Luận án Tiến sĩ Vật lý: Khối lượng các trường hiệu dụng theo các chiều phụ trội

Chia sẻ: Dopamine Grabbi | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:108

Thêm vào BST

Báo xấu

26
lượt xem 4
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Mục tiêu của đề tài nghiên cứu nhằm tìm mối liên hệ giữa khối lượng của các hạt và các chiều phụ trội. - Mở rộng lý thuyết gauge để các trường gauge có thể có khối lượng; tìm mối liên hệ giữa các thế hệ quark và lepton với các chiều phụ trội. Mời các bạn tham khảo nội dung đề tài!

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Luận án Tiến sĩ Vật lý: Khối lượng các trường hiệu dụng theo các chiều phụ trội

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO BỘ KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ VIỆN NĂNG LƯỢNG NGUYÊN TỬ VIỆT NAM TRẦN THANH DŨNG KHỐI LƯỢNG CÁC TRƯỜNG HIỆU DỤNG THEO CÁC CHIỀU PHỤ TRỘI LUẬN ÁN TIẾN SỸ VẬT LÝ HỒ CHÍ MINH - 2021
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO BỘ KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ VIỆN NĂNG LƯỢNG NGUYÊN TỬ VIỆT NAM TRẦN THANH DŨNG KHỐI LƯỢNG CÁC TRƯỜNG HIỆU DỤNG THEO CÁC CHIỀU PHỤ TRỘI LUẬN ÁN TIẾN SỸ VẬT LÝ Chuyên ngành: Vật lý lý thuyết và Vật lý toán Mã số chuyên ngành: 9.44.01.03 Khóa học: 2015 - 2019 Người hướng dẫn khoa học: 1. PGS.TS. Nguyễn Mộng Giao 2. GS.TSKH. Đào Vọng Đức HỒ CHÍ MINH - 2021
LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của tôi dưới sự hướng dẫn của PGS.TS. Nguyễn Mộng Giao và GS.TSKH. Đào Vọng Đức. Những kết quả nêu trong luận án là trung thực và chưa từng được công bố trong bất kỳ công trình nào khác. Mọi bài báo đều được các đồng tác giả cho phép sử dụng . Tp.HCM, ngày tháng năm 20 Tác giả luận án Trần Thanh Dũng
LỜI CẢM ƠN Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn đến thầy GS.TSKH. Đào Vọng Đức, PGS.TS. Nguyễn Mộng Giao đã tận tình giúp đỡ và động viên tôi trong quá trình học tập, nghiên cứu và hoàn thành luận án này. Tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành tới quý thầy cô trong Trung tâm Đào tạo hạt nhân, Viện Năng lượng nguyên tử Việt Nam đã tạo điều kiện và giúp đỡ tôi hoàn thành luận án này. Tôi cũng gửi lời cảm ơn tới các lãnh đạo và đồng nghiệp tại Trường đại học Thủ Dầu Một, Bình Dương và gia đình của tôi đã quan tâm và ủng hộ tôi trong suốt quá trình học NCS. Trần Thanh Dũng
MỤC LỤC CÁC THUẬT NGỮ ANH – VIỆT ............................................................................ i DANH SÁCH HÌNH VẼ ......................................................................................... iii MỞ ĐẦU ................................................................................................................... 1 CHƯƠNG I: TỔNG QUAN VỀ KHÔNG – THỜI GIAN VỚI CÁC CHIỀU PHỤ TRỘI TRONG LÝ THUYẾT DÂY .......................................................................... 5 1.1. Các nguyên lý cơ bản của lý thuyết dây ......................................................... 5 1.1.1. Dây boson .................................................................................................. 6 1.1.1.1. Phương trình chuyển động của dây .............................................................................. 6 1.1.1.2. Đại số dây .................................................................................................................................... 8 1.1.2. Siêu dây ................................................................................................... 