Tóm tắt Luận án Tiến sĩ Toán học: Về liên thông kì dị chính qui trên lược đồ trên một vành

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:27

Thêm vào BST

Báo xấu

3
lượt xem 1
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Tóm tắt Luận án Tiến sĩ Toán học "Về liên thông kì dị chính qui trên lược đồ trên một vành" được nghiên cứu với mục tiêu: Liên thông trên một vành vi phân; Liên thông hình thức kì dị chính qui; Liên thông cùng tác động của một đại số Artin; Liên thông kì dị chính qui được tham số hóa bởi một đại số Hensel; Khai triển lôgarit của liên thông được tham số hóa.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Tóm tắt Luận án Tiến sĩ Toán học: Về liên thông kì dị chính qui trên lược đồ trên một vành

VIỆN HÀN LÂM KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ VIỆT NAM VIỆN TOÁN HỌC Phạm Thanh Tâm VỀ LIÊN THÔNG KÌ DỊ CHÍNH QUI TRÊN LƯỢC ĐỒ TRÊN MỘT VÀNH LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC Hà Nội - 2024
VIỆN HÀN LÂM KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ VIỆT NAM VIỆN TOÁN HỌC Phạm Thanh Tâm VỀ LIÊN THÔNG KÌ DỊ CHÍNH QUI TRÊN LƯỢC ĐỒ TRÊN MỘT VÀNH Chuyên ngành: Đại số và Lý thuyết số Mã số: 9 46 01 04 LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC Tập thể hướng dẫn: GS. TSKH. Phùng Hồ Hải GS. TSKH. João Pedro Dos Santos Hà Nội - 2024
Mục lục Kí hiệu và Danh mục công trình v Lời mở đầu vii 1 Thác triển liên thông hình thức kì dị chính qui lên PC \ {0, ∞} 1 1.1 Liên thông trên một vành vi phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.1.1 Liên thông và phương trình vi phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.1.2 Vectơ cyclic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.2 Liên thông hình thức kì dị chính qui . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.2.1 Liên thông hình thức có kì dị lôgarit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.2.2 Liên thông hình thức kì dị chính qui . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 1.3 Liên thông trên PC \ {0, ∞} . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 1.3.1 Liên thông trên PC có kì dị lôgarit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 1.3.2 Thác triển liên thông hình thức lên đường thẳng xạ ảnh thủng . . . . . . . . 2 1.4 Liên thông cùng tác động của một đại số Artin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 2 Liên thông được tham số hóa bởi một vành kì dị chính qui 5 2.1 Liên thông kì dị chính qui . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 2.2 Liên thông được tham số hóa bởi một đại số địa phương Noether đầy đủ . . . . . . . 6 2.2.1 Tiêu chuẩn về tính phẳng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 2.2.2 Liên thông trên R((x)) kì dị chính qui như giới hạn . . . . . . . . . . . . . . 6 2.2.3 Thác triển liên thông kì dị chính qui lên P1 \ {0, ∞} . . . . . . . . . . . . . R . 7 2.3 Liên thông kì dị chính qui được tham số hóa bởi một đại số Hensel . . . . . . . . . . 7 2.3.1 Liên thông hình thức kì dị chính qui trên một đại số Hensel định giá rời rạc . 7 2.3.2 Thác triển liên thông kì dị chính qui tham số hóa bởi đại số địa phương Noether và Hensel lên P1 \ {0, ∞} . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . R . 8 3 Khai triển lôgarit của liên thông trên đĩa thủng hình thức 9 3.1 Khai triển lôgarit của liên thông trên đĩa thủng hình thức . . . . . . . . . . . . . . . 9 3.1.1 Khai triển Turrittin-Levelt-Jordan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 3.1.2 Khai triển lôgarit của liên thông hình thức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 3.2 Khai triển lôgarit của liên thông được tham số hóa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
iv Mục lục 3.2.1 Liên thông cùng tác động của một đại số Artin . . . . . . . . . . . . . . . . 10 3.2.2 Khai triển lôgarit của một liên thông tương đối trên DVR đầy đủ . . . . . . . 10 4 Sơ lược về liên thông xác định trên trường đặc số dương 13 4.1 Ký hiệu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 4.2 t-liên thông . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 4.3 Đa thức đặc trưng của p−độ cong . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 Tài liệu tham khảo 17
KÍ HIỆU VÀ DANH MỤC CÁC CÔNG TRÌNH ĐÃ CÔNG BỐ KÍ HIỆU (1) Trong luận án này, ký hiệu C là một trường đóng đại số có đặc số không. Ký hiệu C[x± ] := C[x±1 ] và C((x)) := C x [x−1 ]. (2) Cố định τ là một tập con của C sao cho ánh xạ τ → C/Z là song ánh. (3) Cho X và Y là các tập con của C, ký hiệu X ⊖Y = a − b : a ∈ X, b ∈ Y . (4) Cho ϕ ∈ C[x−1 ]/Z và f = a−m x−m + a−m+1 x−m+1 + ... + a−1 x−1 + a0 ∈ C[x−1 ] là một đại diện của ϕ. Ký hiệu p(ϕ) := a−m x−m + a−m+1 x−m+1 + ... + a−1 x−1 . (5) Cho A là một C–đại số bất kì và n là số nguyên dương. • Ký hiệu A z vành các chuỗi lũy thừa hình thức của các biến z = (z1 , ..., zn ) với hệ số trong A. • Mỗi biến tự do x, ký hiệu A[x± ] := A[x±1 ] và A((x)) := A x [x−1 ]. (6) Cho ϕ là một tự đồng cấu tuyến tính của một C–không gian véc tơ hữu hạn chiều V . • Ký hiệu Spϕ là tập tất cả các giá trị riêng của ϕ. • Với ρ ∈ Spϕ , ký hiệu G(ϕ, ρ) là không gian véc tơ con riêng suy rộng của ϕ liên kết với ρ. (7) Với A là một C–đại số, ký hiệu PA là đường thẳng xạ ảnh trên A. Ký hiệu A0 = PA ∖ {∞} và A∞ = PA ∖ {0} là hai tập mở chính tắc của PA . d (8) Với A là một C–đại số, ký hiệu ϑ : A((x)) → A((x)) là đạo hàm x trên A((x)); cụ thể ϑ xác định dx bởi ϑ ∑ an xn = ∑ nan xn .
