Luận án Tiến sĩ Toán học: Toán tử tích phân cực đại trên trường địa phương

Chia sẻ: Quỳnh Quỳnh | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:112

Thêm vào BST

Báo xấu

140
lượt xem 18
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Luận án Tiến sĩ Toán học: Toán tử tích phân cực đại trên trường địa phương nghiên cứu các bất đẳng thức trọng chuẩn loại yếu, mạnh, trên các trường địa phương, cho toán tử cực đại Hardy - Littlewood. Các kết quản nghiên cứu chính của luận án nằm ở nội dung chương 2 và chương 3. Mời bạn đọc cùng tham khảo.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Luận án Tiến sĩ Toán học: Toán tử tích phân cực đại trên trường địa phương

ViÖn khoa häc vµ c«ng nghÖ viÖt nam viÖn to¸n häc Hµ Duy H−ng TO¸N Tö TÝCH PH¢N CùC §¹I TR£N TR£N tr−êng §ÞA PH¦¥NG LuËn ¸n tiÕn sÜ to¸n häc 201 Hµ Néi - 2012
ViÖn khoa häc vµ c«ng nghÖ viÖt nam viÖn to¸n häc Hµ Duy H−ng TO¸N Tö TÝCH PH¢N CùC §¹I TR£N tr−êng §ÞA PH¦¥NG Chuyªn ngµnh: Ph−¬ng tr×nh vi ph©n vµ tÝch ph©n M· sè 62 : 62 46 01 05 LuËn ¸n tiÕn sÜ to¸n häc Ng−êi h−íng dÉn khoa häc TSKH KH. GS. TSKH. NguyÔn Minh Ch−¬ng 201 Hµ Néi - 2012
L i cam đoan Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên c u c a tôi. Các k t qu vi t chung v i tác gi khác đã đư c s nh t trí c a đ ng tác gi khi đưa vào lu n án. Các k t qu c a lu n án là m i và chưa t ng đư c ai công b trong b t kỳ công trình nào khác. Tác gi Hà Duy Hưng 1
2 TÓM T T Trong lu n án này, chúng tôi nghiên c u các b t đ ng th c tr ng chu n lo i y u, m nh, trên các trư ng đ a phương, cho toán t c c đ i Hardy- 1 Littlewood M , trong đó M f (x) = sup dγ |f (y)|dy và f ∈ L1 . Các loc γ∈Z q x+Bγ k t qu nghiên c u chính c a lu n án n m chương 2 và chương 3. Trong chương 2, chúng tôi ch ng minh m t s b đ ph quan tr ng trên trư ng đ a phương; xây d ng l i lý thuy t v các hàm tr ng Muckenhoupt A trên trư ng đ a phương và ng d ng vào gi i quy t m t bài toán tr ng n i ti ng v toán t M , đó là: v i đi u ki n nào c a tr ng ω thì M b ch n t L (ω) vào L (ω). Các k t qu đó đư c m r ng cho toán t c c đ i v i giá tr véctơ, t đó nh n đư c các b t đ ng th c tr ng chu n Fefferman-Stein. Chúng tôi đưa ra đư c m t đi u ki n c n và m t đi u ki n đ g n tương đương nhau, cho m t c p hàm tr ng đ có đư c b t đ ng th c ngư c lo i y u cho toán t c c đ i Hardy-Littlewood M ; chúng tôi áp d ng k t qu đó cho l p hàm L log+ L v i tr ng c a Zygmund. Cũng trong chương 2, chúng tôi gi i thi u m t l p toán t tích phân c c đ i m i và ch ng minh đư c m t ư c lư ng lo i y u cho nó. Trong chương 3, chúng tôi gi i quy t m t bài toán tr ng Muckenhoupt trên trư ng đ a phương: tìm đi u ki n c n và đ c a hàm tr ng v đ t n t i m t hàm tr ng u h u h n h u kh p nơi sao cho toán t M là b ch n t L (u) vào L (v).