10 1.1.2.1. Siêu tọa độ ................................................................................................................................. 10 1.1.2.2. Đại số siêu dây ........................................................................................................................ 15 1.2. Các chiều phụ trội trong lý thuyết dây .......................................................... 18 1.2.1. Số chiều không – thời gian với dây boson .............................................. 18 1.2.2. Số chiều không – thời gian với siêu dây ................................................. 19 1.3. Phiếm hàm trường dây và trường tachyon .................................................... 20 1.3.1. Phiếm hàm trường dây boson ............................................................................................ 20 1.3.2. Phiếm hàm trường siêu dây ..................................................................... 23 1.4. Phổ các trạng thái kích thích ......................................................................... 34 1.4.1. Phổ khối lượng trong dây boson.............................................................. 34 1.4.2. Phổ khối lượng trong siêu dây................................................................. 39 1.5. Kết luận chương 1 ......................................................................................... 42 CHƯƠNG II: CƠ CHẾ SINH KHỐI LƯỢNG ...................................................... 44 2.1. Sự co gọn của các chiều phụ trội .................................................................. 44 2.1.1. Co gọn theo vòng tròn ............................................................................. 44 2.1.2. Co gọn theo hình xuyến D – 4 chiều ....................................................... 48
2.1.3. Co gọn khái quát theo đường kín ............................................................ 48 2.2. Điều kiện tuần hoàn theo các chiều phụ trội ................................................. 49 2.3. Nguyên lý bất biến tương đối tổng quát với không – thời gian đa chiều ..... 50 2.3.1. Phép biến đổi Lorentz.............................................................................. 50 2.3.2. Nguyên lý bất biến tương đối rộng.......................................................... 51 2.3.3. Đạo hàm hiệp biến ................................................................................... 52 2.4. Khối lượng các trường hiệu dụng ................................................................. 52 2.4.1. Phương trình trường hiệu dụng ............................................................... 52 2.4.2. Khối lượng của trường vô hướng hiệu dụng ........................................... 53 2.4.3. Khối lượng của trường vector hiệu dụng ................................................ 55 2.5. Hàm trường spinor trong không – thời gian đa chiều ................................... 57 2.6. Phổ khối lượng của các trường spinor hợp nhất ........................................... 62 2.7. Trường tachyon spinor .................................................................................. 64 2.8. Qui luật tổng khối lượng ............................................................................... 64 2.9. Biến dạng trường gauge với các vector boson có khối lượng ...................... 67 2.9.1. Lý thuyết gauge ....................................................................................... 67 2.9.2. Biến đổi gauge phi abel ........................................................................... 