov và các lớp hàm có trọng. Chương 2. Sự tồn tại và tính ổn định của một số lớp nghiệm của phương trình tiến hóa trên không gian nội suy. Chứng minh sự tồn tại, duy nhất và tính ổn định cấp đa thức của nghiệm hầu tuần hoàn, hầu tự đồng hình và một số lớp nghiệm có trọng của phương trình (1) trong các không gian nội suy tổng quát. Sau đó áp dụng các kết quả tổng quát vào các phương trình động lực học thủy khí: Phương trình Navier-Stokes trong miền ngoại vi, miền có lỗ thủng, dòng Navier-Stokes dọc theo vật cản vừa xoay vừa tịnh tiến và phương trình Navier-Stokes trong không gian Besov. Chương 3. Một số lớp nghiệm của phương trình Navier-Stokes trên không gian Lorentz có trọng Muckenhoupt. Chứng minh sự tồn tại, duy nhất và tính ổn định cấp đa thức của nghiệm hầu tuần hoàn, hầu tự đồng hình và một số lớp nghiệm có trọng trong các không gian Lorentz có trọng Muckenhoupt của phương trình nhận được từ phương trình Navier-Stokes (3) trên nửa không gian Rn+ và trên toàn trục thời gian. 11
Chương 4. Một số lớp nghiệm của phương trình Boussinesq trong miền không bị chặn. Chứng minh sự tồn tại, duy nhất và tính ổn định cấp đa thức của nghiệm hầu tuần hoàn, hầu tự đồng hình và một số lớp nghiệm có trọng trong không gian tích Đề-Các của các không gian nội suy của hệ phương trình nhận được từ hệ Boussinesq (5) trên miền không bị chặn và trên toàn trục thời gian. 12
Chương 1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Trong chương này, chúng tôi trình bày một số kiến thức căn bản được sử dụng cho các chương sau của luận án. Trước tiên, một số định nghĩa và các tính chất của nửa nhóm liên tục mạnh và nửa nhóm giải tích được nhắc lại một cách vắn tắt. Tiếp đó, chúng tôi hệ thống lại một số kiến thức nền tảng của lý thuyết nội suy bao gồm: Không gian nội suy, định lý nội suy, không gian Lorentz, không gian Lorentz có trọng Muckenhoupt và không gian Besov. Trong phần cuối của chương, chúng tôi nêu lại định nghĩa và các tính chất của một số lớp hàm: Hầu tuần hoàn, hầu tự đồng hình, hầu tự đồng hình theo nghĩa Stepanov, tựa hầu tuần hoàn có trọng, tựa hầu tự đồng hình có trọng và tựa hầu tự đồng hình theo nghĩa Stepanov có trọng. 1.1 Nửa nhóm Trong phần này, chúng tôi nhắc lại một số định nghĩa và các tính chất cơ bản của nửa nhóm liên tục mạnh và nửa nhóm giải tích từ tài liệu tham khảo được viết bởi Engel & Nagel (xem [69]). 1.1.1 Nửa nhóm liên tục mạnh Giả sử X là một không gian Banach và L(X) là không gian các ánh xạ tuyến tính bị chặn trên X. Định nghĩa 1.1.1. Họ toán tử (T (t))t≥0 là một nửa nhóm các ánh xạ tuyến tính bị chặn trên X nếu T (t) ∈ L(X) với mọi t ≥ 0 và i) T (0) = I, toán tử đồng nhất trên X; ii) T (t + s) = T (t)T (s), ∀t, s ≥ 0. Nửa nhóm (T (t))t≥0 gọi là nửa nhóm liên tục mạnh (hay C0 -nửa nhóm) nếu lim T (t)x = x, ∀x ∈ X. t→0+ 13
Mệnh đề 1.1.2. Giả sử (T (t))t≥0 là một C0 -nửa nhóm trên không gian Banach X. Khi đó tồn tại các hằng số M ≥ 1 và ω ∈ R sao cho kT (t)k ≤ M eωt , ∀t ≥ 0. Định nghĩa 1.1.3. Giả sử (T (t))t≥0 là một C0 -nửa nhóm trên không gian Banach X. Ta định nghĩa cận tăng trưởng của nó như sau: ω(T ) := inf ω ∈ R : tồn tại Mω ≥ 1 sao cho kT (t)k ≤ Mω eωt , ∀t ≥ 0 . • Nửa nhóm (T (t))t≥0 được gọi là bị chặn nếu tồn tại hằng số C > 0 sao cho sup kT (t)kL(X) ≤ C. t≥0 • Nửa nhóm (T (t))t≥0 được gọi là co nếu sup kT (t)kL(X) ≤ 1. t≥0 • Nửa nhóm (T (t))t≥0 được gọi là ổn định mũ nếu ω(T ) < 0. Định nghĩa 1.1.4. Giả sử (T (t))t≥0 là một C0 -nửa nhóm trên không gian Banach X. Ta định nghĩa toán tử sinh A của nó như sau: T (t)x − x D(A) := x ∈ X : lim+ tồn tại trong X t→0 t và T (t)x − x Ax := lim+ , ∀x ∈ D(A). t→0 t Định lí 1.1.5. Giả sử A là toán tử sinh của nửa nhóm liên tục mạnh (T (t))t≥0 . Khi đó ta có các khẳng định sau: i) A : D(A) ⊆ X → X là một toán tử tuyến tính. ii) Nếu x ∈ D(A) thì T (t)x ∈ D(A) và d T (t)x = T (t)Ax = AT (t)x, ∀t ≥ 0. dt Rt iii) Với mọi t ≥ 0 và x ∈ X ta có T (s)xds ∈ D(A). 0 14