Luận văn Thạc sĩ: Sự tồn tại nghiệm của hệ phản ứng Xúc Tác-Ức Chế

Mục lục

1 Kiến thức chuẩn bị 1

1.1 Không gian các hàm nhận giá trị trong một không gian Banach . . . . 1

1.1.1 Không gian các hàm khả vi liên tục . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.1.2 Không gian các hàm liên tục Holder . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.1.3 Không gian các hàm liên tục Holder có trọng . . . . . . . . . . . 3

1.1.4 Không gian các hàm giải tích . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.2 Toán tử tuyến tính . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.2.1 Hạn chế của toán tử tuyến tính . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.2.2 Tập giải thức, tập phổ và Tích phân Dunford . . . . . . . . . . 5

1.2.3 Nửa nhóm liên tục mạnh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.2.4 Nửa nhóm giải tích . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.3 Nội suy không gian Banach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.4 Không gian và các toán tử liên hợp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.4.1 Không gian đối ngẫu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.4.2 Không gian liên hợp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.4.3 Toán tử liên hợp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.5 Ngoại suy không gian Banach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.6 Toán tử tuyến tính liên kết với dạng tựa tuyến tính . . . . . . . . . . . 12

1.6.1 Dạng tựa tuyến tính và toán tử liên kết . . . . . . . . . . . . . . 12

1.6.2 Dạng liên hợp và toán tử liên hợp . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.7 Không gian Sobolev-Lebesgue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

1.7.1 Biên của miền . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

+ hoặc trong một miền bị chặn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.7.2 Không gian Sobolev với cấp nguyên . . . . . . . . . . . . . . . . 1.7.3 Không gian Sobolev-Lebesgue trong Rn . . . . . . . . . . . . . . 1.7.4 Không gian Sobolev-Lebesgue trong Rn

1.7.5 Các định lí nhúng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

p(Ω) và H−s

1.7.6 Vết . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.7.7 Không gian ˚H s p (Ω) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.7.8 Không gian tích . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

2 Toán tử quạt, hàm mũ và toán tử lũy thừa 20

2.1 Toán tử quạt và vài tính chất cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

2.1.1 Định nghĩa toán tử quạt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

2.1.2 Toán tử quạt liên kết với một dạng tựa tuyến tính . . . . . . . . 21

2.1.3 Toán tử quạt trong không gian L2 . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.4 Tính chất chuyển trong L2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2 Hàm mũ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

2.2.1 Nửa nhóm giải tích sinh bởi một toán tử quạt . . . . . . . . . . 26

2.2.2 Bài toán Cauchy đối với phương trình tiến hóa tuyến tính . . . 29

2.3 Toán tử lũy thừa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

2.3.1 Toán tử lũy thừa và nửa nhóm giải tích . . . . . . . . . . . . . . 31

2.3.2 Miền của một toán tử elliptic lũy thừa trong L2 . . . . . . . . . 2.3.3 Nghiệm của phương trình tiến hóa nửa tuyến tính . . . . . . . . 33

3 Sự tồn tại nghiệm của một hệ phản ứng các chất Xúc tác-Ức chế 36

3.1 Đặt bài toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

3.2 Nghiệm địa phương . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

3.3 Nghiệm địa phương không âm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

3.4 Nghiệm toàn cục . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

3.4.1 Uớc lượng dưới . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

3.4.2 Đánh giá tiên nghiệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

3.4.3 Nghiệm toàn cục . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

3.4.4 Ước lượng toàn cục. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

Tài liệu tham khảo 48

Lời cảm ơn

Lời đầu tiên, tôi xin gửi lời cảm ơn sâu sắc tới TS. Lê Huy Chuẩn. Thầy đã nhiệt

tình chỉ dẫn để tôi có thể hoàn thành được luận văn này. Tôi cũng xin gửi lời cảm ơn

chân thành tới tất cả các thầy, các cô đã tham gia giảng dạy cho tôi trong quá trình

học cao học.

Tôi xin cảm ơn Ban chủ nhiệm khoa Toán-Cơ-Tin học, phòng Sau Đại Học trường

Đại học Khoa học Tự nhiên đã tạo điều kiện thuận lợi để tôi hoàn thiện các thủ tục

bảo vệ luận văn.

Cuối cùng, tôi xin cảm ơn cha mẹ tôi. Những người luôn yêu thương và ủng hộ tôi

vô điều kiện.

iii

Lời mở đầu

Một trong những cách tiếp cận hệ thống để nghiên cứu các phương trình, hệ phương

trình vi phân với biến thời gian là lý thuyết nửa nhóm. Lý thuyết này dựa trên những

kết quả về nửa nhóm giải tích được phát triển vào những năm 50 của thế kỉ trước. Điểm

nổi bật trong cách tiếp cận này là cho công thức tổng quát biểu diễn nghiệm. Chẳng hạn, nửa nhóm giải tích e−tA sinh bởi toán tử tuyến tính −A là một nghiệm cơ bản

+ AU = của Bài toán Cauchy đối với phương trình tiến hóa tuyến tính ô-tô-nôm, dU dt

dU dt

F (t), 0 < t ≤ T ; U (0) = U0 và nghiệm tổng quát của nó được cho bởi công thức U (t) = e−tAU0 + (cid:82) t 0 e−(t−s)AF (s)ds. Không chỉ vậy, mỗi nghiệm của Bài toán Cauchy + AU = F (U ), 0 < t ≤ T ; U (0) = U0 đối với phương trình tiến hóa nửa tuyến tính, cũng là một nghiệm của phương trình tích phân U (t) = e−tAU0 + (cid:82) t 0 e−(t−s)AF (U (s))ds. Những công thức nghiệm như thế cung cấp cho ta nhiều thông tin quan trọng về các

nghiệm như tính duy nhất, tính chính quy tối đại, tính trơn ...v.v. Đặc biệt đối với

các bài toán phi tuyến, ta có thể suy ra tính liên tục Lipchitz hoặc thậm trí đạo hàm

Frechet của nghiệm theo giá trị ban đầu. Từ đó xây dựng được hệ động lực xác định

bởi Bài toán Cauchy; nghiên cứu được dáng điệu tiệm cận của nghiệm; chỉ ra sự tồn

tại của tập hút; nghiên cứu được tính ổn định hoặc không ổn định của nghiệm dừng;

xây dựng được đa tạp trơn ổn định hoặc không ổn định ...v.v. thậm trí bằng phương

pháp giải gần đúng ta có thể thu được lời giải số của nghiệm.

Luận văn này sử dụng lý thuyết nửa nhóm giải tích để chứng minh tính tồn tại

nghiệm của một hệ phản ứng các chất Xúc tác-Ức chế. Chúng tôi chia luận văn ra làm

ba chương.

Chương 1 nói về một số không gian hàm nhận giá trị trong một không gian Banach,

những nét khái quát nhất về các không gian Sobolev, về toán tử tuyến tính, không

gian liên hợp và toán tử liên hợp. Chúng tôi cũng giới thiệu ở đây khái niệm và một

số tính chất nội suy, ngoại suy của một không gian Banach.

Chương 2 giành để nói về toán tử quạt, hàm mũ và toán tử lũy thừa. Chúng tôi đề

cập đến ở đây khái niệm toán tử quạt liên kết với một dạng tựa tuyến tính và nghiên

cứu tính chất chuyển của toán tử này trong L2. Ngoài ra sự tồn tại nghiệm của Bài toán Cauchy đối với phương trình tiến hóa tuyến tính, nửa tuyến tính cũng được phát

biểu.

Chương 3 trình bày những kết quả nghiên cứu mới về sự tồn tại nghiệm toàn cục

của một hệ phản ứng các chất Xúc tác-Ức chế. Bằng cách sử dụng lý thuyết nửa nhóm

giải tích, chúng tôi đã chứng minh được sự tồn tại nghiệm toàn cục của hệ phản ứng

các chất Xúc tác-Ức chế trong một trường hợp riêng.

Do thời gian và năng lực có hạn, một số điểm trình bày trong luận văn có thể còn

thiếu xót. Tác giả mong muốn nhận được sự góp ý của các thầy, các cô cũng như của

các bạn đồng nghiệp.

Hà nội, tháng 04 năm 2011

Hoàng Thế Tuấn

Chương 1

Kiến thức chuẩn bị

1.1 Không gian các hàm nhận giá trị trong một

không gian Banach

Cho X là một không gian Banach với chuẩn || . ||. Ta sẽ giới thiệu một số không gian các hàm nhận giá trị trong X, xác định trên một khoảng của R hoặc một miền của C.

Không gian các hàm bị chặn đều

Cho [a, b] là một đoạn trong R. Xét không gian các hàm bị chặn đều trên [a, b], kí

hiệu là B([a, b]; X). Trên B([a, b]; X) ta đưa vào chuẩn supremum

(cid:107)F (t)(cid:107). (cid:107)F (cid:107) = sup a≤t≤b

Với chuẩn này B([a, b]; X) là một không gian Banach.

1.1.1 Không gian các hàm khả vi liên tục

m (cid:88)

Cho [a, b] là một đoạn trong R và m = 0, 1, 2, ... là số nguyên không âm. Kí hiệu Cm([a, b]; X) là không gian các hàm khả vi liên tục đến cấp m trên [a, b]. Khi m = 0, C0([a, b]; X) là không gian các hàm liên tục và thường được kí hiệu một cách đơn giản là C([a, b]; X). Trên Cm([a, b]; X) ta sử dụng chuẩn sau

i=0

(cid:107)F (cid:107)Cm = ||F (i)(t)||. max a≤t≤b

Với chuẩn này Cm([a, b]; X) là một không gian Banach (xem [1, Tr. 10]). Sau đây là

hai kết quả cơ bản.

Định lý 1.1.1. Cho A là một toán tử tuyến tính đóng trong X. Nếu F ∈ C([a, b]; X) và AF ∈ C([a, b]; X), thì (cid:90) b (cid:90) b AF (t)dt. F (t)dt = A

N (cid:88)

Chứng minh. Xét một phân hoạch đoạn [a, b] bởi các điểm mốc a = t0 < t1 < ... < tN = b và lấy tổng

n=1

(tn − tn−1)F (τn) với tn−1 ≤ τn ≤ tn.

N (cid:88)

Rõ ràng

n=1

a F (t)dt ∈ D(A) và

A( (tn − tn−1)F (τn)) = (tn − tn−1)AF (τn).

a F (t)dt = (cid:82) b

a AF (t)dt.

Cho N → ∞ với điều kiện max1≤n≤N (tn − tn−1) → 0, ta được (cid:82) b A (cid:82) b

Định lý 1.1.2. Cho a ∈ C([0, T ], R) và f ∈ C([0, T ], R). Nếu u ∈ C([0, T ], R) ∩ C1((0, T ], R) và thỏa mãn bất đẳng thức vi phân

+ a(t)u ≤ f (t), 0 < t ≤ T, (1.1) du dt

0 a(τ )dτ u(0) +

s a(τ )dτ f (s)ds,

thì (cid:90) t u(t) ≤ e− (cid:82) t e− (cid:82) t 0 < t ≤ T.

Nói riêng, nếu a(t) ≡ δ > 0 và f (t) ≡ f > 0 thì

u(t) ≤ e−δtu(0) + f δ−1, 0 < t ≤ T.

s a(τ )dτ (cid:3) = [u(cid:48)(s) + a(s)u(s)]e− (cid:82) t

s a(τ )dτ ≤ f (s)e− (cid:82) t

s a(τ )dτ .

Chứng minh. Với mỗi t cố định, ta có (cid:2)u(s)e− (cid:82) t d ds

Lấy tích phân hai vế của bất đẳng thức này theo s trên đoạn [0, t], ta thu được

s a(τ )dτ ≤

s a(τ )dτ ds.

(cid:90) t u(t) − u(0)e− (cid:82) t f (s)e− (cid:82) t

Từ (1.1) chúng ta có

0 a(τ )dτ u(0) +

s a(τ )dτ f (s)ds,

(cid:90) t u(t) ≤ e− (cid:82) t e− (cid:82) t 0 < t ≤ T.

Nói riêng, nếu a(t) ≡ δ > 0 thì

(cid:90) t u(t) ≤ e−δtu(0) + e−δ(t−s)f (s)ds, 0 < t ≤ T.

Thêm vào đó, nếu f (t) ≡ f > 0 thì

u(t) ≤ e−δtu(0) + f δ−1, 0 < t ≤ T.

1.1.2 Không gian các hàm liên tục Holder

Với m = 0, 1, 2, ... và một số mũ σ ∈ (0, 1), kí hiệu Cm+σ([a, b]; X) là không gian

các hàm khả vi liên tục m lần, có đạo hàm cấp m liên tục Holder trên [a, b] với số mũ σ. Trên Cm+σ([a, b]; X) ta đưa vào chuẩn

a≤s

(cid:107)F (cid:107)Cm+σ = (cid:107)F (cid:107)Cm + sup . (cid:107)F (m)(t) − F (m)(s)(cid:107) |t − s|σ

Với chuẩn này, Cm+σ([a, b]; X) là một không gian Banach (xem [3, Tr. 241]).

Khi σ = 1, gọi Cm,1([a, b]; X) là tập tất cả các hàm khả vi liên tục tới cấp m, có

đạo hàm cấp m liên tục Lipchitz trên [a, b]. Trên lớp hàm này ta đưa vào chuẩn sau

a≤t

. (cid:107)F (cid:107)Cm,1 = (cid:107)F (cid:107)Cm + sup (cid:107)F (m)(t) − F (m)(s)(cid:107) |t − s|

Tương tự như trong trường hợp trên, với chuẩn vừa chỉ ra Cm,1([a, b]; X) là một không

gian Banach (xem [1, Tr. 10]).

