Luận văn Thạc sĩ Khoa học: Phương trình, bất phương trình lượng giác và một số ứng dụng

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:88

Thêm vào BST

Báo xấu

30
lượt xem 5
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Việc giảng dạy lượng giác đã được đưa vào chương trình từ lớp 10 bậc trung học phổ thông, trong đó phần kiến thức về phương trình, bất phương trình lượng giác chiếm vai trò trọng tâm. Tuy nhiên, do thời gian hạn hẹp của chương trình phổ thông, không nêu được đầy đủ chi tiết tất cả các dạng bài toán về phương trình, bất phương trình lượng giác. Đề tài có cấu trúc gồm 3 chương trình bày hai ứng dụng quan trọng của phương trình, bất phương trình lượng giác trong đại số và hình học.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Luận văn Thạc sĩ Khoa học: Phương trình, bất phương trình lượng giác và một số ứng dụng

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN ----------------------- ĐOÀN THỊ CÚC PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC VÀ MỘT SỐ ỨNG DỤNG Chuyên ngành: PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP Mã số: 60.46.01.13 LUẬN VĂN THẠC SỸ KHOA HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: GS.TSKH. NGUYỄN VĂN MẬU Hà Nội – Năm 2013
Mục lục Mở đầu 2 1 Phương trình lượng giác 4 1.1 Phương trình cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.2 Phương trình đưa về dạng đa thức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.3 Phương trình đưa về dạng tích . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 1.4 Phương trình lượng giác giải bằng phương pháp so sánh . . . . . . . 18 2 Bất phương trình lượng giác 29 2.1 Bất phương trình lượng giác cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 2.2 Sử dụng tính tuần hoàn giải bất phương trình lượng giác . . . . . . 33 3 Ứng dụng của phương trình và bất phương trình lượng giác 37 3.1 Ứng dụng trong đại số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 3.2 Ứng dụng trong chứng minh đẳng thức, bất đẳng thức . . . . . . . 58 3.3 Ứng dụng trong hình học . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70 Kết luận 86 Tài liệu tham khảo 87 1
Mở đầu Chuyên đề lượng giác là một nội dung quan trọng của chương trình toán ở bậc Trung học phổ thông. Các bài toán về "Phương trình, bất phương trình lượng giác" thường xuất hiện trong các kỳ thi Đại học, Cao đẳng và kỳ thi học sinh giỏi. Việc nâng cao kiến thức và giúp học sinh giải tốt các bài toán trên là động lực để tôi nghiên cứu đề tài này. Bản luận văn này được chia làm 3 chương. Chương 1. Phương trình lượng giác Trong chương này, một số kiến thức cơ bản được nhắc lại. Luận văn trình bày một số phương pháp giải phương trình lượng giác. Chương 2. Bất phương trình lượng giác Ở chương này luận văn đề cập đến các phương pháp giải bất phương trình lượng giác. Chương 3. Ứng dụng của phương trình và bất phương trình Luận văn trình bày hai ứng dụng quan trọng của phương trình, bất phương trình lượng giác trong đại số và hình học. Mặc dù bản thân đã cố gắng và nghiêm túc trong học tập và nghiên cứu khoa học nhưng do thời gian có hạn, kiến thức bản thân còn hạn chế nên trong quá trình thực hiện luận văn không tránh khỏi những sơ suất. Rất mong nhận được sự góp ý của thầy cô và các bạn. Tôi xin chân thành cảm ơn. Học viên Đoàn thị Cúc 2
Lời cảm ơn Tôi xin được bày tỏ lòng kính trọng và lòng biết ơn sâu sắc đến GS.TSKH Nguyễn Văn Mậu. Thầy đã dành nhiều thời gian hướng dẫn tôi trong suốt quá trình tôi thực hiện đề tài. Tôi xin gửi tới các thầy cô Khoa Toán-Cơ -Tin học, Trường Đại học Khoa học Tự nhiên, Đại học Quốc gia Hà Nội, cũng như các thầy cô đã tham gia giảng dạy khóa cao học 2011-2013 đã tạo điều kiện thuận lợi cho tôi hoàn thành luận văn của mình. Tôi xin chân thành cảm ơn gia đình đã luôn động viên tôi trong suốt quá trình học tập và làm luận văn. Hà Nội, tháng 10 năm 2013 Học viên Đoàn Thị Cúc 3
