Tóm tắt Luận án Tiến sĩ Toán học: Ổn định và điều khiển một số lớp hệ phương trình suy biến có trễ

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:28

Thêm vào BST

Báo xấu

2
lượt xem 1
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Tóm tắt Luận án Tiến sĩ Toán học "Ổn định và điều khiển một số lớp hệ phương trình suy biến có trễ" được nghiên cứu với mục đích: Thiết lập các điều kiện đủ cho tính ổn định trong thời gian hữu hạn của hệ cỡ lớn suy biến có trễ hằng số; Thiết kế hàm điều khiển phản hồi sao cho hệ cỡ lớn suy biến có trễ hằng số đang xét không những là ổn định hóa được trong thời gian hữu hạn mà còn đảm bảo tính tựa tối ưu mức của hệ thống.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Tóm tắt Luận án Tiến sĩ Toán học: Ổn định và điều khiển một số lớp hệ phương trình suy biến có trễ

VIỆN HÀN LÂM KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ VIỆT NAM VIỆN TOÁN HỌC PHẠM THỊ HƯƠNG ỔN ĐỊNH VÀ ĐIỀU KHIỂN MỘT SỐ LỚP HỆ PHƯƠNG TRÌNH SUY BIẾN CÓ TRỄ Chuyên ngành: Toán Ứng dụng Mã số: 9 46 01 12 TÓM TẮT LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC Hà Nội - 2024
MỞ ĐẦU 1. Tổng quan về hướng nghiên cứu và lí do chọn đề tài Trong những thập kỷ gần đây, khi nghiên cứu về tính ổn định của các hệ động lực, bài toán ổn định trong thời gian hữu hạn (finite-time stability) của các hệ động lực thu hút nhiều sự chú ý của các nhà toán học bởi những ý nghĩa thiết thực của khái niệm này so với khái niệm ổn định theo nghĩa cổ điển-ổn định Lyapunov. Khái niệm ổn định trong thời gian hữu hạn lần đầu tiên được giới thiệu bởi nhà toán học người Nga là Kamenkov vào năm 1953 và Lebedev vào năm 1954 trong các bài báo được đăng trên tạp chí “Journal of Applied Mathematics and mechanics” (PMM) bằng tiếng Nga. Năm 1961, lần đầu tiên các tạp chí phương Tây đã công bố một vài kết quả nghiên cứu bài toán ổn định trong thời gian hữu hạn của Dorato dưới tiêu đề “short-time stability” (ổn định trong thời gian ngắn) thu hút nhiều hơn sự quan tâm của các độc giả : Nếu giá trị đầu vào của hệ bị chặn bởi một hằng số c1 thì quỹ đạo nghiệm của hệ sẽ bị chặn bởi một hằng số c2 và điều này đúng với mọi t ∈ [0, T ] trong đó c1 , c2 , T là các hằng số cho trước. Trong khi ổn định theo nghĩa cổ điển-ổn định Lyapunov nghiên cứu dáng điệu nghiệm trong khoảng thời gian dài vô hạn, khái niệm ổn định trong thời gian hữu hạn cung cấp cho ta thông tin về chặn trên, chặn dưới của quỹ đạo nghiệm của hệ động lực trong một khoảng thời gian hữu hạn cố định đã cho. Các kết quả ban đầu về bài toán ổn định trong thời gian hữu hạn thu được từ việc đánh giá trực tiếp công thức nghiệm của hệ, nhưng do việc mô hình hóa các hệ động lực học, hệ robot, vv... ngày càng trở nên gần với thực tế hơn dẫn tới việc tìm công thức nghiệm và đánh giá dáng điệu (tính bị chặn) trở nên khó khăn hơn. Phần lớn các kỹ thuật thiết kế hàm điều khiển để hệ là ổn định trong thời gian hữu hạn được sử dụng trong giai đoạn 1969-1976 là các kỹ thuật với tính toán rất chuyên sâu và phức tạp. Năm 1997, lần đầu tiên Dorato và các cộng sự đã trình bày một thuật toán thiết kế hàm điều khiển phản hồi để hệ là ổn định trong thời gian hữu hạn cho lớp hệ tuyến tính bằng cách sử dụng các bất đẳng thức ma trận tuyến tính (LMIs). Cho tới nay, phương pháp xây dựng các bất đẳng thức ma trận tuyến tính cho bài toán ổn định và điều khiển trong thời gian hữu hạn được sử dụng rộng rãi với nhiều kết quả thu được. Năm 2014, Amato và các cộng sự công bố sách chuyên khảo “Finite-time stability and control”, trong đó đưa ra các phương pháp giải bài toán ổn định trong thời gian hữu hạn cho một số hệ động lực, cũng như chỉ rõ những khác biệt của tính ổn định này so với ổn định cổ điển-ổn định theo nghĩa Lyapunov. Từ đó, bài toán ổn định 1
và điều khiển trong thời gian hữu hạn đã và đang thu hút các nhà nghiên cứu về lý thuyết điều khiển, ứng dụng giải một số bài toán điều khiển như ổn định hóa (stabilization), điều khiển H∞ (H∞ control), đảm bảo giá trị điều khiển (guaranteed cost control), vv... Các hệ suy biến có trễ xuất hiện nhiều trong việc mô phỏng các hệ thống trong thực tế, được sử dụng để mô tả các đường truyền không mất mát (lossless transmission lines), các hiện tượng chuyển động ngắn hạn của áp suất hơi nước tách ra trong quá trình kết hợp sản xuất nhiệt và điện, các hệ thống kỹ thuật hóa học. Hệ suy biến có trễ ngày càng được chú ý vì tầm quan trọng trong lý thuyết hệ động lực học. Năm 2002, Fridman và cộng sự đã giới thiệu một phép biến đổi mô hình suy biến (singular model transformation) cho các kiểu hệ thống có trễ (retarded system) và hệ trung lập (neutral system) và được sử dụng để phát triển một số kết quả cho các hệ này. Lớp hệ được nghiên cứu trong luận án là lớp hệ cỡ lớn suy biến có trễ. Nhiều hệ thống trong thực tế gồm các hệ thống con liên kết với nhau bởi một số lượng lớn các biến và có sự tương tác chặt chẽ với những cấu trúc phức tạp như: hệ thống kinh tế, hệ thống năng lượng, hệ thống điện, hệ thống giao thông vận tải, .... Những hệ thống như vậy được gọi là những hệ cỡ lớn. Sự phức tạp của các hệ cỡ lớn làm cho việc áp dụng trực tiếp các kỹ thuật điều khiển thông thường trở nên không thích hợp hoặc thậm chí không thể thực hiện được, và đòi hỏi các phương pháp, kỹ thuật phân tích và thiết kế mới để phân tách toàn bộ hệ thống về các bài toán nhỏ hơn có thể giải quyết được. Bài toán ổn định và điều khiển trong thời gian hữu hạn cho các hệ cỡ lớn suy biến, đặc biệt là các hệ cỡ lớn suy biến có trễ trở nên phức tạp hơn không chỉ do số chiều lớn của phương trình hệ thống mà còn bởi những đặc điểm về cấu trúc của hệ có tính chất không những suy biến mà còn có trễ. Cho đến nay đã có một số kết quả về bài toán ổn định và điều khiển của hệ cỡ lớn. Phần lớn các kết quả này nhận được hoặc cho các hệ cỡ lớn không có trễ hoặc liên quan tới bài toán ổn định theo nghĩa Lyapunov (asymptotic stability) cho hệ cỡ lớn không suy biến. Theo tìm hiểu của chúng tôi, các kết quả đã công bố cho bài toán ổn định trong thời gian hữu hạn của hệ cỡ lớn còn ít, đặc biệt chưa có kết quả nghiên cứu nào về bài toán ổn định và điều khiển trong thời gian hữu hạn cho hệ cỡ lớn suy biến có trễ. Các tác giả như La-inchua (2017), Tharanidharan (2019) hay Wo (2019) đã đề xuất một số điều kiện đủ giải bài toán ổn định trong thời gian hữu hạn của hệ cỡ lớn không suy biến hoặc không có trễ. Hơn nữa, nghiên cứu bài toán ổn định trong thời gian hữu hạn của hệ cỡ lớn suy biến có trễ (interconnected delays) phức tạp hơn so với hệ không suy biến có trễ, thể hiện ở cấu trúc của lớp hệ này, bao gồm cả các phương trình vi phân có trễ lẫn các phương trình đại số có trễ. Chính các lý do kể trên là động lực để chúng tôi chọn đề tài về bài toán ổn định và điều khiển trong thời gian hữu hạn cho các hệ cỡ lớn suy biến có trễ. 2. Mục đích, đối tượng và phạm vi nghiên cứu Mục đích của luận án là: Thiết lập các điều kiện đủ cho tính ổn định trong thời gian hữu hạn của hệ cỡ lớn suy biến có trễ hằng số. 2
Thiết kế hàm điều khiển phản hồi chấp nhận được sao cho hệ đóng của hệ cỡ lớn suy biến có trễ hằng số đang xét là ổn định trong thời gian hữu hạn. Thiết kế hàm điều khiển phản hồi sao cho hệ cỡ lớn suy biến có trễ hằng số đang xét không những là ổn định hóa được trong thời gian hữu hạn mà còn đảm bảo giá trị điều khiển Thiết kế hàm điều khiển phản hồi sao cho hệ cỡ lớn suy biến có trễ hằng số đang xét không những là ổn định hóa được trong thời gian hữu hạn mà còn đảm bảo tính tựa tối ưu mức của hệ thống. Đối tượng nghiên cứu của luận án là một số bài toán định tính trong lý thuyết ổn định và điều khiển, gồm bài toán ổn định trong thời gian hữu hạn và bài toán điều khiển trong thời gian hữu hạn (ổn định hóa, đảm bảo giá trị điều khiển, điều khiển H∞ ). Phạm vi nghiên cứu của luận án là các hệ cỡ lớn suy biến có trễ hằng số. Đây là một lớp hệ phức tạp và có nhiều ứng dụng trong thực tế. 3. Phương pháp nghiên cứu Trong luận án, chúng tôi đã sử dụng và mở rộng các phương pháp sau đây: Phương pháp phân tích giá trị kỳ dị (singular value decomposition). Phương pháp hàm Lyapunov-Krasovskii. Kỹ thuật trong giải tích ma trận, đại số tuyến tính. Công cụ LMI Control Toolbox trong Matlab để giải các bất đẳng thức ma trận tuyến tính (LMIs) và vẽ mô phỏng cho các kết quả. 4. Kết quả nghiên cứu và cấu trúc của luận án Trong luận án này, kết quả đầu tiên chúng tôi nhận được là thiết lập được một số điều kiện đủ về tính ổn định trong thời gian hữu hạn của hệ cỡ lớn suy biến có trễ dạng:  K Ei xi (t) = Ai xi (t) +  ˙ Aij xj (t − dij ) + Di wi (t), t ≥ 0,  j=i,j=1  xi (t) = ϕi (t), t ∈ [−d, 0],  trong đó 0 < dij ≤ d; i = j; i, j = 1, K; xi (t) ∈ Rni là hàm trạng thái thứ i của hệ; wi (t) ∈ Rpi là hàm nhiễu cho trước; Ei là ma trận suy biến với rank Ei = ri ; Ai ∈ Rni ×ni , Aij ∈ Rni ×nj , Di ∈ Rni ×pi là các ma trận hằng số với số chiều thích hợp; ϕi (.) ∈ C([−d, 0]; Rni ) là hàm trễ ban đầu cho trước; các hàm nhiễu wi (t) thỏa mãn điều kiện sau: ∃h > 0 : max sup{wi (t)wi (t)} ≤ h. i=1,K t≥0 3