1.1.3 Không gian các hàm liên tục Holder có trọng

Cho hai số mũ 0 < σ < β ≤ 1, kí hiệu F β, σ((a, b]; X) là không gian các hàm liên

tục trên (a, b] (tương ứng trên [a, b]) khi 0 < β < 1 (tương ứng khi β = 1) với các tính

chất sau

1. Khi β < 1, (t − a)1−β F (t) có giới hạn khi t → a;

2. F liên tục Holder với số mũ σ và với trọng (s − a)1−β+σ, tức là:

(s − a)1−β+σ (cid:107)F (t) − F (s)(cid:107) (s − a)1−β+σ (cid:107)F (t) − F (s)(cid:107) < ∞; (t − s)σ (t − s)σ sup a≤s

3. Khi t → a,

(s − a)1−β+σ ||F (t) − F (s)|| (t − s)σ → 0. ωF (t) = sup a≤s

Trên F β, σ((a, b]; X) ta đưa vào chuẩn

a≤s

. (t − a)1−β(cid:107)F (t)(cid:107) + sup (s − a)1−β+σ (cid:107)F (t) − F (s)(cid:107) (t − s)σ (cid:107)F (cid:107)F β, σ = sup a≤t≤b

Khi đó F β,σ((a, b]; X) trở thành một không gian Banach (xem [14, Tr. 5]).

1.1.4 Không gian các hàm giải tích

Cho D là một miền trong mặt phẳng phức C. Một hàm f (λ) xác định trên D, nhận

giá trị trong X được gọi là giải tích trong D nếu f khai triển được thành chuỗi Taylor

tại mọi điểm trong D. Tất cả các tính chất của các hàm giải tích phức thông thường

đều có thể được mở rộng cho hàm giải tích nhận giá trị trong X. Chẳng hạn ta có công

thức Tích phân Cauchy (cid:90) f (λ) = dµ 1 2πi f (µ) µ − λ

đúng cho mọi đường cong Jordan C trơn, hoặc trơn từng khúc bao quanh λ trong D.

1.2 Toán tử tuyến tính

Toán tử tuyến tính bị chặn

Cho X, Y là các không gian Banach với các chuẩn tương ứng là || . ||X, || . ||Y . Không gian các toán tử tuyến tính từ X vào Y được kí hiệu bởi L(X, Y ). Không gian L(X, Y )

được trang bị chuẩn

(cid:107)U (cid:107)X ≤1

(cid:107)AU (cid:107)Y . (cid:107)A(cid:107)L(X,Y ) = sup

Với chuẩn này, L(X, Y ) là một không gian Banach. Khi X = Y, L(X, Y ) được viết gọn

là L(X). Kết quả sau đây được gọi là Định lý bị chặn đều.

Định lý 1.2.1 ([15], Tr. 69). Giả sử X và Y là các không gian Banach. Cho {Aα}α∈I là một họ các toán tử bị chặn từ X vào Y với tập chỉ số I. Nếu supα∈I (cid:107)Aα U (cid:107)Y < ∞ với mọi U ∈ X, thì supα∈I (cid:107)Aα(cid:107)L(X, Y ) < ∞.

Dễ thấy rằng với mỗi U ∈ X, phiếm hàm pU (.) xác định bởi pU (A) = (cid:107)AU (cid:107)Y , A ∈ L(X, Y ) là một nửa chuẩn trên L(X, Y ). Rõ ràng họ các nửa chuẩn pU (.), U ∈ X thỏa mãn tính chất tách, tức là pU (A) = 0 với mọi pU kéo theo A = 0. Cho trước một số tự nhiên n khác 0, xét n phần tử bất kì trong X mà ta kí hiệu là U1, ..., Un và một bộ n số thực dương nhỏ tùy ý (cid:15)1, ..., (cid:15)n. Ta định nghĩa một lân cận của toán tử 0 trong L(X, Y ) là tập U có dạng

U = {A ∈ L(X, Y ) : pUi(A) < (cid:15)i, i = 1, ..., n}.

Trường hợp A ∈ L(X, Y ) là toán tử bất kì, lân cận của A là tập có dạng A + U. Trên

L(X, Y ) ta định nghĩa một tô-pô như sau. Một tập được gọi là mở trong L(X, Y ) khi

và chỉ khi nó chứa lân cận của mọi điểm nằm trong nó. Với tô-pô này, L(X, Y ) trở

thành một không gian tô-pô tuyến tính, lồi địa phương (xem [15, Tr. 26]). Không gian

tô-pô này được kí hiệu là Ls(X, Y ). Đây là tô-pô mạnh trên L(X, Y ). Trong khi đó, tô-pô xác định bởi chuẩn toán tử được gọi là tô-pô đều trên L(X, Y ). Chú ý, theo Định

lý 1.2.1 vừa phát biểu Ls(X, Y ) là không gian đủ.

Xét một dãy {An} trong L(X, Y ). Ta nói rằng {An} hội tụ mạnh tới một toán tử bị chặn A nếu An hội tụ tới A theo tô-pô mạnh, tức là AnU → AU trong Y với mọi U ∈ X. Một cách tương tự, xét hàm A(ω) xác định trên tập Ω ⊂ Rd (d là một số

nguyên dương) và nhận giá trị trong L(X, Y ). Ta nói A(ω) liên tục mạnh tại ω0 ∈ Ω nếu A(ω) liên tục tại ω0 theo tô-pô mạnh, nói cách khác A(ω) liên tục mạnh tại ω0 khi chỉ khi A(ω)U → A(ω0)U trong Y khi ω → ω0 với mọi U ∈ X.

1.2.1 Hạn chế của toán tử tuyến tính

Cho X là một không gian Banach và cho A là một toán tử tuyến tính từ X vào

chính nó. Miền xác định của A sẽ được kí hiệu là D(A) còn miền giá trị của nó được

kí hiệu bởi R(A). Cho Y là một không gian con của X. Toán tử A|Y xác định trên D(A|Y ) = {U ∈ D(A) ∩ Y : AU ∈ Y } bằng công thức A|Y U = AU được gọi là Hạn chế của A trong Y . Dễ dàng kiểm tra rằng A|Y là một toán tử tuyến tính từ Y vào Y . Khi D(A) ⊂ Y, D(A|Y ) = {U ∈ D(A) : AU ∈ Y }.

1.2.2 Tập giải thức, tập phổ và Tích phân Dunford

Cho A là một toán tử tuyến tính đóng, xác định trù mật trong không gian Banach X. Tập ρ(A) chứa các số phức λ sao cho (λ − A) có toán tử ngược (λ − A)−1 ∈ L(X) được gọi là tập giải thức của A. Ta biết rằng ρ(A) là tập mở trong C còn (λ − A)−1 là

một hàm giải tích xác định trên ρ(A), nhận giá trị trong L(X) (xem [2, Tr. 158]). Vì

∞ (cid:88)

vậy với mỗi λ0 ∈ ρ(A) ta có

n=0

(1.2) (λ − A)−1 = (−1)n(λ − λ0)n(λ0 − A)−(n+1), |λ − λ0| < (cid:107)(λ0 − A)−1(cid:107)−1.

Phần bù của ρ(A) trong C, kí hiệu là σ(A), được gọi là phổ của A. Chú ý phổ của A

độc lập với cách chọn chuẩn trên X (xem [14, Tr. 10]). Ngoài ra, dễ thấy rằng

(λ − A)−1 − (µ − A)−1 = −(λ − µ)(λ − A)−1(µ − A)−1, λ, µ ∈ ρ(A). (1.3)

Giả sử A là một toán tử tuyến tính bị chặn trong X và σ(A) là phổ của nó. Lấy

f (λ) là một hàm giải tích trong miền đơn liên D chứa σ(A) và đặt

(cid:90) f (λ) (λ − A)−1 dλ, f (A) = 1 2πi

ở đây C là đường cong Jordan trơn, hoặc trơn từng khúc nằm trong D bao quanh

σ(A). Tích phân này xác định trong L(X), không phụ thuộc vào cách chọn đường cong

Jordan C. Người ta gọi nó là Tích phân Dunford. Trong khi đó toán tử f (A) được gọi

là Tích phân hàm liên kết với f (λ).

1.2.3 Nửa nhóm liên tục mạnh

Định nghĩa 1.2.1. Cho X là một không gian Banach. Một họ {T (t)}t≥0 các toán tử bị chặn trong X được gọi là một nửa nhóm liên tục mạnh hoặc C0-nửa nhóm nếu các tính chất sau được thỏa mãn

1. T (t + s) = T (t)T (s);

2. T (0) = I;

3. Với mỗi x ∈ X, ánh xạ: [0, ∞) (cid:51) t (cid:55)→ T (t)x ∈ X liên tục theo t.

Định nghĩa 1.2.2. Cho {T (t)}t≥0 là một nửa nhóm liên tục mạnh các toán tử bị chặn trên không gian Banach X. Toán tử A định nghĩa bởi

Ax = lim h→0+ T (h)x − x h

được gọi là toán tử sinh của nửa nhóm {T (t)}t≥0. Miền xác định D(A) của A là tập tất cả các x ∈ X sao cho giới hạn trong vế phải của đẳng thức vừa nêu tồn tại.

Sau đây ta phát biểu một định lý quan trọng trong lý thuyết toán tử tuyến tính.

Định lý 1.2.2. (Lumer-Phillips) Giả sử H là một không gian Hilbert với tích trong

(cid:104)., .(cid:105). Cho A là một toán tử tuyến tính trong H thỏa mãn các điều kiện sau

1. D(A) trù mật trong X;

2. Tồn tại một số thực ω sao cho Re (cid:104)x, Ax(cid:105) ≤ ω(cid:104)x, x(cid:105) với mọi x ∈ D(A);

3. Tồn tại số thực λ0 > ω sao cho A − λ0I là toán ánh.

Khi đó A sinh ra nửa nhóm liên tục mạnh {etA}t≥0 và (cid:107)etA(cid:107) ≤ eωt.

Chứng minh. Xem chứng minh trong [10, Tr. 407].

1.2.4 Nửa nhóm giải tích

Cho X là không gian Banach. Một hàm U (z) nhận giá trị trong L(X), xác định

trên miền quạt

Σφ = {z ∈ C : | arg z| < φ}, 0 < φ <

π 2 được gọi là một nửa nhóm giải tích trên X nếu nó thỏa mãn

1. U (z) là một hàm giải tích trong Σφ;

2. U (z) thỏa mãn tính chất nửa nhóm U (z + z(cid:48)) = U (z)U (z(cid:48)) với mọi z, z(cid:48) ∈ Σφ;

3. Với bất kì φ(cid:48) sao cho 0 < φ(cid:48) < φ, U (z) hội tụ mạnh tới toán tử 1 trong X khi

Σφ(cid:48) \ {0} (cid:51) z → 0.

Do tính chất thứ ba ở trên, ta định nghĩa được U (0) = 1. Vì nửa nhóm giải tích U (z)

trong Σφ có thể mở rộng được lên một miền quạt rộng hơn (có góc φ lớn hơn), nên một cách tự nhiên ta xét supremum tập tất cả các góc của những hình quạt mà U (z)

có thể mở rộng lên được. Ta gọi giá trị này là góc của nửa nhóm U (z) và kí hiệu nó là

φU .

Xét toán tử tuyến tính A đóng, xác định trù mật trong X, có phổ σ(A) thỏa mãn

. (1.4) σ(A) ⊂ β + Σω, −∞ < β < ∞, 0 < ω < π 2

Ngoài ra, giả sử thêm rằng tồn tại hằng số Mω ≥ 1 sao cho

(cid:107)(λ − A)−1(cid:107) ≤ , (1.5) λ /∈ β + Σω. Mω |λ − β|

Ta có định lý sau.

Định lý 1.2.3. Cho A là toán tử đóng, xác định trù mật trong X, thỏa mãn (1.4) và (1.5). Khi đó, e−zA là một nửa nhóm giải tích xác định trong Σ π 2 −ω, thỏa mãn ước

lượng

− ω, (1.6) (cid:107)e−zA(cid:107) ≤ Cφe−(β+δφ)|z|, z ∈ Σφ, 0 < φ < π 2

với các hằng số δφ > 0 và Cφ ≥ 1 chỉ phụ thuộc vào φ.

Chứng minh. Xem trong [14, Tr. 119].

1.3 Nội suy không gian Banach

Với X0, X1 là hai không gian Banach với các chuẩn tương ứng là (cid:107) . (cid:107)X0, (cid:107) . (cid:107)X1.

Giả sử X1 được nhúng trù mật và liên tục vào X0. Cho S là dải

S = {z : 0 < Rez < 1}

trong mặt phẳng phức C. Ta kí hiệu H(X0, X1) là không gian tất cả các hàm giải tích như sau

1. F (z) là một hàm giải tích trong S, nhận giá trị trong X0;

2. F (z) là một hàm bị chặn, liên tục trong ¯S, nhận giá trị trong X0;

3. F (z) là một hàm bị chặn, liên tục theo biến z = 1 + iy, nhận giá trị trong X1.

Trên H(X0, X1) ta đưa vào chuẩn

−∞

(cid:9). (cid:107)F (cid:107)H = max (cid:8) sup (cid:107)F (iy)(cid:107)X0, (cid:107)F (1 + iy)(cid:107)X1 sup −∞

Với chuẩn này H(X0, X1) là một không gian Banach (xem [13, Định lý 1.9.1]).

Cho θ là một số không âm thỏa mãn 0 ≤ θ ≤ 1, ta định nghĩa không gian [X0, X1]θ

như sau

[X0, X1]θ = {U ∈ X0 : tồn tại hàm F ∈ H(X0, X1) sao cho U = F (θ)}.

Trên [X0, X1]θ ta đưa vào chuẩn

(cid:107)U (cid:107)θ = (cid:107)F (cid:107)H. inf F ∈H,F (θ)=U

Khi đó [X0, X1]θ là một không gian Banach và được gọi là Không gian nội suy từ X1, X0 (xem [13, Định lý 1.9.2]). Sau đây là vài tính chất cơ bản của các Không gian nội suy, chứng minh chi tiết xem [13, Định lý 1.9.3].

1. [X0, X1]0 = X0 và [X0, X1]1 = X1;

2. Với 0 < θ < 1, X1 ⊂ [X0, X1]θ ⊂ X0, các phép nhúng ở đây là liên tục, trù mật;

X1 đúng cho mọi U ∈ X1;

||U ||θ 3. Với 0 < θ < 1, bất đẳng thức ||U ||θ ≤ ||U ||1−θ X0

(cid:101)θ ⊂ [X0, X1]θ, phép nhúng ở đây là liên tục.

