Luận án Tiến sĩ Toán học: Bài toán gán phổ nhị phân mũ và tuyến tính hóa cho hệ động lực không Ôtônôm

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:94

Thêm vào BST

Báo xấu

15
lượt xem 5
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Luận án Tiến sĩ Toán học "Bài toán gán phổ nhị phân mũ và tuyến tính hóa cho hệ động lực không Ôtônôm" trình bày các nội dung chính sau: Gán phổ nhị phân mũ cho hệ điều khiển tuyến tính với hệ số phụ thuộc thời gian; Định lý Sternberg về tuyến tính hóa trơn cho hệ phương trình vi phân không ôtônôm.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Luận án Tiến sĩ Toán học: Bài toán gán phổ nhị phân mũ và tuyến tính hóa cho hệ động lực không Ôtônôm

VIỆN HÀN LÂM KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ VIỆT NAM VIỆN TOÁN HỌC LÊ VIẾT CƯỜNG BÀI TOÁN GÁN PHỔ NHỊ PHÂN MŨ VÀ TUYẾN TÍNH HÓA CHO HỆ ĐỘNG LỰC KHÔNG ÔTÔNÔM LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC HÀ NỘI - 2022
VIỆN HÀN LÂM KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ VIỆT NAM VIỆN TOÁN HỌC LÊ VIẾT CƯỜNG BÀI TOÁN GÁN PHỔ NHỊ PHÂN MŨ VÀ TUYẾN TÍNH HÓA CHO HỆ ĐỘNG LỰC KHÔNG ÔTÔNÔM CHUYÊN NGÀNH: PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN VÀ TÍCH PHÂN MÃ SỐ: 9 46 01 03 LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC Cán bộ hướng dẫn khoa học: PGS. TSKH. Đoàn Thái Sơn HÀ NỘI - 2022
i LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi, dưới sự hướng dẫn cán bộ hướng dẫn khoa học. Các kết quả viết chung đã nhận được sự nhất trí của đồng tác giả khi đưa vào luận án. Các kết quả, số liệu trong luận án là trung thực và chưa từng được công bố trên bất kỳ công trình nào khác. Các dữ liệu tham khảo được trích dẫn đầy đủ. NCS. Lê Viết Cường
ii LỜI CẢM ƠN Luận án này được hoàn thiện tại Viện Toán học, Viện Hàn lâm Khoa học và Công nghệ Việt Nam dưới sự hướng dẫn tận tình của PGS. TSKH. Đoàn Thái Sơn. Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành và sâu sắc nhất đến Thầy. Trong suốt quá trình tác giả làm nghiên cứu sinh, thông qua các bài giảng, hội nghị và sinh hoạt học thuật, tác giả luôn nhận được sự quan tâm giúp đỡ cũng như những ý kiến đóng góp quý báu của các thầy cô ở viện Toán học Việt Nam. Tác giả cũng xin chân thành cám ơn Trung tâm Quốc tế Đào tạo và Nghiên cứu Toán học, Viện Toán học đã hỗ trợ kinh phí cho tác giả thông qua đề tài nghiên cứu sinh của trung tâm. Tác giả xin chân thành cảm ơn! Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn đến Lãnh đạo trường Đại học Xây dựng đã tạo điều kiện thuận lợi cho tác giả trong thời gian làm nghiên cứu sinh. Xin chân thành cảm ơn các thầy cô, anh, chị em trong trong phòng Phương trình vi phân và phòng Xác suất thống kê, Viện Toán học và các bạn bè đồng nghiệp đã luôn bên cạnh động viên, giúp đỡ tác giả trong quá trình học tập và nghiên cứu. Luận án này là món quà tinh thần, tác giả xin kính tặng đến gia đình thân yêu của mình với lòng biết ơn, yêu thương và trân trọng.