Kết quả tiếp theo chúng tôi thu được là thiết kế được các hàm điều khiển phản hồi cho bài toán đảm bảo giá trị điều khiển trong thời gian hữu hạn của hệ cỡ lớn suy biến có trễ dạng:  K  ˙ Ei xi (t) = Ai xi (t) + Aij xj (t − dij ) + Bi ui (t), t ≥ 0,  j=i,j=1  xi (t) = ϕi (t), t ∈ [−d, 0],  trong đó dij > 0; d = max {dij }; xi (t) ∈ Rni là hàm trạng thái, ui (t) là hàm điều khiển; i=j;i,j=1,K Ei là ma trận suy biến với rank Ei = ri ; Ai ∈ Rni ×ni , Bi ∈ Rni ×mi , Aij ∈ Rni ×nj là các ma trận hằng đã cho; ϕi (.) ∈ C([−d, 0], Rni ), i = 1, K là hàm điều kiện ban đầu. Cuối cùng, chúng tôi thiết kế được các hàm điều khiển phản hồi cho bài toán điều khiển H∞ và bài toán đảm bảo giá trị điều khiển trong thời gian hữu hạn của hệ cỡ lớn rời rạc suy biến có trễ dạng: K  E x (k + 1) = A x (k) +  i i  i i Aij xj (k − dij ) + Bi ui (k) + Di wi (k), k ∈ Z+ , j=i,j=1    zi (k) = Ci xi (k) + Hi xi (k − dii ), i = 1, K,     x (k) i = ϕi (k), k = −d, ..., 0, trong đó zi (k) ∈ Rpi là hàm quan sát cùng giả thiết về các ma trận và hàm ban đầu được cho tương tự như các bài toán trước và hàm nhiễu wi (k) ∈ Rqi thỏa mãn điều kiện bị chặn: ∞ ∃h > 0 : max wi (k)wi (k) ≤ h. i=1,K k=0 Ngoài phần mở đầu, kết luận, danh mục các ký hiệu, danh mục các công trình khoa học của tác giả, tài liệu tham khảo, luận án gồm 4 chương. Chương 1. Cơ sở toán học Chương 2. Bài toán ổn định trong thời gian hữu hạn của hệ cỡ lớn suy biến có trễ. Chương 3. Bài toán đảm bảo giá trị điều khiển trong thời gian hữu hạn của hệ cỡ lớn suy biến có trễ. Chương 4. Bài toán điều khiển H∞ và đảm bảo giá trị điều khiển trong thời gian hữu hạn của hệ cỡ lớn rời rạc suy biến có trễ. 4
Chương 1 Cơ sở toán học 1.1 Hệ phương trình suy biến có trễ Xét hệ suy biến tuyến tính dạng: E x(t) = Ax(t) + f (t), ˙ (1.1) trong đó A, E ∈ Rn×n , E là ma trận suy biến với rank E = r < n. và f (t) ∈ Rn ; f (t) được xem là khả vi tới bậc cần thiết. Định nghĩa 1.1.1. Hàm x(t) được gọi là nghiệm của hệ (1.1) trên khoảng (a, b) nếu x(t) là hàm khả vi liên tục trên (a, b) và khi thay x(t) vào hệ (1.1) thì ta được đẳng thức đúng với mọi t ∈ (a, b). Định nghĩa 1.1.2. i) Cặp ma trận (E, A) được gọi là chính quy (regular) nếu tồn tại vô hướng hằng s ∈ C sao cho det (s.E − A) khác 0, hay đa thức det (s.E − A) không đồng nhất bằng 0. ii) Cặp ma trận (E, A) được gọi là không có xung (impulse-free) nếu tồn tại vô hướng hằng s ∈ C sao cho deg(det (s.E − A)) = r = rank E. Để đảm bảo sự tồn tại và duy nhất nghiệm của hệ (1.1) thì E, A là các ma trận vuông, cặp (E, A) là chính quy và f (t) là hàm khả vi tới bậc cần thiết. Bổ đề 1.1.3. Cặp ma trận (E, A) được gọi là chính quy nếu và chỉ nếu tồn tại hai ma trận không suy biến P, Q sao cho: QEP = diag(In1 , N ), QAP = diag(A11 , In2 ), trong đó n1 + n2 = n, A11 ∈ Rn1 ×n1 , N ∈ Rn2 ×n2 là ma trận lũy linh cấp k.   x1 (t) Khi hệ (1.1) là chính quy, với phép biến đổi   = P −1 x(t), x1 (t) ∈ Rn1 , x2 (t) ∈ Rn2 , x2 (t) hệ (1.1) được đưa về dạng:  x1 (t)  ˙ = A11 x1 (t) + f1 (t), N x2 (t) = x2 (t) + f2 (t),  ˙ 5
và có nghiệm duy nhất là t x1 (t) = eA11 t x1 (0) + eA11 (t−s) f1 (s)ds, 0 k−1 (1.2) (i) x2 (t) = − N i f2 (t). i=0 Xét hệ suy biến có trễ dạng:  E x(t) = Ax(t) + Dx(t − h),  ˙ t ≥ 0, (1.3) x(t) = ϕ(t), t ∈ [−h, 0],  trong đó x(t) ∈ Rn là véc tơ trạng thái, A, D là các ma trận hằng số với số chiều thích hợp, E ∈ Rn×n là ma trận suy biến với rank E = r < n, h > 0, ϕ(t) là hàm giá trị ban đầu. Định nghĩa 1.1.4. Hệ (1.3) được gọi là chính quy và không có xung nếu cặp ma trận (E, A) là chính quy và không có xung. Mệnh đề 1.1.5. Giả sử cặp ma trận (E, A) là chính quy và không có xung, khi đó hệ (1.3) luôn có nghiệm duy nhất xác định trên [0, ∞). Nếu E là ma trận suy biến, thì sẽ tồn tại các ma trận khả nghịch U, V sao cho:       Ir 0 A A12 D D12 U EV =   , U AV =  11  , U DV =  11 . 0 0 A21 A22 D21 D22   y1 (t) Bằng phép biến đổi y(t) = V −1 x(t) =  , hệ (1.3) được đưa về hệ phương trình vi y2 (t) phân đại số dạng:  y (t) = A y (t) + A y (t) + D y (t − h) + D y (t − h),  t ≥ 0,  ˙1   11 1 12 2 11 1 12 2  0 = A21 y1 (t) + A22 y2 (t) + D21 y1 (t − h) + D22 y2 (t − h), t ≥ 0,   y(t) = V −1 ϕ(t), t ∈ [−h, 0].   Mệnh đề 1.1.6. Hệ (1.3) là chính quy và không có xung nếu ma trận A22 khả nghịch hay det(A22 ) = 0. 1.2 Bài toán ổn định và ổn định hóa trong thời gian hữu hạn 1.2.1 Bài toán ổn định trong thời gian hữu hạn Xét hệ phương trình dạng: x(t) = f (t, x(t)), ˙ t ≥ 0, x(0) = x0 , (1.4) trong đó x(t) ∈ Rn , f (.) : R+ × Rn → Rn . 6