70 2.9.3. Biến dạng bất biến gauge U(1) ................................................................ 73 2.9.4. Biến dạng bất biến gauge phi abel........................................................... 74 2.9.5. Các hằng số liên kết biến đổi................................................................... 76 2.10. Kết luận chương 2 ....................................................................................... 76 CHƯƠNG III: ĐIỆN TÍCH TỪ CÁC CHIỀU PHỤ TRỘI .................................... 78 3.1. Đạo hàm 4 chiều của các trường ................................................................... 78 3.2. Lagrangian tương tác điện từ cho các trường hiệu dụng .............................. 79 3.3. Khối lượng và điện tích của các trường spinor hợp nhất .............................. 82 3.4. Quy luật tổng khối lượng - điện tích ............................................................. 83 3.5. Quark tachyon và lepton tachyon.................................................................. 84 3.5.1. Đa tuyến quark......................................................................................... 84
3.5.2. Đa tuyến lepton........................................................................................ 85 3.6. Khả năng điện tích thay đổi theo không - thời gian ...................................... 86 3.7. Kết luận chương 3 ......................................................................................... 86 NHỮNG KẾT QUẢ CHÍNH CỦA LUẬN ÁN...................................................... 88 NHỮNG ĐÓNG GÓP MỚI CỦA LUẬN ÁN ....................................................... 90 DANH MỤC CÁC CÔNG TRÌNH ĐÃ CÔNG BỐ............................................... 91
CÁC THUẬT NGỮ ANH – VIỆT STT Các thuật ngữ tiếng anh Các thuật ngữ tiếng Việt (Chữ viết tắt) 1 Compactification Sự co gọn 2 Compactification length Chiều dài co gọn 3 Conventional field strength Cường độ trường thông thường 4 Corresponding imvariant Lagran- Lagrangian bất biến tương ứng gian 5 Covariant quantization Lượng tử hóa hiệp biến 6 Deformed gauge invariance Bất biến gauge biến dạng 7 Deformed field strength Cường độ trường biến dạng 8 Deformed Lorentz gauge condi- Điều kiện gauge Lorentz biến dạng tion 9 Distributive principle Nguyên lý phân bố 10 Dual Resonance Model Mô hình cộng hưởng kép 11 Effective field functions Các hàm trường hiệu dụng (trong không - thời gian 4 chiều) 12 Extra-dimension Chiều phụ trội 13 Gauge vector boson Boson vector gauge 14 Gauge coupling constants Hằng số liên kết gauge 15 Grand Unified theory. Lý thuyết Đại thống nhất (GUT) 16 Large Hadron Collider LHC 17 Light-cone quantization Lượng tử nón ánh sáng 18 Modified gauge principle Nguyên lý gauge cải biến 19 M theory (Mother hoặc Magic) Lý thuyết M 20 Negative-norm state Trạng thái chuẩn âm 21 New physical vector field Trường vector vật lý 22 Neutral vector field Aμ (x) Trường vectơ trung tính 23 Normal ordered product Tích normal 24 Original field functions Các hàm trường khởi đầu (trong không - thời gian n chiều, n>4) i