iii Mục lục Lời cam đoan i Lời cảm ơn ii Mở đầu 1 Bảng kí hiệu 8 1 Kiến thức chuẩn bị 9 1.1 Phổ nhị phân mũ cho phương trình trình vi phân tuyến tính 9 1.2 Phổ nhị phân mũ cho phương trình trình sai phân tuyến tính . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 1.3 Hệ điều khiển tuyến tính với hệ số phụ thuộc thời gian . . 18 1.3.1 Hệ điều khiển tuyến tính liên tục . . . . . . . . . . 18 1.3.2 Hệ điều khiển tuyến tính rời rạc . . . . . . . . . . . 20 2 Gán phổ nhị phân mũ cho hệ điều khiển tuyến tính với hệ số phụ thuộc thời gian 22 2.1 Gán phổ nhị phân mũ cho hệ điều khiển tuyến tính liên tục 23 2.1.1 Đặt bài toán và kết quả . . . . . . . . . . . . . . . 24 2.1.2 Một số kết quả chuẩn bị . . . . . . . . . . . . . . . 25 2.1.3 Chứng minh kết quả . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
iv 2.2 Gán phổ nhị phân mũ cho hệ điều khiển tuyến rời rạc . . . 32 2.2.1 Đặt bài toán và kết quả . . . . . . . . . . . . . . . 32 2.2.2 Một số kết quả chuẩn bị . . . . . . . . . . . . . . . 33 2.2.3 Chứng minh kết quả . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 3 Định lý Sternberg cho phương trình vi phân không ôtônôm 47 3.1 Đặt bài toán và phát biểu Định lý Sternberg cho phương trình vi phân không ôtônôm . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 3.2 Làm phẳng các đa tạp bất biến và loại bỏ thành phần không cộng hưởng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 3.3 Hệ sai phân liên kết . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 3.3.1 Khái niệm hệ sai phân liên kết và một số tính chất 57 3.3.2 C k tương đương của hệ sai phân liên kết . . . . . . 59 k 3.3.3 Hệ sai phân liên kết với hệ thuộc Oflat (A) . . . . . . 63 3.4 Phương pháp đường cho phương trình sai phân . . . . . . 66 3.5 Chứng minh Định lý Sternberg . . . . . . . . . . . . . . . 71 Kết luận 80 Danh mục công trình khoa học của tác giả có liên quan đến luận án 81 Bảng thuật ngữ 82
1 Mở đầu 1. Lịch sử vấn đề và lý do chọn đề tài Trong các thập niên gần đây hệ động lực không ôtônôm, ở đó hệ có các yếu tố ngẫu nhiên hoặc phụ thuộc thời gian, được dùng để mô hình hóa nhiều hiện tượng trong thực tế ở các lĩnh vực khác nhau như sinh học, kinh tế,... (xem [21, 22]). Khi nghiên cứu các hệ này, chúng ta thường quan tâm đến các dáng điệu tiệm cận của nghiệm của hệ. Ở đây, một số khía cạnh quan trọng của lý thuyết định tính hệ động lực không ôtônôm là lý thuyết tuyến tính, lý thuyết ổn định, lý thuyết đa tạp bất biến và tuyến tính hóa, lý thuyết dạng chuẩn tắc và lý thuyết rẽ nhánh (xem [21]). Năm 1978, R. Sacker và G. Sell đã phát triển lý thuyết phổ nhị phân mũ cho phương trình vi phân không ôtônôm hay được gọi là phổ Sacker - Sell (xem [34, 36]). Cho đến nay phổ nhị phân mũ là một trong những công cụ quan trọng trong việc nghiên cứu lý thuyết định tính của phương trình vi phân không ôtônôm. Cụ thể, trong lý thuyết ổn định, nghiệm tầm thường của phương trình phi tuyến là ổn định mũ nếu phổ nhị phân mũ của phương trình tuyến tính tương ứng là âm (xem [7]). Điều kiện tách phổ phù hợp của hệ tuyến tính cũng kéo theo sự tồn tại các đa tạp bất biến trơn của hệ phi tuyến tương ứng (xem [2]). Trong [26], Palmer
