!
!!
!"#$
"#$"#$
"#$%&'()
%&'()%&'()
%&'()
*+,-./
*+,-./*+,-./
*+,-./
!
! !
!"#$%&'()
"#$%&'()"#$%&'()
"#$%&'()
!"
!" !"
!"#
##
#
$#
$#$#
$#
%
%%
%
*+,-./
*+,-./*+,-./
*+,-./
#$#012
#$#012#$#012
#$#012
&'()'
&'()'&'()'
&'()'*
**
*(+
(+(+
(+
Lời cam đoan
Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của tôi. Các kết quả viết
chung với tác giả khác đã được sự nhất trí của đồng tác giả khi đưa vào
luận án. Các kết quả của luận án là mới và chưa từng được ai công bố
trong bất kỳ công trình nào khác.
Tác giả
Hà Duy Hưng
1
2
TÓM TẮT
Trong luận án này, chúng tôi nghiên cứu các bất đẳng thức trọng chuẩn
loại yếu, mạnh, trên các trường địa phương, cho toán tử cực đại Hardy-
Littlewood M, trong đó Mf(x) = sup
γ∈Z
1
qdγ R
x+Bγ
|f(y)|dy và f∈L1
loc. Các
kết quả nghiên cứu chính của luận án nằm ở chương 2 và chương 3. Trong
chương 2, chúng tôi chứng minh một số bổ đề phủ quan trọng trên trường
địa phương; xây dựng lại lý thuyết về các hàm trọng Muckenhoupt Aℓ
trên trường địa phương và ứng dụng vào giải quyết một bài toán trọng nổi
tiếng về toán tử M, đó là: với điều kiện nào của trọng ωthì Mbị chặn từ
Lℓ(ω)vào Lℓ(ω). Các kết quả đó được mở rộng cho toán tử cực đại với giá
trị véctơ, từ đó nhận được các bất đẳng thức trọng chuẩn Fefferman-Stein.
Chúng tôi đưa ra được một điều kiện cần và một điều kiện đủ gần tương
đương nhau, cho một cặp hàm trọng để có được bất đẳng thức ngược loại
yếu cho toán tử cực đại Hardy-Littlewood M; chúng tôi áp dụng kết quả
đó cho lớp hàm Llog+Lvới trọng của Zygmund. Cũng trong chương 2,
chúng tôi giới thiệu một lớp toán tử tích phân cực đại mới và chứng minh
được một ước lượng loại yếu cho nó.
Trong chương 3, chúng tôi giải quyết một bài toán trọng Muckenhoupt
trên trường địa phương: tìm điều kiện cần và đủ của hàm trọng vđể tồn
tại một hàm trọng uhữu hạn hầu khắp nơi sao cho toán tử Mlà bị chặn
từ Lℓ(u)vào Lℓ(v).
3
ABSTRACT
In this thesis, we investigate the weak and strong types of weighted
norm inequalities for the Hardy-Littlewood maximal operator M, in which
Mf(x) = sup
γ∈Z
1
qdγ R
x+Bγ
|f(y)|dy, here f∈L1
loc. Our main results are given
in chapter 2 and chapter 3. In chapter 2, we prove some necessary covering
lemmas on local fields; a theory of Muckenhoupt weights is systematically
introduced and we use it to solve a famous problem of characterizing all
weight functions ωfor which the operator Mis bounded from Lℓ(ω)to
Lℓ(ω). Then, we prove the Fefferman-Stein weighted inequalities for vector-
valued maximal operator over local fields. We go on to obtain a sufficient
and an almost similar necessary condition on a pair of weight functions for
which a reverse weak type norm inequality holds for the Hardy-Littlewood
maximal operator M; we apply our result to the weighted Zygmund class
Llog+L. Also in this chapter, we prove a weak type estimate for a new
maximal integral operator.
In chapter 3, we obtain a necessary and sufficient condition on weight
functions vsuch that the Hardy-Littlewood maximal operator Mis bounded
from Lℓ(u)to Lℓ(v)for some finite a.e. function u. This characterization
answers completely to a local field version of a similar question posed by
Muckenhoupt.