4. Với 0 ≤ θ < (cid:101)θ ≤ 1, [X0, X1]

1.4 Không gian và các toán tử liên hợp

1.4.1 Không gian đối ngẫu

Cho X là một không gian Banach với chuẩn (cid:107) . (cid:107). Coi C như một không gian Banach

với chuẩn thông thường, xét không gian Banach L(X, C) với chuẩn

|Φ(F )|, Φ ∈ L(X, C). ||Φ|| = sup (cid:107)F (cid:107)≤1

Ta thường kí hiệu không gian này là X (cid:48) và gọi nó là không gian đối ngẫu của X. Mỗi toán tử tuyến tính trong X (cid:48) được gọi là một phiếm hàm tuyến tính trên X. Tuy nhiên để thuận tiện thay vì xét phép nhân vô hướng thông thường, trên X (cid:48) ta sẽ xét phép

nhân vô hướng sau

(αΦ)(F ) = ¯αΦ(F ) với mọi α ∈ C, Φ ∈ X (cid:48), F ∈ X.

Vì X (cid:48) là một không gian Banach, ta có thể xét không gian đối ngẫu X (cid:48)(cid:48) của X (cid:48). Khi đó toán tử ι từ X vào X (cid:48)(cid:48) xác định bởi

(ι F )(Φ) = Φ(F ), F ∈ X, Φ ∈ X (cid:48).

là một ánh xạ tuyến tính bảo toàn chuẩn từ X vào X (cid:48)(cid:48). Khi ι là toàn ánh, tức là ι(X) = X (cid:48)(cid:48), X được gọi là không gian Banach phản xạ. Kết quả sau đây là một hệ quả

của Định lý Hahn-Banach mở rộng. Nó được sử dụng để xây dựng không gian liên hợp

của X. Chứng minh chi tiết có trong [15, Tr 108].

Định lý 1.4.1. Giả sử X là một không gian Banach. Khi đó với mọi F ∈ X, F (cid:54)= 0 tồn tại một phiếm hàm Φ ∈ X (cid:48) sao cho Φ(F ) = (cid:107)F (cid:107) và ||Φ|| = 1.

1.4.2 Không gian liên hợp

Giả sử X và Y là các không gian Banach với các chuẩn tương ứng là (cid:107) . (cid:107)X, (cid:107) . (cid:107)Y . Một hàm nhận giá trị phức (cid:104)., .(cid:105)X×Y xác định trên không gian tích X × Y được gọi là một dạng tựa tuyến tính nếu nó thỏa mãn

(cid:40)

(cid:104)αF + β (cid:101)F , G(cid:105)X×Y = α(cid:104)F, G(cid:105)X×Y + β(cid:104) (cid:101)F , G(cid:105)X×Y , α, β ∈ C, F, (cid:101)F ∈ X, G ∈ Y, (cid:104)F, αG + β (cid:101)G(cid:105)X×Y = ¯α(cid:104)F, G(cid:105)X×Y + ¯β(cid:104)F, (cid:101)G(cid:105)X×Y , α, β ∈ C, F ∈ X, G, (cid:101)G ∈ Y.

Dạng tựa tuyến tính (cid:104)., .(cid:105)X×Y này được gọi là một tích đối ngẫu nếu nó thỏa mãn

1. |(cid:104)F, G(cid:105)X×Y | ≤ (cid:107)F (cid:107)X (cid:107)G(cid:107)Y , F ∈ X, G ∈ Y ;

2. (cid:107)F (cid:107)X = sup(cid:107)G(cid:107)Y ≤1 |(cid:104)F, G(cid:105)X×Y |, F ∈ X;

3. (cid:107)G(cid:107)Y = sup(cid:107)F (cid:107)X ≤1 |(cid:104)F, G(cid:105)X×Y |, G ∈ Y.

Khi có tích đối ngẫu (cid:104)., .(cid:105)X×Y giữa X và Y, thì Y được gọi là không gian liên hợp của X với tích đối ngẫu (cid:104)., .(cid:105)X×Y và được ký hiệu là X ∗. Dễ thấy nếu Y là không gian liên hợp của X với tích đối ngẫu (cid:104)., .(cid:105)X×Y thì X cũng là không gian liên hợp của Y với tích đối ngẫu (cid:104)., .(cid:105)Y ×X.

1.4.3 Toán tử liên hợp

Cho {X, X ∗} (tương ứng {Y, Y ∗}) là một cặp không gian Banach liên hợp với tích

đối ngẫu (cid:104)., .(cid:105)X×X ∗ (tương ứng (cid:104)., .(cid:105)Y ×Y ∗). Giả sử A là một toán tử tuyến tính xác định trù mật từ không gian con D(A) ⊂ X vào Y . Lấy một toán tử A∗ xác định trong D(A∗) ⊂ Y ∗ và nhận giá trị trong X ∗ như sau. Một véctơ Ψ ∈ Y ∗ nằm trong D(A∗) khi và chỉ khi tồn tại một véctơ Φ ∈ X ∗ sao cho (cid:104)AU, Ψ(cid:105)Y ×Y ∗ = (cid:104)U, Φ(cid:105)X×X ∗ với mọi U ∈ D(A). Vì D(A) trù mật trong X nên Φ như vậy được chọn một cách duy nhất. Với mỗi Ψ ∈ D(A∗), chúng ta đặt A∗Ψ = Φ. Từ đây,

(cid:104)U, A∗Ψ(cid:105)X×X ∗ = (cid:104)AU, Ψ(cid:105)Y ×Y ∗ với mọi U ∈ D(A), Ψ ∈ D(A∗).

Dễ dàng kiểm tra được rằng D(A∗) là một không gian con tuyến tính của Y ∗ và A∗ là một toán tử tuyến tính. Toán tử A∗ này được gọi là liên hợp của A đối với các cặp liên hợp {X, X ∗} và {Y, Y ∗}. Nếu A bị chặn thì A∗ cũng bị chặn, hơn nữa (cid:107)A(cid:107) = (cid:107)A∗(cid:107).

Ngoài ra nếu X và Y là các không gian Banach phản xạ, ta có định lý sau.

Định lý 1.4.2 ([14], Tr. 21). Giả sử X, Y là các không gian Banach phản xạ và các cặp liên hợp {X, X ∗}, {Y, Y ∗}. Nếu A là một toán tử tuyến tính liên tục từ X vào Y , thì A∗ là một toán tử tuyến tính liên tục từ Y ∗ vào X ∗. Hơn nữa (cid:107)A∗(cid:107) = (cid:107)A(cid:107) và A∗∗ = A.

Trong trường hợp X = Y , X ∗ = Y ∗ và cặp liên hợp là {X, X ∗} với tích đối ngẫu

(cid:104)., .(cid:105), ta có kết quả sau.

Định lý 1.4.3 ([14], Tr. 21-22). Cho X là một không gian Banach phản xạ và {X, X ∗}

là một cặp liên hợp. Nếu A là một toán tử tuyến tính đóng, xác định trù mật trên X, thì A∗ cũng là một toán tử tuyến tính đóng, xác định trù mật trên X ∗. Hơn nữa A và A∗ thỏa mãn các tính chất sau

1. A∗∗ = A;

2. λ ∈ ρ(A∗) khi và chỉ khi ¯λ ∈ ρ(A);

3. Nếu λ ∈ ρ(A∗), thì (λ − A∗)−1 = [(¯λ − A)−1]∗.

Chú ý khi A∗ = A, A được gọi là toán tử tự liên hợp.

1.5 Ngoại suy không gian Banach

Xét hai không gian Hilbert Z và X với các tích trong ((., .)), (., .) và các chuẩn

tương ứng (cid:107) . (cid:107), | . |. Giả sử rằng Z được nhúng trù mật, liên tục vào X. Kết quả trong [14, Tr. 23] chỉ ra sự tồn tại duy nhất của một không gian Banach, kí hiệu là Z ∗, thỏa

mãn các điều kiện sau

1. Z ⊂ X ⊂ Z ∗ với các phép nhúng trù mật và liên tục;

2. {Z, Z ∗} tạo thành một cặp liên hợp với tích đối ngẫu (cid:104)., .(cid:105);

3. Tích đối ngẫu (cid:104)., .(cid:105) thỏa mãn

(cid:104)U, F (cid:105) = (U, F ) với mọi U ∈ Z, F ∈ X.

Ta gọi không gian Z ∗ này là Không gian ngoại suy từ Z ⊂ X và bộ ba không gian Z ⊂ X ⊂ Z ∗ là một Bộ ba. Theo định nghĩa của tích đối ngẫu, tích trong (cid:104)., .(cid:105) phải

thỏa mãn

|(cid:104)U, Φ(cid:105)| ≤ (cid:107)U (cid:107)(cid:107)Φ(cid:107)∗, U ∈ Z, Φ ∈ Z ∗,

(cid:107)Φ(cid:107)∗≤1

(cid:107)U (cid:107) = sup |(cid:104)U, Φ(cid:105)|, U ∈ Z,

|(cid:104)U, Φ(cid:105)|, Φ ∈ Z ∗, (cid:107)Φ(cid:107)∗ = sup (cid:107)U (cid:107)≤1

ở đây (cid:107) . (cid:107)∗ là chuẩn trên Z ∗. Ngoài ra, ta cũng thấy rằng với U, V ∈ Z

(cid:104)U, V (cid:105)Z∗×Z = (cid:104)V, U (cid:105)Z×Z∗ = (V, U ) = (U, V ) = (cid:104)U, V (cid:105)Z×Z∗,

tức là

(1.7) (cid:104)U, V (cid:105)Z×Z∗ = (U, V ) = (cid:104)U, V (cid:105)Z∗×Z, U, V ∈ Z.

Liên quan đến tính chất ngoại suy của không gian Hilbert, ta có định lý sau.

Định lý 1.5.1. Cho Z ⊂ X ⊂ Z ∗ là một Bộ ba không gian. Nếu A là một toán tử tự

liên hợp bị chặn trên X và là một toán tử tuyến tính bị chặn trên Z, thì A mở rộng được trên Z ∗ thành một toán tử tuyến tính bị chặn với ước lượng (cid:107)A(cid:107)L(Z∗) ≤ (cid:107)A(cid:107)L(Z).

Chứng minh. Với F ∈ X bất kì, ta có

Vì X trù mật trong Z ∗, A được mở rộng một cách duy nhất lên Z ∗ thành một toán

tử bị chặn.

1.6 Toán tử tuyến tính liên kết với dạng tựa tuyến

tính

1.6.1 Dạng tựa tuyến tính và toán tử liên kết

Cho Z ⊂ X ⊂ Z ∗ là một Bộ ba. Theo định nghĩa {Z, Z ∗} là một cặp liên hợp. Trong

mục này ta sử dụng tích đối ngẫu (cid:104)., .(cid:105)Z∗×Z thay vì (cid:104)., .(cid:105)Z×Z∗, tất nhiên (cid:104)., .(cid:105)Z∗×Z = (cid:104)., .(cid:105)Z×Z∗. Xét dạng tựa tuyến tính a(U, V ) trên Z × Z.

Nếu với mọi U, V ∈ Z, tồn tại hằng số dương M sao cho

|a(U, V )| ≤ M (cid:107)U (cid:107) (cid:107)V (cid:107), (1.8)

thì a(U, V ) được gọi là một dạng liên tục. Rõ ràng (1.8) suy ra a(Un, Vn) → a(U, V ) nếu Un → U và Vn → V đồng thời trong Z. Giả sử a(U, V ) là một dạng liên tục trên Z. Với mỗi U ∈ Z, a(U, .) là phiếm hàm liên tục trong Z. Theo Định lý 1.17 trong [14] ta tìm được duy nhất Φ ∈ Z ∗ sao cho a(U, V ) = (cid:104)V, Φ(cid:105)Z×Z∗, tức là tìm được duy nhất Φ ∈ Z ∗ để a(U, V ) = (cid:104)Φ, V (cid:105) với mọi V ∈ Z. Như vậy tương ứng A : U (cid:55)→ Φ là một toán tử tuyến tính từ Z vào Z ∗. Tương ứng này được gọi là toán tử liên kết với dạng

a(U, V ). Nó thỏa mãn

a(U, V ) = (cid:104)AU, V (cid:105), U, V ∈ Z. (1.9)

Dễ thấy A là một toán tử tuyến tính bị chặn thỏa mãn ước lượng

|(cid:104)AU, V (cid:105)| ≤ M (cid:107)U (cid:107), U ∈ Z. (cid:107)AU (cid:107)∗ = sup (cid:107)V (cid:107)≤1

Nếu với mọi U ∈ Z, tồn tại hằng số dương δ sao cho

Re a(U, U ) ≥ δ(cid:107)U (cid:107)2, (1.10)

thì a(U, V ) được gọi là một dạng bức. Hiển nhiên từ (1.10) suy ra rằng nếu a(U, U ) = 0

thì U = 0.

Sau đây ta phát biểu Định lý Lax-Milgram. Chứng minh chi tiết định lý này có

trong [15, Tr. 92].

Định lý 1.6.1. Cho a(U, V ) là một dạng liên tục và bức trên Z. Khi đó với bất kì Ψ ∈ Z (cid:48), tồn tại duy nhất phần tử V ∈ Z sao cho Ψ(U ) = a(U, V ) với mọi U ∈ Z.

Sử dụng Định lý Lax-Milgram ta chứng minh được rằng toán tử liên kết A là một

đẳng cấu từ Z tới Z ∗.

Định lý 1.6.2 ([14], Tr. 26). Cho a(U, V ) là một dạng tựa tuyến tính thỏa mãn (1.8), (1.10). Gọi A là toán tử liên kết với dạng này. Khi đó A là một đẳng cấu từ Z tới Z ∗

với đánh giá δ(cid:107)U (cid:107) ≤ (cid:107)AU (cid:107)∗ ≤ M (cid:107)U (cid:107). Ngoài ra, A là toán tử tuyến tính đóng và xác định trù mật trong Z ∗.

Cuối cùng ta nói về Hạn chế của A lần lượt trên X và Z. Theo định nghĩa, do

D(A) ⊂ X, Hạn chế của toán tử A trong X được cho bởi

(cid:40)

D(A|X) = {U ∈ Z, AU ∈ X}, A|XU = AU.

Từ định nghĩa của Không gian ngoại suy, ta thấy rằng nếu U ∈ D(A|X) thì a(U, V ) liên tục theo V đối với chuẩn trong X. Hơn nữa, nếu U ∈ D(A|X) thì a(U, V ) = (A|XU, V ) với mọi V ∈ Z. Một cách tương tự, vì Z = D(A), Hạn chế của A trong Z được cho bởi

(cid:40)

D(A|Z) = {U ∈ Z, AU ∈ Z}, A|ZU = AU.