Định nghĩa 1.2.1. Cho trước thời điểm ban đầu t0 , số dương T và hai tập X0 , X1 trong Rn . Hệ (1.4) được gọi là ổn định trong thời gian hữu hạn (finite-time stable) theo bộ (t0 , T, X0 , X1 ) nếu: x(t0 ) ∈ X0 ⇒ x(t) ∈ X1 , t ∈ [t0 , t0 + T ]. (1.5) Trong trường hợp hệ có dạng: x(t) = Ax(t), x(0) = 0, ˙ (1.6) trong đó x(t) ∈ Rn , A ∈ Rn×n , bài toán ổn định trong thời gian hữu hạn được phát biểu cụ thể như sau: Định nghĩa 1.2.2. Giả sử T, c1 , c2 là các số dương và R là ma trận đối xứng xác định dương cho trước. Hệ (1.6) được gọi là ổn định trong thời gian hữu hạn theo bộ (c1 , c2 , T, R) nếu: x (0)Rx(0) ≤ c1 ⇒ x (t)Rx(t) < c2 , t ∈ [0, T ]. Xét hệ tuyến tính có nhiễu dạng:   x(t) = Ax(t) + Gw(t), t ∈ [0, T ],  ˙ (1.7)  x(0) = x0 ,  với hàm nhiễu w(t) ∈ Rl thỏa mãn điều kiện w (t)w(t) ≤ d; A ∈ Rn×n , G ∈ Rn×l . F. Amato và các cộng sự đã đưa ra định nghĩa cho tính ổn định trong thời gian hữu hạn của hệ (1.7) như sau: Định nghĩa 1.2.3. Cho trước các số dương d, T, c2 > c1 và R là ma trận đối xứng xác định dương. Hệ (1.7) được gọi là ổn định trong thời gian hữu hạn theo bộ (c1 , c2 , T, R, d), nếu x0 Rx0 < c1 ⇒ x (t)Rx(t) < c2 , ∀t ∈ [0, T ], ∀w(t) : w (t)w(t) ≤ d. Định lí sau đây cho ta một tiêu chuẩn đầu tiên về tính ổn định trong thời gian hữu hạn của hệ (1.7). Định lí 1.2.4. Hệ (1.7) là ổn định trong thời gian hữu hạn theo bộ (c1 , c2 , T, R, d) nếu tồn tại một hằng số dương α, và hai ma trận đối xứng xác định dương Q1 ∈ Rn×n , Q2 ∈ Rl×l sao cho các điều kiện sau được thỏa mãn:   AQ1 + Q1 A − αQ1 GQ2   < 0, Q2 G −αQ2 c1 d c2 e−αT + ≤ , λmin (Q1 ) λmin (Q2 ) λmax (Q1 ) −1 −1 với Q1 = R 2 Q1 R 2 . Xét hệ phương trình suy biến tuyến tính dạng:  E x(t) = Ax(t),  ˙ (1.8) x(t0 )  = x0 . Đặt Sρ = x : x(t) Q< ρ , x(t) ∈ Wk \ {0}, trong đó Q là ma trận thực đối xứng xác định dương, Wk là không gian chứa các điều kiện ban đầu tương thích để hệ có nghiệm trơn. 7
Định nghĩa 1.2.5. Hệ (1.8) được gọi là ổn định trong thời gian hữu hạn theo bộ {J, α, β, Q}, α < β nếu: x0 Q< α ⇒ x(t) Q< β, với mọi t ∈ J, ∀x(t0 ) = x0 ∈ Wk và Q = E P E trong đó P = P là ma trận xác định dương. Định lí 1.2.6. Hệ (1.8) là ổn định trong thời gian hữu hạn theo bộ {J, α, β, Q}, α < β nếu điều kiện sau được thỏa mãn: β ln > Λmax (M )(t − t0 ), ∀t ∈ J, α với Λmax (M ) = max x (t)M x(t) : x(t) ∈ Wk \ 0 và x (t)E P Ex(t) = 1 , trong đó ma trận M xác định bởi M = A P E + E P A. Xét hệ có trễ dạng:  x(t) = A0 x(t) + A1 x(t − τ ),  ˙ t ≥ 0, (1.9) x(t) = Ψx (t), t ∈ [−τ, 0],  trong đó x(t) là véc tơ trạng thái, A0 , A1 là các ma trận hằng số cho trước với số chiều thích hợp, τ > 0 là trễ thời gian, Ψx (t) là hàm điều kiện ban đầu. Đặt Sβ là tập các trạng thái chấp nhận được của hệ và Sα là tập chứa các trạng thái ban đầu của hệ sao cho Sα ⊆ Sβ , trong đó 2 Sρ = {x : x(t) Q< ρ}, với Q là ma trận thực đối xứng xác định dương. Định nghĩa 1.2.7. Hệ (1.9) được gọi là ổn định trong thời gian hữu hạn với bộ (ξ(.), β, τ ) nếu: sup Ψx (t)Ψx (t) < ξ(t) ⇒ x (t)x(t) < β, ∀t ∈ [0, T ], t∈[−τ,0] trong đó ξ(.) là hàm vô hướng có tính chất 0 < ξ(t) ≤ α với mọi t ∈ [−τ, 0], α là số thực dương thỏa mãn α < β. Nghiệm của hệ (1.9) với điều kiện ban đầu đã cho có dạng: 0 x(t) = Φ(t)Ψx (0) + Φ(t − θ − τ )A1 Ψx (θ)dθ, −τ với Φ(t) là ma trận nghiệm cơ bản của hệ (1.9). Định lí 1.2.8. Hệ (1.9) với điều kiện ban đầu đã cho là ổn định trong thời gian hữu hạn theo bộ (α, β, τ, T ) nếu: β/α Φ(t) < , ∀t ∈ [0, T ], 1 + τ A1 trong đó . là chuẩn Euclide. 8
Xét hệ tuyến tính suy biến có trễ dạng:  E x(t) = A0 x(t) + A1 x(t − τ ),  ˙ t ≥ 0, (1.10) x(t) = ϕ(t), t ∈ [−τ, 0],  trong đó A0 , A1 là các ma trận hằng số có số chiều thích hợp, x(t) ∈ Rn là véc tơ trạng thái, E ∈ Rn×n là ma trận suy biến, ϕ(t) ∈ C([−τ, 0], Rn ) là hàm điều kiện ban đầu, τ > 0 là trễ hằng số. Tính chính quy, không có xung của hệ (1.10) được định nghĩa tương tự trong Định nghĩa 1.1.4. Định nghĩa 1.2.9. Hệ (1.10) được gọi là ổn định trong thời gian hữu hạn với bộ (α, β, Γ, R), α < β nếu: sup ϕ (t)ϕ(t) ≤ α ⇒ x (t)E Ex(t) < β, ∀t ∈ Γ, t∈[−τ,0] với Γ = [t0 , t0 + T ] ⊆ R. Định lí sau đây trình bày điều kiện đủ để hệ (1.10) là ổn định trong thời gian hữu hạn. Định lí 1.2.10. Hệ thỏa mãn điều kiện chính quy, không có xung (1.10) là ổn định trong thời gian hữu hạn theo bộ {α, β, T }, α < β, nếu tồn tại một số dương η thỏa mãn các điều kiện sau: x (t − ϑ)x(t − ϑ) < qx (t)E Ex(t), q > 0, ϑ ∈ [−τ, 0], ∀t ∈ [0, T ], E E = EE , (1 + τ )(1 + Ψ)λmax (E E) ¯ β eλmax (Ξ,E E)t < , ∀t ∈ Γ, q α 1 − Ψ ηλmax (E E) + η trong đó S = (A0 + EQ(0)), Ξ=E A0 + EQ(0)) + (A0 + Q (0)E E, e2µ(S)τ − 1 Ψ = λmax Q(0)Q (0) , 2µ(S) 1 µ(S) = λmax S + S , 2 ¯ λmax (Ξ, E E) = max y ∗ (t)Ξy ∗ (t) : y ∗ (t)E Ey ∗ (t) = 1 , τ y ∗ (t) = x(t) + Q(θ)x(t − θ)dθ, 0 ˆ E = (sE − A0 )−1 )E, ˆ ˆ với E D là nghịch đảo Drazin của ma trận E và Q(0) là nghiệm của phương trình ma trận dạng: ˆˆ I − E E D Q(0) = 0, 9