vi Kí hiệu và Danh mục công trình (9) Với mỗi số nguyên dương s, đặt xs là một căn bậc s của x. Đạo hàm ϑ trên R((x)) được mở rộng thành đạo hàm trên R((xs )) một cách tự nhiên. Cụ thể, đạo hàm ϑ trên R((xs )) được xác định bởi ϑ = s−1 xs dxs . d (10) Với A là một C–đại số, ký hiệu • Mm×n (A) cho vành các ma trận cỡ m × n với hệ số trong R. • Mn (A) cho vành các ma trận vuông cấp n với hệ số trong R. (11) Với A là một C–đại số và p ∈ Spec (A), ký hiệu k(p) là trường thặng dư của vành địa phương Ap tại p. (12) Với (A, mA ) là một vành địa phương, ký hiệu A là đầy đủ hóa adic của R tương ứng với iđêan cực đại mA . (13) Với A là một C–đại số, f ∈ A và r ∈ N∗ , ký hiệu   f ··· 0 0 ∗ . . . . . .   ♭ 0 Jr ( f ) =  . . . .    . .. ... . . . 0 ··· ∗ f r×r (14) Cho một A–môđun E và k là một số nguyên dương. • Với x ∈ A, ký hiệu (0 : xk )E = {e ∈ E : xk e = 0}. • Ký hiệu Sk (E) đại số đối xứng thuần nhất bậc k của E. DANH MỤC CÁC CÔNG TRÌNH ĐÃ CÔNG BỐ LIÊN QUAN ĐẾN LUẬN ÁN [1] P. H. Hai, J. P dos Santos and P.T.Tam, Algebraic theory of regular-singular connections with parameters, Rend. Sem. Mat. Univ. Padova 2023 (Online). DOI: 10.4171/RSMUP/134 [2] P. H. Hai, J. P dos Santos, P.T.Tam and D.V.Thinh, Prolongation of regular singular connections on punctured affine line over a henselian ring, Communications in Algebra, 2024 (Online), 1–15. DOI:10.1080/00927872.2024.2314109. [3] P.T.Tam, Logarithmic decomposition of connections on a relatively punctured disk, to appear in Periodica Mathematica Hungarica. . [4] Phạm Thanh Tâm, Tính toán địa phương trên p-độ cong của các liên thông phụ thuộc tham số trong trường có đặc số dương, Tạp chí Trường ĐHSP Hà Nội 2, Số 55 năm 2018, p.13-20.
