VIỆN HÀN LÂM KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ VIỆT NAM
VIỆN TOÁN HỌC
Phạm Thanh Tâm
VỀ LIÊN THÔNG KÌ DỊ CHÍNH QUI
TRÊN LƯỢC ĐỒ TRÊN MỘT VÀNH
LUẬN ÁN
TIẾN SĨ TOÁN HỌC
Hà Nội - 2024
VIỆN HÀN LÂM KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ VIỆT NAM
VIỆN TOÁN HỌC
Phạm Thanh Tâm
VỀ LIÊN THÔNG KÌ DỊ CHÍNH QUI
TRÊN LƯỢC ĐỒ TRÊN MỘT VÀNH
Chuyên ngành: Đại số và Lý thuyết số
Mã số: 9 46 01 04
LUẬN ÁN
TIẾN SĨ TOÁN HỌC
Tập thể hướng dẫn: GS. TSKH. Phùng Hồ Hải
GS. TSKH. João Pedro Dos Santos
Hà Nội - 2024
Mục lục
Kí hiệu và Danh mục công trình v
Lời mở đầu vii
1 Thác triển liên thông hình thức kì dị chính qui lên PC\ {0,∞}1
1.1 Liên thông trên một vành vi phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.1.1 Liên thông và phương trình vi phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.1.2 Vectơcyclic................................... 1
1.2 Liên thông hình thức kì dị chính qui . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2.1 Liên thông hình thức có kì dị lôgarit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2.2 Liên thông hình thức kì dị chính qui . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.3 Liên thông trên PC\ {0,∞}............................... 2
1.3.1 Liên thông trên PCcókìdịlôgarit....................... 2
1.3.2 Thác triển liên thông hình thức lên đường thẳng xạ ảnh thủng . . . . . . . . 2
1.4 Liên thông cùng tác động của một đại số Artin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
2 Liên thông được tham số hóa bởi một vành kì dị chính qui 5
2.1 Liênthôngkìdịchínhqui................................ 5
2.2 Liên thông được tham số hóa bởi một đại số địa phương Noether đầy đủ . . . . . . . 6
2.2.1 Tiêu chuẩn về tính phẳng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
2.2.2 Liên thông trên R((x)) kì dị chính qui như giới hạn . . . . . . . . . . . . . . 6
2.2.3 Thác triển liên thông kì dị chính qui lên P1
R\ {0,∞}.............. 7
2.3 Liên thông kì dị chính qui được tham số hóa bởi một đại số Hensel . . . . . . . . . . 7
2.3.1 Liên thông hình thức kì dị chính qui trên một đại số Hensel định giá rời rạc . 7
2.3.2
Thác triển liên thông kì dị chính qui tham số hóa bởi đại số địa phương
Noether và Hensel lên P1
R\ {0,∞}....................... 8
3 Khai triển lôgarit của liên thông trên đĩa thủng hình thức 9
3.1 Khai triển lôgarit của liên thông trên đĩa thủng hình thức . . . . . . . . . . . . . . . 9
3.1.1 Khai triển Turrittin-Levelt-Jordan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
3.1.2 Khai triển lôgarit của liên thông hình thức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
3.2 Khai triển lôgarit của liên thông được tham số hóa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
iv Mục lục
3.2.1 Liên thông cùng tác động của một đại số Artin . . . . . . . . . . . . . . . . 10
3.2.2 Khai triển lôgarit của một liên thông tương đối trên DVR đầy đủ . . . . . . . 10
4 Sơ lược về liên thông xác định trên trường đặc số dương 13
4.1 Kýhiệu ......................................... 13
4.2 t-liênthông ....................................... 13
4.3 Đa thức đặc trưng của p−độcong ........................... 13
Tài liệu tham khảo 17
KÍ HIỆU VÀ DANH MỤC CÁC CÔNG
TRÌNH ĐÃ CÔNG BỐ
KÍ HIỆU
(1)
Trong luận án này, ký hiệu
C
là một trường đóng đại số có đặc số không. Ký hiệu
C[x±]:=C[x±1]
và C((x)) :=CJxK[x−1].
(2) Cố định τlà một tập con của Csao cho ánh xạ τ→C/Zlà song ánh.
(3) Cho Xvà Ylà các tập con của C, ký hiệu
X⊖Y=a−b:a∈X,b∈Y.
(4)
Cho
ϕ∈C[x−1]/Z
và
f=a−mx−m+a−m+1x−m+1+... +a−1x−1+a0∈C[x−1]
là một đại diện
của ϕ. Ký hiệu
p(ϕ):=a−mx−m+a−m+1x−m+1+... +a−1x−1.
(5) Cho Alà một C–đại số bất kì và nlà số nguyên dương.
•
Ký hiệu
AJzK
vành các chuỗi lũy thừa hình thức của các biến
z= (z1,...,zn)
với hệ số trong
A.
•Mỗi biến tự do x, ký hiệu A[x±]:=A[x±1]và A((x)) :=AJxK[x−1].
(6) Cho ϕlà một tự đồng cấu tuyến tính của một C–không gian véc tơ hữu hạn chiều V.
•Ký hiệu Spϕlà tập tất cả các giá trị riêng của ϕ.
•
Với
ρ∈Spϕ
, ký hiệu G
(ϕ,ρ)
là không gian véc tơ con riêng suy rộng của
ϕ
liên kết với
ρ
.
(7)
Với
A
là một
C
–đại số, ký hiệu
PA
là đường thẳng xạ ảnh trên
A
. Ký hiệu
A0=PA∖{∞}
và
A∞=PA∖{0}là hai tập mở chính tắc của PA.
(8)
Với
A
là một
C
–đại số, ký hiệu
ϑ:A((x)) →A((x))
là đạo hàm
xd
dx
trên
A((x))
; cụ thể
ϑ
xác định
bởi
ϑ∑anxn=∑nanxn.