3 ABSTRACT In this thesis, we investigate the weak and strong types of weighted norm inequalities for the Hardy-Littlewood maximal operator M , in which 1 M f (x) = sup dγ |f (y)|dy, here f ∈ L1 . Our main results are given loc γ∈Z q x+Bγ in chapter 2 and chapter 3. In chapter 2, we prove some necessary covering lemmas on local fields; a theory of Muckenhoupt weights is systematically introduced and we use it to solve a famous problem of characterizing all weight functions ω for which the operator M is bounded from L (ω) to L (ω). Then, we prove the Fefferman-Stein weighted inequalities for vector- valued maximal operator over local fields. We go on to obtain a sufficient and an almost similar necessary condition on a pair of weight functions for which a reverse weak type norm inequality holds for the Hardy-Littlewood maximal operator M ; we apply our result to the weighted Zygmund class L log+ L. Also in this chapter, we prove a weak type estimate for a new maximal integral operator. In chapter 3, we obtain a necessary and sufficient condition on weight functions v such that the Hardy-Littlewood maximal operator M is bounded from L (u) to L (v) for some finite a.e. function u. This characterization answers completely to a local field version of a similar question posed by Muckenhoupt.
L i c m ơn Lu n án đư c th c hi n và hoàn thành t i Vi n Toán h c thu c Vi n Khoa h c và Công ngh Vi t Nam, dư i s hư ng d n t n tình và nghiêm kh c c a GS.TSKH Nguy n Minh Chương. Th y đã hư ng d n và truy n th cho tác gi nh ng kinh nghi m trong h c t p, nghiên c u khoa h c. Tác gi xin bày t lòng bi t ơn chân thành và kính tr ng sâu s c đ i v i Th y. Trong quá trình nghiên c u và hoàn thành lu n án, tác gi luôn nhân đư c s giúp đ , góp ý c a GS.TSKH Hà Huy Khoái, GS.TSKH Nguy n M nh Hùng, PGS.TSKH Nguy n Minh Trí, PGS.TS Hà Ti n Ngo n, TS. Nguy n Văn Ng c, TS. Cung Th Anh. Tác gi xin chân thành c m ơn s quan tâm giúp đ c a các Th y. Tác gi xin chân thành c m ơn các th y, cô giáo cùng các anh ch em nghiên c u sinh, cao h c trong xemina "Toán t gi vi phân, sóng nh trên các trư ng th c, p−adic", xemina c a Phòng Phương trình vi phân đã t o m t môi trư ng h c t p và nghiên c u thu n l i giúp tác gi hoàn thành lu n án này. T i đây tác gi đã nh n đư c nhi u ch d n, góp ý cũng như môi trư ng nghiên c u sôi n i và thân thi n, đi u không th thi u trong 4
5 quá trình nghiên c u, hoàn thành lu n án c a tác gi . Tác gi xin chân thành c m ơn Ban lãnh đ o Vi n Toán h c, Trung tâm Đào t o sau đ i h c cùng toàn th cán b , công nhân viên Vi n Toán h c đã t o m i đi u ki n thu n l i cho tác gi trong quá trình th c hi n lu n án. Tác gi xin trân tr ng c m ơn Trư ng THPT Chuyên Đ i h c Sư ph m đã t o đi u ki n giúp đ , đ ng viên tác gi trong su t th i gian làm nghiên c u sinh và th c hi n Lu n án. Tác gi xin chân thành c m ơn b n bè, đ ng nghi p, đ c bi t là cha m , v và con trai cùng nh ng ngư i thân trong gia đình, đã giúp đ đ ng viên tác gi trong su t th i gian th c hi n Lu n án. Hà N i, tháng 12 năm 2011 Tác gi Hà Duy Hưng
