Luận án Tiến sĩ Toán học: Tính toán đối đồng điều và bài toán phân loại đại số Lie, siêu đại số Lie toàn phương

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:130

Thêm vào BST

Báo xấu

37
lượt xem 9
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Luận án Tiến sĩ Toán học "Tính toán đối đồng điều và bài toán phân loại đại số Lie, siêu đại số Lie toàn phương" trình bày các nội dung chính sau: Nghiên cứu bài toán phân loại đại số Lie, đại số Lie toàn phương và siêu đại số Lie toàn phương theo hướng phối hợp hợp lý giữa việc cố định số chiều (khi cần) với việc bổ sung cấu trúc; Mô tả đối đồng điều, tính toán số Betti của một số lớp các đại số Lie, đại số Lie toàn phương và siêu đại số Lie toàn phương.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Luận án Tiến sĩ Toán học: Tính toán đối đồng điều và bài toán phân loại đại số Lie, siêu đại số Lie toàn phương

i LỜI CAM ĐOAN Tên tôi là Cao Trần Tứ Hải, tác giả của luận án tiến sĩ: “Tính toán đối đồng điều và bài toán phân loại đại số Lie, siêu đại số Lie toàn phương” dưới sự hướng dẫn của PGS. TS. Lê Anh Vũ và TS. Dương Minh Thành. Bằng danh dự của mình, tôi xin cam đoan đây là công trình do chính tôi nghiên cứu và thực hiện, không có phần sao chép bất hợp pháp nào từ các công trình nghiên cứu của các tác giả khác. Những kết quả trong luận án này mà không được trích dẫn là những kết quả tôi đã nghiên cứu được. Tất cả những sự giúp đỡ cho việc thực hiện luận án đã được cảm ơn và các thông tin trích dẫn trong luận án đã được ghi rõ nguồn gốc. Người cam đoan Cao Trần Tứ Hải
ii MỤC LỤC LỜI CAM ĐOAN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . i MỤC LỤC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . i DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . v MỞ ĐẦU . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 Chương 0 Một số kiến thức và kết quả cơ bản 12 0.1 Nhóm Lie và đại số Lie - Đối đồng điều của đại số Lie . . . . . . . . . . 12 0.1.1 Nhóm Lie và Đại số Lie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 0.1.2 Các kiểu đại số Lie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 0.1.3 Đối đồng điều của đại số Lie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 0.2 Đại số Lie toàn phương và đối đồng điều . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 0.2.1 Khái niệm đại số Lie toàn phương . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 0.2.2 Tích super-Poisson và tính toán đối đồng điều đại của số Lie toàn phương . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 0.3 Siêu đại số Lie toàn phương và đối đồng điều . . . . . . . . . . . . . . . 19 0.3.1 Khái niệm siêu đại số Lie và siêu đại số Lie toàn phương . . . . 19 0.3.2 Tích super Z × Z2 −Poisson trên siêu đại số ngoài và đối đồng điều của siêu đại số Lie toàn phương . . . . . . . . . . . . . . . 21 Chương 1 Các lớp đại số Lie thực giải được với đại số dẫn xuất số chiều hoặc đối chiều thấp và tính toán đối đồng điều 23 1.1 Phân loại đại số Lie thực giải được với đại số dẫn xuất đối chiều 1 . . . 24 1.1.1 Mở rộng đại số Lie bởi một đạo hàm và đồng dạng tỉ lệ . . . . . 24 1.1.2 Mô tả lớp Lie(n + 1, n) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 1.1.3 Bài toán phân loại Lie(n + 1, n) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 1.2 Bài toán phân loại đại số Lie thực giải được với đại số dẫn xuất đối chiều 2 32
iii 1.2.1 Bài toán wild . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 1.2.2 Mô tả lớp Lie(n + 2, n) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 1.2.3 Bài toán phân loại Lie(n + 2, n) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 1.2.4 Một lớp con đặc biệt của Lie(n + 2, n) . . . . . . . . . . . . . . 38 1.3 Tính toán đối đồng điều của đại số Lie có đại số dẫn xuất thấp chiều hoặc đối chiều thấp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 1.3.1 Số Betti của các lớp đại số Lie giải được có ideal dẫn xuất 1 chiều 46 1.3.2 Số Betti của một lớp đại số Lie Kim cương tổng quát . . . . . . 51 1.4 Kết luận Chương 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 Chương 2 Vài lớp các đại số Lie toàn phương giải được và tính toán đối đồng điều 56 2.1 Mở rộng kép, mở rộng T ∗ và bài toán phân loại đại số Lie toàn phương giải được theo số chiều . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 2.1.1 Mở rộng kép và mở rộng T ∗ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 2.1.2 Phân loại các đại số Lie toàn phương giải được theo số chiều . . 58 2.2 Phân loại các đạo hàm phản xứng của các đại số Lie toàn phương giải được có số chiều ≤ 7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62 2.3 Mô tả đối đồng điều của đại số Lie toàn phương giải được thấp chiều . 66 2.4 Số Betti thứ hai của các đại số Lie toàn phương lũy linh kiểu Jordan . 69 2.4.1 Đại số Lie toàn phương lũy linh kiểu Jordan . . . . . . . . . . . 69 2.4.2 Tính toán số Betti thứ hai của các đại số Lie toàn phương lũy linh kiểu Jordan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70 2.5 Kết luận Chương 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82 Chương 3 Vài lớp các siêu đại số Lie toàn phương giải được và tính toán đối đồng điều 83 3.1 Một số công cụ và phương pháp cần thiết cho bài toán phân loại siêu đại số Lie toàn phương và tính toán đối đồng điều . . . . . . . . . . . . 84 3.1.1 Quỹ đạo phụ hợp của đại số Lie symplectic sp(2n) . . . . . . . . 84
iv 3.1.2 Mở rộng kép và mở rộng kép tổng quát của siêu đại số Lie toàn phương . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88 3.2 Phân loại siêu đại số Lie toàn phương giải được 7 chiều bất khả phân . 91 3.3 Phân loại siêu đại số Lie toàn phương giải được 8 chiều bất khả phân với phần chẵn 6 chiều . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94 3.4 Đối đồng điều thứ nhất và thứ hai của siêu đại số Lie toàn phương cơ bản106 3.5 Kết luận Chương 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111 KẾT LUẬN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112 DANH MỤC CÁC CÔNG TRÌNH ĐÃ CÔNG BỐ CỦA TÁC GIẢ . . . . . . . 115 TÀI LIỆU THAM KHẢO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
v DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU ⊕ : Tổng trực tiếp. ⊗, ∧ : Tích tenxơ và tích ngoài. ad, ad∗ : Biểu diễn phụ hợp và biểu diễn đối phụ hợp. I⊥ : Thành phần trực giao của I. ⊥ ⊕ : Tổng trực tiếp trực giao. End(g) : Không gian các biến đổi tuyến tính của g. C, R : Trường số phức, trường số thực. Tθ∗ (g) : Mở rộng T ∗ . X∗ : Phần tử đối ngẫu của X. Der(g) : Không gian các đạo hàm của g. Dera (g, B) : Không gian các đạo hàm phản xứng của (g, B). adg : Không gian các đạo hàm trong của g. C k (g, V ) : Không gian các ánh xạ k-tuyến tính phản xứng lấy giá trị trên V . δ : Toán tử đối bờ (hay Toán tử vi phân). Z k (g, V ) : Không gian các k -đối chu trình. B k (g, V ) : Không gian các k -đối bờ. H k (g, V ) : Nhóm đối đồng điều thứ k. i ∼ = : Đẳng cấu đẳng cự. g0 : Phần chẵn của siêu đại số Lie g = g0 ⊕ g1 . g1 : Phần lẻ của siêu đại số Lie g = g0 ⊕ g1 . Alt(g0 , C) : Không gian các dạng đa tuyến tính phản xứng trên g0 . Sym(g1 , C) : Không gian các dạng đa tuyến tính đối xứng trên g1 . C(g, C) : Siêu đại số ngoài. {., .} : Tích super-Poisson. I : 3-dạng liên kết.
1 MỞ ĐẦU 1 Tính cấp thiết, ý nghĩa khoa học và thực tiễn của đề tài Lý thuyết nhóm Lie và đại số Lie (gọi chung là lý thuyết Lie) được khởi xướng bởi Sophus Lie, nhà toán học Na Uy từ thập niên 70 của thế kỷ XVIII và được phát triển bởi nhiều nhà toán học trên thế giới trong suốt thế kỷ XIX và đầu thế kỷ XX như Felix Klein, Friedrich Engel, Wilhelm Killing, Elie Cartan, Hermann Weyl, . . . . Ngày nay, lý thuyết Lie đã phát triển đáng kể và có rất nhiều ứng dụng trong khá nhiều lĩnh vực của Toán học, Cơ học, Vật lý cũng như Kinh tế, Tài chính. Lý thuyết Lie không chỉ giải quyết nhiều vấn đề liên quan đến Hình học, Tôpô, Phương trình Vi phân, Cơ học, Vật lý, mà còn kết nối Toán học lý thuyết với thế giới hiện thực, đặc biệt là các vấn đề của Kinh tế xã hội. Chính vì thế, lý thuyết Lie trở thành một trong những lĩnh vực thu hút nhiều sự quan tâm nghiên cứu của giới Toán học thế giới. Cũng chính nhờ tầm ảnh hưởng đó, những bài toán cơ bản của Lý thuyết Lie như là phân loại nhóm Lie và đại số Lie, đại số Lie toàn phương, siêu đại