Từ (1.7), ta thấy rằng nếu U ∈ D(A|Z) thì a(U, V ) liên tục theo V đối với chuẩn trong Z ∗. Hơn nữa khi U ∈ D(A|Z), ta có a(U, V ) = (cid:104)U, V (cid:105)Z×Z∗ với mọi V ∈ Z.

1.6.2 Dạng liên hợp và toán tử liên hợp

Khi a(U, V ) là một dạng tựa tuyến tính liên tục và bức, các Hạn chế A|X và A|Z của toán tử liên kết A đối với dạng này là các toán tử đóng, xác định trù mật tương ứng trong X và Z. Thật vậy, xét dạng tựa tuyến tính a∗(U, V ) như sau

(U, V ) ∈ Z × Z. a∗(U, V ) = a(V, U ),

Ta gọi a∗(U, V ) là dạng liên hợp của a(U, V ). Rõ ràng a∗(U, V ) cũng liên tục và bức trên Z. Gỉa sử B là toán tử liên kết với a∗(U, V ). Như đã chỉ ra trong mục trước,

dưới các Giả thiết (1.8) và (1.10), B là toán tử tuyến tính đóng, xác định trù mật trong Z ∗ và thỏa mãn a(U, V ) = a∗(V, U ) = (cid:104)BV, U (cid:105) với mọi U, V ∈ Z. Hơn nữa,

(cid:104)AU, V (cid:105) = a(U, V ) = (cid:104)U, BV (cid:105) với mọi U, V ∈ Z. Theo (1.7), rõ ràng A|Z là toán tử liên hợp B∗ của B ứng với cặp đối ngẫu {Z, Z ∗}. Thật vậy, U = B∗ (cid:101)U khi và chỉ khi

(cid:104)U, V (cid:105)Z×Z∗ = (cid:104) (cid:101)U , BV (cid:105) với mọi V ∈ Z; tuy nhiên theo tính chất của toán tử B vừa định nghĩa ở trên, U = B∗ (cid:101)U khi và chỉ khi (cid:104)U, V (cid:105)Z∗×Z = (cid:104)A (cid:101)U , V (cid:105) với mọi V ∈ Z; tóm lại, U = B∗ (cid:101)U khi và chỉ khi U = A (cid:101)U ∈ Z và ta có điều phải chứng minh.

Định lý 1.6.3. Cho A là toán tử tuyến tính liên kết với a(U, V ). Giả sử các Điều

kiện (1.8) và (1.10) được thỏa mãn. Khi đó A|X, A|Z là các toán tử đóng, xác định trù mật tương ứng trong X và Z. Ngoài ra các toán tử liên hợp A∗ và (A|Z)∗ ứng với cặp {Z, Z ∗} tương ứng là B|Z và B. Trong khi đó, toán tử liên hợp (A|X)∗ ứng với cặp {X, X} là B|X.

Lập luận tương tự như đối với A|Z = B∗, ta thấy A|X là toán tử liên hợp (B|X)∗ của B|X đối với cặp liên hợp {X, X}. Khẳng định còn lại suy ra trực tiếp từ (1) trong Định lý 1.4.3.

1.7 Không gian Sobolev-Lebesgue

1.7.1 Biên của miền

Cho Ω là một tập mở trong Rn. Ta nói rằng Ω có biên ∂Ω liên tục (tương ứng Lipschitz, thuộc lớp Cm (m = 1, 2, 3, . . .)) nếu với mọi x ∈ ∂Ω, tồn tại một lân cận V của x trong Rn và một hệ tọa độ trực giao mới (y1, . . . , yn) sao cho

1. V là một hình hộp trong hệ tọa độ mới:

V = {(y1, . . . , yn); −ai < yi < ai, i = 1, . . . , n};

2. Tồn tại một hàm ϕ liên tục (tương ứng Lipschitz, thuộc lớp Cm) xác định trong

V (cid:48) = {(y1, . . . , yn−1); −ai < yi < ai, i = 1, . . . , n − 1}

thỏa mãn

|ϕ(y(cid:48))| ≤ an/2 với mọi y(cid:48) = (y1, . . . , yn−1) ∈ V (cid:48),

Ω ∩ V = {y = (y(cid:48), yn) ∈ V ; yn > ϕ(y(cid:48))},

∂Ω ∩ V = {y = (y(cid:48), yn) ∈ V ; yn = ϕ(y(cid:48))};

3. (cid:107)ϕ(cid:107)C(V (cid:48)) ≤ c (tương ứng (cid:107)ϕ(cid:107)Lip(V (cid:48)) ≤ c, hoặc (cid:107)ϕ(cid:107)Cm(V (cid:48)) ≤ c) với một hằng số

c > 0 nào đó.

1.7.2 Không gian Sobolev với cấp nguyên

Cho Ω là một tập mở trong Rn. Với 1 ≤ p ≤ ∞ và k = 0, 1, 2, . . ., kí hiệu H k p (Ω) là không gian các hàm u thuộc lớp Lp(Ω) sao cho các đạo hàm riêng Dαu đến cấp k đều thuộc Lp(Ω) theo nghĩa phân bố, ở đây α = (α1, α2, . . . , αn) là một đa chỉ số và cấp của đạo hàm riêng Dαu là số |α| = α1 + α2 + . . . + αn. Ta trang bị cho H k p (Ω) chuẩn

p (Ω).

|α|≤k

= (cid:0) (cid:88) (cid:1) 1 p , u ∈ H k (cid:107)u(cid:107)H k (cid:107)Dαu(cid:107)p Lp

p (Ω) là một không gian Banach. Đặc biệt khi p = 2, H k

2 (Ω) là một

Với chuẩn này H k

không gian Hilbert với tích trong

2 (Ω).

|α|≤k

(cid:88) = u, v ∈ H k (cid:104)Dαu, Dαv(cid:105)L2, (cid:104)u, v(cid:105)H k

+ = (cid:8)x = (x(cid:48), xn) : x(cid:48) ∈ Rn−1, xn > 0(cid:9) hoặc là một miền bị chặn trong Rn với biên Lipchitz, theo các Định lý 5 và 5’ trong [12], ta có thể xây dựng một toán tử mở rộng biến các hàm trong Ω thành các hàm trong Rn.

+ hoặc là một miền bị chặn trong Rn với biên Lipschitz. Định lý 1.7.1. Giả sử Ω là Rn Khi đó tồn tại một toán tử tuyến tính C biến các hàm trong Ω thành các hàm trong Rn

Trong trường hợp Ω là tập Rn

với các tính chất sau

1. (Cu)|Ω = u;

p (Ω) vào H k

p (Rn) (1 ≤ p ≤ ∞, k = 0, 1, 2, . . .) thỏa

2. C là một toán tử liên tục từ H k

mãn

p (Rn) ≤ Ap,k(cid:107)u(cid:107)H k

p (Ω),

(cid:107)Cu(cid:107)H k

ở đây Ap,k > 0 là hằng số chỉ phụ thuộc vào p và k.

1.7.3 Không gian Sobolev-Lebesgue trong Rn

p (Ω) có thể được mở rộng cho trường hợp các cấp k không nguyên. Trong mục này, chúng ta xét Ω = Rn. Giả sử s ≥ 0, kí hiệu H s

p(Rn) là không gian các hàm có tính chất như sau

Khi 1 < p < ∞, không gian Sobolev H k

2 Fu] ∈ Lp(Rn)},

p(Rn) = {u ∈ S(Rn)(cid:48) : F −1[(1 + |ξ|2)

H s

ở đây S(Rn)(cid:48) là không gian các hàm suy rộng tăng chậm, F, F −1 tương ứng là phép biến đổi Fourier, phép biến đổi Fourier ngược trên S(Rn)(cid:48). H s p(Rn) là một không gian

Banach với chuẩn

2 Fu](cid:107)Lp,

p(Rn).

p = (cid:107)F −1[(1 + |ξ|2)

u ∈ H s (cid:107)u(cid:107)H s

p (Rn)

p(Rn) thật ra là tương đương. Khi p = 2, H s

2(Rn) là không gian Hilbert với tích trong

Khi s nguyên, không âm, người ta chứng minh được rằng hai định nghĩa của H k và H s

2 Fu, (1 + |ξ|2)

2 Fv(cid:1)

2(Rn).

= (cid:0)(1 + |ξ|2) , u, v ∈ H s (u, v)H s

2(Rn)

Hơn nữa, với s = k + σ, k = [s] là phần nguyên của s và 0 < σ < 1, chuẩn của H s

tương đương với

2(Rn)

H s 2

Rn×Rn

|α|≤k

(cid:21) 1 (cid:20)(cid:90) (cid:90) (cid:88) (cid:107)u(cid:107)(cid:48) , u ∈ H s dx dy = (cid:107)u(cid:107)L2 + |Dαu(x) − Dαu(y)|2 |x − y|n+2σ

(xem [13, Tr. 15]).

1.7.4 Không gian Sobolev-Lebesgue trong Rn

+ hoặc trong một

miền bị chặn

p(Ω) được định nghĩa là tập tất cả các hạn chế u của các hàm trong H s

Giả sử Ω là Rn

+ hoặc là một miền bị chặn trong Rn với biên Lipschitz. Với 1 < p < ∞ p(Rn) p(Ω) nếu và chỉ nếu tồn tại một hàm p(Ω), chuẩn trong H s p

p(Rn) sao cho U|Ω = u hầu khắp nơi trong Ω. Với u ∈ H s

và s ≥ 0, H s trên Ω, tức là một hàm u ∈ Lp(Ω) nằm trong H s U ∈ H s

của nó được định nghĩa là

p(Ω) =

p(Rn).

U ∈H s

p(Rn), U|Ω=u

p(Ω) là một không gian Banach. Thật vậy, vì K = (cid:8)U ∈ H s

p(Rn), nên H s

inf (cid:107)u(cid:107)H s (cid:107)U (cid:107)H s

p(Rn) : p(Ω) thực chất là p(Rn)/K. Theo Định lý 1.7.1, ta thấy định nghĩa này là phù hợp

Theo chuẩn này H s U = 0 trong Ω(cid:9) là một không gian con đóng của H s không gian thương H s

với định nghĩa của chuẩn ở phần trước khi s là một số nguyên.

Khi p = 2 và s = k + σ, trong đó k = [s] là phần nguyên của s và 0 < σ < 1, chuẩn

2(Ω) tương đương với

của H s

2(Ω)

H s 2

Ω×Ω

|α|≤k

(cid:104) (cid:90) (cid:90) (cid:88) ||u||(cid:48) dxdy (cid:105) 1 2 , u ∈ H s (1.11) = ||u||L2 + |Dαu(x) − Dαu(y)|2 |x − y|n+2σ

(xem trong [13, Chú ý 4.4.2/2]). Ta cũng thấy rằng với 0 < s0 < s1 < ∞

p (Ω) ⊂ Lp(Ω), ở đây các phép nhúng là liên tục.

p (Ω) ⊂ H s0

H s1

p (Ω) được gọi là không gian Sobolev. Khi p = 2, H s

Các không gian H s

p(Ω) này được gọi bằng các tên khác nhau. Khi bậc k nguyên, 2(Ω) thường được viết gọn là p(Ω) được

H k H s(Ω) và cũng được gọi là không gian Sobolev. Khi 1 < p < ∞, p (cid:54)= 2, H s

gọi là không gian Lebesgue.

1.7.5 Các định lí nhúng

Theo Định lý 2.8.1/Chú ý 2 và Định lý 4.6.1 trong [13] ta thu được kết quả sau.

+ hoặc là một miền bị chặn với biên Lipschitz. Giả sử

Định lý 1.7.2. Cho Ω là Rn, Rn

1 < p < ∞ và 0 ≤ s < ∞. Ta có các khẳng định sau

1. Nếu 0 ≤ s < và p ≤ r ≤ thì n p pn n − ps

p(Ω) ⊂ Lr(Ω)

H s với phép nhúng liên tục. (1.12)

n p

2. Nếu s = và p ≤ r < ∞ thì n p

p (Ω) ⊂ Lr(Ω)

H với phép nhúng liên tục. (1.13)

+),

+)), khi Ω = Rn (tương ứng Rn

3. Nếu s > , thì

p(Ω) ⊂

H s (1.14) n p (cid:40)C(Rn) (tương ứng C(Rn C(Ω), khi Ω bị chặn.

Đặc biệt khi Ω bị chặn, phép nhúng ở đây là liên tục.

1.7.6 Vết

+. Nếu 1 < p < ∞ và s >

Trước hết xét trường hợp Ω = Rn , từ (1.14) ta thấy rằng

+) ⊂ C(Rn

+). Do đó, toán tử vết γ : f (cid:55)→ f|∂Rn

+) đến C(∂Rn

+ = {x = (x(cid:48), 0); x(cid:48) ∈ Rn−1}. Nếu s > 1

+), p , γ mở rộng được thành một toán tử

n p xác định từ H s(Rn

+) đến Lp(∂Rn

p(Rn

+) (xem [13, Định lý 2.9.3]). Trong mục này ta sẽ giới thiệu một số mở rộng của những kết quả trên khi Ω là

H s(Rn ở đây ∂Rn bị chặn từ H s

+ hoặc là một miền bị chặn với biên Lipschitz. Chứng minh những kết quả có trong [14, Tr. 46]. Nhắc lại rằng D(Ω) là không gian các hàm khả vi vô hạn có giá compact

trong Ω.

Định lý 1.7.3. Cho Ω là Rn

+ hoặc một miền bị chặn với biên Lipschitz. Giả sử 1 < p(Ω) lên Lp(∂Ω).

+ hoặc là một miền bị chặn với biên Lipchitz và 1 < p < ∞.

p < ∞. Nếu s > , thì vết γ : f (cid:55)→ f|∂Ω là một toán tử bị chặn từ H s 1 p

p(Ω).

, không gian D(Ω) trù mật trong H s Nếu 0 ≤ s ≤ Định lý 1.7.4. Cho Ω là Rn 1 p

Định lý 1.7.5. Cho Ω là miền như trong Định lý 1.7.4 và 1 < p < ∞. Với 0 ≤ s < ,

p(Ω) vào H s

p(Rn).