6 B NG KÝ HI U Ký hi u Di n gi i |x| : chu n c a m t ph n t x trong Kd , |x|p : chu n p − adic c a s p − adic x K/k : m r ng đ i s trên trư ng k, (K : k) : s chi u c a m r ng đ i s K/k, Kd : không gian véc tơ d chi u trên trư ng K, Qp : trư ng các s p−adic Fq ((t)) : trư ng các chu i s Laurent trên trư ng h u h n Fq , O : vành các s nguyên c a K, P : ideal nguyên t c a O, β : ph n t nguyên t c a P, p : s nguyên t và là đ c s c a trư ng O/P, q : s ph n t c a trư ng O/P, x + Bγ , Bγ : hình c u đóng tâm x, tâm 0 bán kính q γ , x + Sγ , Sγ : m t c u tâm x, tâm 0 bán kính q γ , NK/k (α), TrK/k (α) : đ nh th c, v t c a ph n t α ∈ K, M : toán t Hardy-Littlewood,
7 A : L p các hàm tr ng Muckenhoupt, CSp : t p t t c các dãy Cauchy trong Q ng v i metric p−adic dp , N ullp : t p t t c các dãy trong Q có gi i h n b ng 0, dx : Đ đo Haar, L : t p các hàm kh tích b c trên Kd , Lloc : t p các hàm kh tích đ a phương b c trên Kd , L (u) : t p các hàm kh tích b c trên Kd ng v i đ đo dµ = udx, D : t p các hàm h ng đ a phương v i giá compact, D : t p các phi m hàm tuy n tính liên t c trên D, χ : hàm đ c trưng c a nhóm c ng (K, +) v i h ng b ng 1, ∞ 1/r r : không gian các dãy ph c x = (xk ) sao cho |xk |r < ∞. k=1
M cl c L i cam đoan 1 Tóm t t 2 L i c m ơn 4 B ng ký hi u 6 L i nói đ u 10 1 M TS KHÁI NI M VÀ K T QU CHU N B 22 1.1 Trư ng đ a phương . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 1.2 Đ đo và tích phân trên trư ng đ a phương . . . . . . . . . 33 1.3 Bi n đ i Fourier và tích ch p . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 1.4 Đ nh lý n i suy Marcinkiewicz . . . . . . . . . . . . . . . . 41 2 TOÁN T C C Đ I HARDY - LITTLEWOOD VÀ CÁC B T Đ NG TH C TR NG CHU N TRÊN TRƯ NG Đ A PHƯƠNG 46 8
9 2.1 Các b đ ph lo i Calderón-Zygmund . . . . . . . . . . . 48 2.2 Toán t c c đ i Hardy-Littlewood và l p hàm tr ng Muck- enhoupt A trên trư ng đ a phương . . . . . . . . . . . . . 56 2.3 B t đ ng th c tr ng chu n Fefferman-Stein cho toán t c c đ i giá tr vectơ trên trư ng đ a phương . . . . . . . . . . 66 2.4 M t b t đ ng th c tr ng chu n lo i y u ngư c cho toán t c cđ i . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73 2.5 Ư c lư ng lo i y u cho m t l p toán t tích phân . . . . . 81 3 BÀI TOÁN MUCKENHOUPT TRÊN TRƯ NG Đ A PHƯƠNG 89 3.1 B t đ ng th c đ i ng u Fefferman-Stein . . . . . . . . . . 91 3.2 L p hàm tr ng W và bài toán tr ng c a Muckenhoupt trên trư ng đ a phương . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92 K t lu n và ki n ngh 102 Danh m c công trình công b c a tác gi 104 Tài li u tham kh o 105
L i nói đ u I. Lý do ch n đ tài Gi i tích đi u hòa có ngu n g c t lý thuy t các chu i Fourier. T lâu, ngư i ta đã kh i xư ng vi c nghiên c u các chu i Fourier t m t chi u sang nhi u chi u và trên các nhóm compact đ a phương. Vi c nghiên c u các chu i Fourier trên các nhóm compact đ a phương mang đ n nhi u k t qu có nh ng ng d ng quan tr ng trong nghiên c u lý thuy t s , lý thuy t phương trình đ o hàm riêng. Bên c nh R và đư ng tròn đơn v T c a m t ph ng ph c là các ví d quen thu c v các nhóm compact đ a phương, thì ta còn có các nhóm c ng và nhân c a trư ng s p−adic Qp , ho c r ng hơn là các trư ng đ a phương (bao g m Qp , m i m r ng h u h n c a Qp và trư ng các chu i Laurent trên m t trư ng h u h n). Trư c đây không gian ba chi u Euclid R3 thư ng đư c nói như là không gian c a các hi n tư ng v t lý. Theo thông l đó, R3 thư ng đư c nh n th c như là không gian v t lý th c. Tuy nhiên, R3 cũng ch đơn gi n là m t mô hình hình h c mà đó ngư i ta d dàng ki m tra đư c các tiên đ hình h c b ng tr c giác. Th c v y, b ng phương pháp t a đ , ta có th mô t các v t th hình h c thông qua h th ng các s . Không gian Euclid s d ng h th ng s th c, có th coi là làm đ y c a t p các s h u t Q v i giá tr 10