Chương 1 Phương trình lượng giác Phương trình lượng giác là kiến thức quan trọng trong chương trình toán học phổ thông. Không tồn tại một phương pháp chung để giải tất cả các bài toán về phương trình lượng giác. Người ta chia phương trình lượng giác (theo cách giải) thành hai loại: Loại 1. Phương trình lượng giác giải thuần túy bằng biến đổi lượng giác. Loại 2. Phương trình lượng giác giải bằng các phương pháp của đại số, giải tích... Để giải một phương trình lượng giác nhìn chung ta thường biến đổi phương trình cần giải về một hay một số các phương trình lượng giác đơn giản đã có cách giải. 1.1 Phương trình cơ bản Giả sử u,v là các biểu thức theo x: u = u(x),v = v(x). Khi đó ta có 1. u = v + k2π sin u = sin v ⇔ (k ∈ Z). u = π − v + k2π 2. u = v + k2π cos u = cos v ⇔ (k ∈ Z). u = −v + k2π 3. ( π u 6= + kπ tan u = tan v ⇔ 2 (k, l ∈ Z) . u = v + lπ 4. u 6= kπ cot u = cot v ⇔ (k, l ∈ Z) . u = v + lπ 4
Bài toán 1.1. Giải phương trình 5π π sin 7x− + cos 2x + = 0. (1.1) 6 3 Lời giải. Ta có 5π π (1.1) ⇔ sin 7x− = − cos 2x + 6 3 5π π ⇔ sin 7x− = sin 2x − 6 6   5π π 2π k2π 7x − = 2x − + k2π x= +  6 6  15 5 ⇔ ⇔  (k ∈ Z) .  5π 7π 2π k2π 7x − = − 2x + k2π x= + 6 6 9 9 Vậy nghiệm của phương trình là 2π k2π 2π k2π x= + ; x= + (k ∈ Z). 15 5 9 9 Bài toán 1.2. Giải phương trình 5π 5π 5π 2 2 tan x = cos 2x + + sin x+ + sin x sin 3x + . (1.2) 12 12 6 π Lời giải. Điều kiện xác định cos x 6= 0 ⇔ x 6= + lπ (l ∈ Z). 2 Ta có sin (a + b) sin (a − b) = sin2 a cos2 b − cos2 a sin2 b = 1 − cos2 a 1 − sin2 b − cos2 a sin2 b. Suy ra cos2 a + sin2 b + sin (a + b) sin (a − b) = 1. (∗) Áp dụng (∗) ta có 5π 5π 5π cos2 2x + + sin2 x + + sin x sin 3x + = 1. 12 12 6 Do đó π (1.2) ⇔ tan x = 1 ⇔ x = + kπ (k ∈ Z). 4 π Vậy nghiệm của phương trình là x = + kπ (k ∈ Z). 4 Bài toán 1.3. Giải phương trình √ 2 + 3 2 cos 3x.cos3 x − sin 3x.sin3 x = . (1.3) 8 5
Giải. Ta có √ 1 2 1 2 2+3 2 (1.3) ⇔ cos x(cos 4x + cos 2x) − sin x(cos 2x − cos 4x) = 2 2 8 √ 2 2 2 2 2+3 2 ⇔ cos x. cos 4x + cos x. cos 2x − sin x. cos 2x + sin x. cos 4x = √ 4 2 2 2 2 2+3 2 ⇔ cos 4x(cos x + sin x) + cos 2x(cos x − sin x) = √ 4 2 + 3 2 ⇔ cos 4x + cos2 2x = 4 √ ⇔ 4 cos 4x + 2(1 + cos 4x) = 2 + 3 2 √ 2 ⇔ cos 4x = 2 π kπ  x= + ⇔ 16 2 −π kπ (k ∈ Z) . x= + 16 2 Vậy nghiệm của phương trình là π kπ −π kπ x= + ; x= + (k ∈ Z). 16 2 16 2 Nhận xét 1.1. Việc khéo léo sử dụng công thức biến đổi tích thành tổng có thể giúp ta tránh được việc sử dụng công thức lượng giác góc nhân ba. Bài toán 1.4. Giải và biện luận phương trình (m − 1) sin x + 2 − m = 0. (1.4) Lời giải. *) Với m = 1 thì phương trình đã cho trở thành 0. sin x + 1 = 0 ⇔ 0 sin x = −1 (phương trình vô nghiệm). m−2 *) Với m 6= 1 thì (1.4) ⇔ sin x = . m−1
m − 2
2 2 ⊕
> 1 ⇔ (m − 2) > (m − 1) ⇔ m2 − 4m + 4 > m2 − 2m + 1 m−1 3 ⇔ m < thì phương trình vô nghiệm. 2 m − 2
2 2 ⊕
≤ 1 ⇔ (m − 2) ≤ (m − 1) ⇔ m2 − 4m + 4 ≤ m2 − 2m + 1
m−1 m−2 3 h −π π i ⇔ m ≥ thì đặt = sin α α ∈ , . 2 m−1 2 2 " x = α + k2π Khi đó (1.4) ⇔ sin x = sin α ⇔ (k ∈ Z) . x = π − α + k2π Kết luận 6
3 Với m < thì phương trình (1.4) vô nghiệm. 2 3 Với m ≥ thì phương trình (1.4) có nghiệm dạng 2 h −π π i x = α + k2π m−2 k ∈ Z, α ∈ , ; sin α = . x = π − α + k2π 2 2 m−1 1.2 Phương trình đưa về dạng đa thức Bài toán 1.5. Giải phương trình 2 sin 4x + 16 sin3 x cos x + 3 cos 2x = 5. (1.5) Lời giải. Ta có (1.5) ⇔ 2 sin 4x + 8 sin2 x sin 2x + 3 cos 2x = 5 ⇔ 2 sin 4x + 4 (1 − cos 2x) sin 2x + 3 cos 2x = 5 ⇔ 2 sin 4x + 4 sin 2x − 2 sin 4x + 3 cos 2x = 5 ⇔ 3 cos 2x + 4 sin 2x = 5 3 4 ⇔ cos 2x + sin 2x = 1. 5 5 3   5 = cos α   π Đặt α ∈ 0, . 2  4 = sin α   5 Khi đó ta có phương trình cos α cos 2x + sin α sin 2x = 1 ⇔ cos (2x − α) = 1 α ⇔ 2x − α = k2π ⇔ x = + kπ (k ∈ Z) . 2 Vậy nghiệm của phương trình là α x= + kπ (k ∈ Z) . 2 Bài toán 1.6. Giải phương trình 1 √ sin 4x sin x − sin 3x sin 2x = cos 3x + 1 + cos x . (1.6) 2 Lời giải. Ta có 1 √ (1.6) ⇔ sin 4x sin x − sin 3x sin 2x = cos 3x + 2 1 + cos x 2 √ ⇔ 2 sin 4x sin x − 2 sin 3x sin 2x = cos 3x + 2 1 + cos x 7