2 đã mở rộng định lý tuyến tính hóa Hartman-Grobman cho phương trình vi phân không ôtônôm với điều kiện đủ là 0 không thuộc phổ nhị phân mũ của hệ tuyến tính. Sử dụng cấu trúc của phổ nhị phân mũ và xây dựng các điều kiện cộng hưởng phù hợp, Siegmund xây dựng định lý về dạng chuẩn tắc cho phương trình vi phân không ôtônôm trong [37]. Gần đây dựa trên sự hiểu biết về sự thay đổi của cấu trúc phổ nhị phân mũ vào tham số, các tác giả P¨otzsche và Rasmussen trong [30, 32] xây dựng và phân tích nhiều hiện tượng rẽ nhánh khác nhau cho phương trình vi phân không ôtônôm. Cuối cùng, các phương pháp số để tính toán số mũ nhị phân cũng được phát triển (xem [14, 24]) và các tài liệu tham khảo liên quan. Do sự quan trọng của phổ nhị phân mũ trong lý thuyết định tính phương trình vi phân không ôtônôm nên chúng tôi chọn và nghiên cứu một số khía cạnh liên quan đến phổ nhị phân mũ. Cụ thể, trước hết chúng tôi nghiên cứu bài toán gán phổ nhị phân mũ cho hệ điều khiển tuyến tính không ôtônôm. Ở đây hệ điều khiển tuyến tính không ôtônôm được cho bởi hai dạng sau: Dạng vi phân: x(t) ˙ = A(t)x(t) + B(t)u(t), t ∈ R, với A(t), B(t) là các hàm ma trận liên tục từng khúc và u(t) là hàm điều khiển. Trong trường hợp hàm điều khiển được xây dựng có dạng u(t) = F (t)x(t) , trong đó F (t) là hàm ma trận liên tục từng khúc, chúng ta thu được phương trình vi phân tuyến tính có dạng x(t) ˙ = (A(t) + B(t)F (t))x(t). Một câu hỏi quan trọng được đặt ra là:
3 Câu hỏi 1a: Đối với hệ điều khiển vi phân tuyến tính không ôtônôm liệu ta có thể tìm được hay không một điều khiển phản hồi tuyến tính phù hợp để gán phổ nhị phân mũ cho hệ này? Dạng sai phân: xn+1 = An xn + Bn un , n ∈ Z, với (An ) là dãy ma trận bị chặn và khả nghịch bị chặn, (Bn ) là dãy ma trận bị chặn và (un ) là dãy điều khiển. Trong trường hợp dãy điều khiển được xây dựng có dạng un = Un xn , chúng ta thu được phương trình sai phân tuyến tính xn+1 = (An + Bn Un ) xn . Một câu hỏi quan trọng được đặt ra là: Câu hỏi 1b: Đối với hệ điều khiển sai phân tuyến tính không ôtônôm liệu ta có thể tìm được hay không một điều khiển phản hồi tuyến tính phù hợp để gán phổ nhị phân mũ cho hệ này? Song song với bài toán gán phổ nhị phân mũ chúng tôi nghiên cứu về ứng dụng của phổ nhị phân mũ trong lý thuyết tuyến tính hóa. Nhắc lại rằng, một trong những định lý quan trọng trong lý thuyết tuyến tính hóa là Định lý Hartman Grobman và được mở rộng cho phương trình vi phân không ôtônôm (xem [26]). Nội dung chính của định lý này nói rằng tại xung quanh điểm cân bằng hyperbolic thì dòng sinh bởi phương trình vi phân không ôtônôm sẽ tương đương động lực với một phương trình tuyến tính. Cụ thể, xét phương trình vi phân không ôtônôm x(t) ˙ = A(t)x(t) + f (t, x), t ∈ R, trong đó A(t) là ma trận hàm liên tục và hàm f (t, x) liên tục, bị chặn