11 tuy t đ i thông thư ng | · | trên Q, đó m t giá tr tu êt đ i là m t hàm | · | : Q → R th a mãn: 1. |x| ≥ 0, |x| = 0 khi và ch khi x = 0, 2. |xy| = |x| |y|, 3. |x + y| ≤ |x| + |y|. Tuy nhiên, trên trư ng các s h u t Q ngoài giá tr tuy t đ i thông thư ng còn có các giá tr tuy t đ i p−adic không tương đương v i nó. Năm 1916, nhà toán h c Ostrowski ch ng minh đư c r ng m i giá tr tuy t đ i không t m thư ng trên trư ng các s h u t Q đ u tương đương v i giá tr tuy t đ i th c thông thư ng, ho c giá tr tuy t đ i p−adic | · |p , v i p là m t s nguyên t . đây, giá tr tuy t đ i | · |p th a mãn các đi u ki n 1., 2., và 3 . |x + y|p ≤ max{|x|p , |y|p }. Chú ý r ng giá tr tuy t đ i thông thư ng th a mãn tiên đ Archimede trong khi đó tiên đ Archimede không còn đúng đ i v i | · |p . Th c v y, ta có |n · 1|p = |1 + · · · + 1|p ≤ |1|p = 1, v i m i n nguyên dương. Do đó | · |p đư c g i là giá tr tuy t đ i phi-Archimede. Bao đ y c a Q theo | · |p cho ta trư ng các s p−adic Qp . Trong lu n án này, trư ng đ a phương là m t trư ng tôpô đ , không r i r c, compact đ a phương và hoàn toàn không liên thông. Ngư i ta ch ra đư c r ng, m t trư ng như v y, thì ho c là trư ng các s p−adic Qp , ho c là m t m r ng h u h n c a Qp , ho c là trư ng các chu i s Laurent trên m t trư ng h u h n.
12 Như đã nói trên, nhi u lý thuy t toán h c đã s m đư c chuy n sang và xây d ng trên Qp , và t ng quát hơn trên các trư ng đ a phương. T đây, các không gian hàm quan tr ng trong lý thuy t phương trình đ o hàm riêng như không gian các hàm trơn vô cùng, không gian các hàm th , không gian các phân b đư c thi t l p trên các trư ng đ a phương tương ng là không gian E các hàm h ng đ a phương, D không gian các hàm h ng đ a phương v i giá compact, D không gian các phân b , ... Bên c nh đó, r t nhi u v n đ cơ b n c a gi i tích đi u hoà trên trư ng đ a phương đã b t đ u đư c nghiên c u t nh ng năm 1934 và phát tri n m nh m trong giai đo n 1970-1980 b i các công trình c a M. Taibleson, Keith Phillips, J. A. Chao, James Daly, Charles Downey ... trong đó các nghiên c u ch y u t p trung vào các toán t c c đ i, các toán t tích phân kì d , chu i Fourier (xem [47]). Vì nh ng ng d ng quan tr ng trong khoa h c công ngh , trong y h c mà nh ng năm g n đây, các lý thuy t phương trình đ o hàm riêng p−adic, gi i tích sóng nh p−adic, gi i tích đi u hòa trên các trư ng trư ng đ a phương đã thu hút đư c s quan tâm nghiên c u c a r t nhi u nhà toán h c như V.S. Vladimirov, I.V. Volovich, A. Kochubei, Keith Rogers, A. Yu. Khrennikov, S.V. Kozyrev, Nguyen Minh Chuong, ... . Trong đó có nhi u công trình t p trung nghiên c u v lý thuy t hàm c c đ i, sóng nh , các toán t tích phân dao đ ng, toán t gi vi phân, bài toán Cauchy đ i v i phương trình gi vi phân parabolic, ph c a toán t gi vi phân p−adic (xem [13], [14], [15], [16], [36], [33], [48], [51], ...). Lý thuy t v các toán t tích phân c c đ i, là m t trong nh ng đ i tư ng nghiên c u quan tr ng c a gi i tích đi u hòa hi n đ i và lý thuy t