LỜI MỞ ĐẦU 1 Cho C là trường đóng đại số có đặc số không bất kì và PC \ {0, ∞} là đường thẳng xạ ảnh bỏ 2 điểm. Một bài toán thác triển quan trọng là mở rộng một môđun hữu hạn cùng liên thông trên lân cận 1 hình thức thủng SpecC((x)) của 0 ∈ PC thành một môđun nhất quán cùng liên thông trên toàn bộ 1 PC \ {0, ∞}. Trong [2, Section 15], Deligne khẳng định các môđun hữu hạn cùng liên thông kì dị 1 chính qui trên SpecC((x)) mở rộng lên toàn bộ PC \ {0, ∞} cùng tính kì dị chính qui tại ∞. Mở rộng 1 này là một tương đương giữ phạm trù các liên thông trên PC \ {0, ∞} kì dị chính qui tại {0, ∞} và phạm trù các liên thông kì dị chính qui trên trường các chuỗi Laurent C((x)). Việc mở rộng thác triển của Deligne thu hút được sự quan tâm nghiên cứu của nhiều nhà toán học, chẳng hạn như: N. Katz dựa theo lý thuyết phân loại các môđun cùng liên thông trên C((x)) của Levelt [13] cho một mở rộng 1 các môđun cùng liên thông trên SpecC((x)) lên PC \ {0, ∞} mà không yêu cầu điều kiện về tính kì dị chính qui [8]. Sau đó L. Kindler mở rộng công việc của Katz cho trường hợp các liên thông trên đường thẳng xạ ảnh bỏ hai điểm trên trường có đặc số dương [11]. Ta nhắc lại tương đương của Deline mô tả trong [2]. Ta gọi một C-đại số A là đại số vi phân nếu tồn tại một ánh xạ C-tuyến tính (C-đạo hàm) ∂ : A → A thỏa mãn qui tắc Leibniz ∂ (ab) = ∂ (a)b + a∂ (b) với mọi a, b ∈ A. Xét C((x)) và C x là các C-đại số vi phân với các C-đạo hàm tương ứng ϑ ∑ an xn = ∑ nan xn . Một liên thông trên (C((x)), ϑ ) là một C((x))-không gian véc tơ hữu hạn chiều M cùng một tự đồng cấu C-tuyến tính ∇ : M → M thỏa mãn ∇( f m) = ϑ ( f )m + f ∇(m) với mọi f ∈ C((x)) và m ∈ M. Một liên thông trên (C x , ϑ ) có kì dị lôgarit là một C x -môđun hữu hạn sinh M cùng tự đồng cấu C-tuyến tính ∇ : M → M thỏa mãn qui tắc Leibniz. Ký hiệu MC C((x))/C là phạm trù các liên thông trên C((x)) và MClog C x /C là phạm trù các liên thông trên C x có kì dị lôgarit. Xét hàm tử γC x : MClog C x /C −→ MC C((x))/C cho bởi γC x (M , ∇) = C((x)) ⊗ M , ∇ . Một liên thông trong MC C((x))/C là kì dị chính qui C x nếu nó đẳng cấu với ảnh của một liên thông bởi γC x . Ký hiệu MCrs C((x))/C là phạm trù con đầy của MC C((x))/C gồm các liên thông kì dị chính qui trên C((x)). Xét C-đại số vi phân các đa thức Laurent C[x± ] với C-đạo hàm ϑ . Một liên thông trên PC \ {0, ∞} 1 là một C[x± ]-môđun hữu hạn M cùng tự đồng cấu ∇ : M → M thỏa mãn qui tắc Leibniz. Ký hiệu MC C[x± ]/C là phạm trù các liên thông trên PC \ {0, ∞} và MClog PC /C là phạm trù các liên 1 1
viii Lời mở đầu 1 1 thông trên PC có kì dị lôgarit tại {0, ∞}. Liên thông trên PC \ {0, ∞} có kì dị chính qui tại {0, ∞} nếu nó đẳng cấu với một vật trong ảnh của hàm tử γP1 : MClog PC /C −→ MC C[x± ]/C . 1 C Trong [2, §15], Deligne xây dựng hàm tử MCrs C((x))/C −→ MCrs C[x± ]/C (I) là hàm tử ngược của hàm tử hạn chế r : MCrs C[x± ]/C −→ MCrs C((x))/C . Ta thu được (I) là một tương đương (tương đương Deligne), hơn nữa MCrs C[x± ]/C trở thành một phạm trù Tannaka trên C. Phạm trù Tannaka được nghiên cứu và phát triển mạnh mẽ bởi Van de Put - M. Singer [16], Kedlaya [9, 10],... Gần đây, N.