25 Ordinary field functions Các hàm trường thông thường (trong không - thời gian 4 chiều) 26 Periodicity condition Điều kiện tuần hoàn 27 Principle of minimal action Nguyên lý tác dụng tối thiểu 28 Quantum chromodynamics Thuyết sắc động lực học lượng tử (QCD) 29 Ramond–Neveu–Schwarz string Dây Ramond–Neveu–Schwarz (RNS) 30 Space - like Tựa chiều không gian 31 Space-time extra-dimensions Các chiều không - thời gian phụ trội 32 Standard model Mô hình chuẩn (SM) 33 Supersymmetric in spacetime siêu đối xứng trong không thời gian 34 Super Virasoro algebra đại số siêu Virasoro 35 Symmetry Algebra Đại số đối xứng 36 Time - like Tựa chiều thời gian 37 Theory of Everything Lý thuyết của mọi vật (TOE) 38 Unified multiplet Đa tuyến hợp nhất 39 Variable Coupling Constants Hằng số liên kết biến đổi 40 World-sheet supersymmetry siêu đối xứng trên lá thế 41 World sheet metric Metric trên lá thế ii
DANH SÁCH HÌNH VẼ Hình 1.1. Dây mở và dây đóng 7 Hình 1.2. Lá thế của dây đóng và dây mở 7 Hình 2.1: Tại mỗi điểm trong không thời gian, một chiều phụ trội bị co 44 lại thành vòng tròn Hình 2.2. Tại mỗi điểm trong không thời gian, một chiều phụ trội co lại 44 thành một mặt cầu Hình 2.3. Tại mỗi điểm trong không thời gian, một chiều phụ trội bị co 45 lại thành một mặt hình xuyến iii
MỞ ĐẦU 1. Lý do chọn đề tài Xây dựng lý thuyết Đại thống nhất (GUT) các tương tác cơ bản là hướng nghiên cứu có tính thời sự đặc biệt của Vật lý lý thuyết, trong đó lý thuyết siêu dây (Super- string theory) là lĩnh vực nghiên được đánh giá có nhiều triển vọng [1-5]. Sau cuộc cách mạng siêu dây lần thứ hai vào năm 1995, năm phương án khác nhau của lý thuyết siêu dây được thống nhất thành một lý thuyết gọi là lý thuyết – M (Mother hoặc Magic) với 11 chiều không – thời gian (11D) [3, 6,7]. Chúng ta thấy rằng lý thuyết M có 11 chiều không – thời gian và đã giải thích được rất nhiều bài toán trong vật lý. Tuy nhiên, không – thời gian mà chúng ta đang sống chỉ có bốn chiều. Do đó, bảy chiều còn lại được gọi là các chiều phụ trội. Một câu hỏi lớn được đặt ra: trong không - thời gian 4 chiều thông thường các chiều phụ trội biến mất đi đâu và chúng có ý nghĩa vật lý gì. Các nhà vật lý đã đưa ra rất nhiều mô hình toán học khác nhau để các chiều phụ trội co gọn lại (Compact) trong không - thời gian 4 chiều của chúng. Klein [8] đã đưa ra giả thuyết rằng chiều không gian thứ 5 co gọn lại thành vòng tròn có bán kính rất nhỏ vào cỡ hằng số Plank h. Mặc dù lý thuyết Kaluza – Klein đã thống nhất lực hấp dẫn và lực điện từ bằng cách thêm chiều phụ trội thứ 5 và cho rằng các chiều dư này bị co gọn nhưng ý nghĩa của sự co gọn của chiều thứ 5 chưa được làm rõ [9,10]. Sau đó, nhiều công trình đã nghiên cứu các lý thuyết với số chiều phụ trội nhiều hơn. Tiêu biểu như các công trình về siêu trọng lực (supergravity) 11D [11, 12] và siêu dây (superstring) 10D [13,14] cũng cho rằng các chiều phụ trội đã co gọn lại một cách tự phát đặc trưng bởi tôpô hình học [15-18]. Tuy nhiên, ý nghĩa vật lý của sự co gọn này chưa được làm sáng tỏ. Đặc biệt là việc xuất hiện trong các phương án này các hạt tachyon có m 2  0 [19,20]. Vấn đề cội nguồn của các hạt cơ bản đã và đang được quan tâm nghiên cứu. Câu hỏi được đặt ra là khối lượng của các hạt cơ bản từ đâu mà có? Năm 1982, J.L. Alonso và các cộng sự [21] đã đưa ra ý tưởng cho rằng chiều thứ 5 trong lý thuyết Kaluza – Klein chính là quán tính của hạt trong không thời gian 4 chiều. Tuy nhiên, đây là mô hình trong không thời gian 5 chiều, theo lý thuyết M thì không - thời gian là 11 chiều, chúng ta vẫn còn 6 chiều phụ trội chưa được đề cập đến. Năm 2006, một hội thảo quốc tế về nguồn gốc khối lượng và các lý thuyết hằng số gauge liên kết 1