1 p tương ứng f (cid:55)→ (cid:101)f , ở đây (cid:101)f = f trong Ω và (cid:101)f = 0 trong Rn − Ω, là một toán tử bị chặn từ H s

Khi < s ≤ 1, theo Định lý 1.42 trong [14], ta có kết quả sau. 1 p

p(Ω) khi và chỉ khi

p(Ω) thuộc bao đóng của D(Ω) trong H s

< s ≤ 1, một hàm u ∈ H s

Định lý 1.7.6. Cho Ω là miền như trong hai định lý trên và 1 < p < ∞. Nếu 1 p u|∂Ω = 0.

1.7.7 Không gian ˚H s

p(Ω) và H−s

p (Ω)

Với 1 < p < ∞ và s ≥ 0, kí hiệu ˚H s p(Ω). Ta thấy u ∈ ˚H s

p(Ω) là bao đóng của tập D(Ω) trong không gian p(Ω) khi và chi khi có một dãy {un} ⊂ D(Ω) sao cho un → u + hoặc

p(Rn) với mọi 0 ≤ s < ∞. Khi Ω là Rn

p(Rn) = H s

p(Ω). Khi Ω = Rn, ˚H s

H s trong H s

là một miền bị chặn với biên Lipchitz thì theo Định lý 1.7.4

p(Ω) = H s

p(Ω) nếu 0 ≤ s ≤

˚H s (1.15) , 1 p

nhưng

p(Ω) (cid:54)= H s

p(Ω) nếu

< s < ∞. ˚H s 1 p

Định lý 1.7.6 dẫn đến

p(Ω) = (cid:8)u ∈ H s

p(Ω); u|∂Ω = 0(cid:9) nếu

˚H s < s ≤ 1. (1.16) 1 p

2(Ω) được viết gọn là ˚H s(Ω). Khi s ≥ 0, không gian đối p (Ω)}

p (Ω), ở đây 1 < p(cid:48) < ∞,

p(cid:48)(Ω), H−s

+ ngẫu của ˚H s Khi p = 2, không gian ˚H s p(cid:48)(Ω) là H−s 1 p

p(cid:48)(Ω) × H−s p (Ω). Mặt p(cid:48)(Ω)(cid:48) ⊂ D(Ω)(cid:48). Như

1 p(cid:48) = 1. Vì vậy { ˚H s trên ˚H s p(cid:48) ×H−s p (Ω) = ˚H s p(cid:48)(Ω) nên H−s

p (Ω) theo quan hệ

lập thành một cặp liên hợp với tích đối ngẫu (cid:104)., .(cid:105) ˚H s khác do D(Ω) được nhúng trù mật trong ˚H s vậy ta có Lp(Ω) ⊂ H−s

p(cid:48)(Ω), f ∈ Lp(Ω).

p(cid:48) ×H−s

u ∈ ˚H s (1.17) (cid:104)u, f (cid:105) ˚H s = (cid:104)u, f (cid:105)Lp(cid:48) ×Lp,

2 (Ω) được viết gọn là H−s(Ω). Chú ý rằng ba không gian

Khi p = p(cid:48) = 2, H−s

0 < s < ∞ (1.18) ˚H s(Ω) ⊂ L2(Ω) ⊂ H−s(Ω),

p (Ω) được cho bởi

lập thành một Bộ ba. Khi Ω = Rn, H −s

2 Ff ] ∈ Lp(Rn)},

p (Rn) = {f ∈ S(Rn)(cid:48) : F −1[(1 + |ξ|2)− s

H −s

Theo [13, Định lý 2.6.1], với bất kì −∞ < s < ∞,

p(Rn))(cid:48) = H −s

p(cid:48) (Rn)

(H s + . (cid:16) 1 p (cid:17) 1 p(cid:48) = 1

1.7.8 Không gian tích

+ hoặc là một miền bị chặn với biên Lipschitz. Với 1 ≤ p ≤ ∞,

Cho Ω là Rn, Rn

không gian tích Lp(Ω) được định nghĩa như sau

  (cid:40)

F = (1.19) (cid:41) . Lp(Ω) =     ; fj ∈ Lp(Ω) với j = 1, . . . , l f1 ... fl

p(Ω) được định nghĩa bởi

Trên không gian này lấy chuẩn tích ||F ||Lp = max{||f1||Lp, . . . , ||fl||Lp} nếu 1 ≤ p < ∞ và ||F ||L∞ = max{||f1||L∞, . . . , ||fl||L∞} nếu p = ∞. Tương tự với 1 < p < ∞ và s ≥ 0, không gian tích Hs

p(Ω) =

p(Ω) với j = 1, . . . , l

 (cid:41) (cid:40) Hs U = (1.20)   ; uj ∈ H s    u1 ... ul

p = max{||u1||H s

p , ..., ||ul||H s Những kết quả liên quan đến Lp(Ω) và H s

với chuẩn tích ||U ||Hs

p }. p(Ω) một cách tự nhiên cũng đúng cho 2(Ω) là các không gian Hilbert.

p(Ω). Ví dụ khi p = 2, L2(Ω) và Hs(Ω) = Hs

Lp(Ω) và Hs

Chương 2

Toán tử quạt, hàm mũ và toán tử lũy thừa

2.1 Toán tử quạt và vài tính chất cơ bản

2.1.1 Định nghĩa toán tử quạt

Cho X là không gian Banach với chuẩn (cid:107) . (cid:107), A là toán tử tuyến tính đóng, xác

định trù mật trong X. Giả sử rằng tập phổ của A được chứa trong miền quạt mở

(2.1) σ(A) ⊂ Σω = {λ ∈ C : |argλ| < ω}, 0 < ω ≤ π,

và giải thức của nó thỏa mãn ước lượng

, (2.2) (cid:107)(λ − A)−1(cid:107) ≤ λ /∈ Σω M |λ|

với hằng số M ≥ 1. Khi đó A được gọi là toán tử quạt trong X. Điều kiện (2.1) suy

ra 0 /∈ σ(A), hay nói cách khác A có nghịch đảo bị chặn trong X. Theo (1.2), ta có

λ ∈ ρ(A) và

(cid:107)(λ − A)−1(cid:107) ≤ , miễn là |λ| < (cid:107)A−1(cid:107)−1. (2.3) (cid:107)A−1(cid:107) 1 − (cid:107)A−1(cid:107)|λ|

Tương tự đối với λ0 = r0e±iω, r0 > 0, ta thấy

(cid:9) ⊂ ρ(A) (cid:8)λ ∈ C : |λ − λ0| < r0 M

và

(cid:107)(λ − A)−1(cid:107) ≤ . , với mọi λ miễn là |λ − λ0| <

M , nên với ω(cid:48) thỏa mãn ω − sin−1 1

M r0 − M |λ − λ0| (cid:9) = sin−1 1 r0 M M < ω(cid:48) < ω, ta

Vì inf (cid:8)argλ : |λ − λ0| < r0 có

(2.4) σ(A) ⊂ Σω(cid:48) = (cid:8)λ ∈ C; |argλ| < ω(cid:48)(cid:9),

(cid:107)(λ − A)−1(cid:107) ≤ (2.5) , λ /∈ Σω(cid:48), Mω(cid:48) > M.

. Làm theo cách này chúng ta thấy Chẳng hạn có thể lấy Mω(cid:48) = Mω(cid:48) |λ| M cos(ω − ω(cid:48)) 1 − M sin(ω − ω(cid:48))

rằng các Điều kiện (2.1), (2.2) cũng đúng đối với các góc ω(cid:48) nhỏ hơn ω. Một cách tự nhiên ta đi xét infimum của tập tất cả các góc ω(cid:48) như vậy và gọi giá trị này là góc của

A, kí hiệu là ωA.

2.1.2 Toán tử quạt liên kết với một dạng tựa tuyến tính

Cho Z ⊂ X ⊂ Z ∗ là một Bộ ba các không gian với các chuẩn tương ứng (cid:107) . (cid:107), | . | và (cid:107) . (cid:107)∗. Giả sử (., .) là tích trong trên X và (cid:104)., .(cid:105) là tích đối ngẫu trên Z ∗ × Z. Xét một dạng tựa tuyến tính liên tục và bức a(U, V ) trên Z × Z, tức là

|a(U, V )| ≤ M (cid:107)U (cid:107) (cid:107)V (cid:107), U, V ∈ Z (2.6)

Re a(U, U ) ≥ δ(cid:107)U (cid:107)2, U ∈ Z (2.7)

với các hằng số M > δ > 0. Gọi A là toán tử tuyến tính liên kết với dạng tựa tuyến

tính này và A|X, A|Z là các Hạn chế của nó tương ứng trên các không gian X và Z. Như đã biết (xem Mục 1.6), A, A|X và A|Z là các toán tử tuyến tính đóng, xác định trù mật tương ứng trong Z ∗, X và Z .

Với mỗi Re λ ≤ 0, xét dạng tựa tuyến tính

a(U, V ) − λ(U, V ), U, V ∈ Z.

Hiển nhiên dạng này cũng liên tục và bức trên Z. Theo Định lý 1.6.2, toán tử liên kết với nó là A − λ, là một đẳng cấu từ Z vào Z ∗. Nói riêng, λ ∈ ρ(A) nếu A được coi như một toán tử xác định trên Z ∗.

Tiếp theo, ta sẽ thiết lập vài ước lượng của giải thức (λ − A)−1 ứng với Re λ ≤ 0.

Giả sử U ∈ Z, ta có

δ(cid:107)U (cid:107)2 ≤ Re a(U, U ) − Re λ|U |2 = Re (cid:104)(A − λ)U, U (cid:105) ≤ (cid:107)U (cid:107)(cid:107)(A − λ)U (cid:107)∗.

Đặt Φ = (λ − A)U , khi đó

(2.8) (cid:107)(λ − A)−1Φ(cid:107) ≤ δ−1(cid:107)Φ(cid:107)∗.

Vì

λ(λ − A)−1Φ = A(λ − A)−1Φ + Φ,

ta có

|λ|(cid:107)(λ − A)−1Φ(cid:107)∗ ≤ (cid:107)A(cid:107)L(Z, Z∗)(cid:107)(λ − A)−1Φ(cid:107) + (cid:107)Φ(cid:107)∗ ≤ (M δ−1 + 1)(cid:107)Φ(cid:107)∗.

Do đó,

|λ|(cid:107)(λ − A)−1Φ(cid:107)∗ ≤ (M δ−1 + 1)(cid:107)Φ(cid:107)∗, Φ ∈ Z ∗.

Bây giờ giả sử U ∈ D(A|X). Với Re λ ≤ 0,

δ(cid:107)U (cid:107)2 ≤ Re a(U, U ) − Re λ|U |2 = Re ((A − λ)U, U ) ≤ |(A − λ)U ||U |.

Từ

λ|U |2 = a (U, U ) + ((λ − A)U, U ),

ta suy ra

|λ||U |2 ≤ M ||U ||2 + |(λ − A)U ||U | ≤ (M δ−1 + 1)|(λ − A)U | |U |.

Đặt F = (λ − A)U , ta được

|λ||(λ − A)−1F | ≤ (M δ−1 + 1)|F |, F ∈ X.

Cuối cùng xét U ∈ Z. Vì

λ(λ − A)−1U − (λ − A)−1AU = U,

nên

|λ|(cid:107)(λ − A)−1U (cid:107) ≤ (cid:107)(λ − A)−1(cid:107)L(Z∗, Z)(cid:107)A(cid:107)L(Z∗, Z)(cid:107)U (cid:107) + (cid:107)U (cid:107).

Từ đây theo (2.8),

|λ|(cid:107)(λ − A)−1U (cid:107) ≤ (M δ−1 + 1)(cid:107)U (cid:107), U ∈ Z.

Tóm lại, ta đã chỉ ra với Re λ ≤ 0, các ước lượng sau luôn đúng

|λ|(cid:107)(λ − A)−1Φ(cid:107)∗ ≤ (M δ−1 + 1)(cid:107)Φ(cid:107)∗, Φ ∈ Z ∗,

|λ||(λ − A)−1F | ≤ (M δ−1 + 1)|F |, F ∈ X,

|λ|(cid:107)(λ − A)−1U (cid:107) ≤ (M δ−1 + 1)(cid:107)U (cid:107), U ∈ Z.

Những điều này có nghĩa tất cả các toán tử A, A|X và A|Z đều thoả mãn các Điều và hằng số M δ−1 + 1 trong các không gian Z ∗, X và Z kiện (2.1), (2.2) với góc ω = π 2 tương ứng.

Tổng kết những điều trên ta có định lý sau.

Định lý 2.1.1. Giả sử A là toán tử liên kết với một dạng tựa tuyến tính a (U, V ) thỏa π mãn (2.6) và (2.7). Khi đó A, A|X và A|Z là các toán tử quạt với các góc nhỏ hơn 2 trong các không gian tương ứng là Z ∗, X và Z. Cụ thể hơn, chúng thoả mãn (2.1) và

(2.2) với góc ω = và hằng số . π 2 M + δ δ

2.1.3 Toán tử quạt trong không gian L2

Giả sử Ω là một miền bất kì trong Rn, Z là một không gian con đóng của H 1(Ω)

sao cho ˚H 1(Ω) ⊂ Z ⊂ H 1(Ω). Xét dạng tựa tuyến tính a(u, v) trên Z × Z

n (cid:88)

Ω

i,j=1

(cid:90) (cid:90) a(u, v) = c(x)u¯v dx, u, v ∈ Z. (2.9) aij(x)DiuDj ¯v dx +

Ở đây các hàm hệ số aij(x), 1 ≤ i, j ≤ n, nhận giá trị thực trong Ω thỏa mãn

1 ≤ i, j ≤ n. (2.10) aij ∈ L∞(Ω),

n (cid:88)

Ngoài ra, giả sử rằng với một hằng số dương δ nào đó

i,j=1

(2.11) aij(x)ξiξj ≥ δ|ξ|2, ξ = (ξ1, ..., ξn) ∈ Rn, x ∈ Ω hầu khắp nơi.

Cuối cùng giả sử c(x) là một hàm thực trong Ω thỏa mãn

(2.12) c ∈ L∞(Ω) và c(x) ≥ c0 > 0, x ∈ Ω hầu khắp nơi.