1.2.2 Bài toán ổn định hóa trong thời gian hữu hạn Xét hệ điều khiển được mô tả bởi phương trình dạng: x(t) = f (t, x(t), u(t)), t ≥ 0, ˙ (1.11) trong đó x(t) ∈ Rn là véc tơ trạng thái, u(t) là véc tơ điều khiển, hàm f là hàm cho trước thỏa mãn điều kiện f (t, 0, 0) = 0, ∀t ≥ 0. Xét lớp hàm điều khiển chấp nhận được u(t) ∈ L2 ([0, +∞), Rn ). Định nghĩa 1.2.11. Hệ (1.11) được gọi là ổn định hóa được trong thời gian hữu hạn (finite- time stabilization) nếu tồn tại hàm h : Rn → Rm , h(0) = 0, sao cho với điều khiển phản hồi u(t) = h(x(t)), thì hệ đóng x(t) = f (x(t), h(x(t))), t ≥ 0 ˙ (1.12) là ổn định trong thời gian hữu hạn theo bộ (t0 , T, X0 , Xt ). Đối với hệ tuyến tính có điều khiển dạng:   x(t) = Ax(t) + Bu(t), t ∈ [0, T ],  ˙ (1.13)  x(0) = x0 ,  với x(t) ∈ Rn là véc tơ trạng thái; A, B là các ma trận hằng số nhận giá trị thực với số chiều thích hợp; u(t) = Kx(t) ∈ Rm là hàm điều khiển phản hồi. Định lí 1.2.12. Cho các số dương T , c2 > c1 , và ma trận đối xứng xác định dương R. Giả sử tồn tại ma trận xác định dương Q ∈ Rn×n , ma trận N ∈ Rm×n và số α>0 sao cho các điều kiện sau được thỏa mãn: AQ + QA + BN + N B − αQ < 0, c2 cond(Q) < e−αT . c1 Khi đó, hệ (1.13) là ổn định hóa được trong thời gian hữu hạn theo bộ (c1 , c2 , T, R). Ma trận −1 −1 điều khiển phản hồi được xác định bởi K = N Q−1 , trong đó Q = R 2 QR 2 và cond(Q) = λmax (Q) λmin (Q) . 1.3 Bài toán điều khiển H∞ Với bài toán ổn định hóa, khi hệ thống có chứa nhiễu, trong nhiều trường hợp, ta không chỉ quan tâm tới việc thiết kế một hàm điều khiển để hệ là ổn định mà còn quan tâm tới việc hàm điều khiển này cần phải đảm bảo tác dụng của nhiễu gây ra là nhỏ nhất. Bài toán này được gọi là bài toán điều khiển H∞ . Phương pháp thường được sử dụng để giải quyết bài toán điều khiển H∞ cho các hệ suy biến có trễ là phương pháp hàm chuyển (miền tần số) và phương pháp chức năng (miền thời 10
gian) (Haidar (2008)). Trong phương pháp hàm chuyển, một bộ điều khiển ổn định sẽ được thiết kế sao cho hàm chuyển vòng kín kết quả từ nhiễu w(.) tới hàm đầu ra được kiểm soát z(.), ký hiệu là Tzω càng nhỏ càng tốt, nghĩa là ảnh hưởng của nhiễu lên đầu ra được kiểm soát là tối thiểu hóa. Hàm chuyển Tzω là một hàm tần số, khó có thể xác định xem nó lớn hay nhỏ. Do vậy, chuẩn H∞ ( . ∞) được sử dụng như một đại lượng đo lường kích thước của hàm chuyển. Thông thường, . ∞ được xác định bởi z 2 . ∞ = sup , ω=0 ω 2 trong đó  ∞ 1/2  ∞ 1/2 z 2 :=  z(t) 2 dt , ω 2 :=  ω(t) 2 dt , 0 0 Mục đích của bài toán điều khiển H∞ là thiết kế các điều khiển chấp nhận được K nhằm giảm thiểu ảnh hưởng của các tín hiệu lỗi z(.). Bài toán điều khiển H∞ trong thời gian hữu hạn được phát biểu như sau: Cho trước số dương γ > 0 và T > 0, tìm điều khiển phản hồi u(t) sao cho hệ đóng của hệ đang xét là ổn định trong thời gian hữu hạn và điều kiện sau thỏa mãn: z 2 sup ≤ γ, ω=0 ω 2 trong đó  T 1/2  T 1/2 z 2 :=  z(t) 2 dt , ω 2 :=  ω(t) 2 dt . 0 0 1.4 Bài toán đảm bảo giá trị điều khiển Bài toán thiết kế một hàm điều khiển để hệ không những ổn định mà còn đảm bảo rằng một hàm chi phí toàn phương liên hệ với hệ thống có giá trị hữu hạn, đảm bảo một mức độ đầy đủ về hiệu suất được gọi là bài toán đảm bảo giá trị điều khiển. Xét hệ điều khiển có dạng:  x(t) = Ax(t) + Bu(t), t ≥ 0,  ˙ (1.14) x(0) = x0 ; x(t) ∈ Rn , u(t) ∈ Rm ,  và hàm chi phí toàn phương dạng: T J(u) = x (t)U x(t) + u (t)V u(t) dt, 0 với T > 0 và các ma trận không âm U ∈ Rn×n , V ∈ Rm×m cho trước. Bài toán đảm bảo giá trị điều khiển tối ưu bao gồm bài toán ổn định hóa và bài toán tối ưu mức: Tìm hàm điều khiển u∗ (t) ∈ US (lớp tất cả các hàm điều khiển để hệ đóng của hệ (1.14) là ổn định) và hàm chi phí J(T, u∗ (t)) = J ∗ đạt giá trị nhỏ nhất. Do lớp các hàm điều khiển chấp nhận được US không có các tính chất tô pô, giải tích (liên thông, compact, lồi,...) nên bài toán này đến 11
nay chưa giải được. Một giải pháp đặt ra là thay vì đi tìm một hàm điều khiển u∗ (t) ∈ US để J(T, u∗ (t)) = J ∗ đạt giá trị nhỏ nhất, ta cần tìm một hàm điều khiển u∗ (t) ∈ US sao cho với hàm điều khiển này hàm chi phí là hữu hạn và có giá trị càng nhỏ càng tốt (dưới tối ưu, tựa tối ưu). Vậy, bài toán đảm bảo giá trị điều khiển của hệ (1.14) là bài toán tìm một hàm điều khiển u∗ (t) và một số J ∗ > 0 sao cho với hàm điều khiển vừa tìm được, hệ (1.14) là ổn định và J(T, u∗ ) ≤ J ∗ . Khi đó J ∗ được gọi là giá trị đảm bảo điều khiển và u∗ (t) được gọi là hàm điều khiển đảm bảo giá trị. 1.5 Các bổ đề bổ trợ Bổ đề 1.5.1 (Bổ đề phần bù Schur). Cho các ma trận hằng A, B, D, thỏa mãn điều kiện B = B T > 0, A = A . Khi đó ta có:   A D A + D B −1 D < 0 ⇔   < 0. D −B Bổ đề 1.5.2 (Bất đẳng thức ma trận Cauchy). Cho các véc tơ a, b ∈ Rn và ma trận đối xứng xác định dương R ∈ Rn×n . Ta có: 2a b ≤ a Ra + b R−1 b. Bổ đề 1.5.3. Cho ma trận hằng E, X với X là ma trận đối xứng xác định dương. Ta có: −XE X −1 EX ≤ −XE − EX + X. Bổ đề 1.5.4 (Phân tích giá trị kỳ dị). Cho ma trận E ∈ Rn×n với rank E = r ≤ n. Khi đó, tồn tại hai ma trận trực giao U, V ∈ Rn×n sao cho: E = U ΣV , trong đó Σ là ma trận đường chéo, với các phần tử trên đường chéo chính là σ1 , σ2 , ..., σr , 0, ..., 0 với σ1 ≥ σ2 ≥ ... ≥ σr > 0. Bổ đề 1.5.5. Cho ma trận suy biến E ∈ Rn×n với rank E = r < n. Khi đó, tồn tại hai ma trận không suy biến M, N sao cho:   Ir 0 M EN =  . 