mạnh được tổ chức tại trường Đại học Nagoya, Nhật Bản [22]. Các công trình nghiên cứu đã đề cập đến nhiều vấn đề của lý thuyết dây và hạt Higgs. Tuy nhiên vấn đề về nguồn gốc khối lượng của các hạt vẫn chưa được làm rõ. Ngoài ra, mối liên hệ giữa nguồn gốc khối lượng của các hạt cơ bản và các hạt Higgs cũng được quan tâm nghiên cứu. Năm 2003, dựa trên mối liên hệ giữa khối lượng các hạt Higgs và thang co gọn các chiều phụ trội 1/R trong mô hình chuẩn (SM) với một hoặc hai chiều phụ trội, các tác giả trong công trình [23] đã tính được rằng thang co gọn 1/R vào khoảng 250GeV và khối lượng của các Higgs nằm trong vùng mở rộng cho kết quả phù hợp với dữ liệu thực nghiệm. Năm 2012, Frank Wilczek [24] cũng một lần nữa khẳng định rằng nguồn gốc khối lượng của các hạt bắt nguồn từ hạt Higgs (như được đề xuất bởi Higgs và cộng sự năm 1964). Thực nghiệm tại LHC (Large Hadron Col- lider) đã xác nhận có ghi nhận tồn tại hạt Higgs với khối lượng mH  125GeV [25,26]. Tuy nhiên nguồn gốc khối lượng của các hạt Higgs vẫn chưa được giải thích rõ bằng lý thuyết [27, 28]. Cho đến nay, từ các kết quả nghiên cứu lý thuyết và thực nghiệm, nguyên lý bất biến gauge được xem là nguồn gốc của các tương tác giữa các hạt cơ bản, bao gồm tương tác mạnh, điện từ và yếu (và có thể cả hấp dẫn). Nó đang đóng vai trò quan trọng trong nhiều lý thuyết vật lý, đặc biệt là trong việc xây dựng mô hình thống nhất các tương tác khác nhau dựa trên nguyên lý bất biến gauge [29-32]. Trong lý thuyết gauge, các trường gauge bắt buộc phải không có khối lượng [33,34]. Đây đã từng là khó khăn rất lớn trong việc thống nhất các tương tác, bởi vì tương tác yếu là tương tác tầm gần nên các hạt gauge truyền tương tác phải có khối lượng. Mặt khác định lý Goldstone [35,36] cho rằng khi Lagrangian của hệ bất biến với các phép biến đổi đối xứng thì chân không hoặc là vẫn bất biến, hoặc là không bất biến (gọi là phá vỡ đối xứng tự phát) và tồn tại hạt không có khối lượng với spin bằng không (gọi là hạt Goldstone). Nếu kết hợp giữa lý thuyết gauge và cơ chế Higgs thì hai khó khăn trên được giải quyết. Khi đó các trường gauge sẽ có khối lượng và đồng thời các hạt Goldstone cũng biến mất [27,28]. Có rất nhiều công trình nghiên cứu về mở rộng lý thuyết gauge [37-40]. Trong nước, GS.TSKH Đào Vọng Đức [41] đã đề xuất một cách tiếp cận khác cho khả năng các gauge vector boson có thể có khối lượng một cách độc lập với cơ chế Higgs, dựa trên nguyên lý bất biến gauge biến dạng. Cơ chế này cho phép các hằng số gauge liên kết thay đổi trong không – thời gian [42]. Điều 2
này rất có ý nghĩa cho nghiên cứu thế giới vi mô và vĩ mô [43-45]. Trong công trình [46-47], nhóm tác giả đã đưa ra điều kiện tuần hoàn của các hàm trường theo các chiều phụ trội. Từ đó, nhóm tác giả này đã chứng minh được rằng các chiều phụ trội liên quan mật thiết với khối lượng của trường vô hướng, trường spinor và trường vector. Cũng với ý tưởng trên, nguồn gốc của các hạt Tach- yon [48] và điện tích của các của trường vô hướng và trường spinor (với d=1) trong trường hợp tương tác gauge U(1) [49] cũng được chứng minh là có liên quan tới các chiều phụ trội. Để mở rộng các ý tưởng trong các công trình [46-49], chúng tôi thực hiện luận án “Khối lượng các trường hiệu dụng theo các chiều phụ trội”. Trong luận án này chúng tôi tập trung giải thích mối liên liên giữa khối lượng của trường và các chiều phụ trội, mở rộng lý thuyết gauge theo một cách tiếp cận độc lập với cơ chế Higgs, từ đó suy ra khả năng thay đổi theo thời gian của các hằng số liên kết và tìm hiểu mối liên hệ giữa khối lượng của các quark và các lepton với các chiều phụ trội. Kết quả của luận án đã được công bố trong các công trình [1-6]. 