Đ. Dương, P.H. Hải và J.P. Dos Santos trong các công trình [3–7] đã đưa ra những mô tả Tannaka về cấu trúc đối với các họ liên thông được tham số hóa bởi một vành. Mục tiêu của luận án là nghiên cứu sự tồn tại của tương đương Deligne khi thay trường C bởi một đại số địa phương Noether, Hensel R trên một trường đóng đại số đặc số không, chẳng hạn R là vành các chuỗi lũy thừa hình thức C t1 , ...,tn hoặc Hensel hóa của vành địa phương hóa của vành đa thức C t1 , ...,tn tại iđêan cực đại (t1 , ...,tn ), xem [14, Corollary 4.17]. Nghiên cứu bước đầu cho ta một số hiểu biết về tính biểu diễn Tannaka của phạm trù các liên thông kì dị chính qui trên đường thẳng xạ ảnh trên R bỏ 2 điểm P1 \ {0, ∞}. R Luận án được chia thành 4 chương và 2 phụ lục. Chương 1 giới thiệu một số khái niệm cơ bản của liên thông và đưa ra chứng minh khác cho tương đương Deligne, đồng thời khẳng định sự tồn tại của các OP1 -lưới lôgarit cùng với điều kiện chính tắc của số mũ của liên thông trên PC \ {0, ∞} kì dị 1 C chính qui tại {0, ∞} (xem Định lý 1.3.3). Phần cuối Chương 1 mở rộng các kết quả này đối với các liên thông kì dị chính qui cùng một tác động của một C-đại số địa phương Artin (xem Hệ quả 1.4.2). Chương 2 thiết lập tương đương Deligne khi thay thế trường C bởi R là một C-đại số địa phương, Noether và Hensel. Một số khó khăn nảy sinh vì nhiều kết quả trên trường không còn đúng khi xét trên vành, chẳng hạn: khai triển Jordan của ma trận, tính phẳng của môđun. Trong bối cảnh này, luận án đưa ra một tiêu chuẩn về tính phẳng cho các liên thông trên R((x)) (xem Định lý 2.2.2). Để thiết lập tương đương Deligne, chúng tôi xét hai trường hợp đối với vành R. Đầu tiên, xét R là một C-đại số địa phương, Noether và đầy đủ theo tôpô adic xác định bởi iđêan cực đại của R. Luận án khẳng định mỗi liên thông trên R((x)) có duy nhất một mô hình lôgarit trong MClog R x /R thỏa mãn điều kiện chính tắc của số mũ (xem Định lý 2.2.3). Khi đó, ta thu được hàm tử hạn chế MCrs (R[x± ]/R) −→ MCrs (R((x))/R). (II) là một tương đương phạm trù. Hơn nữa, mỗi liên thông trên P1 ∖ {0, ∞} kì dị chính qui tại {0, ∞} R có dạng một liên thông Euler (xem Định lý 1.3.3). Trường hợp tiếp theo, xét R là một miền nguyên C-đại số địa phương, Noether và Hensel. Trong trường hợp này, Mệnh đề 2.3.3 khẳng định mỗi liên thông trong MCrs (R((x))/R) có một mô hình lôgarit thỏa mãn điều kiện chính tắc của số mũ. Kí hiệu MC◦ (∗/R) là phạm trù con của MCrs (∗/R) gồm các vật là ∗-môđun phẳng. Khi đó, ta thu được rs MC◦ (R((x))/R) −→ MC◦ (R[x± ]/R) rs rs (III)
ix là một tương đương (xem Định lý 2.3.8). Đặc biệt khi R là một C-đại số định giá rời rạc Hensel, hàm tử MCrs (R((x))/R) −→ MCrs (R[x± ]/R) (IV) là một tương đương giữa các phạm trù gồm tất cả các liên thông kì dị chính qui tương ứng (xem Định lý 2.3.9). Chương 3 xét R là một C-đại số định giá rời rạc đầy đủ đặc số không. Chương này nghiên cứu sự tồn tại của khai triển lôgarit của một lớp các liên thông tồn tại một dạng Turrittin-Levelt-Jordan trong MC R((x))/R (xem Định lý 3.2.2). Trong chương này, chúng tôi cũng chỉ ra một số trường hợp tồn tại khai triển Turrittin-Levelt-Jordan đối với các liên thông trên R((x)). Chương 4 quan tâm đến một chủ đề khá độc lập so với các chương còn lại của luận án, đó là các liên thông trên một lược đồ xạ ảnh, trơn xác định trên một trường đặc số p > 0. Chương này đưa ra một chứng minh tổng quát cho một đồng nhất thức về p-độ cong (xem Định lý 4.3.3) mà là một mở rộng kết quả của C. Pauly - Y. Laszlo [12, Proposition 3.2] (đối với đường cong xạ ảnh trơn) và T. Mochizuki [15, Lemma 4.2] (cho các mặt xạ ảnh trơn).
Chương 1 Thác triển liên thông hình thức kì dị chính qui lên PC \ {0, ∞} 1.1 Liên thông trên một vành vi phân 1.1.1 Liên thông và phương trình vi phân Mục này giới thiệu C-đại số vi phân và liên thông trên một C-đại số vi phân. 1.1.2 Vectơ cyclic Mục này giới thiệu véc tơ chu trình của một liên thông trên một C-đại số vi phân và sự tồn tại véc tơ này đối với một liên thông trên một C-đại số vi phân địa phương. 