0 0 Bổ đề 1.5.6. Cho ma trận suy biến E ∈ Rn×n với rank E = r < n. Khi đó, luôn tồn tại ma trận N sao cho rank N = n − r và thỏa mãn N E = 0. Bổ đề 1.5.7. Cho x ∈ Rn và A ∈ Rn×n là ma trận đối xứng xác định dương. Ta có: λmin (A)x x ≤ x Ax ≤ λmax (A)x x. 12
Chương 2 Bài toán ổn định trong thời gian hữu hạn của hệ cỡ lớn suy biến có trễ 2.1 Các điều kiện đủ về tính ổn định trong thời gian hữu hạn Xét hệ cỡ lớn suy biến có trễ dạng:  K Ei xi (t) = Ai xi (t) +  ˙ Aij xj (t − dij ) + Di wi (t), t ≥ 0,  j=i,j=1 (2.1)  xi (t) = ϕi (t), t ∈ [−d, 0],  trong đó 0 < dij ≤ d; i, j = 1, K; xi (t) ∈ Rni là hàm trạng thái thứ i của hệ; wi (t) ∈ Rpi là hàm nhiễu cho trước; Ei là ma trận suy biến với rank Ei = ri ; Ai ∈ Rni ×ni , Aij ∈ Rni ×nj , Di ∈ Rni ×pi là các ma trận hằng số với số chiều thích hợp; ϕi (.) ∈ C([−d, 0]; Rni ) là hàm trễ ban đầu cho trước; các hàm nhiễu wi (t) thỏa mãn điều kiện sau: ∃h > 0 : max sup{wi (t)wi (t)} ≤ h. (2.2) i=1,K t≥0 Bằng phép đặt R = diag{R1 , · · · , RK }, x (t) = [x1 (t) , . . . , xK (t) ], ϕ (t) = [ϕ1 (t) , . . . , ϕK (t) ], chúng tôi đưa ra các định nghĩa sau: Định nghĩa 2.1.1. (i) Hệ (2.1) được gọi là chính quy nếu det(sEi − Ai ), i = 1, K, không đồng nhất bằng đa thức không với s ∈ C. (ii) Hệ (2.1) được gọi là không có xung nếu deg(det(sEi − Ai )) = ri = rank Ei , i = 1, K với s ∈ C. Định nghĩa 2.1.2. Cho trước các số dương c1 , c2 , T và ma trận xác định dương R > 0. Hệ (2.1) được gọi là ổn định trong thời gian hữu hạn với bộ (c1 , c2 , T, R) nếu hệ là chính quy, 13
không có xung và thỏa mãn điều kiện sau: sup {ϕ (s)Rϕ(s)} ≤ c1 → x (t)Rx(t) < c2 , ∀t ∈ [0, T ], s∈[−d,0] với mọi hàm nhiễu wi (t) thỏa mãn điều kiện (2.2).   Iri 0 Từ giả thiết Ei = ri < ni , tồn tại hai ma trận khả nghịch Mi , Gi thỏa mãn  = 0 0 Mi Ei Gi . Đặt     ¯11 ¯12 Ai Ai i D1 Mi Ai Gi =   ; Mi Di =  ; ¯21 ¯22 Ai Ai i D2     i i P11 P12 Aij Aij 11 12 Gi Pi Mi−1 =   ; Mi Aij Gj =   với mọi i, j = 1, K. i P21 i P22 Aij 21 Aij 22 Bằng phép đổi biến yi (t) = G−1 xi (t) := [yi (t), yi (t)] , yi ∈ Rri ,yi ∈ Rni −ri với mọi i = 1, K, i 1 2 1 2 lớp hệ (2.1) được biểu diễn dưới dạng các phương trình vi phân - đại số như sau: K   1 ¯11 i ¯12 i y (t) = Ai y 1 (t) + Ai y 2 (t) +  ˙i  Aij yj (t − dij ) + Aij yj (t − dij ) 11 1 12 2  j=i,j=1      i +D1 ωi (t), t ≥ 0,      K  ¯ ¯i y 1 (t) + Ai y 2 (t) + Aij yj (t − dij ) + Aij yj (t − dij ) 1 2 (2.3) 0 =  A21 i 22 i 21 22 j=i,j=1      i +D2 ωi (t), t ≥ 0,        = G−1 ϕ (t), t ∈ [−d, 0].  y (t) i i i Để thuận tiện cho việc trình bày kết quả chính, chúng tôi đưa ra một số các ký hiệu: ∆i =Pi Ai + Ai Pi + (K − 1)Qi ; 1,1 ∆i =−Ai Ui Aij + Pi Aij , ∀j > i; ∆i = −Ai Ui Ai(j−1) + Pi Ai(j−1) , ∀j ≤ i; j = 2, K; 1,j 1,j ∆i i i,(K+1) = Ai Qi ; ∆(K+1),(K+1) = −2Qi ; ∆i = −Qj − Aij Ui Aij − Aij Ui Aij ,∀j > i, j = 2, K; j,j ∆i = −Qj−1 − Ai(j−1) Ui Ai(j−1) − Ai(j−1) Ui Ai(j−1) , ∀j ≤ i; j = 2, K; j,j ∆i = −Aij Ui Aik − Aij Ui Aik , j, k > i; j, k = 2, K; j,k ∆i = −Ai(j−1) Ui Ai(k−1) − Ai(j−1) Ui Ai(k−1) ; j, k ≤ i; ∀j = k; j, k = 2, K; j,k ∆i = −Ai(j−1) Ui Aik − Ai(j−1) Ui Aik ; j ≤ i; k > i; j, k = 2, K; j,k ∆i i j,(K+1) = Aij Qi + Aij Ui , j > i, j = 2, K; ∆j,(K+1) = Ai(j−1) Qi + Ai(j−1) Ui ; j ≤ i, j = 2, K; ∆i (K+1+j),(K+1+j) = −I; ∆i i j,(K+1+j) = Aij Ui Di , j > i; ∆j,(K+1+j) = Ai(j−1) Ui Di , j ≤ i; j = 2, K; ∆i (K+1+i),(K+1+i) = −I; ∆i i i i,(K+1+i) = Pi Di ; ∆(2K+2),(2K+2) = −I; ∆(K+1),(2K+2) = Qi Di ; ∆i = 0 cho các trường hợp còn lại, α1 = min {λmin (P11 )}; jk i i=1,K 14