2. Mục đích, Đối tượng và Phạm vi nghiên cứu + Mục đích nghiên cứu - Tìm mối liên hệ giữa khối lượng của các hạt và các chiều phụ trội. - Mở rộng lý thuyết gauge để các trường gauge có thể có khối lượng. - Tìm mối liên hệ giữa các thế hệ quark và lepton với các chiều phụ trội. + Đối tượng và phạm vi nghiên cứu - Các chiều phụ trội. - Lý thuyết siêu dây. - Khối lượng của trường boson, fermion và vector. - Khối lượng của các quark và lepton. 3. Phương pháp nghiên cứu Nghiên cứu lý thuyết, sử dụng các phương pháp trong lý thuyết trường lượng tử và các phạm trù trong lý thuyết siêu dây. 4. Ý nghĩa khoa học và thực tiễn của luận án 3
Nội dung chủ yếu của luận án là các kết quả nghiên cứu về một cơ chế tạo khối lượng và điện tích từ các chiều phụ trội xuất hiên trong các mô hình lý thuyết Đại thống nhất, đặc biệt trong lý thuyết siêu dây. Các kết quả nghiên cứu trên góp phần giải thích nguồn gốc khối lượng của các hạt cơ bản, nghiên cứu về một cách tiếp cận để mở rộng lý thuyết gauge với các boson gauge có khối lượng độc lập với cơ chế Higgs và chứng minh được mối liên hệ giữa các quark và các leptop với các chiều phụ trội. Đồng thời các kết quả nghiên cứu trên cũng tiên đoán sự tồn tại các hạt fermion tachyon và quark tachyon. Những kết quả của luận án góp phần làm sáng tỏ ý nghĩa vật lý và vai trò của các chiều phụ trội, đặc biệt là tính chất tôpô hình học, liên qua đến nguồn gốc sinh khối lượng. Các kết quả này có thể sử dụng khi nghiên cứu các mô hình GUT. 5. Cấu trúc của luận án Luận án gồm phần mở đầu, 3 chương, kết luận, danh mục công trình công bố, tài liệu tham khảo. Chương 1. Không–thời gian với các chiều phụ trội trong lý thuyết dây Trình bày tổng quan về các nguyên lý cơ bản của lý thuyết dây, các chiều phụ trội trong lý thuyết dây, phổ các trạng thái kích thích và trường tachyon và các phạm trù liên quan đến nội dung các chương sau. Chương 2. Cơ chế tạo khối lượng Trình bày về co gọn các chiều phụ trội, điều kiện tuần hoàn theo các chiều phụ trội, nguyên lý bất biến tương đối tổng quát với không thời gian đa chiều, khối lượng các trường hiệu dụng, trường spinor trong không thời gian đa chiều, phổ khối lượng các trường spinor hợp nhất, trường tachyon spinor, quy luật tổng khối lượng và bất biến gauge biến dạng. Chương 3. Điện tích từ các chiều phụ trội Trình bày về đạo hàm 4 chiều của các trường, Lagrangian tương tác điện từ cho các trường hiệu dụng, điện tích của các trường spinor hợp nhất, quy luật tổng khối lượng - điện tích, quark tachyon và lepton tachyon và khả năng điện tích thay đổi theo không thời – gian. 4
CHƯƠNG I: TỔNG QUAN VỀ KHÔNG – THỜI GIAN VỚI CÁC CHIỀU PHỤ TRỘI TRONG LÝ THUYẾT DÂY Trong chương này, chúng tôi sẽ trình bày tổng quan về các chiều phụ trội và phổ khối lượng trong lý thuyết siêu dây. Chúng là hai đối tượng nghiên cứu chính của luận án. 1.1. Các nguyên lý cơ bản của lý thuyết dây Lý thuyết dây dùng để miêu tả hạt có spin nguyên (hạt boson), do đó lý thuyết này còn được gọi lý thuyết dây boson. Lý thuyết dây được đề xuất đầu tiên từ công trình của Veneziano, được gọi là mô hình Veneziano, về biên độ cho tán xạ meson được công bố năm 1968 [50]. Tuy mô hình này được cho là mô hình khá thành công trong việc mô tả tán xạ meson ở thời điểm trước QCD và phù hợp rất tốt với dữ liệu thực nghiệm nhưng mô hình này đã tồn tại trạng thái tachyon [51]. Sau đó, năm 1969 và 1970, Y. Nambu, H.B. Nielsen and L. Susskind [52-54] đã nhận thấy rằng mô hình Veneziano có thể mô tả được tán xạ của đối tượng một chiều dao động, được gọi là dây, dẫn đến sự ra đời của lý thuyết dây. Sau đó, J. Scherk