13 phương trình đ o hàm riêng. M t trong nh ng ng d ng c đi n nh t c a lý thuy t các toán t c c đ i đó là trong ch ng minh đ nh lý đ o hàm Lebesgue. Bên c nh đó, các toán t tích phân c c đ i, trong đó toán t c c đ i Hardy-Littlewood là m t trong nh ng ví d quan tr ng nh t, đư c s d ng trong nghiên c u các không gian Sobolev b i có m t s ki n khá đơn gi n đó là tính kh vi y u thư ng đư c b o t n qua toán t c c đ i. Ch ng h n, m t tính ch t c a toán t c c đ i Hardy-Littlewood M đó là bi n m t hàm Lipschitz thành m t hàm Lipschitz, do đó theo đ nh lý Rademacher, hàm c c đ i c a m t hàm Lipschitz là kh vi h u kh p nơi. M c dù toán t c c đ i không bi n m t hàm kh vi thành m t hàm kh vi, nhưng M là toán t b ch n gi a các không gian Sobolev W 1,p (Rd ) v i 1 < p < ∞, do đó nó b o toàn tính kh vi y u. Năm 2001, các nhà toán h c J. Bourgain, H. Brezis, và P. Mironescu [11] đã đưa ra m t đ c trưng r t m i cho các không gian Sobolev W 1,p (Rd ) v i 1 < p < ∞, mà đó các tính ch t c a toán t c c đ i đóng vai trò chìa khóa trong ch ng minh c ah . Trên các trư ng p−adic và r ng hơn trên các trư ng đ a phương, gi i tích đi u hòa đư c các nhà toán h c quan tâm và nghiên c u t r t s m, mà đ c bi t trong đó là lý thuy t v các toán t tích phân kì d , các toán t tích phân c c đ i. R t nhi u k t qu cơ b n đã đư c ch ng minh t nh ng năm 70 c a th k trư c. Trong th i gian g n đây, nhi u k t qu m i v lĩnh v c này cũng đư c công b trong đó có nh ng k t qu mang tính m đư ng. Ch ng h n, năm 2004, Keith Rogers [42] đã gi i quy t đư c bài toán trung bình c c đ i d c theo m t cung p−adic như sau: n u kí hi u
14 1 Mγ f (x) = sup k |f (x − γ(t))| dt, trong đó γ(t) = (t, t2 , . . . , td ) thì k∈Z p |t|≤pk Mγ là b ch n trong Lq (Qd ) v i 1 < q < ∞. Keith M. Rogers [43] cũng p đã ch ng minh đư c d ng p−adic c a b đ van der Corput cho đa th c, qua đó m ra hư ng nghiên c u lý thuy t tích phân dao đ ng p−adic, m t trong nh ng v n đ trung tâm c a gi i tích đi u hòa p−adic. Năm 2008, các tác gi Weiyi Su và Hua Qiu xây d ng l i đ nh nghĩa và các tính ch t c a đ o hàm Gibbs p−adic thông qua toán t gi vi phân p−adic và ch ra r ng các đ o hàm lo i đó r t có nhi u ng d ng đáng ng c nhiên trong gi i tích fractal, trong y h c. Đi u đó cho th y vi c c n thi t ph i phát tri n lý thuy t phương trình đ o hàm riêng p−adic, phương trình đ o hàm riêng fractal trên các trư ng đ a phương (xem [51]). Năm 2008, các tác gi Nguy n Minh Chương và Nguy n Văn Cơ [16] đã xây d ng đư c m t h các cơ s tr c chu n m i c a L2 (Qp ) g m các hàm riêng c a toán t gi vi phân Vladimirov Dα , qua đó xây d ng đư c tư ng minh nghi m d ng chu i c a m t l p phương trình gi vi phân p−adic lo i hyperbolic. Tuy nhiên, trên các trư ng đ a phương, lý thuy t các toán t tích phân c c đ i còn ch a đ ng nhi u bài toán quan tr ng chưa đư c nghiên c u. Ch ng h n, các bài toán đ c trưng hàm tr ng cho toán t c c đ i Hardy-Littlewood M : đ c trưng hàm tr ng u đ M b ch n t L (u) vào L (u), bài toán đ c trưng hàm tr ng v đ t n t i u sao cho M b ch n t L (u) vào L (v), bài toán hai tr ng. Vì nh ng nguyên nhân nói trên Giáo sư Nguy n Minh Chương đã g i ý cho tôi nghiên c u các v n đ đã nêu v i đ tài Toán t tích phân c c đ i trên trư ng đ a phương.
