Luận án Tiến sĩ Toán học: Một số mở rộng của lớp môđun giả nội xạ và vành liên quan

ĐẠI HỌC HUẾ<br /> TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM<br /> <br /> PHAN THẾ HẢI<br /> <br /> MỘT SỐ MỞ RỘNG<br /> CỦA LỚP MÔĐUN GIẢ NỘI XẠ<br /> VÀ VÀNH LIÊN QUAN<br /> <br /> Chuyên ngành: ĐẠI SỐ VÀ LÝ THUYẾT SỐ<br /> Mã số:<br /> <br /> 62460104<br /> <br /> LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC<br /> <br /> Người hướng dẫn khoa học 1: GS.TS. LÊ VĂN THUYẾT<br /> Người hướng dẫn khoa học 2: TS. BÀNH ĐỨC DŨNG<br /> <br /> HUẾ - NĂM 2016<br /> <br /> LỜI CAM ĐOAN<br /> Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của tôi được viết riêng<br /> hoặc viết chung với các đồng tác giả. Các kết quả nghiên cứu nêu trong<br /> luận án là trung thực, được các đồng tác giả cho phép sử dụng và chưa từng<br /> được công bố trong bất kỳ công trình nào khác.<br /> PHAN THẾ HẢI<br /> <br /> 2<br /> <br /> LỜI CẢM ƠN<br /> Lời đầu tiên, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến hai người Thầy<br /> hướng dẫn là GS.TS. Lê Văn Thuyết, Đại học Huế và TS. Bành Đức Dũng,<br /> Trường Đại học Sư phạm Kỹ thuật TP. Hồ Chí Minh, những người Thầy rất<br /> nghiêm khắc nhưng mẫu mực, những người luôn tận tình dạy bảo, hướng<br /> dẫn, cổ vũ và động viên tôi trong suốt quá trình học tập và nghiên cứu của<br /> mình.<br /> Tôi xin trân trọng cảm ơn Khoa Toán và Phòng Sau đại học của Trường<br /> Đại học Sư phạm-Đại học Huế; Ban Đào tạo Đại học Huế; Trường Cao đẳng<br /> Sư phạm Bà Rịa-Vũng Tàu đã tạo mọi điều kiện thuận lợi cho tôi được học<br /> tập, nghiên cứu và hoàn thành chương trình nghiên cứu sinh của mình.<br /> Tôi xin cảm ơn Khoa Toán, Trường Đại học công nghệ Gebze, Thổ Nhĩ<br /> Kỳ và Khoa Đại số-Logic Toán thuộc Viện Toán-Cơ Lobachevsky, Trường<br /> Đại học Kazan, Liên bang Nga đã tạo điều kiện thuận lợi cho tôi được sang<br /> thực tập, nghiên cứu trong thời gian từ 20/4/2015 đến 20/6/2015 (tại Thổ<br /> Nhĩ Kỳ) và từ 01/5/2016 đến 06/7/2016 (tại Liên bang Nga).<br /> Tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành tới TS. Trương Công Quỳnh, Trường<br /> Đại học Sư phạm-Đại học Đà Nẵng đã có sự nhiệt tình giúp đỡ và trao đổi<br /> chuyên môn trong quá trình học tập, nghiên cứu cũng như quá trình viết<br /> và chỉnh sửa luận án.<br /> Tôi xin chân thành cảm ơn tất cả bạn bè và các anh chị em nghiên cứu<br /> sinh đã luôn động viên và cổ vũ tôi trong quá trình học tập và nghiên cứu.<br /> Cuối cùng, tôi muốn bày tỏ lòng biết ơn vô hạn đến đại gia đình của tôi<br /> đã đồng cảm và chia sẻ những khó khăn trong suốt thời gian tôi làm nghiên<br /> cứu sinh và hoàn thành luận án. Cảm ơn sự hy sinh của vợ và hai con, chính<br /> họ là chỗ dựa tinh thần vững chắc giúp tôi vượt qua mọi khó khăn để hoàn<br /> thành luận án này.<br /> PHAN THẾ HẢI<br /> 3<br /> <br /> MỤC LỤC<br /> <br /> 1 Kiến thức chuẩn bị<br /> <br /> 16<br /> <br /> 1.1<br /> <br /> Một số kí hiệu và khái niệm cơ bản<br /> <br /> . . . . . . . . . . . . .<br /> <br /> 16<br /> <br /> 1.2<br /> <br /> Môđun nội xạ, xạ ảnh và một số mở rộng của môđun nội xạ<br /> <br /> 19<br /> <br /> 1.3<br /> <br /> Vành Artin, Noether và một số lớp vành quan trọng khác .<br /> <br /> 23<br /> <br /> 1.4<br /> <br /> Môđun nửa đơn và vành Artin nửa đơn . . . . . . . . . . .<br /> <br /> 26<br /> <br /> 2 Môđun giả nội xạ cốt yếu<br /> <br /> 30<br /> <br /> 2.1<br /> <br /> Định nghĩa và ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .<br /> <br /> 30<br /> <br /> 2.2<br /> <br /> Các kết quả liên quan đến môđun giả nội xạ cốt yếu . . . .<br /> <br /> 32<br /> <br /> 3 Môđun ADS tổng quát<br /> <br /> 48<br /> <br /> 3.1<br /> <br /> Định nghĩa và ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .<br /> <br /> 48<br /> <br /> 3.2<br /> <br /> Các kết quả liên quan đến môđun ADS tổng quát . . . . . .<br /> <br /> 50<br /> <br /> 4 Môđun thỏa mãn điều kiện (C)<br /> 4.1<br /> <br /> Môđun thỏa mãn điều kiện (C) . . . . . . . . . . . . . . . .<br /> <br /> 4.2<br /> <br /> 64<br /> <br /> Đặc trưng của một số lớp vành thông qua môđun thỏa mãn<br /> điều kiện (C) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .<br /> <br /> Tài liệu tham khảo<br /> <br /> 64<br /> <br /> 82<br /> 94<br /> <br /> 4<br /> <br /> DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU<br /> KÝ HIỆU<br /> <br /> NGHĨA CỦA KÝ HIỆU<br /> <br /> [1]<br /> <br /> Tài liệu số 1 ở mục "Tài liệu tham khảo"<br /> <br /> N<br /> <br /> Tập hợp các số tự nhiên<br /> <br /> Z<br /> <br /> Vành các số nguyên<br /> <br /> Q, R<br /> <br /> Trường các số hữu tỷ, số thực (tương ứng)<br /> <br /> |X|<br /> <br /> Bản số của tập hợp X<br /> <br /> E(M )<br /> <br /> Bao nội xạ của môđun M<br /> <br /> EndR (M )<br /> <br /> Vành các tự đồng cấu của R-môđun M<br /> <br /> Im(f ), Ker(f )<br /> <br /> Ảnh, hạt nhân của đồng cấu f (tương ứng)<br /> <br /> Mn (R)<br /> <br /> Vành ma trận vuông cấp n lấy các hệ tử trên vành R<br /> <br /> MR (R M )<br /> <br /> M là một R-môđun phải, trái (tương ứng)<br /> <br /> M (I)<br /> <br /> M (tổng trực tiếp của |I| bản sao của môđun M )<br /> i∈I<br /> <br /> MI<br /> <br /> M (tích trực tiếp của |I| bản sao của môđun M )<br /> i∈I<br /> <br /> N ≤M<br /> <br /> N là môđun con của môđun M<br /> <br /> N