and J. Schwarz [55] đã tổng quát quá lý thuyết dây sao cho có thể mô tả được tất cả các tương tác cơ bản bao gồm tương tác hấp dẫn, tuy nhiên cần phải sử dụng 26 chiều không thời gian [56-58]. Mặc dù lý thuyết dây mô tả được các lực cơ bản nhưng vẫn chưa phải là lý thuyết thống nhất bởi vì lý thuyết này chỉ mô tả được các hạt boson, các hạt truyền tương tác và có spin nguyên, mà không mô tả được các hạt fermion, các hạt vật chất và có spin bán nguyên. Ngoài ra, trong lý thuyết dây có chứa các hạt tachyon mà hoàn toàn chưa được thực nghiệm ghi nhận. Năm 1971, Ramond [59] đã khái quát mô hình cộng hưởng kép (The Dual Resonance Model) thành fermion không thời gian (spacetime fermions). Cùng năm này, Neveu and Schwarz [60,61] đã mở rộng mô hình cộng hưởng kép này cho các pion và quark. Hai mô hình này được xem là hai mặt khác nhau của một mô hình được gọi là mô hình Ramond–Neveu–Schwarz (RNS). Gervais and Sakita [63] đã nhận thấy rằng mô hình RNS có một đối xứng liên quan giữa các boson và các fermion và được gọi là siêu đối xứng trên lá thế (the world-sheet supersymmetry). Năm 1976, bằng cách thực hiện phép chiếu các trạng 5
thái trong mô hình RNS, Gliozzi, Scherk and Olive [64] đã xây dựng một lý thuyết dây có chứa siêu đối xứng trong không thời gian (supersymmetric in spacetime) và dẫn đến sự ra đời của lý thuyết siêu dây. Sau đó, Green và Schwarz [65] đã phát triển lý thuyết siêu dây bằng cách vận dụng siêu đối xứng vào không - thời gian 10 chiều. Trong phần này, chúng tôi sẽ tổng quan về không thời gian đa chiều với các chiều phụ trội trong lý thuyết dây boson và lý thuyết siêu dây. Từ đó, chúng ta thấy rằng các chiều phụ trội là bắt buộc phải có trong các lý thuyết thống nhất các tương tác. 1.1.1. Dây boson 1.1.1.1. Phương trình chuyển động của dây Trong lý thuyết dây, hạt được xem là một dây (đối tượng một chiều) và được xác định bởi vector tọa độ X  ( , ) trong không – thời gian D chiều, trong đó  mô tả đặc tính thời gian của hạt,  mô tả đặc tính không gian của hạt và  = 0,1,2,.., D − 1 , với D là số chiều của không – thời gian Minkowski. Theo [66], tác dụng Polyakov của dây: 1 S=  d d   X    X  2 (1.1) 1 =  d d ( X   X  −  X   X  ), 2 X  trong đó:  X   , với  = ( , ) và  là metric trên lá thế (the world  sheet metric) 1 0  =  .  0 −1  Từ (1.1), Lagrangian của dây boson được chọn là: L =    X  .  X  (1.2) =  X  . X  −  X  . X  . Theo [66,67], ta có phương trình Euler-Lagrange: L L −  = 0. (1.3) X  ( X  ) 6
Thay (1.2) vào (1.3) và thực hiện lấy đạo hàm Lagrangian theo X  và  X  , ta tìm được phương trình chuyển động của dây   X   (2 − 2 ) X  = 0 . (1.4) Phương trình (1.4) là phương trình sóng với nghiệm tổng quát gồm hai thành phần “chuyển động trái X L ” và “ chuyển động phải X R ”: X  ( , ) = X R ( −  ) + X L ( +  ) . (1.5) Dây được chia làm hai loại: dây mở và dây đóng (như hình 1.1). Khi chuyển động trong không - thời gian dây sẽ quét ra một mặt phẳng hai chiều được gọi là lá thế (hình 1.2). Hình 1.1. Dây mở và dây đóng [68] Hình 1.2. Lá thế của dây đóng và dây mở [68] Xét trường hợp dây mở: Ta đặt điều kiện biên cho hai đầu dây tự do (được gọi là điều kiện Neumann) như sau:  X  = 0 tại  = 0,  . (1.6) Từ điều kiện (1.6), ta tìm được biểu thức nghiệm tổng quát của phương trình (1.4) cho trường hợp dây mở [68,69]: 1 X  ( , ) = x  + 2  sp  −i s  n  n e−in cos(n ) , (1.7) n0   trong đó, x và p lần lượt là tọa độ và xung lượng khối tâm của dây, s là tham   số chiều dài của dây và  n là dao động tử quỹ đạo. Vì X là nghiệm của phương 7