số Lie, siêu đại số Lie toàn phương, . . . cùng những tính toán đối đồng điều trên chúng luôn nhận được sự quan tâm của cộng đồng toán học. Nhóm Lie là một nhóm đồng thời cũng là một đa tạp khả vi, trong đó phép toán nhóm tương thích với cấu trúc khả vi. Trong quá trình nghiên cứu “nhóm các phép biến đổi vô cùng bé” (theo thuật ngữ ban đầu của Lie) của nhóm Lie, đại số Lie ra đời. Trong lý thuyết Lie, một điều khá thú vị là, có một tương ứng 1-1 giữa tập các nhóm Lie liên thông đơn liên và tập hợp các đại số Lie. Do đó, mỗi phép phân loại trên một lớp con nào đó các nhóm Lie liên thông đơn liên đều có một “bản sao phân loại” trên lớp con tương ứng các đại số Lie và ngược lại. Tùy vào từng tình huống cụ thể, ta có thể tiếp cận bài toán trên lớp nhóm Lie hay trên lớp các đại số Lie tương ứng. Trong luận án này, chúng tôi tiếp cận bài toán phân loại trên lớp các đại số Lie. Theo định lý Levi - Malshev, mọi đại số Lie hữu hạn chiều trên một trường có đặc số không đều phân tích được thành tích nửa trực tiếp của một đại số con nửa đơn và một ideal giải được (xem các tài liệu của Levi [103] năm 1905 và Malshev [67] năm
2 1945). Từ đó, bài toán phân loại các đại số Lie tổng quát được quy về phân loại các đại số Lie nửa đơn và đại số Lie giải được. Thật may mắn là bài toán phân loại các đại số Lie nửa đơn đã được giải quyết triệt để bởi Cartan [101] năm 1894 (trên C) và bởi Gantmacher [48] năm 1939 (trên R). Bởi vậy, người ta chỉ còn phải xét bài toán phân loại các đại số Lie giải được. Khác với trường hợp các đại số Lie nửa đơn, việc phân loại lớp các đại số Lie giải được khó khăn hơn nhiều và cho đến nay đó vẫn là một bài toán mở lớn. Các phân loại mới chỉ làm được cho một vài trường hợp riêng trên những lớp con của lớp các đại số Lie giải được. Như ta đã biết, một trong những cách phổ biến để phân loại đại số Lie giải được là phân loại các phần mở rộng giải được của căn lũy linh (nilradical) của nó. Tức là, chúng tôi bắt đầu với đại số Lie lũy linh và sau đó phân loại các đại số Lie giải được nhận đại số Lie lũy linh này là nilradical. Phương pháp này được khởi xướng bởi Mubarakzyanov vào năm 1963 trong các bài báo [71, 72] khi ông phân loại đại số Lie giải được 4 và 5 chiều trên trường có đặc số không. Sử dụng cùng một phương pháp, Mubarakzyanov [73] và Turkowski [94] cũng phân loại xong các đại số Lie giải được 6 chiều. Tiếp theo đó, các kết quả của Shabanskaya và Thompson [86, 91] cũng như Ndogmo và Winternitz [109, 76] cho thấy rằng phương pháp mở rộng này cũng hiệu quả đối với việc phân loại các đại số Lie giải được chiều hữu hạn tùy ý. Nhắc lại rằng, một bài toán phân loại được gọi là wild hay có tính chất wild (tạm dịch là hoang dã hay vô vọng) nếu nó chứa bài toán phân loại các cặp ma trận vuông cấp n (n là một số nguyên dương tùy ý) sai khác một tương đương đồng dạng (xem [31], [32]). Theo Belitskii và Sergeichuk [17, Section 1], việc phân loại triệt để cặp ma trận vuông cấp n (n là một số nguyên dương tùy ý) theo quan hệ đồng dạng là không thể giải quyết được. Nói cách khác, bài toán wild là không thể giải quyết được. Các bài báo [15], [16], [24], [17], [47], [90] cùng nhiều tài liệu tham khảo trong chúng đã dẫn ra hàng loạt bài toán phân loại có tính chất wild. Chẳng hạn, Belitskii và các cộng sự [15, Theorem 4] năm 2009 đã chỉ ra rằng trên trường đóng đại số đặc số khác 2, bài toán phân loại các đại số Lie lũy linh bậc 2 với đại số dẫn xuất 2 chiều có tính chất wild. Bởi thế, bài toán phân loại đại số Lie lũy linh là wild. Vì lớp các đại số Lie giải được chứa lớp các đại số Lie lũy linh nên bài toán phân loại đại số Lie giải được đương