. Ta quan tâm tới hai π 2 Các điều kiện này đảm bảo a(u, v) thỏa mãn (2.6) và (2.7) trên Z. Vì vậy nếu xét Bộ ba Z ⊂ (cid:32)L2(Ω) ⊂ Z ∗(cid:0)chú ý rằng do D(Ω) ⊂ ˚H 1(Ω) ⊂ Z, Z trù mật trong L2(Ω)(cid:1), thì toán tử liên kết A của dạng tựa tuyến tính này và các Hạn chế của nó là các toán tử quạt tương ứng trong Z ∗, L2(Ω) và Z với các góc nhỏ hơn trường hợp sau.

n (cid:88)

Trường hợp Z = ˚H 1(Ω) : Trong trường hợp này, Z ∗ đồng nhất với H−1(Ω). Vì D(Ω) trù mật trong ˚H 1(Ω) nên H−1(Ω) được chứa trong không gian D(Ω)(cid:48). Do đó, ta có thể biểu diễn A theo nghĩa phân bố như sau

i,j=1

Au = − (2.13) Dj[aij(x)Diu] + c(x)u.

Điều này chỉ ra rằng A và các Hạn chế của nó là các biểu diễn của Toán tử vi phân (2.13) tương ứng trong H−1(Ω), L2(Ω) và ˚H 1(Ω). Nếu Ω là một miền bị chặn với biên Lipchitz thì D(A) = ˚H 1(Ω), tức là nếu u ∈ D(A) thì

γu = 0 trên ∂Ω. (2.14)

Định lý 2.1.2 ([14], Tr. 60). Cho Ω là một miền trong Rn. Giả sử (2.10), (2.11) và (2.12) được thỏa mãn. Khi đó toán tử A liên kết với Dạng (2.9) trên Z = ˚H 1(Ω) và các Hạn chế của nó là những toán tử quạt tương ứng trên H−1(Ω), L2(Ω) và H 1(Ω) với các góc nhỏ hơn và với hằng . Chính xác hơn, chúng thỏa mãn (2.1), (2.2) với ω = π 2 π 2

số M được xác định bởi (cid:107)aij(cid:107)L∞, (cid:107)c(cid:107)L∞, δ và c0. Ngoài ra, nếu Ω là miền bị chặn có biên ∂Ω Lipschitz thì u ∈ D(A) thỏa mãn Điều kiện Dirichlet (2.14) trên ∂Ω.

Trường hợp Z = H 1(Ω) : Trong trường hợp này, Z ∗ không đồng nhất với bất kì không gian con nào của D(Ω)(cid:48). Vì vậy, toán tử liên kết A không thể biểu diễn được

n (cid:88)

Ω

dưới dạng một toán tử vi phân thông thường. Tuy nhiên nếu Au ∈ L2(Ω) và thêm vào những điều kiện làm cho các lập luận sau đây thực hiện được, chẳng hạn ∂Ω là Lipschitz, u ∈ D(A|L2) và aij(x)Diu ∈ H 1(Ω) với mọi 1 ≤ i, j ≤ n, thì theo Công thức Green (cid:90) Dj[aij(x)Diu]¯v dx (Au, v)L2 = a(u, v) = −

i,j=1 n (cid:88)

∂Ω

Ω

i,j=1

(cid:90) (cid:90) + c(x)u¯v dx, v ∈ H 1(Ω), [νj(x)aij(x)Diu]¯v dS +

n (cid:88)

ở đây ν(x) = (ν1(x), ..., νn(x)) là véc tơ pháp tuyến chuẩn tắc ngoài tại điểm x trên biên ∂Ω. Mặt khác do a(u, v) liên tục theo v đối với tô-pô trong L2(Ω), tích phân trên ∂Ω phải bị triệt tiêu. Nói cách khác, u phải thỏa mãn điều kiện biên

i,j=1

(2.15) ≡ νj(x)aij(x)Diu = 0 trên ∂Ω. ∂u ∂ν

n (cid:88)

Điều kiện này được gọi là Điều kiện biên Neumann trên ∂Ω. Đến đây ta có (cid:33) (cid:32)

i,j=1

− , v ∈ H 1(Ω) Dj[aij(x)Diu] + c(x)u, v (Au, v)L2 =

n (cid:88)

và vì vậy với mọi u ∈ L2(Ω)

i,j=1

Au = − (2.16) Dj[aij(x)Diu] + c(x)u.

Theo những lập luận này, u thỏa mãn Điều kiện biên (2.15) và Au được cho bởi (2.16). Ta cũng chú ý rằng nếu Au = ϕ với u ∈ H 1(Ω), ϕ ∈ H 1(Ω)∗, thì tồn tại dãy uk ∈ D(A|L2) và fk ∈ L2(Ω) sao cho A|L2uk = fk, uk → u trong H 1(Ω) và fk → ϕ trong H 1(Ω)∗. Thật vậy, ta có thể chọn dãy bất kỳ fk → ϕ trong H 1(Ω)∗ với fk ∈ L2(Ω) và đặt uk = (A|L2)−1fk. Theo nghĩa này, ta có thể coi A và các Hạn chế của nó là những biểu diễn của Toán tử vi phân (2.13) dưới Điều kiện biên Neumann (2.15) tương ứng trong H 1(Ω)∗, L2(Ω) và H 1(Ω).

Định lý 2.1.3. Cho Ω là một miền bất kì trong Rn. Giả sử (2.10), (2.11) và (2.12)

được thỏa mãn. Khi đó toán tử A liên kết với Dạng (2.9) và các Hạn chế của nó là π những toán tử quạt tương ứng trong H 1(Ω)∗, L2(Ω) và H 1(Ω) với các góc nhỏ hơn 2 và hằng số M được xác Chính xác hơn, chúng thỏa mãn (2.1), (2.2) với góc ω = π 2 định bởi ||aij||L∞, ||c||L∞, δ và c0.

Chứng minh. Xem trong [14, Tr. 60].

2.1.4 Tính chất chuyển trong L2

n (cid:88)

Khi Điều kiện (2.11) được thỏa mãn, toán tử vi phân

i,j=1

A(D)u = − (2.17) Dj[aij(x)Diu] + c(x)u

được gọi là elliptic mạnh. Nói chung, toán tử elliptic mạnh được mong đợi thỏa mãn tính chất sau: A(D)u ∈ L2(Ω) kéo theo u ∈ H 2(Ω). Tính chất này được gọi là tính chất chuyển. Tuy nhiên các toán tử được giới thiệu trong mục trước không thỏa mãn

tính chất này vì các hàm hệ số aij(x) đơn thuần chỉ là các hàm đo được. Để có được tính chất chuyển, chúng ta phải giả sử thêm một vài điều, chẳng hạn, Ω là một miền bị chặn trong Rn với biên thuộc lớp C2 còn aij(x) thỏa mãn

1 ≤ i, j ≤ n. (2.18) aij ∈ C1(Ω),

Xét trường hợp A(D) được trang bị điều kiện biên Neumann. Theo lý thuyết

∂u ∂ν của toán tử elliptic (xem Định lý 2.2.2.5 và Hệ quả 2.2.2.6 trong [5]), ánh xạ u (cid:55)→ = 0 trên ∂Ω(cid:9) vào L2(Ω) (A(D) + k)u là một đẳng cấu từ không gian (cid:8)u ∈ H 2(Ω); nếu k đủ lớn. Hơn nữa, với C là một hằng số dương nào đó

= 0. u ∈ H 2(Ω), (cid:107)u(cid:107)H 2 ≤ C(cid:107)[A(D) + k]u(cid:107)L2, ∂u ∂ν

∂(cid:101)u ∂ν Gọi A là toán tử liên kết với Dạng 2.9 trên H 1(Ω) và A|L2 là Hạn chế của A trong L2(Ω). Nếu A|L2u = f ∈ L2(Ω) thì tồn tại duy nhất một hàm (cid:101)u ∈ H 2(Ω) sao cho = 0 trên ∂Ω. Dễ thấy rằng (cid:101)u = u. Do đó, u ∈ D(A|L2) [A(D) + k](cid:101)u = f + ku và kéo theo u ∈ H 2(Ω). Từ đây ta được

(cid:40) = 0 trên ∂Ω}, (2.19) ∂u ∂ν D(A|L2) = {u ∈ H 2(Ω); A|L2u = A(D)u,

và

(2.20) (cid:107)u(cid:107)H 2 ≤ C((cid:107)A|L2u(cid:107)L2 + (cid:107)u(cid:107)L2), u ∈ D(A|L2).

Kí hiệu

N (Ω) = {u ∈ H 2(Ω);

= 0 trên ∂Ω}. (2.21) H 2

∂u ∂ν Theo Định lý 3.2.1.3 trong [5], ta có kết quả sau.

Định lý 2.1.4. Cho Ω là một miền bị chặn với biên thuộc lớp C2. Giả sử rằng các

Điều kiện (2.11), (2.12) và (2.18) đều được thỏa mãn. Khi đó, Hạn chế A|L2 của toán tử A liên kết với Dạng (2.9) trên H 1(Ω) được đặc trưng bởi (2.19) và thỏa mãn đánh

giá (2.20).

Trong trường hợp Ω là một miền lồi, bị chặn trong Rn và aij(x) đối xứng, tức là

(2.22) aij(x) = aj i(x), với mọi 1 ≤ i, j ≤ n, x ∈ Ω hầu khắp nơi.

Theo Định lý 3.1.3.3 trong [5], hằng số C xuất hiện trong (2.20) chỉ phụ thuộc vào

phần biên của Ω có độ cong âm và độc lập với các phần còn lại. Tính chất chuyển

tương tự được xây dựng cho miền lồi bị chặn. Chú ý rằng miền lồi bị chặn bất kì có

biên Lipschitz.

Định lý 2.1.5. Cho Ω là một miền lồi bị chặn trong Rn. Giả sử các Điều kiện (2.11),

(2.12), (2.18) và (2.22) được thỏa mãn. Khi đó, Hạn chế A|L2 của toán tử liên kết với Dạng (2.9) trên H 1(Ω) được đặc trưng bởi (2.19) và thỏa mãn Đánh giá (2.20).

Chứng minh. Xem chứng minh trong [5, Định lý 3.2.1.3].

2.2 Hàm mũ

. Cho ω là góc Xét toán tử quạt A trong không gian Banach X với góc 0 ≤ ωA < π 2 . Từ định nghĩa ta có thỏa mãn ωA < ω < π 2

(2.23) σ(A) ⊂ Σω = {λ ∈ C : |arg λ| < ω},

và một hằng số Mω không nhỏ hơn 1 sao cho

||(λ − A)−1|| ≤ (2.24) , với mọi λ /∈ Σω. Mω |λ|

2.2.1 Nửa nhóm giải tích sinh bởi một toán tử quạt

Trong mục này ta định nghĩa một họ các toán tử tuyến tính bị chặn e−tA trên X

theo Tính phân Dunford trong không gian L(X)

(cid:90) e−tA = e−tλ(λ − A)−1dλ, 0 < t < ∞. (2.25) 1 2πi

Ở đây Γ là một đường cong vô hạn nằm trong ρ(A), bao quanh σ(A) và được định

hướng ngược chiều quay của kim đồng hồ. Chẳng hạn, chúng ta có thể lấy Γ = Γ− ∪Γ+, trong đó Γ± : λ = re±iω, 0 ≤ r < ∞ với hướng từ ∞eiω đến 0 rồi từ 0 đến ∞e−iω (lưu ý rằng 0 ∈ ρ(A)). Vì

|e−tλ| = e−t Reλ = e−t|λ| cos ω, λ ∈ Γ±,

Γ(cid:48)

(cid:90) tích phân trên Γ hội tụ trong L(X). Cho 0 < t, t(cid:48) < ∞, ta có (cid:1)2 (cid:90) e−tλe−t(cid:48)λ(cid:48)(λ − A)−1(λ(cid:48) − A)−1dλ(cid:48)dλ, e−tAe−t(cid:48)A = (cid:0) 1 2πi

với Γ(cid:48) = Γ − 1 là đường cong thu được từ Γ bằng cách dịch chuyển Γ về bên trái một

đơn vị. Theo Phương trình giải thức (1.3):

Γ(cid:48)

(cid:90) (cid:1)2 (cid:90) [(λ − A)−1 − (λ(cid:48) − A)−1]dλ(cid:48)dλ. e−tAe−t(cid:48)A = (cid:0) 1 2πi e−tλe−t(cid:48)λ(cid:48) λ(cid:48) − λ

Mặt khác từ Công thức tích phân Cauchy

|λ(cid:48)−λ|=1

Γ(cid:48) (cid:90)

(cid:73) (cid:90) dλ(cid:48) = dλ(cid:48) = e−t(cid:48)λ, 1 2πi e−t(cid:48)λ(cid:48) λ(cid:48) − λ 1 2πi

dλ = 0. 1 2πi e−t(cid:48)λ(cid:48) λ(cid:48) − λ e−tλ λ(cid:48) − λ

Ta có (cid:90) e−tAe−t(cid:48)A = e−(t+t(cid:48))λ(λ − A)−1dλ = e−(t+t(cid:48))A. 1 2πi

Điều này có nghĩa ta đã chứng minh được luật mũ

e−tAe−t(cid:48)A = e−t(cid:48)Ae−tA = e−(t+t(cid:48))A, 0 < t, t(cid:48) < ∞.

Theo nghĩa này họ các toán tử e−tA được gọi là hàm mũ sinh bởi −A.

Ta cũng thấy rằng e−tA mở rộng được thành một hàm giải tích xác định trên một

miền quạt nào đó chứa nửa trục thực (0, ∞), nhận giá trị trong L(X). Thật vậy, nếu

− ω, thì | arg z| < π 2

|e−zλ| = e−Re (zλ) ≤ e−|z||λ| cos(| arg z|+ω), λ ∈ Γ±,

trong đó Γ± là các thành phần của đường cong đã giới thiệu ở trên. Do đó, tích phân

2 −ω

(cid:90) e−zA = e−zλ(λ − A)−1dλ, z ∈ Σ π (2.26) 1 2πi

hội tụ trong L(X) và như vậy e−tA được mở rộng thành hàm e−zA trong miền quạt

2 −ω. Ngoài ra, ta có thể kiểm tra được rằng e−zA khả vi.