4 thỏa mãn f (t, 0) = 0 và ||f (t, x1 ) − f (t, x2 )|| ≤ L||x1 − x2 ||, với mọi t, x, x1 , x2 . Giả sử phương trình tuyến tính x(t) ˙ = A(t)x(t), là hyperbolic (có tính nhị phân mũ), khi đó tồn tại một đồng phôi H(t, x) trong lân cận của điểm cân bằng tầm thường x = 0 sao cho nếu x(t) là một nghiệm bất kì của phương trình trên thì H(t, x(t)) sẽ là nghiệm của phương trình tuyến tính x(t) ˙ = A(t)x(t). Câu hỏi được đặt ra là: Câu hỏi 2: Tính trơn của phép biến đổi H là như thế nào? 2. Mục tiêu nghiên cứu Trong luận án này, chúng tôi tập trung nghiên cứu các chủ điểm sau trong lý thuyết của phương trình vi phân không ôtônôm: (i) Gán phổ nhị phân mũ cho hệ điều khiển tuyến tính với hệ số phụ thuộc thời gian. (ii) Định lý Sternberg về tuyến tính hóa trơn cho hệ phương trình vi phân không ôtônôm. 3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu Với các mục tiêu đặt ra như trên, trong luận án này chúng tôi nghiên cứu các nội dung sau:
5 Nội dung 1. Điều kiện cần và đủ để gán phổ nhị phân mũ cho hệ điều khiển tuyến tính có hệ số phụ thuộc thời gian. Nội dung 2. Xây dựng điều kiện đủ về tách phổ cho tuyến tính hóa trơn của phương trình vi phân không ôtônôm. 4. Phương pháp nghiên cứu Xuất phát từ mục tiêu của đề tài nghiên cứu, các phương pháp nghiên cứu được sử dụng như sau: • Để trả lời cho Câu hỏi 1a và Câu hỏi 1b trước hết chúng tôi sẽ phân tích những cấu trúc phổ nhị phân mũ của hệ phương trình tuyến tính phụ thuộc vào thời gian. Sau đó chúng tôi sẽ đi tìm ra những dạng chuẩn tắc của hệ dưới một phép biến đổi tương đương. Cuối cùng chúng tôi đi tính phổ của các hệ ở dạng chuẩn tắc đó để tìm điều kiện sao cho hệ điều khiển tuyến tính của chúng ta là gán được phổ nhị phân mũ. • Đối với Câu hỏi 2 chúng tôi xây dựng và chứng minh Định lý Stern- berg cho phương trình vi phân không ôtônôm. Để chứng minh định lý này chúng tôi làm phẳng các đa tạp bất biến và loại bỏ các thành phần không cộng hưởng của hệ phi tuyến. Sau đó chúng tôi dùng phương pháp đường mở rộng để chứng minh kết quả. 5. Kết quả của luận án Luận án đã đạt được những kết quả chính sau đây:
6 • Đưa ra điều kiện cần và đủ để hệ điều khiển tuyến tính liên tục là gán được phổ nhị phân mũ. • Đưa ra điều kiện cần và đủ để hệ điều khiển tuyến tính rời rạc là gán được phổ nhị phân mũ. • Đưa ra một phiên bản của Định lý Sternberg về tuyến tính hóa trơn cho phương trình vi phân không ôtônôm. Các kết quả chính của luận án được công bố trong 04 bài báo trên các tạp chí quốc tế có uy tín và đã được báo cáo tại: 1. Xêmina của Phòng Phương trình vi phân, Viện Toán học, Viện Hàn lâm Khoa học và Công nghệ Việt Nam. 2. Đại hội Toán học Việt Nam lần thứ IX (14-18/8/2018), Nha Trang. 3. Hội thảo Tối ưu và tính toán Khoa học lần thứ 18 (20-22/8/2020), Hòa Lạc, Hà Nội. 4. Hội nghị đánh giá kết quả làm việc của nghiên cứu sinh các năm 2017, 2018, 2019, 2020, Viện Toán học, Viện Hàn lâm Khoa học và Công nghệ Việt Nam. 5. Xêmina của Bộ môn Toán, Khoa Công nghệ Thông tin, Trường Đại học Xây dựng. 6. Bố cục của luận án Ngoài phần Mở đầu, Kết luận, Danh mục công trình khoa học của tác giả có liên quan đến luận án và Tài liệu tham khảo, luận án có ba chương.