3 nhiên cũng wild. Vì tính phức tạp và tính chất wild của bài toán phân loại đại số Lie giải được, người ta thường tìm cách thu hẹp lớp các đối tượng cần phân loại để dễ kiểm soát hơn đồng thời để tính wild bị phá vỡ. Có ít nhất ba cách tiếp cận để thu hẹp các đối tượng phân loại như thế. Thứ nhất là cách phân loại theo số chiều (tức là cố định số chiều của các đại số Lie cần phân loại). Thứ hai là cách phân loại theo cấu trúc (tức là bổ sung thêm một cấu trúc hay một vài tính chất đặc biệt cho lớp các đại số Lie cần phân loại). Thứ ba chính là phối hợp cả hai cách trên, tức là vừa cố định số chiều vừa bổ sung cấu trúc môt cách hợp lý để phân loại. Về hướng thứ nhất khi phân loại chỉ theo số chiều, đã nhiều thập kỷ qua, dường như người ta không thể vượt qua số chiều 6 vì khối lượng tính toán sẽ trở nên khổng lồ, ngay cả khi được hỗ trợ bởi các phần mềm tính toán chuyên dụng. Sẽ là khả thi hơn khi tiếp cận bài toán phân loại đại số Lie giải được theo hướng thứ hai và thứ ba, tức là bổ sung cấu trúc hoặc phối hợp cả việc cố định số chiều lẫn bổ sung cấu trúc. Trong luận án này, chúng tôi đi theo hướng thứ ba, tức là bổ sung cấu trúc thích hợp đồng thời phối hợp với hướng cố định số chiều một cách hợp lý. Trước hết, chúng tôi xét lớp các đại số Lie giải được với tính chất bổ sung là số chiều hoặc số đối chiều của đại số (hay ideal) dẫn xuất được cố định trước. Cụ thể, ta ký hiệu Lie(n, k) (n, k là các số tự nhiên, 0 < k < n) là lớp các đại số Lie thực giải được n chiều với ideal dẫn xuất k chiều. Vài thập niên gần đây, bài toán phân loại lớp Lie(n, k) với k = 1, 2 đã được các nhà toán học quan tâm nghiên cứu rộng rãi. Năm 1993, lớp Lie(n, 1) đã được phân loại hoàn toàn bởi Sch¨obel trong bài báo [84]. Lớp này chỉ bao gồm các đại số Lie affine thực, đại số Lie Heisenberg thực và các mở rộng tầm thường của chúng bởi các đại số Lie giao hoán. Từ năm 1993 cho đến năm 2010, một lớp con của Lie(n, 2) đã được phân loại trong [84], [42] và [56]. Cho đến đầu năm 2022 này, nhờ dùng công thức để xác định số chiều cực đại của đại số con giao hoán của đại số Lie ma trận của Schur [89] và Jacobson [55], lớp Lie(n, 2) đã đươc liệt kê và phân loại đầy đủ trong [66]. Bài toán phân loại các lớp Lie(n, k) với 3 ≤ k ≤ n − 2 vẫn chưa được giải quyết. Trong luận án này, về bài toán phân loại đại số Lie thực giải được, chúng tôi quan
4 tâm nghiên cứu lớp các đại số Lie thực giải được với đại số dẫn xuất thấp chiều hoặc đối chiều thấp và đã đạt được một số kết quả khả quan. Đầu tiên là kết quả về phân loại triệt để lớp Lie(n + 1, n) các đại số Lie thực giải được n + 1 chiều với đại số dẫn xuất n chiều (tức là đối chiều 1) thông qua đối đồng điều thứ nhất của đại số dẫn xuất này ứng với biểu diễn phụ hợp (Định lý 1.1). Tiếp đến là khẳng định phân loại lớp Lie(n + 2, n) các đại số Lie thực giải được n + 2 chiều với đại số dẫn xuất n chiều (tức là đối chiều 2) là bài toán wild (Định lý 1.2). Sau cùng là kết quả phân loại triệt để một lớp con đặc biệt của lớp Lie(n + 2, n) trong đó tính chất wild bị phá vỡ (Định lý 1.3). Mặt khác, cũng theo hướng cấu trúc, gần đây xuất hiện một đối tượng đại số Lie giải được với cấu trúc bổ sung là một dạng song tuyến tính không suy biến và bất biến đối với tích Lie. Chúng được gọi là các đại số Lie toàn phương (dịch từ thuật ngữ tiếng Anh “quadratic Lie algebras”). Việc xét cấu trúc song tuyến tính bổ sung này được gợi ý từ dạng Killing. Giả sử g là một đại số Lie (trên một trường nào đó). Dạng Killing K trên g được xác định bởi K (X, Y ) = tr (adX ◦ adY ) với mọi X, Y ∈ g. Hiển nhiên dạng Killing K là dạng song tuyến tính, đối xứng trên g và đặc biệt là bất biến đối với tích Lie trên g, tức là K ([X, Y ] , Z) = K (X, [Y, Z]) với mọi X, Y, Z ∈ g. Nếu g nửa đơn, K còn thỏa mãn tính chất không suy biến (Tiêu chuẩn Cartan). Nhờ dạng Killing với các tính chất khá lý thú kể trên, nhiều bài toán liên quan đến đại số Lie nửa đơn đã được giải quyết, chẳng hạn như bài toán phân loại quỹ đạo phụ hợp của các đại số Lie cổ điển o(m) và sp(2n) đã được giải quyết trọn vẹn nhờ tính chất bất biến và không suy biến của dạng Killing (xem [28], Định lý Kostant-Morosov để biết thêm chi tiết). Tuy nhiên rất tiếc, khi g giải được, dạng Killing lại suy biến. Một cách tự nhiên nảy sinh câu hỏi: Tồn tại hay không những đại số Lie giải được mà trên đó xuất hiện một dạng song tuyến tính đối xứng, bất biến và không suy biến. Câu trả lời là khẳng định. Ta xét một ví dụ, được xem là mở đầu cho lớp các đại số Lie toàn phương, đó là đại số Lie Kim cương phức (trên C) g := span {X, P, Q, Z} với tích Lie được cho bởi: [X, P ] := P, [X, Q] := −Q và [P, Q] := Z.