Σ π

2 −ω. Ngoài ra, các đạo hàm của nó trong Σ π

2 −ω là

, e−zA là một hàm nhận giá trị trong L(X), giải π 2 Mệnh đề 2.2.1. Với ωA < ω < tích trên Σ π

(cid:90) (−λ)ke−zλ(λ − A)−1dλ, k = 0, 1, . . . (2.27) dke−zA dzk = (−A)ke−zA = 1 2πi

Chứng minh. Ta chứng minh (2.27) bằng quy nạp. Khi k = 0, (2.27) hiển nhiên đúng. Giả sử (2.27) đúng với k. Tính toán trực tiếp, ta thấy dk dzk e−zA khả vi theo z và đạo

hàm của nó là (cid:90) (−λ)k+1e−zA(λ − A)−1 dλ. dk+1e−zA dzk+1 = 1 2πi

Xét tích (cid:90) (−A)−1 dk+1e−zA (−λ)k+1e−zAA−1(λ − A)−1 dλ. dzk+1 = − 1 2πi

Từ (1.3) suy ra

1 (vì 2πi R( dk

(cid:90) (−λ)ke−zλ[(λ − A)−1 + A−1] dλ = (−A)−1 dk+1e−zA dzk+1 = 1 2πi dke−zA dzk

dzk e−zA) ⊂ D(A) và −A dk

dzk e−zA = dk+1

(cid:82) Γ(−λ)ke−zλ dλ = 0 theo Định lý tích phân Cauchy). Điều này chỉ ra rằng dzk+1 e−zA. Nói cách khác, (2.27) cũng đúng với

k + 1.

Sau đây là một ước lượng cho chuẩn của e−zA. Chứng minh chi tiết xem trong [14,

Tr. 86].

Mệnh đề 2.2.2. Với φ bất kì thỏa mãn 0 < φ < − ω, tồn tại một số mũ dương π 2 δφ > 0 và một hằng số Cφ > 0 sao cho

(2.28) z ∈ Σφ − {0}. ||e−zA|| ≤ Cφe−δφ|z|,

Mệnh đề 2.2.3. Với φ bất kì thỏa mãn 0 < φ < − ω, e−zA hội tụ mạnh về toán tử π 2 1 trong X khi z → 0 với z ∈ Σφ − {0}.

Chứng minh. Trước tiên, giả sử U ∈ D(A). Theo chứng minh của Định lý 2.2.1

Γ (cid:90)

(cid:90) e−zAU = e−zλ(λ − A)−1(1 + A)−1 dλ (1 + A)U

Γ (cid:90)

= [(λ − A)−1 + (1 + A)−1] dλ (1 + A)U

= (λ − A)−1 dλ (1 + A)U. 1 2πi 1 2πi 1 2πi e−zλ λ + 1 e−zλ λ + 1

Γ (cid:73)

Theo Định lý hội tụ bị chặn Lebesgue, khi z → 0 (cid:90) e−zAU → (λ − A)−1 dλ (1 + A)U 1 λ + 1

|λ+1|=1

(λ − A)−1 dλ (1 + A)U = U trong X. = − 1 2πi 1 2πi 1 λ + 1

Tiếp theo, cho F ∈ X là một véc tơ bất kì. Do (2.28) nên D(A) trù mật trong X và các chuẩn (cid:107)e−zA(cid:107) bị chặn đều. Điều này suy ra e−zAF → F trong X.

Từ sự hội tụ này, ta định nghĩa được giá trị của e−zA tại z = 0 là e−0A = 1. Sau

cùng, ta chứng minh tính khả vi của e−zAU tại z = 0 với U ∈ D(A).

− ω, z−1[e−zA − 1]U Mệnh đề 2.2.4. Cho U ∈ D(A). Với φ bất kì thỏa mãn 0 < φ < π 2 hội tụ đến −AU trong X khi Σφ − {0} (cid:51) z → 0.

Chứng minh. Cho z ∈ Σφ − {0} và ε > 0. Ta có

0 e−θzAAU dθ. Do đó, khi z → 0, thì z−1[e−zA −1]U →

(cid:90) 1 [e−zA − e−εA]U = (ε − z) e−[θz+(1−θ)ε]AAU dθ.

Khi ε → 0, thì [e−zA −1]U = −z (cid:82) 1 −AU .

Tóm lại, ta đã chứng minh rằng một toán tử quạt A thỏa mãn (2.23) và (2.24) có hàm mũ e−zA giải tích trong Σ π 2 −ω, đồng thời thỏa mãn các tính chất được mô tả trong các Mệnh đề 2.2.1, 2.2.2, 2.2.3 và 2.2.4. Ta cũng kiểm tra được rằng e−zA thỏa mãn

tính chất nửa nhóm

2 −ω.

e−zAe−z(cid:48)A = e−(z+z(cid:48))A, z, z(cid:48) ∈ Σ π (2.29)

Theo định nghĩa trong Mục 1.2.5, e−zA là một nửa nhóm giải tích trên X sinh bởi −A.

2.2.2 Bài toán Cauchy đối với phương trình tiến hóa tuyến

tính

Cho X là một không gian Banach với chuẩn (cid:107) . (cid:107). Xét bài toán Cauchy đối với

phương trình tiến hóa tuyến tính

  + AU = F (t), 0 < t ≤ T, (2.30)  dU dt U (0) = U0, U0 ∈ X.

, cụ thể, A thỏa mãn (2.23) và (2.24), π 2 Ở đây A là toán tử quạt trong X với góc ωA < F ∈ F β,σ((0, T ]; X), 0 < σ < β ≤ 1.

Định lý 2.2.1. Cho A thỏa mãn (2.23) và (2.24). Với một hàm F bất kì trong F β,σ((0, T ]; X), 0 < σ < β ≤ 1, tồn tại duy nhất nghiệm U của (2.30) trong không

gian hàm:

U ∈ C([0, T ]; X) ∩ C((0, T ]; D(A)) ∩ C1((0, T ]; X)

với ước lượng

(cid:107)U (t)(cid:107) + t(cid:107) 0 < t ≤ T. (cid:107) + t(cid:107)AU (t)(cid:107) ≤ C((cid:107)U0(cid:107) + (cid:107)F (cid:107)F β,σ ), dU dt

Hơn nữa, U được biểu diễn bằng công thức

(cid:90) t e−(t−τ )AF (τ ) dτ, 0 ≤ t ≤ T. (2.31) U (t) = e−tAU0 +

Chứng minh. Xem chứng minh trong [14, Tr. 124-126].

2.3 Toán tử lũy thừa

Cho X là một không gian Banach với chuẩn (cid:107) · (cid:107). Giả sử A là toán tử quạt trong X với góc 0 ≤ ωA < π. Chúng ta biết rằng với bất kì số nguyên n ∈ Z, toán tử An được xác định:

Khi n > 0, An là toán tử đóng, xác định trù mật (xem trong [14, Tr. 84]); Khi n < 0, An = (A−n)−1 là một toán tử bị chặn trong X; Khi n = 0, A0 = 1.

Ta sẽ mở rộng định nghĩa này cho số mũ thực bất kì. Gọi ω là một góc sao cho

ωA < ω < π. Từ định nghĩa của A, ta có

(2.32) σ(A) ⊂ Σω = {λ ∈ C : | arg λ| < ω},

và

, (2.33) (cid:107)(λ − A)−1(cid:107) ≤ λ /∈ Σω, Mω |λ|

với Mω ≥ 1 là một hằng số nào đó. Chú ý rằng

{λ ∈ C; |λ| ≤ δ} ⊂ ρ(A), miễn là 0 < δ < (cid:107)A−1(cid:107)−1. (2.34)

Với mỗi số phức z có phần thực Rez > 0, xây dựng một toán tử tuyến tính bị chặn

bằng Tích phân Dunford

(cid:90) λ−z(λ − A)−1dλ. (2.35) A−z = 1 2πi

Ở đây Γ là chu tuyến bao quanh σ(A) theo chiều ngược chiều kim đồng hồ trong C \ (−∞, 0] ∩ ρ(A), cụ thể ta lấy Γ = Γ− ∪ Γ0 ∪ Γ+ trong đó

(2.36) Γ± : λ = ρe±iω, δ ≤ ρ < ∞ và Γ0 : λ = δeiϕ, −ω ≤ ϕ ≤ ω,

(các số ω và δ được đề cập trong (2.32), (2.33) và (2.34)) với hướng từ ∞eiω tới δeiω, từ δeiω tới δe−iω và từ δe−iω tới ∞eiω. Bằng tính toán trực tiếp, chúng ta thấy rằng A−z là một hàm giải tích trong miền Re z > 0, nhận giá trị trong L(X) (xem chi tiết

trong [14, Tr. 93-94]). Vì vậy ta có kết quả sau.

, Định lý 2.3.1. Với bất kì 0 < φ < π 2

1. A−zA−z(cid:48) = A−(z+z(cid:48)), Rez > 0, Rez(cid:48) > 0.

2. Khi Σφ \ {0} (cid:51) z → 0, A−z hội tụ mạnh đến 1 trên X.

Từ đây ta thấy rằng A−z khả nghịch với mọi Rez > 0. Thật vậy, nếu A−z0F = 0 với z0 nào đó thì với bất kì x > 0, A−(z0+x)F = A−xA−z0F = 0. Do A−zF là giải tích, A−zF phải đồng nhất 0. Theo Định lý 2.3.1, F phải bằng 0. Do đó, với Re z > 0, A−z là ánh xạ 1-1 và nghịch ảnh của nó Az là toán tử tuyến tính đơn trị trong X. Điều này

cho phép ta định nghĩa

Az = (A−z)−1.

Ngoài ra, nếu 0 < Re z1 < Re z2, thì A−z2 = A−z1A−(z2−z1); do đó R(A−z2) ⊂ R(A−z1); vì vậy D(Az2) ⊂ D(Az1). Đặc biệt, nếu 0 < Re z < k (k là một số nguyên), thì D(Ak) ⊂ D(Az). Theo (2.91) trong [14], D(Az) trù mật trong X. Tóm lại, Az là toán

tử tuyến tính đóng, xác định trù mật trong X.

Từ Định lý 2.3.1, A0 = 1. Như vậy với mọi số thực −∞ < x < ∞, lũy thừa Ax của

A đã được định nghĩa và có những tính chất sau

1. Ax là toán tử liên tục trên X khi −∞ < x < 0, A0 = 1 và Ax là toán tử đóng,

xác định trù mật trong X khi 0 < x < ∞;

2. D(Ax2) ⊂ D(Ax1) với 0 ≤ x1 < x2 < ∞;

3. AxAx(cid:48) = Ax(cid:48)Ax = Ax+x(cid:48) với bất kì −∞ < x, x(cid:48) < ∞.

2.3.1 Toán tử lũy thừa và nửa nhóm giải tích

Cho A là một toán tử quạt thỏa mãn (2.32) và (2.33). Ta biết rằng −A sinh ra nửa nhóm giải tích e−zA trên X. Theo Mệnh đề 2.2.1, R(e−tA) ⊂ D(Aθ) với t > 0 và 0 < θ < ∞ bất kì. Trong mục này chúng ta sẽ cho một ước lượng của Aθe−tA. Xét toán

tử được xác định như sau

(cid:90) λθe−tλ(λ − A)−1dλ, 0 < t < ∞, 0 < θ < ∞, Eθ(t) = 1 2πi

π 2

ở đây Γ là chu tuyến được lấy như trong (2.36) nhưng với ωA < ω < . Theo Định lý 2.3.1, dễ dàng thấy Eθ(t)A−θ = A−θEθ(t) = e−tA. Vì vậy, Eθ(t) = Aθe−tA = e−tAAθ. Thay Γ bởi Γω : λ = ρe±iω, 0 ≤ ρ < ∞ (tức là, δ → 0), ta thu được (cid:90) (cid:90) ∞ ρθ−1e−tρ cos ωdρ (cid:107)Aθe−tA(cid:107) ≤ Mω |λ|θ−1e−tReλ|dλ| = Mω

0 < t < ∞, 0 < θ < ∞, (2.37) = Mω(cos ω)−θΓ(θ)t−θ,

ở đây Γ(.) là kí hiệu của hàm gamma.

2.3.2 Miền của một toán tử elliptic lũy thừa trong L2

Cho Ω là một miền bị chặn trong Rn với biên Lipchitz. Xét dạng tựa tuyến tính

n (cid:88)

Ω

i,j=1

(cid:90) (cid:90) a(u, v) = c(x)u¯v dx, u, v ∈ H 1(Ω). (2.38) aij(x)DiuDj ¯v dx +

Ở đây aij(x), 1 ≤ i, j ≤ n, là các hàm xác định trong Ω thỏa mãn điều kiện

(2.39) aij ∈ L∞(Ω).

n (cid:88)

Ngoài ra giả sử tồn tại hằng số dương δ sao cho

i,j=1

(2.40) aij(x)ξiξj ≥ δ|ξ|2, ξ = (ξ1, ..., ξn) ∈ Rn, x ∈ Ω hầu khắp nơi.

Cuối cùng giả sử rằng c(x) là hàm nhận giá trị thực trong Ω thỏa mãn

(2.41) c ∈ L∞(Ω) và c(x) ≥ c0 > 0, x ∈ Ω hầu khắp nơi.

Những điều kiện này đảm bảo a(., .) thỏa mãn (2.6), (2.7) trên H 1(Ω).

n (cid:88)

Xét Bộ ba không gian H 1(Ω) ⊂ L2(Ω) ⊂ H 1(Ω)∗. Toán tử liên kết với a(., .) và hạn chế của nó trong L2(Ω) được kí hiệu lần lượt bằng A và A = A|L2. Khi đó A (tương ứng A) là toán tử quạt trong H 1(Ω)∗ (tương ứng trong L2(Ω)) với góc nhỏ π . Toán tử A (tương ứng A) được coi như liên kết của toán tử elliptic mạnh hơn 2 − (cid:80)n i,j=1 Dj[aij(x)Di] + c(x) trong H 1(Ω)∗ (tương ứng trong L2(Ω)) dưới Điều kiện biên Neumann

i,j=1

(2.42) ≡ νj(x)aij(x)Diu = 0 trên ∂Ω. ∂u ∂ν

Trường hợp 1: Ω là một miền bị chặn trong Rn và có biên thuộc lớp C2. Giả sử

thêm rằng các hàm aij(x) thỏa mãn điều kiện

1 ≤ i, j ≤ n. (2.43) aij(x) ∈ C1(Ω),

Định lý 2.3.2. Cho Ω là một miền bị chặn trong Rn với biên thuộc lớp C2 và giả sử

các Điều kiện (2.40), (2.41), (2.43) đều được thỏa mãn. Khi đó

N (Ω)]θ =

N (Ω) nếu

H 2θ(Ω) nếu 0 ≤ θ < ,   D(Aθ) = [L2(Ω), H 2 3 4 < θ ≤ 1 H 2θ  3 4

với tương đương chuẩn

u ∈ D(Aθ). C−1(cid:107)u(cid:107)H 2θ ≤ (cid:107)Aθu(cid:107)L2 ≤ C(cid:107)u(cid:107)H 2θ,

Ở đây C là hằng số nào đó.