7 Trong Chương 1, chúng tôi giới thiệu một số kiến thức chuẩn bị, bao gồm định nghĩa và một số kết quả về cấu trúc phổ nhị phân mũ, hệ điều khiển tuyến tính phụ thuộc thời gian dưới dạng vi phân và sai phân, tính điều khiển được đều. Trong Chương 2, chúng tôi nghiên cứu một số vấn đề về bài toán gán phổ nhị phân mũ cho hệ điều khiển phụ thuộc thời gian. Trong chương này chúng tôi đưa ra điều kiện cần và đủ để gán phổ nhị phân mũ cho hệ điều khiển tuyến tính có hệ số phụ thuộc vào thời gian. Trong Chương 3, chúng tôi xây dựng Định lý Sternberg về tuyến tính hóa trơn cho phương trình phân không ôtônôm.
8 Bảng kí hiệu N Tập hợp các số tự nhiên. N∗ Tập hợp các số tự nhiên khác 0. Z Tập hợp các số nguyên. R Tập hợp các số thực. R+ Tập hợp các số thực không âm. R− Tập hợp các số thực không dương. L∞ (J, Rd×d ) Tập tất cả các ma trận hàm nhận giá trị trong Rd×d đo được và bị chặn trên J, với J = R, R+ . L∞ (Z, Rd×s ) Tập hợp các dãy ma trận trong Rd×s bị chặn. LLya (Z, Rd×s ) Tập hợp các dãy ma trận trong Rd×s bị chặn và khả nghịch bị chặn. KCd,m (J) Tập tất cả các ma trận hàm nhận giá trị trong Rd×m bị chặn và liên tục từng khúc trên J. C k (Rd ) {f : Rd → Rd là các hàm C k khả vi}. Diff k (Rd ) {f ∈ C k (Rd ) : f −1 tồn tại và f −1 ∈ C k (Rd )}. Diff k0 (Rd ) {f ∈ Diff k (Rd ) : f (0) = 0}. ΣJED (A) Phổ nhị phân mũ của hệ x˙ = A(t)x trên J.
9 Chương 1 Kiến thức chuẩn bị Trong chương này, chúng tôi giới thiệu khái niệm và cấu trúc phổ nhị phân mũ cho phương trình vi phân tuyến tính (Mục 1.1) và cho phương trình sai phân tuyến tính (Mục 1.2). Mục 1.3 được dành để giới thiệu hệ điều khiển tuyến tính với hệ số phụ thuộc thời gian và các đặc trưng cho tính điều khiển được đều của hệ. 1.1 Phổ nhị phân mũ cho phương trình trình vi phân tuyến tính Xét hệ phương trình vi phân tuyến tính không ôtônôm có dạng: x˙ = A(t)x, t ∈ J, (1.1) trong đó J ở đây có thể là R+ (thời gian một phía dương), R− (thời gian một phía âm) hoặc R (thời gian hai phía) và A : J → Rd×d là ánh xạ đo được và thỏa mãn M := ess sup ||A(t)|| < ∞. t∈J Ta kí hiệu ΦA (., .) : J × J → Rd×d là toán tử tiến hóa của (1.1), tức là ΦA (., s)ξ là nghiệm của bài toán (1.1) với điều kiện ban đầu x(s) = ξ.