5 Trên g ta định nghĩa một dạng song tuyến tính đối xứng B xác định như sau: B (X, Z) = B (P, Q) := 1, các trường hợp khác bằng không. Dễ thấy B như thế là dạng song tuyến tính, đối xứng, bất biến và không suy biến. Nghĩa là g trở thành một đại số Lie toàn phương với dạng song tuyến tính bất biến B. Một ví dụ khác, có thể xét tích nửa trực tiếp h = g ⊕ g∗ của g với không gian đối ngẫu g∗ bởi biểu diễn đối phụ hợp ad∗ như sau: [X, Y ]h := [X, Y ]g , [X, f ] := ad∗ (X)(f ), [f, g] := 0; X, Y ∈ g; f, g ∈ g∗ . Trên h, ta xét dạng song tuyến tính B xác định như sau: B (X + f, Y + g) := f (Y ) + g(X) với mọi X, Y ∈ g và f, g ∈ g∗ . Khi đó B cũng là một dạng song tuyến tính, đối xứng, bất biến và không suy biến trên h. Như thế là h cũng trở thành một đại số Lie toàn phương với dạng song tuyến tính bất biến B. Chính những ví dụ trên đây đã dẫn đến khái niệm đại số Lie toàn phương (đại số Lie mà trên đó tồn tại một dạng song tuyến tính đối xứng, không suy biến và bất biến). Lớp các đại số Lie toàn phương có thể xem như một lớp tổng quát hóa của lớp các đại số Lie nửa đơn với dạng song tuyến tính đối xứng được khái quát từ dạng Killing. Những câu hỏi xoay quanh các đại số Lie toàn phương đã được đặt ra từ lâu nhưng gần đây mới được các nhà toán học quan tâm nghiên cứu khi xuất hiện nhiều công cụ dành cho chúng ( xem, chẳng hạn [107], [58], [44] và [25]), đặc biệt là sau những phát hiện về mối liên hệ chặt chẽ giữa các đại số Lie toàn phương với một số bài toán thuộc lĩnh vực Vật lý (xem [45], [29] và các tài liệu trích dẫn trong đó). Các đại số Lie toàn phương có thể tổng quát lên cho khái niệm siêu đại số Lie toàn phương (xem [18]). Từ vài thập niên gần đây, bài toán phân loại đại số Lie toàn phương và siêu đại số Lie toàn phương bắt đầu thu hút sự chú ý của nhiều nhà toán học. Gần đây nhất phải kể đến các công trình [14], [62], [29], [37], [20] và [40]. Bởi thế, chúng tôi có cơ sở để tiếp tục nghiên cứu bài toán phân loại có tính thời sự và nhiều ý nghĩa khoa học này.
6 Cũng như mọi lĩnh vực khác của Đại số, Hình học và Tôpô, trong lý thuyết Lie, song song với bài toán phân loại và cũng để hỗ trợ cho bài toán phân loại, người ta thường nghiên cứu vấn đề tính toán các bất biến nói chung, tính toán đồng điều và đối đồng điều nói riêng của các nhóm Lie, đại số Lie, đại số Lie toàn phương hay siêu đại số Lie toàn phương. Cũng giống như bài toán phân loại, tính toán đối đồng điều đã được giải quyết trọn vẹn trên lớp các đại số Lie nửa đơn. Tuy nhiên đối với lớp đại số Lie giải được, số kết quả vẫn khá hạn chế và trong trường hợp tổng quát vẫn còn là vấn đề mở. Bởi thế, việc mô tả đối đồng điều và tính toán các số Betti của một đại số Lie giải được ngày càng được cộng đồng Toán học quan tâm. Có thể kể ra đây một vài công trình điển hình, đó là công trình [83] của Santharoubane năm 1983 về đối đồng điều của đại số Lie Heisenberg h2n+1 , công trình [81] của Pouselee năm 2005 về đối đồng điều của một mở rộng của đại số Lie 1 chiều hZi bởi đại số Lie Heisenberg h2n+1 , công trình [46] của Fuchs và Leites năm 1984 về các nhóm đối đồng điều của các siêu đại số Lie cổ điển với hệ tử tầm thường, công trình [88] của Scheunert và Zhang năm 1998 về các nhóm đối đồng điều của siêu đại số Lie trong trường hợp biểu diễn không tầm thường trên không gian véctơ hữu hạn chiều, công trình [93] của Su và Zhang năm 2007 về đối đồng điều thứ nhất và thứ hai của các siêu đại số Lie cổ điển kết hợp với module bất khả quy hữu hạn chiều và module Kac, công trình [9] của Bai và Liu năm 2017 về các số Betti của siêu đại số Lie Heisenberg, . . . Từ đó, chúng tôi có cơ sở để tiếp tục quan tâm nghiên cứu vấn đề có tính thời sự, nhiều ý nghĩa khoa học là việc mô tả tường minh đối đồng điều của các đại số giải được có đại số dẫn xuất cho trước cũng như một vài lớp đại số Lie giải được, đại số Lie toàn phương và siêu đại số Lie toàn phương. Xuất phát từ những luận cứ khoa học được phân tích ở trên, chúng tôi đặt nhiệm vụ nghiên cứu bài toán phân loại một vài lớp đại số Lie giải được, đại số Lie toàn phương giải được, siêu đại số lie toàn phương giải được đồng thời tính toán đối đồng điều trên một vài lớp trong chúng. Bởi thế, luận án được mang tên: “Tính toán đối đồng điều và bài toán phân loại đại số Lie, siêu đại số Lie toàn phương.”