15 II. Đ i tư ng, ph m vi và phương pháp nghiên c u R t nhi u các k t qu nghiên c u c a gi i tích đi u hòa trên trư ng s p−adic v n đúng cho các trư ng đ a phương ( đó trư ng đ a phương bao g m trư ng các s p−adic Qp , m r ng h u h n c a Qp và trư ng các chu i Laurent trên m t trư ng h u h n). Do đó lu n án này đ c p đ n m t s k t qu c a gi i tích đi u hòa, phương trình đ o hàm riêng không ch trên trư ng các s p−adic mà trên c các trư ng đ a phương. Chúng tôi nghiên c u m t s bài toán đ c trưng hàm tr ng trên trư ng đ a phương đ có đư c các b t đ ng th c tr ng chu n lo i y u và m nh cho toán t c c đ i Hardy-Littlewood M , cho d ng véctơ c a toán t M . Cũng trong lu n án này, chúng tôi đưa ra và nghiên c u m t l p toán t tích phân c c đ i m i. C th , trong lu n án này chúng tôi nghiên c u các bài toán sau đây: (a) Bài toán m t tr ng: v i đi u ki n nào c a tr ng u thì toán t M là b ch n t L (u) vào L (u) v i 1 ≤ ≤ ∞?. Nghiên c u bài toán tương t đ i v i d ng véctơ c a toán t M . (b) Bài toán tr ng Muckenhoupt trên trư ng đ a phương: v i đi u ki n nào c a hàm tr ng v đ t n t i m t hàm tr ng u sao cho toán t M là b ch n t L (u) vào L (v). (c) Bài toán hai tr ng: tìm các đi u ki n gi a hai tr ng u, v đ toán t M b ch n trong các không gian hàm kh tích thông thư ng. (d) Nghiên c u các b t đ ng th c tr ng chu n đ i v i nh ng toán t tích phân c c đ i khác.
16 Trong gi i tích đi u hòa th c, b n bài toán trên thu hút đư c s quan tâm nghiên c u c a r t nhi u nhà toán h c và đã đ t đư c nhi u k t qu sâu s c. Do đó m t trong nh ng thu n l i khi nghiên c u các bài toán trên là nhi u v n đ đã có s n nh ng lư c đ nghiên c u c th . Tuy nhiên, vi c chuy n nghiên c u các bài toán trên trong trư ng đ a phương s g p nh ng khó khăn nh t đ nh. Khó khăn th nh t đó là r t nhi u các k t qu n n t ng, c n thi t trong các lư c đ nghiên c u các bài toán trên l i chưa s n có, ph i đi thi t l p l i và không ph i k t qu nào cũng d dàng thi t l p đư c m t phiên b n p−adic thích h p khi xét chuy n t gi i tích đi u hòa th c sang gi i tích đi u hòa p−adic. Ch ng h n, ph i đ n năm 2004, Keith Rogers [43] m i đưa ra đư c m t phiên b n p−adic đư c cho là phù h p c a b đ van der Corput, m t b đ mà trong lý thuy t gi i tích đi u hòa th c đã minh ch ng r ng có m t vai trò r t quan tr ng khi nghiên c u các toán t tích phân dao đ ng. Vì v y k t qu c a Keith Rogers m ra hư ng nghiên c u v các tích phân dao đ ng p−adic. Khó khăn th hai n m s khác bi t v c u trúc s h c và hình h c gi a hai trư ng s th c và trư ng s p−adic. Đi u này d n t i ph i thay đ i nhi u k t qu tương ng, ph i đưa ra ch ng minh hoàn toàn khác v i các k t qu tương ng gi a hai trư ng. M t s k t qu kĩ thu t s n có trong trư ng h p Euclid g p khó khăn trong vi c chuy n sang trư ng đ a phương n m s khác nhau v s h c gi a hai trư ng: ch ng h n trên R có th s p th t toàn ph n còn trên K thì không, ho c nh ng chu i s d ng 1 + 1 + q12 + · · · v i q q > 1 là h i t trong R nhưng không h i t trong trư ng đ a phương và ngư c l i có nh ng chu i s h i t trong trư ng đ a phương nhưng không h i t trong R. M t đi u có th nh n ra, chính vì các chu n phi Archimede