10 Trước khi trình bày khái niệm về phổ nhị phân mũ, chúng tôi giới thiệu về khái niệm nhị phân mũ (xem [13]). Định nghĩa 1.1 (Nhị phân mũ). Hệ (1.1) được gọi là có nhị phân mũ trên J nếu tồn tại các hằng số K ≥ 1, α > 0 và một họ các phép chiếu bất biến P : J → Rd×d , t 7→ P (t) tức là P (t)ΦA (t, s) = ΦA (t, s)P (s) với t, s ∈ J, thỏa mãn ||Φ(t, s)P (s)|| ≤ Ke−α(t−s) với t ≥ s, s, t ∈ J, (1.2) và ||Φ(t, s) (I − P (s)) || ≤ Keα(t−s) với t ≤ s, s, t ∈ J. (1.3) Dựa trên khái niệm nhị phân mũ, ta có khái niệm phổ nhị phân mũ như sau (xem [36]). Định nghĩa 1.2 (Phổ nhị phân mũ). Phổ nhị phân mũ của (1.1) trên J là tập . ΣJED (A) = {γ ∈ R : x = (A(t) − γI) x không có nhị phân mũ trên J} và tập dải thức ρ(A) = J\ΣJED (A) là phần bù của phổ ΣJED (A). Chú ý 1.3. Để thuận tiện trong trình bày, ta sử dụng thêm các kí hiệu sau: − ± Σ+ R − R R − R ED (A) := ΣED (A), ΣED (A) := ΣED (A) và ΣED (A) := ΣED (A) ∪ ΣED (A). + + Sau đây chúng ta tính toán phổ nhị phân mũ cụ thể cho phương trình tuyến tính không ôtônôm một chiều.
11 Hệ quả 1.4 (Phổ nhị phân của phương trình tuyến tính phụ thuộc thời gian một chiều). Xét hệ phương trình vi phân tuyến tính ở dạng x˙ = m(t)x, (1.4) trong đó m : J → R là hàm đo được và bị chặn. Khi đó hệ (1.4) có nhị phân mũ khi và chỉ khi một trong hai điều kiện sau thỏa mãn Zt 1 a := lim inf m(τ )dτ > 0, (1.5) t−s→∞ t − s s hoặc Zt 1 b := lim sup m(τ )dτ < 0. (1.6) t−s→∞ t − s s Hơn nữa phổ nhị phân mũ của hệ (1.4) được cho bởi ΣJED (m) = [a, b]. Chứng minh. Toán tử tiến hóa của hệ (1.4) là  t  Z Φm (t, s) = exp  m(τ )dτ  với s, t ∈ J. s (⇒) Giả sử hệ (1.4) có nhị phân mũ với phép chiếu bất biến P : J → R và các hằng số K > 1, α > 0. Do tính bất biến của P nên ta có P (s) ≡ 1 hoặc P (s) ≡ 0. Ta xét sau đây hai trường hợp: Trường hợp P (s) ≡ 1, từ (1.2) ta có  t  Z Φm (t, s) = exp  m(τ )dτ  ≤ Ke−α(t−s) , s do đó Zt 1 log K m(τ )dτ ≤ − α, t−s t−s s với mọi s ≤ t, t, s ∈ J. Lấy giới hạn trên khi t − s → ∞ ta nhận được (1.6). Đối với trường hợp P (s) ≡ 0 bằng cách chứng minh tương tự và sử dụng (1.3) ta cũng nhận được (1.5).
12 (⇐) Giả sử điều kiện (1.5) thỏa mãn. Ta cố định δ > 0 sao cho α − δ > 0, theo định nghĩa của giới hạn dưới tồn tại ∆ > 0 sao cho Zt 1 m(τ )dτ ≥ a − δ, t−s s và   Zt 1 exp  m(τ )dτ  ≥ e(t−s)(a−δ) , t−s s với mọi t − s > ∆, t, s ∈ J. Do m bị chặn nên tồn tại một hằng số K > 0 sao cho   Zt exp  m(τ )dτ  ≥ Ke(t−s)(a−δ) , s với mọi t, s ∈ J, t ≥ s. Điều đó có nghĩa là (1.4) có nhị phân mũ với phép chiếu P (s) ≡ 0. Bằng cách chứng minh tương tự với (1.6) ta suy ra được (1.4) có nhị phân mũ với phép chiếu P (s) ≡ 1. Phổ nhị phân mũ của (1.4) là tập ΣJED (m) = [a, b] được suy ra trực tiếp từ chứng minh trên và định nghĩa của phổ nhị phân mũ (Định nghĩa 1.2). Sau đây chúng tôi giới thiệu định lý về cấu trúc của phổ nhị phân mũ cho hệ phương trình vi phân tuyến tính không ôtônôm và phân hoạch tương ứng. Định lý 1.5 (Định lý phổ nhị phân mũ). Phổ nhị phân mũ ΣJED (A) của hệ (1.1) là hợp của tối đa d đoạn đóng rời nhau, tức là ΣJED (A) = [a1 , b1 ] ∪ [a2 , b2 ] ∪ ... ∪ [aℓ , bℓ ], trong đó a1 ≤ b1 < a2 ≤ b2 ≤ ... < aℓ ≤ bℓ với ℓ ≤ d. Hơn nữa, trong trường hợp J = R ta có phân hoạch Rd thành tổng trực tiếp của các không
13 gian véc tơ con Rd = W1 (s) ⊕ W2 (s) ⊕ ... ⊕ Wℓ (s) sao cho với mọi ε > 0 tồn tại hằng số K > 1 thỏa mãn với mọi ξ ∈ Wi (s) và t ≥ s, t, s ∈ J ta luôn có 1 (t−s)(ai −ϵ) e ≤ ||ΦA (t, s)ξ|| ≤ Ke(t−s)(bi +ϵ) . K Chứng minh. (Xem trong [36, Theorem 3]). Trong phần còn lại của mục này, ta sẽ nhắc lại hai kết quả quan trọng có liên quan đến phổ nhị phân mũ của (1.1). Kết quả đầu tiên là về chéo hóa hệ thành các khối mà mỗi khối sẽ tương ứng với một đoạn phổ. Để phát biểu kết quả này, ta cần khái niệm tương đương giữa hai hệ như sau: Định nghĩa 1.6 (Tương đương tiệm cận1 ). Hai hệ x˙ = M (t)x, y˙ = N (t)y, với M, N ∈ KC n,n (J), được gọi là tương đương tiệm cận nếu tồn tại họ phép biến đổi tuyến tính, khả nghịch và trơn T : J → Rn×n sao cho T, T −1 , T˙ là bị chặn và T˙ (t) = N (t)T (t) − T (t)M (t) với t ∈ J. Phép biến đổi T được gọi là phép biến đổi Lyapunov. Định lý 1.7 (Chéo hóa). Xét hệ (1.1), ta kí hiệu phổ nhị phân mũ của hệ (1.1) là tập ΣJED (A) = [a1 , b1 ] ∪ [a2 , b2 ] ∪ ... ∪ [aℓ , bℓ ], 1 Khái niệm tương đương tiệm cận này được gọi là tương đương động lực (xem [38]).
14 trong đó a1 ≤ b1 < a2 ≤ b2 ≤ ... < aℓ ≤ bℓ với ℓ ≤ d. Khi đó tồn tại một phép biến đổi Lyapunov T sao cho hệ (1.1) và hệ chéo khối   B (t)  1  y˙ =   . ..  y,    Bℓ (t) là tương đương tiệm cận. Hơn nữa ΣJED (B1 ) = [a1 , b1 ], . . . , ΣJED (Bℓ ) = [aℓ , bℓ ]. Chứng minh. (Xem trong [38]). Phần cuối của mục này được dành để trình bầy một số kết quả về phổ nhị phân mũ của hệ chéo khối, hệ tam giác trên. Định lý 1.8 (Phổ nhị phân mũ của hệ tuyến tính có cấu trúc dạng khối tam giác trên). Xét hệ phương trình vi phân có dạng tam giác trên ở dạng khối   X(t) Z(t) x˙ = W (t)x, với W (t) =  , 0 Y (t) trong đó X : R → Rk×k , Y : R → R(d−k)×(d−k) , Z : R → Rk×(d−k) đo được và bị chặn. Khi đó, Σ± ± ED (X) ∪ ΣED (Y ) ⊂ ΣED (W ) ⊂ ΣED (X) ∪ ΣED (Y ). Chứng minh. (Xem trong [8, Section 4]). Từ định lý trên, ta thu được hệ quả sau về phổ nhị phân mũ cho hệ phương trình vi phân tuyến tính dạng tam giác trên. Hệ quả 1.9. Xét hệ phương trình vi phân tuyến tính x˙ = U (t)x, (1.7)