7 2 Mục đích nghiên cứu Đề tài của luận án nhắm tới hai mục tiêu chính. (1) Thứ nhất là nghiên cứu bài toán phân loại đại số Lie, đại số Lie toàn phương và siêu đại số Lie toàn phương theo hướng phối hợp hợp lý giữa việc cố định số chiều (khi cần) với việc bổ sung cấu trúc. (2) Thứ hai là mô tả đối đồng điều, tính toán số Betti của một số lớp các đại số Lie, đại số Lie toàn phương và siêu đại số Lie toàn phương. 3 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu Như trên đã nêu, đối tượng nghiên cứu của đề tài là bài toán phân loại các đại số Lie, đại số Lie toàn phương, siêu đại số Lie toàn phương và tính toán đối đồng điều của chúng. Đây là một đề tài thuộc lĩnh vực giao thoa giữa Hình học-Tôpô và Đại số, tất nhiên lĩnh vực giao thoa này khá rộng lớn. Để việc nghiên cứu có tính khả thi, chúng tôi giới hạn phạm vi nghiên cứu của đề tài bao gồm các vấn đề cụ thể dưới đây. (1) Các đối tượng nghiên cứu thứ nhất: Nghiên cứu bài toán phân loại đại số Lie, đại số Lie toàn phương và siêu đại số Lie toàn phương theo hướng phối hợp hợp lý giữa việc cố định số chiều (khi cần) với việc bổ sung cấu trúc. Cụ thể luận án sẽ nghiên cứu: (a) Phân loại lớp các các đại số Lie thực giải được n chiều hữu hạn tùy ý với ideal dẫn xuất thứ nhất đối chiều thấp. (b) Phân loại đạo hàm phản xứng của các đại số Lie toàn phương số chiều ≤ 7. (c) Phân loại lớp các siêu đại số Lie toàn phương giải được bất khả phân số chiều 7 và lớp các siêu đại số Lie toàn phương giải được bất khả phân số chiều 8 với phần chẵn 6 chiều. (2) Các đối tượng nghiên cứu thứ hai: Mô tả đối đồng điều, tính toán số Betti của một số họ các đại số Lie, đại số Lie toàn phương và siêu đại số Lie toàn phương. Cụ thể luận án sẽ nghiên cứu: (a) Mô tả trọn vẹn đối đồng điều của tất cả các đại số Lie giải được đã phân loại bằng cách tính toán trực tiếp toán tử vi phân của chúng.
8 (b) Mô tả đối đồng điều của một vài lớp đại số Lie toàn phương bằng cách áp dụng phương pháp mở rộng đại số của Pouseele [81] với những cải tiến thích hợp. (c) Mô tả đối đồng điều của một vài lớp các siêu đại số Lie toàn phương bằng cách dùng tích super-Poisson được giới thiệu trong bài báo [80] hoặc dùng phép mô tả không gian các đạo hàm phản xứng (cho trường hợp đối đồng điều thứ hai). 4 Phương pháp luận và phương pháp nghiên cứu Để thực hiện đề tài, chúng tôi sử dụng phương pháp phân tích, tổng hợp từ những công trình có tính nền tảng và các công trình gần đây về những vấn đề liên quan, học tập các kỹ thuật của các tác giả với những cải tiến thích hợp. Cụ thể, chúng tôi sử dụng, cải tiến các kỹ thuật và phương pháp dưới đây. Phương pháp mở rộng đại số Lie bởi một đạo hàm. Chúng tôi đã cải tiến phương pháp này cho mở rộng đại số Lie bởi một cặp đạo hàm để giải quyết bài toán phân loại đại số Lie có đại số dẫn xuất đối chiều 2. Tính toán đối đồng điều của đại số Lie giải được bằng toán tử vi phân kết hợp công cụ đại số ngoài. Phương pháp mở rộng kép [107] và mở rộng T ∗ [25] đối với bài toán phân loại đại số Lie toàn phương. Khái quát hai công cụ này cho siêu đại số Lie toàn phương, đồng thời nảy sinh thêm công cụ mở rộng kép tổng quát. Mô tả đối đồng điều của đại số Lie bằng phương pháp tính trực tiếp toán tử đối bờ và phương pháp mở rộng đại số của Pouseele [81]. Đối với đại số Lie toàn phương và siêu đại số Lie toàn phương, việc tính toán đối đồng điều còn thông qua phép mô tả không gian các đạo hàm phản xứng (cho trường hợp đối đồng điều thứ hai) và tích super-Poisson được giới thiệu trong bài báo [80]. Một số phương pháp cơ bản khác của Đại số tuyến tính và Hình học vi phân. 5 Nhiệm vụ nghiên cứu và đóng góp mới của đề tài Đề tài được thực hiện thành công, thu được một số kết quả tốt có ý nghĩa khoa học đồng thời đã tạo nên một số đóng góp nhất định cho lý thuyết Lie nói riêng, cho
9 Lĩnh vực Đại số, Hình học và Tôpô nói chung, thể hiện trong các vấn đề được liệt kê dưới đây. (1) Các kết quả của luận án đã góp phần tích cực tấn công bài toán lớn còn mở trong trường hợp tổng quát về phân loại đại số Lie thực giải được. Cụ thể, các kết quả của luận án đã góp phần phân loại triệt để lớp đại số Lie thực giải được với đại số dẫn xuất đối chiều 1. Chỉ ra bài toán phân loại đại số Lie giải được với đại số dẫn xuất đối chiều 2 là bài toán wild, đồng thời phân loại một lớp con đặc biệt của lớp này khi tính chất wild bị phá vỡ. (2) Các kết quả của luận án đã góp phần tích cực vào việc tính toán tường minh đối đồng điều của các đại số Lie thực giải được. Cụ thể, đối đồng điều của tất cả các đại số thuộc lớp đại số Lie giải được với đại số dẫn xuất 1 chiều đã được mô tả đầy đủ. (3) Bằng cách áp dụng phương pháp của Pouseele liên quan đến mở rộng của đại số Lie một chiều bởi đại số Lie Heisenberg, luận án đã tính toán được tường minh toàn bộ các số Betti bk cho một lớp con các đại số Lie thực giải được với đại số dẫn xuất đối chiều 1, đó là lớp các đại số Lie Kim cương tổng quát (xem [107]). (4) Áp dụng phương pháp tính tích super-Poisson trong bài báo [80], luận án đã mô tả các đối đồng điều của tất cả các đại số Lie toàn phương giải được thấp chiều, nhóm đối đồng điều của tích trộn các đại số Lie toàn phương lũy linh kiểu Jordan, đối đồng điều thứ nhất và thứ hai của tất cả các siêu đại số Lie toàn phương cơ bản mà đã được phân loại trong [39]. (5) Nhờ phép mô tả tường minh không gian các đạo hàm phản xứng của các đại số Lie toàn phương giải được thấp chiều, luận án đã tính toán tường minh đối đồng điều thứ hai của chúng. (6) Sử dụng mở rộng kép và mở rộng kép tổng quát kết hợp với một số kết quả phân loại quỹ đạo phụ hợp của đại số Lie symplectic, luận án đã phân loại các đại số Lie toàn phương giải được và siêu đại số Lie toàn phương giải được thấp chiều.