1.2 Liên thông hình thức kì dị chính qui 1.2.1 Liên thông hình thức có kì dị lôgarit Mục này trình bày liên thông hình thức có kì dị lôgarit, liên thông Euler. Mục này có kết quả sau: Bổ đề 1.2.1. (1) Cho (V, A) ∈ EndC sao cho tập các giá trị riêng SpA của A không chứa số nguyên âm. Khi đó mỗi v ∈ ker DA có dạng v = 1 ⊗ v, trong đó v ∈ Ker(A). (2) Cho (V, A), (V ′ , A′ ) ∈ EndC sao cho SpA′ ⊖ SpA không chứa số nguyên âm. Khi đó, ánh xạ tự nhiên HomEndC ((V, A), (V ′ , A′ )) −→ HomMClog (eulC x (V, A), eulC x (V ′ , A′ )) là một song ánh. Cụ thể hơn, mỗi cấu xạ Φ : eulC x (V, A) → eulC x (V ′ , A′ ) trong MClog (C x /C), tồn tại duy nhất một cấu xạ C-tuyến tính ϕ : V → V ′ thỏa mãn A′ ϕ = ϕA và Φ = idC x ⊗ ϕ. C
2 Thác triển liên thông hình thức kì dị chính qui lên PC \ {0, ∞} 1.2.2 Liên thông hình thức kì dị chính qui Mục này trình bày liên thông hình thức kì dị chính qui, liên thông Euler. Mục này có kết quả sau: Định lý 1.2.2 (Cắt - Shearing). Cho (M, ∇M ) ∈ MCrs (C((x))/C). Khi đó, tồn tại một lưới lôgarit (M , ∇) đối với (M, ∇) sao cho tất cả các số mũ của (M , ∇) đều thuộc τ. Hệ quả 1.2.3. Cho (M, ∇) ∈ MCrs (C((x))/C). Khi đó tồn tại (V, A) ∈ EndC cùng với tất cả các giá trị riêng của A thuộc τ sao cho (M, ∇) ≃ γeulC x (V, A). 1.3 Liên thông trên PC \ {0, ∞} 1.3.1 Liên thông trên PC có kì dị lôgarit Mục này trình bày liên thông trên PC có kì dị lôgarit. 1.3.2 Thác triển liên thông hình thức lên đường thẳng xạ ảnh thủng Mục này trình bày liên thông trên PC \ {0, ∞} có kì dị chính qui tại {0, ∞}. Mục này chúng tôi chứng minh các kết quả sau: Mệnh đề 1.3.1 (Dạng "Euler"). Đặt γeulPC : EndC → MCrs (C[x± ]/C) là hàm tử hợp thành của γPC và eulPC . Khi đó hàm tử γeulPC là toàn xạ cốt yếu. Hơn nữa, với mỗi (M, ∇) ∈ MCrs (C[x± ]/C) tồn tại (V, A) trong EndC sao cho SpA ⊂ τ và thỏa mãn γeulPC (V, A) ≃ (M, ∇). Định lý 1.3.2 (Tương đương Deligne). Hàm tử r0 : MCrs (C[x± ]/C) −→ MCrs (C((x))/C) là một tương đương phạm trù. Định lý 1.3.3 (Lưới Deligne-Manin). Cho M ∈ MCrs (C[x± ]/C). Khi đó, tồn tại một lưới lôgarit M ∈ MClog (PC /C) của M sao cho tất cả số mũ của M thuộc τ. Ngoài ra, nếu M ′ trong MClog (PC /C) là một lưới lôgarit có tất cả số mũ trong τ của M, thì tồn tại duy nhất một đẳng cấu ϕ : M → M ′ trong MClog (PC /C) sao cho sơ đồ sau γPC (M ) ∼ /M O ∼ γPC (ϕ) & γPC (M ′ ). giao hoán . 1.4 Liên thông cùng tác động của một đại số Artin Mục này trình bày liên thông hình thức có kì dị lôgarit và liên thông hình thức kì dị chính qui tương thích cùng tác động của vành Artin Λ. Mục này có các kết quả:
1.4 Liên thông cùng tác động của một đại số Artin 3 Định lý 1.4.1 (Lưới Deligne-Manin). Cho M ∈ MCrs (C((x))/C)(Λ) và xét M như một vật trong MCrs (C((x))/C). Khi đó, tồn tại một lưới lôgarit M ∈ MClog (C x /C) của M thỏa mãn: (1) M ∈ MClog (C x /C)(Λ) và đẳng cấu γC x ∼ M tương thích với tác động của Λ. = (2) C x -môđun M tự do tương đối trên Λ. (3) Tồn tại (V, A) ∈ End(Λ) sao cho M = eulC x (V, A). Ngoài ra, nếu ϕ : M −→ N là một cấu xạ trong MCrs (C((x))/C)(Λ) và N ∈ MClog (C x /C)(Λ) là một lưới lôgarit của N tự do tương đối trên Λ và có tất cả số mũ thuộc τ, thì tồn tại duy nhất một cấu xạ ϕ : M → N trong MClog (C x /C)(Λ) sao cho sơ đồ sau giao hoán γC (ϕ) γC x (M ) x / γC x (N ) ≃ ≃ M / N. ϕ Hệ quả 1.4.2 (Tương đương Deligne). Hàm tử r0 : MCrs (C[x± ]/C)(Λ) −→ MCrs (C((x))/C)(Λ) là một tương đương của các phạm trù. Định lý 1.4.3 (Lưới Deligne-Manin). Cho M ∈ MCrs (C[x± ]/C)(Λ) . Khi đó, tồn tại mô hình lôgarit M ∈ MClog (PC /C)(Λ) của M sao cho tất cả số mũ của M thuộc τ và M tự do địa phương tương đối với Λ. Định lý 1.4.4. Cho ϕ : M → N là cấu xạ trong MCrs (C[x± ]/C)(Λ) và M , N ∈ MClog (PC /C)(Λ) là các lưới Deligne-Manin của M và N. Khi đó, tồn tại duy nhất Φ : M → N trong MClog (C x /C)(Λ) thỏa mãn γPC (Φ) = ϕ.