λmax (Pi Ei ) λmax (Qi ) α2 = max ; β = (K − 1) max ; i=1,K λmin (Ri ) i=1,K λmin (Ri ) λmax ([G−1 ] [G−1 ]) i i ρ = max , g = max λmax (Gi Ri Gi ) ; i=1,K λmin (Ri ) i=1,K dβc1 + α2 c1 + K(K + 1)hT f (c1 ) = max ; ρc1 , d1 = min {dij }; α1 i=j;i,j=1,K α3 = 2K max { [A22 ¯21 ¯i ]−1 Ai 2 } + 4K(K − 1) max { [Ai ]−1 Aij 2 }; ¯22 21 i=1,K i=j;i,j=1,K T [ ] d1 l α4 = 2K(K − 1) max ¯22 [Ai ]−1 Aij 22 2 ; i=j;i,j=1,K l=0 a1 = 1 + α3 α4 + 2K(K − 1)α4 max ¯22 [Ai ]−1 Aij 22 2 ; i=j;i,j=1,K a2 = 2hK 2 α4 max { ¯22 [Ai ]−1 D2 2 }. i i=1,K Định lí 2.1.3. Cho trước các số dương T, c1 , c2 , (c2 > c1 ) và các ma trận đối xứng xác định dương Ri ∈ Rni ×ni , i ∈ 1, K. Khi đó, hệ (2.1) là ổn định trong thời gian hữu hạn theo bộ (c1 , c2 , T, R1 , ..., RK ) nếu tồn tại các ma trận không suy biến Pi , các ma trận đối xứng xác định dương Qi , các ma trận tự do Ui , i = 1, K và một số β > 0 thỏa mãn các điều kiện sau: Pi Ei = Ei Pi ≥ 0; (2.4)   ∆i i i 1,1 ∆1,2 . . .∆1,(K+2) . . . ∆i 1,(2K+2)    ∗ ∆i .∆i ∆i   2,2 . . 2,(K+2) . . . 2,(2K+2)    < 0, i = 1, K; (2.5)    . . . . . . . . .    ∗ ∗ . . .∗ . . . ∆i (2K+2),(2K+2) c2 a1 f (c1 )eβT + a2 < . (2.6) g Chứng minh. Chứng minh định lí được chia làm 2 bước. Bước 1: Chỉ ra tính chính quy và không có xung của hệ (2.1). Bước 2: Chỉ ra tính ổn định trong thời gian hữu hạn của hệ cỡ lớn đang xét. 2.2 Một số nhận xét và ví dụ minh họa Nhận xét 2.2.1. Vì (2.4) không là một bất đẳng thức ma trận tuyến tính (LMI), do vậy chúng tôi không thể giải được biểu thức này bằng công cụ LMI Control Toolbox trên Matlab. Nhưng với Pi là ma trận không suy biến đã cho, bằng phép biểu diễn Pi dưới dạng Pi := Ei P i + Pii M i , trong đó Pii là một ma trận bất kỳ, P i là một ma trận đối xứng xác định dương, M i là một ma trận thỏa mãn điều kiện M i Ei = 0, khi đó Pi Ei = Ei Pi = Ei P i Ei ≥ 0 với mọi i = 1, K. Kết hợp (2.4) và (2.5), chúng tôi có thể dễ dàng giải được các bất đẳng thức ma trận tuyến tính dạng (2.5) bằng công cụ LMI Control Toolbox trên Matlab. 15
Nhận xét 2.2.2. Trong Định lí 2.1.3, với bộ K, R, T, β cho trước, nếu c1 được lấy cố định, thì giá trị c2 có thể được xác định bởi bài toán tham số tối ưu (tìm giá trị nhỏ nhất của c2 ) như sau: min c2 Pi ; Qi ; Ui ; i = 1, K; sao cho các bất đẳng thức (2.4) -(2.6) xảy ra. Nhận xét 2.2.3. Các kết quả trong chương này được xem xét như một mở rộng các kết quả đã có của Hien (2015), La-inchua (2017), Tharanidharan (2019), Wo (2019). Tài liệu của Hien (2015) đã nghiên cứu tính ổn định Lyapunov của hệ phương trình vi phân suy biến có trễ, đây không phải hệ cỡ lớn. Trong tài liệu của Tharanidharan (2019), các tác giả đã nghiên cứu tính ổn định trong thời gian hữu hạn của hệ cỡ lớn với các lỗi truyền động không suy biến cũng không có trễ. Trong khi đó, La-inchua (2017) đã nghiên cứu tính ổn định trong thời gian hữu hạn của hệ cỡ lớn không suy biến với trễ biến thiên. Trong tài liệu của Wo (2019), bài toán ổn định trong thời gian hữu hạn của hệ cỡ lớn suy biến đã được nghiên cứu. Tuy nhiên hệ cỡ lớn này không chứa trễ. Trong chương này, hệ cỡ lớn được nghiên cứu không chỉ suy biến mà còn có trễ. Các kết quả được thể hiện trong Định lí 2.1.3 bao gồm các điều kiện đủ cho tính ổn định trong thời gian hữu hạn của hệ (2.1) là mới và phân phối một kết quả đáng chú ý cho lý thuyết ổn định của hệ cỡ lớn. 2.3 Kết luận Chương 2 Trong chương này, luận án đã trình bày một số kết quả nghiên cứu cho bài toán ổn định trong thời gian hữu hạn của hệ cỡ lớn suy biến có trễ với nhiễu bị chặn. Kết quả đạt được gồm một số điều kiện đủ cho tính ổn định trong thời gian hữu hạn của hệ được xây dựng dựa trên các bất đẳng thức ma trận tuyến tính và các ràng buộc dạng bất phương trình. Ví dụ với mô phỏng được trình bày để minh họa cho kết quả đạt được. Các kết quả nhận được của chương này là mới và là mở rộng và phát triển một số kết quả của các bài báo của Hien (2015), La-inchua (2017), Tharanidharan (2019), Wo (2019). 16
Chương 3 Bài toán đảm bảo giá trị điều khiển trong thời gian hữu hạn của hệ cỡ lớn suy biến có trễ 3.1 Đảm bảo giá trị điều khiển trong thời gian hữu hạn Xét hệ điều khiển cỡ lớn suy biến có trễ dạng:  K Ei xi (t) = Ai xi (t) +  ˙ Aij xj (t − dij ) + Bi ui (t), t ≥ 0,  j=i,j=1 (3.1)  xi (t) = ϕi (t), t ∈ [−d, 0],  trong đó d = max {dij }; xi (t) ∈ Rni là hàm trạng thái, ui (t) là hàm điều khiển; Ei là ma i=j;i,j=1,K trận suy biến với rank Ei = ri , i = 1, K; Ai ∈ Rni ×ni , Bi ∈ Rni ×mi , Aij ∈ Rni ×nj là các ma trận hằng đã cho; ϕi (.) ∈ C([−d, 0], Rni ) là hàm điều kiện ban đầu. Trong chương này, luận án sử dụng các ký hiệu về ma trận R, véc tơ x(t), ϕ(t), và đưa ra định nghĩa tương tự như trong Chương 2 về tính chính quy, tính không có xung của cặp ma trận (Ei , Ai ) và tính ổn định trong thời gian hữu hạn của hệ (3.1) khi u(t) = 0. Tiếp theo chúng tôi đưa ra định nghĩa về tính ổn định hóa trong thời gian hữu hạn của lớp hệ chứa hàm điều khiển (3.1) như sau: Định nghĩa 3.1.1. Cho trước các số nguyên dương c1 > 0, c2 > 0, T > 0 và các ma trận đối xứng xác định dương Ri , i = 1, K. Hệ (3.1) được gọi là ổn định hóa được trong thời gian hữu hạn theo (c1 , c2 , T, R) nếu tồn tại các hàm điều khiển phản hồi ui (t) = Fi xi (t), i = 1, K, sao cho hệ đóng của hệ (3.1) là ổn định trong thời gian hữu hạn theo bộ (c1 , c2 , T, R). Lưu ý rằng, hệ thu được từ (3.1) bằng cách thay hàm ui (t) bởi Fi xi (t) được gọi là hệ đóng của dạng (3.1). Để định nghĩa bài toán điều khiển đảm bảo giá trị cho lớp hệ (3.1), chúng tôi xét hàm chi phí toàn phương có dạng T K K J(T, u) = xi (t)Ui xi (t) + xi (t − dji )Vi xi (t − dji ) 0 i=1 j=i,j=1 17