17 th a mãn b t đ ng th c m nh hơn b t đ ng th c tam giác, nên nhi u k t qu nh n đư c trong trư ng đ a phương s đ p hơn và d ng m nh hơn v i các k t qu tương ng trên trư ng th c. Đ nghiên c u các bài toán trên, chúng tôi d a trên các lư c đ nghiên c u đã có s n trong gi i tích đi u hòa th c. Đ u tiên, m t trong nh ng phương pháp nghiên c u toán t M đó là ph i có nh ng k t qu sâu s c v c u trúc hình h c c a không gian n n mà đ c bi t là các k t qu v ph hình h c. Do đó chúng tôi đi thi t l p l i các b đ ph Wienner, phân tích Calderón-Zygmund trên trư ng đ a phương. Các tính ch t đ c trưng c a trư ng đ a phương đư c v n d ng vào trong các ch ng minh c a các b đ này. Đi m khác bi t rõ nh t c a các b đ này gi a hai trư ng th c và trư ng đ a phương đó là: trong trư ng đ a phương, t p m c c a toán t c c đ i Hardy-Littlewood M có th vi t thành h p không quá đ m đư c các hình c u r i nhau, còn trư ng s th c thì chưa ch c có th phân tích đư c như v y. Chính k t qu này d n t i s khác nhau v chu n y u và chu n m nh c a toán t M . Đ nghiên c u bài toán (a), cũng như trư ng h p Euclid, chúng tôi đi thi t l p l i l p hàm tr ng Muckenhoupt tương t trên trư ng đ a phương. Đ i v i bài toán m t tr ng cho toán t M , k t qu nh n đư c không khác nhi u so v i trư ng h p Euclid. Tuy nhiên đ i v i bài toán m t tr ng cho toán t d ng véctơ, chúng tôi v n còn nhi u v n đ tương ng chuy n sang mà chưa gi i quy t đư c do g p khó khăn v i m t s k t qu mang tính kĩ thu t. Bài toán (b) trong trư ng h p Euclid đã đư c gi i quy t đ c l p b i Wo-Sang Young [49], A.E. Gatto và C.E. Gutiérrez [24]. Trong trư ng đ a phương, chúng tôi gi i quy t bài toán (b) d a trên ý tư ng c a Wo-
18 Sang Young. Đ u tiên chúng tôi đi thi t l p l i b t đ ng th c đ i ng u Fefferman-Stein. Chú ý r ng vi c tìm ra l p hàm v có th làm tương t như trư ng h p th c. Nhưng khó khăn l n nh t đây đó là vi c xây d ng hàm u như th nào đ l p hàm đó th a mãn yêu c u c a bài toán (b). Nghi m hàm c a Wo-Sang Young không th áp d ng đư c v i lý do cơ 1 1 b n nh t n m nh ng chu i s ki u như 1 + q + q2 + · · · không h i t trong K. Chính vì v y đ gi i quy t bài toán này, ý tư ng c a chúng tôi là gi l i "ph n đ p" c a hàm u mà Wo-Sang Young đã xây d ng và dán thêm vào m t hàm thích h p đ thay th "ph n x u". Bài toán hai tr ng (c) là m t bài toán r t khó trong c gi i tích đi u hòa th c và gi i tích đi u hòa trên trư ng đ a phương. đây, chúng tôi đi tìm các đi u ki n cho c p hàm tr ng (u, v) đ toán t M th a mãn b t đ ng th c tr ng lo i y u ngư c (1, 1) trên hình c u và toàn không gian. Theo hư ng nghiên c u này, trong trư ng h p th c đã có các k t qu c a K. F. Andersen và Wo-Sang Young [8]. Đi u thú v là đi u ki n c n và đi u ki n đ cho c p hàm tr ng (u, v) mà chúng tôi thu đư c là g n "tương t nhau" (th c ch t các đi u ki n này tương đương sai khác m t h ng s nhân). K t qu tương ng trong trư ng h p Euclid, đ có đư c s tương đương gi a hai đi u ki n c n và đ thì các hàm tr ng ph i th a mãn thêm đi u ki n kép. Trong khi nghiên c u bài toán (d), chúng tôi đưa ra đư c m t l p toán t tích phân c c đ i m i. V i gi thi t toán t đó đã xác đ nh trên L v i 1< < ∞, chúng tôi đi nghiên c u tính b ch n y u lo i (1, 1) c a nó. Dù phương pháp ch ng minh mà chúng tôi đưa ra là d a theo lư c đ c a Calderón-Zugmund, nhưng theo chúng tôi đư c bi t, thì k t qu này chưa