Chương 2 Liên thông được tham số hóa bởi một vành kì dị chính qui Chương này xét (R, r) là một C–đại số địa phương, Noether, Hensel cùng với trường thặng dư C. Đạo d hàm R-tuyến tính ϑ = x trên R x (tương ứng trên R((x))) cho bởi ϑ (∑ an xn ) = ∑ an nxn . dx 2.1 Liên thông kì dị chính qui Mục này định nghĩa các phạm trù: • MC(R((x))/R): phạm trù các liên thông trên R((x)). • MC◦ (R((x))/R): phạm trù con đầy của MC(R((x))/R) gồm các liên thông (M, ∇) trên R((x)) sao cho M là một R((x))–môđun phẳng. • MClog (R x /R): phạm trù của tất cả các liên thông lôgarit trên R x . • MC◦ (R x /R): phạm trù con đầy của MClog (R x /R) gồm các liên thông lôgarit (M , ∇) trên log R x sao cho M là một R x –môđun phẳng. • Phạm trù MCrs (R((x))/R) của các R−liên thông kì dị chính qui trên R((x)). • MC◦ (R((x))/R): phạm trù con đầy của MCrs (R((x))/R) gồm tất cả các liên thông (M, ∇) sao rs cho M là R((x))–môđun phẳng. Mục này có các kết quả sau: Định lý 2.1.1. Cho (M, ∇) ∈ MC◦ (R((x))/R) và (M , ∇) ∈ MC◦ (R x /R) là một lưới lôgarit của rs log (M, ∇). Khi đó, tồn tại (V, A) ∈ End◦ có tất cả các giá trị riêng của A : V /r −→ V /r thuộc τ sao cho R (M, ∇) ≃ γeulR x (V, A), trong đó eulR x là hàm tử Euler.
6 Liên thông được tham số hóa bởi một vành kì dị chính qui 2.2 Liên thông được tham số hóa bởi một đại số địa phương Noether đầy đủ Xét (R, r) là một C−đại số địa phương, Noether và đầy đủ theo tô pô r–adic có trường thặng dư C. 2.2.1 Tiêu chuẩn về tính phẳng Mục này ta thu được các kết quả sau: Định lý 2.2.1 (Tính phẳng trên thớ). Cho (M, ∇) ∈ MC(R((x))/R). Xét p ∈ Spec R, đặt S = R/p và L là trường các phân thức của S. Khi đó, M|p := (L ⊗ R((x))) ⊗ M là một L ⊗ R((x))–môđun R R((x)) R phẳng. Định lý 2.2.2. Cho (M, ∇) ∈ MC(R((x))/R). Khi đó, M là một R((x))–môđun phẳng khi và chỉ khi M là một R-môđun phẳng. 2.2.2 Liên thông trên R((x)) kì dị chính qui như giới hạn Mục này định nghĩa MCrs (R((x))/R)∧ là phạm trù của các hệ (Mℓ , ∇ℓ ), ϕℓ ℓ∈N , trong đó (Mℓ , ∇ℓ ) là một liên thông trong MCrs (C((x))/C)(Rℓ ) và ϕℓ : (Mℓ+1 , ∇ℓ+1 )|ℓ → (Mℓ , ∇ℓ ) là đẳng cấu trong MCrs (C((x))/C)(Rℓ ) . Kết quả chính mục này là định lý sau: Định lý 2.2.3 (Mô hình Deligne-Manin). Cho (M, ∇) là một vật bất kì trong MCrs (R((x))/R). Khi đó, tồn tại (M , ∇) ∈ MClog (R x /R) là một mô hình lôgarit của (M, ∇) thỏa mãn các điều kiện sau: (1) Với mỗi ℓ ∈ N, liên thông (M |ℓ , ∇ℓ ) ∈ MClog (C x /C)(Rℓ ) có tất cả số mũ thuộc τ. (2) C x –môđun M |ℓ tự do tương đối trên Rℓ . (3) Đẳng cấu γC x (M |ℓ , ∇ℓ ) ≃ (M|ℓ , ∇ℓ ) tương thích với tác động của Rℓ . Định lý 2.2.4. Cho (M, ∇) ∈ MCrs (R((x))/R) và (M , ∇) là mô hình Deligne-Manin của (M, ∇) tương ứng với τ. Giả sử (E , ∇) ∈ MClog (R x /R) là một mô hình lôgarit của (M, ∇) có tất cả số mũ thuộc τ và (0 : x)E = 0. Khi đó, (E , ∇) ≃ (M , ∇). Ngoài ra, mô hình lôgarit (E , ∇) thỏa mãn các tính chất sau: (a) Với mỗi ℓ ∈ N, E |ℓ là một C x -môđun tự do. (b) Nếu M là R-môđun phẳng, thì E là R x -môđun tự do. Định lý 2.2.5. Hàm tử r∧ : MCrs (R((x))/R) −→ MCrs (R((x))/R)∧ . là một tương đương phạm trù.