10 6 Bố cục và nội dung luận án Về bố cục và nội dung, luận án bao gồm phần Mở đầu, 4 chương được đánh số thứ tự 0, 1, 2, 3 và phần kết luận. Mở đầu: Giới thiệu đề tài, mục đích, đối tượng và phạm vi nghiên cứu, phương pháp nghiên cứu, ý nghĩa khoa học và thực tiễn của đề tài, bố cục và nội dung của luận án. Chương 0: Vắn tắt những kiến thức chuẩn bị cần thiết cho các chương sau. Chương 1: Trình bày các kết quả nghiên cứu trên một số lớp các đại số Lie giải được với đại số dẫn xuất số chiều hoặc đối chiều thấp và tính toán đối đồng điều. Chương 2: Trình bày các kết quả nghiên cứu trên một số lớp các đại số Lie toàn phương giải được và tính toán đối đồng điều. Chương 3: Trình bày các kết quả nghiên cứu trên một số lớp các siêu đại số Lie toàn phương giải được và tính toán đối đồng điều. Phần kết luận: Tóm tắt cô đọng các kết quả chính của Luận án đồng thời đề xuất những vấn đề mở cần tiếp tục nghiên cứu. 7 Báo cáo hội nghị, hội thảo Các kết quả của luận án đã được báo cáo tại một số Hội nghị Toán học trong nước và quốc tế: Hội nghị nghiên cứu khoa học dành cho HV Cao học và Nghiên cứu sinh của Trường Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh (ĐHSP TP.HCM), 10/2016. Hội nghị quốc gia về Đại số – Hình học – Tôpô tại Thành phố Buôn Ma Thuột, Đắk Lắk, 12/2016. Hội nghị Toán học quốc tế về Đại số – Hình học tại Trường Đại học Mahidol, Bangkok, Thái Lan (ICMA-MU 2017), 5/2017. Hội nghị Toán học và Ứng dụng tại Trường Đại học Bách khoa, Đại học Quốc Gia Thành phố Hồ Chí Minh, 8/2017.
11 Hội nghị khoa học Trường Đại học Khoa học Tự nhiên, Đại học Quốc Gia Thành phố Hồ Chí Minh lần XI, 11/2018. Hội nghị quốc gia về Đại số – Hình học – Tôpô tại Bà Rịa - Vũng Tàu, 12/2019. Mặc dù đã có nhiều cố gắng, song bản luận án khó tránh khỏi những thiếu sót. Tác giả rất mong nhận được những ý kiến đóng góp chân tình, quý báu của các phản biện và các độc giả để tác giả có cơ hội chỉnh lý, sửa chữa và hoàn thiện hơn công trình của mình. Tác giả xin chân thành cám ơn.
12 Chương 0 Một số kiến thức và kết quả cơ bản Chương này dành cho việc giới thiệu khái quát các khái niệm nhóm Lie, đại số Lie, đại số Lie toàn phương, siêu đại số Lie toàn phương và đối đồng điều của chúng đồng thời nêu vắn tắt một số kết quả, tính chất đã biết. 0.1 Nhóm Lie và đại số Lie - Đối đồng điều của đại số Lie 0.1.1 Nhóm Lie và Đại số Lie Định nghĩa 0.1. Nhóm G được gọi là nhóm Lie n-chiều nếu đồng thời là đa tạp khả vi n-chiều sao cho phép toán (x, y) 7→ xy −1 khả vi. Nhóm Lie G được gọi là giao hoán nếu phép toán nhóm giao hoán. Tùy vào cấu trúc đa tạp khả vi thực hay phức mà nhóm Lie cũng được gọi là nhóm Lie thực hoặc phức. Định nghĩa 0.2. Không gian vector n-chiều g được gọi là một đại số Lie n-chiều nếu trên g trang bị thêm tích Lie [·, ·] là một ánh xạ song tuyến tính thỏa mãn các tính chất sau: (i) [X, X] = 0 với mọi X ∈ g. (ii) [[X, Y ], Z]+[[Y, Z], X]+[[Z, X], Y ] = 0 với mọi X, Y, Z ∈ g (Đồng nhất Jacobi). Nếu [·, ·] ≡ 0 thì g được gọi là đại số Lie giao hoán. Tâm của đại số Lie g là tập hợp z(g) = {X ∈ g : [X, Y ] = 0, ∀Y ∈ g}. Theo kết quả cơ bản trong lý thuyết Lie, mỗi nhóm Lie G sẽ xác định duy nhất một đại số Lie Lie(G) được gọi là đại số Lie của nhóm Lie G. Ngược lại, với mỗi đại