trình sóng (1.4) nên nó phải là hàm thực. Do đó x  và p  cũng phải thực và  n + =  −n . Xét trường hợp dây đóng: Ta đặt điều kiện biên như sau: X  ( , +  ) = X  ( , ) . (1.8) Từ điều kiện (1.8), ta tìm được biểu thức nghiệm tổng quát của phương trình (1.4) cho trường hợp dây đóng [68,69]: 1  1 i 1 X R ( −  ) = 2 x + 2 2  s p ( − ) − 2 s  n  n e−2in( − ) , (1.9a) n 0 1  1 i 1 X L ( +  ) = 2 x + 2 2  s p ( +) − 2 s  n  n e−2in( + ) , (1.9b) n0 với x  , p  và s tương tự trường hợp dây mở. Các  n và  n lần lượt là dao động tử quỹ đạo ứng với “chuyển động phải” và “chuyển động trái”. 1.1.1.2. Đại số dây Từ Tensor năng – xung lượng trên lá thế [66,67]: 1 ( T =  X  .  X  −      X  .  X  , 2 ) (1.10) với  ,  ,  ,  là các chỉ số vector lá thế,  ,  ,  ,  = 0,1 , ta suy ra: 1 ( T00 =  0 X   0 X  − 00  00 0 X   0 X  + 111 X  1 X  2 ) 1 = ( 0 X   0 X  + 1 X  1 X  ) 2 1 = ( X  X  + X ' X ' ) , (1.11) 2 với X    0 X  , X    0 X  , X '  1 X  và X '  1 X  . Tương tự (1.11), ta có: 1 ( T10 = 1 X   0 X  − 10  00 0 X   0 X  + 111 X  1 X  2 ) 1  = X ' X . (1.12) 2 Ta lập các toán tử [67]: 8
 1 −in Ln  − e   d (T00 cosn − iT10 sin n ), nZ . (1.13) 0 Thay (1.11) và (1.12) vào (1.13), ta được: 1    Đối với dây mở: Ln = −     ,n +k . 2 k =− − k (1.14)  Đối với dây đóng: 1   Ln = −   − k  ,n +k 2 k =− 1   và Ln  −     ,n + k , 2 k =− − k (1.15) với điều kiện: L+n = L− n và L+n = L− n . Ta viết lại (1.14) và (1.15) dưới dạng tích thông thường (normal ordered prod- uct): 1  Ln  −  :  −k  ,n+ k : , (1.16) 2 k =− 1  Ln  −  :  −k  ,n+ k : , (1.17) 2 k =− trong đó:  n , n (n > 0) là các toán tử hủy và  −n , −n (n > 0) là các toán tử sinh. Ở đây, “: :” được ký hiệu là tích thông thường, trong đó các toán tử sinh được sắp xếp bên trái các toán tử hủy. Thực hiện tính giao hoán giữa Lm và Ln , trong đó lưu ý đến các hệ thức [70]:  m , nv  = −m. v  m+n,0 (đối với dây mở)   và  m , nv  =  m , nv  = −m. v  m+n,0 (đối với dây đóng),     ta được:  Ln , Lm  = (n − m) Ln+m với n + m  0 , (1.18) 1   trong đó Ln+ m = −     ,n + m + k . 2 k =− − k 9
Tuy nhiên, nếu n + m = 0 thì biểu thức (1.18) xuất hiện số hạn dị thường A(n). Do đó, một cách tổng quát, biểu thức (1.18) được viết lại [66,67,71]:  Ln , Lm  = (n − m) Ln+m + A(n). n+m,0 . (1.19) Trong đó số hạn A( n) bằng: D A(n) = n(n 2 − 1) khi m = −n , (1.20) 12 với D: số chiều không – thời gian. Từ (1.19) và (1.20), ta có:  Đối với dây mở: D  Ln , Lm  = (n − m) Ln+m + n(n 2 − 1) n+m,0 . (1.21) 12  Đối với dây đóng: D  Ln , Lm  = (n − m) Ln+m + n(n 2 − 1) n+m,0 , (1.22) 12 D  Ln , Lm  = (n − m) Ln+m + n(n 2 − 1) n+m,0 . (1.23) 12 1.1.2. Siêu dây 1.1.2.1. Siêu tọa độ Theo SM, các hạt cơ bản được chia làm hai loại: các hạt có spin nguyên (boson) và các hạt có spin bán nguyên (fermion). Tuy nhiên, lý thuyết dây chỉ mô tả các hạt boson mà không mô tả được các hạt fermion. Do đó, chúng ta cần có một lý thuyết không những mô tả được hạt boson mà còn mô tả được hạt fermion. Để làm được điều này, các nhà vật lý đã mở rộng lý thuyết dây boson bằng cách đưa vào các siêu đối xứng [63-65]. Siêu đối xứng thể hiện mối liên hệ giữa các hạt boson và fermion thông qua các tọa độ không – thời gian X  ( , ) và các siêu tọa độ phản giao hoán   ( , ). Trong đó  A   A ( , ) là các trường spinor Majorana hai thành phần và là những đại lượng thực, với  = 0,1,2,..., D − 1 là chỉ số không – thời gian và A = 1,2 là các chỉ số spinor. Như vậy, tọa độ của dây trong không - thời gian được mô tả bằng X  ( , ) và các siêu tọa độ  A được gọi là siêu dây. 10