2.3 Liên thông kì dị chính qui được tham số hóa bởi một đại số Hensel 7 2.2.3 Thác triển liên thông kì dị chính qui lên P1 \ {0, ∞} R Mục này định nghĩa • MClog (PR /R) là phạm trù của các liên thông trên PR có kì dị lôgarit tại {0, ∞}. • MC(R[x± ]/R) là phạm trù của các liên thông trên R[x± ]. • MCrs (R[x± ]/R) là phạm trù các liên thông trên PR \ {0, ∞} kì dị chính qui tại {0, ∞}. Ta thu được các kết quả sau: Định lý 2.2.6 (Mô hình Deligne-Manin). Cho (M, ∇) ∈ MCrs (R[x± ]/R). Khi đó, tồn tại một mô hình lôgarit (M , ∇) trong MClog (PR /R) của (M, ∇) thỏa mãn các điều kiện: (i) Với mỗi ℓ ∈ N, (M , ∇)|ℓ là một lưới lôgarit trong MClog (PC /C)(Rℓ ) của (M, ∇)|ℓ có tất cả số mũ thuộc τ. (ii) OPC -môđun M |ℓ tự do địa phương tương đối trên Rℓ . Định lý 2.2.7. Hàm tử tự nhiên r∧ : MCrs (R[x± ]/R) −→ MCrs (R[x± ]/R)∧ cho bởi (M, ∇) −→ {(M, ∇)|ℓ }ℓ∈N là một tương đương. Định lý 2.2.8 (Tương đương Deligne). Hàm tử hạn chế r0 : MCrs (R[x± ]/R) −→ MCrs (R((x))/R) là một tương đương phạm trù. 2.3 Liên thông kì dị chính qui được tham số hóa bởi một đại số Hensel 2.3.1 Liên thông hình thức kì dị chính qui trên một đại số Hensel định giá rời rạc Cho R là một đại số Hensel định giá rời rạc. Mục này thu được các kết quả sau: Mệnh đề 2.3.1. Cho (M, ∇) ∈ MC◦ (R((x))/R) hạng n. Khi đó, tồn tại một lưới lôgarit M của M. rs Đặc biệt, hàm tử Euler γeulR x : Endo → MC◦ (R((x))/R) R rs là toàn xạ cốt yếu. Mệnh đề 2.3.2. Mỗi liên thông (M, ∇) ∈ MCrs (R((x))/R) là thương của liên thông (M, ∇) trong MCrs (R((x))/R) sao cho M là R((x))-môđun tự do.
8 Liên thông được tham số hóa bởi một vành kì dị chính qui 2.3.2 Thác triển liên thông kì dị chính qui tham số hóa bởi đại số địa phương Noether và Hensel lên P1 \ {0, ∞} R Xét R là một miền nguyên C-đại số địa phương, Noether và Hensel cùng với r là iđêan cực đại. Mục này gồm các kết quả chính sau: Mệnh đề 2.3.3. Cho (M, ∇) ∈ MCrs (R((x))/R). Tồn tại một mô hình lôgarit (M , ∇) ∈ MClog (R x /R) của (M, ∇) sao cho Exp(M ) ⊂ τ và (0 : x)M = 0. Định lý 2.3.4. Cho (M, ∇) ∈ MC◦ (R((x))/R) bất kì. Khi đó rs (1) Tồn tại một lưới lôgarit (M , ∇) ∈ MC◦ R x /R của (M, ∇) sao cho Exp(M ) ⊂ τ. Hơn nữa, log lưới lôgarit (M , ∇) có dạng (M , ∇) ≃ eulR x (V, A), trong đó (V, A) ∈ End◦ sao cho thặng dư R môdulo r của A có tập giá trị riêng thỏa mãn Spec (A) ⊂ τ. (2) M là R((x))-môđun tự do. Mệnh đề 2.3.5. Cho hàm tử Euler γeulR x : End◦ −→ MC◦ (R((x))/R). Khi đó: R rs (1) Hàm tử γeulR x toàn xạ cốt yếu và trung thành nhưng không là hàm tử đầy. (2) Hạn chế γeulR x đến phạm trù con đầy gồm các vật (V, A) của End◦ sao cho Spec A của R ¯ ¯ A : V /r → V /r chứa trong τ là một hàm tử đầy. Mệnh đề 2.3.6. Hàm tử Euler γeulPR : End◦ −→ MC◦ (R[x± ]/R) toàn xạ cốt yếu và trung thành. R rs Mệnh đề 2.3.7. Cho R là một C-đại số địa phương, Noether và Hensel. Khi đó: (i) Hàm tử Euler γeulPR : EndR −→ MCrs (R[x± ]/R) toàn xạ cốt yếu và trung thành. (ii) Mỗi liên thông trong MCrs (R[x± ]/R) là thương của các liên thông trong MC◦ (R[x± ]/R). rs Định lý 2.3.8. Cho R là một C-đại số địa phương, Noether và Hensel. Khi đó, hàm tử hạn chế r : MC◦ (R[x± ]/R) −→ MC◦ (R((x))/R) rs rs là một tương đương. Trong trường hợp C–đại số định giá rời rạc Hensel ta có kết quả: Định lý 2.3.9. Cho R là một C–đại số định giá rời rạc Hensel. Khi đó, hàm tử hạn chế r : MCrs (R[x± ]/R) −→ MCrs (R((x))/R) là một tương đương.