+ ui (t)Wi ui (t) dt, (3.2) trong đó Ui ≥ 0, Vi ≥ 0, và Wi > 0, i = 1, K là các ma trận hằng số cho trước. Định nghĩa 3.1.2. Cho trước các số dương c2 > c1 > 0, T > 0 và các ma trận đối xứng xác định dương Ri > 0, i = 1, K. Bài toán đảm bảo giá trị điều khiển trong thời gian hữu hạn (finite-time guaranteed cost control) cho hệ (3.1) được gọi là giải được nếu tồn tại các hàm điều khiển phản hồi ui (t) = Fi xi (t), i = 1, K sao cho hệ đóng của hệ (3.1) là ổn định trong thời gian hữu hạn theo (c1 , c2 , T, R). Hơn nữa, với hàm điều khiển này, tồn tại một số J ∗ > 0 thỏa mãn J(T, u) ≤ J ∗ . Khi đó J ∗ được gọi là giá trị chi phí đảm bảo và u(t) được gọi là hàm điều khiển đảm bảo giá trị. Tiếp theo, chúng tôi thiết kế các hàm điều khiển ngược ui (t) = Fi xi (t), i = 1, K, để giải bài toán đảm bảo giá trị điều khiển cho hệ (3.1). Nếu các ma trận điều khiển Fi đã xác định được thì hệ đóng của hệ (3.1) được mô tả bởi hệ:  K Ei xi (t) = (Ai + Bi Fi )xi (t) +  ˙ Aij xj (t − dij ), t ≥ 0,  j=i,j=1 (3.3)  xi (t) = ϕi (t), t ∈ [−d, 0].  Do Ei là các ma trận suybiến với rank Ei = ri < ni , không giảm tổng quát, ta giả sử rằng  Iri 0 ma trận Ei có dạng Ei =   . Khi đó, các ma trận Ai + Bi Fi , Aij được phân thành các 0 0 khối với cỡ ma trận thuộc không gian là Rri , Rni −ri tương ứng với sự phân tách của các tọa độ hàm trạng thái xi = (xi , xi ), xi ∈ Rri , xi ∈ Rni −ri . Nói cách khác, ma trận Ai + Bi Fi , Aij 1 2 1 2 sẽ có dạng:     ¯ ¯ Ai Ai Aij Aij 11 12 11 12 Ai + Bi Fi =  , Aij =  . ¯ ¯ Ai Ai Aij 21 Aij 22 21 22 Khi đó, hệ (3.1) có thể được biểu diễn dưới dạng:  K ¯ ¯ [Aij xj (t − dij ) + Aij xj (t − dij )],  i x1 (t) = Ai xi (t) + Ai xi (t) + ˙  11 1 12 2 11 1 12 2 t ≥ 0,     j=i,j=1 K  ¯i xi (t) + Ai xi (t) + ¯ [Aij xj (t − dij ) + Aij xj (t − dij )], t ≥ 0, (3.4) 0  = A21 1 22 2 21 1 22 2 j=i,j=1       i x (t) = ϕi (t), xi (t) = ϕi (t), t ∈ [−d, 0]. 1 1 2 2   i i P1 P2 Đặt Pi =   , i = 1, K, chúng tôi đưa ra những ký hiệu sau i i P3 P4 χi = Pi Ai + Ai Pi + Ui + (K − 1)[Qi + Vi ]; χi 1,1 1,K+1 = Ai + Pi Bi Bi ; χi = Pi Aik − Ai Si Aik , nếu k > i, k = 2, K; 1,k χi = Pi Ai(k−1) − Ai Si Ai(k−1) , nếu k ≤ i, k = 2, K; 1,k χi = −Aik Si Aij − Aik Si Aij , k, j > i, ∀j = k, j, k = 2, K; k,j χi = −Ai(k−1) Si Ai(j−1) − Ai(k−1) Si Ai(j−1) , k ≤ i, j ≤ i, ∀j = k; j, k = 2, K; k,j 18
χi = −Ai(k−1) Si Aij − Ai(k−1) Si Aij , k ≤ i, j > i, ∀j = k; j, k = 2, K; k,j χi = −Qk − Aik Si Aik − Aik Si Aik ; k > i, ∀k = 2, K; k,k χi = −Qk−1 − Ai(k−1) Si Ai(k−1) − Ai(k−1) Si Ai(k−1) ; k ≤ i; k = 2, K; k,k χi k,K+1 = Aik + Aik Si , nếu k > i, k = 2, K; χi i k,K+1 = Ai(k−1) + Ai(k−1) Si , nếu k ≤ i, k = 2, K; χK+1,K+1 = −2I; √ χi 1,K+2 = K + 1Pi Bi ; χi i K+2,K+2 = −I; χk,K+1+k = Aik Si Bi , k > i, k = 2, K; χi i k,K+1+k = Ai(k−1) Si Bi , k ≤ i; χK+1+k,K+1+k = −I, k = 2, K; 1/2 χi i i 1,2K+2 = Pi Bi Wi ; χ2K+2,2K+2 = −I ; χk,2K+2 = 0, k = 2, K; i 1 σ1 = min {λmin (P1 )}, λ = max ; i=1,K i=1,K λmin (Ri ) i λmax (P1 ) λmax (Qi + Vi ) σ2 = max + (K − 1)d max ; i=1,K λmin (Ri ) i=1,K λmin (Ri ) α = (2K − 1) max ¯ ¯ ¯ 21 ¯ [Ai ]−1 Ai 2 ; [Ai ]−1 Aij 2 ; [Ai ]−1 Aij 22 2 ; 22 21 22 22 i=j,i,j=1,K σ 2 c1 g(c1 ) = max ; λc1 ; σ1 T [ ] d1 d1 = min {dij }, b1 = [αK(K − 1)]i , i=j;i,j=1,K i=0 b2 = max {λmax (Ri )}; b3 = 1 + αb1 + 2K(K − 1)αb1 ; i=1,K Định lí 3.1.3. Cho c1 , c2 , T là các số dương, và các ma trận đối xứng Ui ≥ 0, Vi ≥ 0, Ri > 0, Wi > 0, i = 1, K. Bài toán đảm bảo giá trị điều khiển trong thời gian hữu hạn của hệ (3.1) là giải được nếu tồn tại các ma trận Si , các ma trận không suy biến Pi , các ma trận đối xứng Qi > 0, i = 1, K và một số η > 0 thỏa mãn các điều kiện sau: Pi Ei = [Pi Ei ] ≥ 0; (3.5)   χi χi . . . χi  1,1 1,2 1,2K+2   ∗ χi χi   2,2 . . . 2,2K+2    < 0, i = 1, K; (3.6)    . . . . . .    ∗ ∗ . . . χi 2K+2,2K+2 c2 b3 g(c1 )eηT ≤ . (3.7) b2 Hơn nữa, ui (t) = Bi Pi xi (t), i ∈ 1, K là các hàm điều khiển đảm bảo giá trị và J ∗ = σ2 c1 là giá trị chi phí đảm bảo. Chứng minh. Chứng minh tính chính quy và không có xung của hệ (3.1). Thiết kế hàm đảm bảo giá trị điều khiển. Chỉ ra giá trị chi phí đảm bảo (3.2) ứng với hàm điều khiển vừa tìm được. 19