13 số Lie g cho trước, luôn tồn tại duy nhất nhóm Lie liên thông, đơn liên G sao cho Lie(G) = g. Định nghĩa 0.3. Cho h là một không gian véctơ con của g. Khi đó, h được gọi là: (i) Đại số con của g nếu [X, Y ] ∈ h, ∀X, Y ∈ h; (ii) Ideal của g nếu [X, Y ] ∈ h, ∀X ∈ g, Y ∈ h. Hiển nhiên, {0} và g là các ideal của g, được gọi là các ideal tầm thường của g. Các ideal khác {0} và g được gọi là các ideal thực sự. Cho g, h là các đại số Lie. Ánh xạ tuyến tính F : g → h được gọi là đồng cấu đại số Lie nếu F ([X, Y ]) = [F (X), F (Y )], ∀X, Y ∈ g. Nếu đồng cấu đại số Lie F là song ánh thì F được gọi là đẳng cấu đại số Lie. Khi đó ta nói g đẳng cấu đại số Lie với h và kí hiệu g ∼ = h. Biến đổi tuyến tính D : g → g được gọi là đạo hàm của g nếu D([X, Y ]) = [D(X), Y ] + [X, D(Y )], ∀X, Y ∈ g. Kí hiệu Der(g) là tập hợp tất cả các đạo hàm của g. Chú ý rằng Der(g) là đại số Lie con của đại số Lie gl(g). Định nghĩa 0.4. Cho h, g là hai đại số Lie và đồng cấu đại số Lie π : h → Der(g). Khi đó tích nửa trực tiếp của h và g là một đại số Lie h ⊕ g với tích Lie được xác định bởi [X + G, Y + H] = [X, Y ]h + [G, H]g + π(X)(H) − π(Y )(G), với mọi X, Y ∈ h, G, H ∈ g. Tích nửa trực tiếp được ký hiệu bởi h ⊕π g. Khi π = 0, tích nửa trực tiếp trở thành tích trực tiếp của hai đại số Lie. 0.1.2 Các kiểu đại số Lie Định nghĩa 0.5. Cho g là một đại số Lie. (i) Dãy g0 = g1 = [g, g] và gk = [gk−1 , gk−1 ], với k > 2 được gọi là dãy các ideal dẫn xuất của g.
14 (ii) Dãy g(1) = [g, g] và g(k) = [g, g(k−1) ], với k > 2 được gọi chuỗi tâm giảm của g. Đại số Lie g được gọi là giải được (hoặc lũy linh) nếu tồn tại m > 1 sao cho gm = 0 (hoặc g(m) = 0). Bổ đề 0.1.1. Cho g là một đại số Lie hữu hạn chiều. 1. Tồn tại duy nhất ideal giải được của g chứa tất cả mọi ideal giải được của g. 2. Tồn tại duy nhất ideal lũy linh của g chứa tất cả mọi ideal lũy linh của g. Ideal giải được lớn nhất được gọi là radical của g và được ký hiệu là rad(g). Ideal lũy linh lớn nhất được gọi là nilradical của g và được ký hiệu là nil(g). Khái niệm radical, nilradical là các công cụ thiết yếu để mô tả đại số Lie. Định nghĩa 0.6. (i) Một đại số Lie được gọi là đơn nếu nó không giao hoán và không có ideal thực sự. (ii) Một đại số Lie được gọi là bất khả phân nếu không thể phân tích thành tích trực tiếp của hai ideal thực sự. Định nghĩa 0.7. Một đại số Lie được gọi là nửa đơn nếu không chứa ideal giải được khác không, nghĩa là rad(g) = 0. Mệnh đề 0.1.1. Một đại số Lie hữu hạn chiều là nửa đơn khi và chỉ khi nó là tích trực tiếp các đại số Lie đơn. Mệnh đề sau đây khẳng định mọi đại số Lie được quy về các đại số Lie nửa đơn và đại số Lie giải được. Mệnh đề 0.1.2 (Định lý Levi – Malcev, xem [103], [67]). Cho g là một đại số Lie hữu hạn chiều trên trường đặc số 0. Nếu g không giải được thì tồn tại đại số Lie con nửa đơn s của g, đồng cấu đại số Lie π : s → Der(rad(g)) sao cho g là tích nửa trực tiếp s ⊕π rad(g). Đại số Lie con nửa đơn s được gọi là đại số con Levi của g và s đẳng cấu với g/rad(g). Nói chung đại số con Levi của một đại số Lie không duy nhất, trong khi radical của một đại số Lie thì duy nhất.
15 0.1.3 Đối đồng điều của đại số Lie Cho g là một đại số Lie, V là một không gian vectơ và ρ : g → End(V ) là một biểu diễn của g trong V . Với k ≥ 0, kí hiệu C k (g, V ) là không gian các ánh xạ k-tuyến tính phản xứng từ g × g × . . . × g vào V nếu k ≥ 1 và C 0 (g, V ) = V . Toán tử đối bờ δk : C k (g, V ) → C k+1 (g, V ) được định nghĩa như sau: k X δk f (X0 , . . . , Xk ) = (−1)i ρ(Xi ) f (X0 , . . . , X b i , . . . , Xk ) i=0 k X + (−1)i+j f [Xi , Xj ] , X0 , . . . , X bi , . . . , X b j , . . . , Xk , i