Chương 3 Khai triển lôgarit của liên thông trên đĩa thủng hình thức 3.1 Khai triển lôgarit của liên thông trên đĩa thủng hình thức 3.1.1 Khai triển Turrittin-Levelt-Jordan Mục này nhắc lại sơ lược kết quả của Levelt [13] về khai triển Jordan của liên thông. 3.1.2 Khai triển lôgarit của liên thông hình thức Kết quả chính của mục này bao gồm: Định lý 3.1.1 (Khai triển lôgarit). Cho (M, ∇) ∈ MC(C((x))/C). Khi đó, tồn tại duy nhất khai triển ∇ = ∇rs + P∇ có các tính chất sau: (i) (E, ∇rs ) ∈ MCrs C((x))/C . (ii) P∇ ∈ EndC((x)) (E) chéo hóa được trên C((xs )). (iii) Cho E = Eλ là khai triển Turrittin-Levelt-Jordan của (E, ∇rs ) trên C((x)) và rλ = rankC((x)) Eλ . λ ∈∆ Với mỗi λ ∈ ∆, ta có (a) P∇ (Eλ ) ⊂ Eλ . −1 −1 (b) Tồn tại một C((xs ))–cơ sở (eλ ) của C((xs )) ⊗ Eλ , cλ ∈ C và fλ 1 , ..., fλ ℓ ∈ xs C[xs ] sao C((x)) cho Mat(∇rs |Eλ , eλ ) = J♭λ (cλ ) r ♭ (c + f ), ..., J♭ (c + f )). Mat(∇|Eλ , eλ ) = diag(Jrλ 1 λ λ1 rλ ℓ λ λℓ
10 Khai triển lôgarit của liên thông trên đĩa thủng hình thức Mệnh đề 3.1.2. Cho (M, ∇) ∈ MC(C((x))/C), s ∈ N là chỉ số Turrittin của (M, ∇) và G = Gal(C((xs ))/C((x))). Ký hiệu ∇ = ∇rs + P∇ là khai triển lôgarit của (M, ∇). Khi đó (i) Liên thông lôgarit M(s) ổn định bởi tác động được cảm sinh bởi G trên M(s) . (ii) Xét khai triển Turrittin-Levelt-Jordan (M(s) , ∇) = (Mϕ , ∇ϕ ) của (M, ∇). Khi đó, tồn tại tổng ϕ∈Φ trực tiếp M(s) = Mϕ sao cho mỗi Mϕ là một lưới Deligne-Manin của (Mϕ , ∇rs ) đối với τ, ϕ ϕ∈Φ trong đó ∇rs = ∇rs |Mϕ . ϕ 3.2 Khai triển lôgarit của liên thông được tham số hóa 3.2.1 Liên thông cùng tác động của một đại số Artin Kết quả chính của mục này bao gồm: Định lý 3.2.1 (Khai triển lôgarit). Cho (M, ∇) ∈ MC(C((x))/C)(Λ) cùng chỉ số Turrittin s ∈ N. Khi đó, tồn tại duy nhất khai triển ∇ = ∇rs + P∇ có các tính chất sau: (i) (E, ∇rs ) ∈ MCrs C((x))/C (Λ) . (ii) P∇ ∈ EndΛ((x)) (E) chéo hóa được trên C((xs )). (iii) Cho E = Eλ là khai triển Turrittin-Levelt-Jordan của (E, ∇rs ) trên C((x)) và rλ = rankC((x)) Eλ . λ ∈∆ Với mỗi λ ∈ ∆, ta có (a) P∇ (Eλ ) ⊂ Eλ . −1 −1 (b) Tồn tại một C((xs ))–cơ sở (eλ ) của C((xs )) ⊗ Eλ , cλ ∈ C và fλ 1 , ..., fλ ℓ ∈ xs C[xs ] sao C((x)) cho Mat(∇rs |Eλ , eλ ) = J♭λ (cλ ) r Mat(∇|Eλ , eλ ) = diag(J♭λ 1 (cλ + fλ 1 ), ..., J♭λ ℓ (cλ + fλ ℓ )). r r 3.2.2 Khai triển lôgarit của một liên thông tương đối trên DVR đầy đủ Cho R là C–đại số định giá rời rạc đầy đủ đặc số không. Mục này chúng tôi đua ra định nghĩa của liên thông tồn tại một dạng Turrittin-Levelt-Jordan trên R((x)). Khi đó thu được kết quả sau: Định lý 3.2.2 (Khai triển lôgarit). Cho (M, ∇) ∈ MCo R((x))/R tồn tại một dạng Turrittin-Levelt- Jordan trên R((x)). Khi đó tồn tại duy nhất khai triển ∇ = ∇rs + P∇ thỏa mãn các điều kiện sau: (i) (M, ∇rs ) ∈ MCrs R((x))/R và tồn tại một dạng Turrittin-Levelt-Jordan trên R((x)). (ii) P∇ ∈ EndR((x)) (M) chéo hóa được.