Chứng minh. Xem trong [14, Tr. 442-445].

Trường hợp 2: Ω là một miền lồi, bị chặn trong Rn. Giả sử các hàm hệ số aij(x)

trong biểu thức của Dạng (2.38) đối xứng, tức là

(2.44) aij(x) = aji(x), 1 ≤ i, j ≤ n, x ∈ Ω hầu khắp nơi.

Định lý 2.3.3. Cho Ω là một miền lồi và bị chặn trong Rn. Giả sử các Điều kiện

(2.40), (2.41), (2.43) và (2.44) đều được thỏa mãn. Khi đó

N (Ω)]θ =

N (Ω) nếu

H 2θ(Ω) nếu 0 ≤ θ < ,   D(Aθ) = [L2(Ω), H 2 3 4 < θ ≤ 1 H 2θ  3 4

với tương đương chuẩn

u ∈ D(Aθ). C−1(cid:107)u(cid:107)H 2θ ≤ (cid:107)Aθu(cid:107)L2 ≤ C(cid:107)u(cid:107)H 2θ,

Ở đây C là hằng số nào đó.

Chứng minh. Chứng minh tương tự như đối với Định lý 2.3.2.

2.3.3 Nghiệm của phương trình tiến hóa nửa tuyến tính

Cho X là không gian Banach với chuẩn (cid:107) . (cid:107). Trong X xét bài toán Cauchy cho

phương trình tiến hóa trừu tượng nửa tuyến tính

  + AU = F (U ) + G(t), 0 < t ≤ T, (2.45)  dU dt U (0) = U0.

Ở đây, A là một toán tử quạt trong X thỏa mãn (2.23) và (2.24), F là một toán tử phi tuyến từ D(Aη) vào X thỏa mãn điều kiện dạng Lipchitz

(cid:107)F (U ) − F (V )(cid:107) ≤ φ((cid:107)AβU (cid:107) + (cid:107)AβV (cid:107)) × [(cid:107)Aη(U − V )(cid:107) + ((cid:107)AηU (cid:107) + (cid:107)AηV (cid:107))

(cid:107)Aβ(U − V )(cid:107)] (2.46)

( η và β là các số thực dương tuân theo đánh giá

(2.47) 0 < β ≤ η < 1,

φ(.) là một hàm liên tục tăng). Nói riêng, (2.46) kéo theo ước lượng sau

(cid:107)F (U )(cid:107) ≤ ψ((cid:107)AβU (cid:107))((cid:107)AηU (cid:107) + 1), U ∈ D(Aη), (2.48)

trong đó ψ(ξ) = (cid:107)F (0)(cid:107) + φ(ξ)(ξ + 1). Ngoài ra, giả sử thêm rằng G ∈ F β,σ((0, T ]; X), 0 < σ < β và giá trị ban đầu U0 ∈ D(Aβ).

Ta có định lý sau.

Định lý 2.3.4. Giả sử (2.23), (2.24), (2.46) và (2.47) được thỏa mãn. Khi đó, với bất kì G ∈ F β,σ((0, T ]; X), 0 < σ < 1 − η và bất kì U0 ∈ D(Aβ), Bài toán (2.45) có nghiệm địa phương duy nhất U trong không gian hàm:

  (2.49) , AU ∈ F β,σ((0, TG,U0]; X),  U ∈ C((0, TG,U0]; D(A)) ∩ C([0, TG,U0]; D(Aβ)) ∩ C1((0, TG,U0]; X), dU dt

ở đây TG,U0 > 0 chỉ phụ thuộc vào (cid:107)G(cid:107)F β,σ và (cid:107)AβU0(cid:107). Ngoài ra, U thỏa mãn ước lượng

(cid:107)AβU (cid:107)C + (cid:107) (2.50) (cid:107)F β,σ + (cid:107)AU (cid:107)F β,σ ≤ CG,U0 dU dt

với hằng số CG,U0 > 0 chỉ phụ thuộc vào (cid:107)G(cid:107)F β,σ và (cid:107)AβU0(cid:107).

Chứng minh. Xem trong [14, Tr. 177-183].

Từ định lý này, ta chứng minh ngay được sự tồn tại nghiệm toàn cục của (2.45).

Hệ quả 2.3.1. Với những điều kiện của Định lý 2.3.4 và giả sử nghiệm địa phương

bất kì U của (2.45) trong không gian hàm:

C((0, TU ]; D(A)) ∩ C([0, TU ]; D(Aβ)) ∩ C1((0, TU ]; X)

thỏa mãn ước lượng

(2.51) 0 ≤ t ≤ TU (cid:107)AβU (t)(cid:107) ≤ CG,U0,

với hằng số CG,U0 > 0 không phụ thuộc vào TU . Khi đó, (2.45) có duy nhất nghiệm toàn cục trên đoạn [0, T ].

Chứng minh. Chúng ta có thể thác triển hàm G thành hàm G xác định trên nửa

khoảng [0, ∞) bằng cách đặt G(t) ≡ G(T ) với T < t < ∞. Rõ ràng, (cid:107)G(cid:107)F β,σ((a,b];X) ≤ (cid:107)G(cid:107)F β,σ((0,T ];X) trên mọi nửa khoảng (a, b] bất kì. Cho U1 là một véc tơ bất kì trong D(Aβ) thỏa mãn (cid:107)AβU1(cid:107) ≤ CG,U0. Xét bài toán Cauchy sau

  + AV = F (V ) + G(t), t1 < t < ∞, (2.52)  dV dt V (t1) = U1

với thời điểm ban đầu t1 ∈ [0, ∞). Theo Định lý 2.3.4, tồn tại một số τ > 0 chỉ phụ thuộc vào (cid:107)G(cid:107)F β,σ và CG,U0 sao cho (2.52) luôn có một nghiệm địa phương trên [t1, t1 + τ ].

τ 2

Xét một nghiệm địa phương U của (2.45) trên [0, TG,U0] thu được từ Định lý 2.3.4. và đặt U1 = U (t1). Mặt khác cũng theo Định Rõ ràng TG,U0 ≥ τ. Lấy t1 = TG,U0 − lý 2.3.4, Bài toán (2.52) cũng có một nghiệm địa phương V trên đoạn [t1, t1 + τ ]. Tuy nhiên do tính duy nhất nghiệm, U (t) ≡ V (t) trên đoạn [t1, TG,U0]; điều này có nghĩa rằng chúng ta có thể xây dựng được một nghiệm địa phương của (2.45) trên đoạn

]. Ước lượng (2.51) cho phép ta tiếp tục quá trình này vô hạn bước và sau [0, TG,U0 + τ 2 mỗi bước nghiệm địa phương được mở rộng trên một khoảng có độ dài cố định . Vì τ 2 vậy, sau hữu hạn bước khoảng nghiệm mở rộng có thể phủ đoạn [0, T ] đã cho.

Chương 3

Sự tồn tại nghiệm của một hệ phản ứng các chất Xúc tác-Ức chế

Trong chương này, chúng tôi nghiên cứu sự tồn tại nghiệm của một hệ phản ứng

các chất Xúc tác-Ức chế. Mô hình tổng quát của hệ này được viết dưới dạng như sau:

trong (0, ∞) × Ω, = k1 − k2A + k3   Ap Bq + DA∆A, (3.1) trong (0, ∞) × Ω, = k4  ∂A ∂t ∂B ∂t Ar Bs − k5B + DB∆B

Ở đây A là mật độ của chất xúc tác, B là mật độ của chất ức chế; các hệ số DA, DB tương ứng là tốc độ khuếch tán của chất xúc tác và ức chế; k1, k2, k3, k4, k5 là các hằng số dương nào đó; p, q, r, s là các số thực không âm, riêng p > 1; Ω là một miền bị chặn trong Rn.

Đã có nhiều bài báo nghiên cứu về hệ này. Rothe [11] chứng minh được sự tồn

tại nghiệm toàn cục cho trường hợp p = 2, q = 1, r = 2, s = 0. Masuda-Takahashi

, tuy nhiên họ đã phải đưa thêm một hạn chế lên các hệ số p, q, r, s mà < [6] đã chứng minh sự tồn tại nghiệm trong trường hợp tương đối tổng quát khi 0 < p − 1 r q s + 1 trong đó loại trừ đi trường hợp Rothe đã chứng minh, cụ thể họ giả thiết thêm rằng

0 < < . Gần đây, Li-Chen-Quin [8] và Jiang [9] đã loại bỏ được hạn chế p − 1 r 2 n + 2

< này và chứng minh sự tồn tại nghiệm khi 0 < p − 1 < r, . Họ cũng chỉ p − 1 r q s + 1

> ra rằng khi và 0 < p − 1 < r hoặc khi r < p − 1, thì với điều kiện ban p − 1 r q s + 1 đầu xác định nghiệm của Hệ (3.1) bị nổ trong một khoảng thời gian hữu hạn.

Tuy nhiên cho đến nay dường như vẫn chưa có công trình nghiên cứu nào về sự

tồn tại nghiệm của Hệ (3.1) khi 0 < r = p − 1 hoặc . Theo hướng này, = p − 1 r q s + 1

chúng tôi nghiên cứu sự tồn tại nghiệm toàn cục của hệ các chất Xúc tác-Ức chế khi

p = r = 2, q = s = 1.

3.1 Đặt bài toán

v với λ là một hằng số dương tùy ý, Hệ (3.1) Bằng cách đổi biến A = λu, B = λ k4 k3 bây giờ chuyển được về dạng

= a∆u + γ(d − cu + ),   u2 v

= b∆v + γ( − σv).  ∂u ∂t ∂v ∂t u2 v

. Chúng tôi không làm , σ = , γ = , d = Ở đây a = DA, b = DB, c = k2 3 k4 k4k5 k2 3 k2k4 k2 3 k1k4 λk2 3 việc với Hệ (3.1) mà sẽ nghiên cứu sự tồn tại nghiệm của bài toán giá trị ban đầu sau

 ) = a∆u + γ(d − cu + trong (0, ∞) × Ω, u2 v

= b∆v + γ( − σv) trong (0, ∞) × Ω, (3.2) u2 v

= 0 = trên (0, ∞) × ∂Ω, ∂v ∂ν   trong Ω. ∂u ∂t ∂v ∂t ∂u ∂ν u(0, x) = u0(x), v(0, x) = v0(x)

Trong đó a, b, c, d, γ, σ là các hằng số dương cho trước; Ω là một miền bị chặn với biên thuộc lớp C2 hoặc là một miền lồi, bị chặn trong không gian R3; u0(x), v0(x) là các hàm thực không âm trên Ω.

N (Ω)×H 2

N (Ω) = H 2

N (Ω), ở đây H2

Cho X = L2(Ω) × L2(Ω), gọi A1, A2 tương ứng là biểu diễn của các toán tử −a∆ + γc, −b∆ + γσ trong L2(Ω) dưới các Điều kiện biên Neumann thuần nhất trên biên ∂Ω. Theo các Định lý 2.1.1, 2.1.3, 2.1.4 và 2.1.5, A1, A2 là các toán tử quạt với miền xác định là H 2 N (Ω). Đặt A = diag{A1, A2} là toán tử đường chéo trong X. Dễ thấy A cũng là toán tử quạt với miền xác định H2 N (Ω).

Ngoài ra, theo Định lý 2.3.2 và Định lý 2.3.3 ta có

D(Aθ) = H2θ(Ω) nếu 0 ≤ θ < , 3 4

N (Ω) nếu

D(Aθ) = H2θ < θ ≤ 1. 3 4

Xét Bài toán (3.2) với không gian giá trị ban đầu

4 (Ω), 0 < v0 ∈ H

4 (Ω), ess.infΩ v0 > 0

(cid:41) (cid:33) (cid:40)(cid:32) u0 . K = : 0 ≤ u0 ∈ H v0

Đặt (cid:33) (cid:33) (cid:33) (cid:32) γd + γu2/v (cid:32) u (cid:32) u0 , F (U ) = U = . , U0 = γu2/v v v0

Bài toán (3.2) được viết dưới dạng toán tử như sau

  + AU = F (U ), (3.3)  dU dt U (0) = U0.

Từ đây trở đi ta luôn giả sử Hệ (3.2) có các hằng số a, b, c, σ thỏa mãn các điều kiện

√ 2c − 2 c2 − σ (3.4) , < . c > 1 + σ 2 3ab a2 + b2 − ab σ

3.2 Nghiệm địa phương

Khó khăn lớn nhất khi làm việc với Hệ (3.2) là nó có kì dị tại v = 0. Để vượt qua

trở ngại này ta sẽ dùng hàm "chặt cụt" dưới đây để loại đi điểm kì dị . Cho ε là một

số dương cố định cho trước, gọi χε(ξ) là hàm "chặt cụt" xác định bởi công thức

(cid:40) ξ nếu ξ (cid:62) ε, χε(ξ) = (cid:15) nếu ξ < ε.

< η < 1, lấy Fε : D(Aη) (cid:55)→ X xác định bởi Đặt Fε là toán tử phi tuyến được định nghĩa như sau: với η là một số cố định sao cho 3 4

(cid:33) (cid:33) (cid:32) u , U = ∈ D(Aη). Fε(U ) = v (cid:32) γd + γu2/χε(Re v) γu2/χε(Re v)

Trước hết ta nghiên cứu bài toán sau trong X với giá trị ban đầu trong K

  + AU = Fε(U ), (3.5)  dU dt U (0) = U0.

Chúng ta sẽ sử dụng Định lý 2.3.4 để chỉ ra sự tồn tại duy nhất nghiệm địa phương

của bài toán này. (cid:33) (cid:33) (cid:32) u (cid:32) ˜u Với mọi U = ta có , (cid:101)U = v ˜v

− (cid:12) (cid:12) (cid:12) γu2 χε(Re v)

≤ (cid:12)u2(cid:0)χε(Re ˜v) − χε(Re v)(cid:1) + (u2 − ˜u2)χε(Re v)(cid:12) γ(cid:12) (cid:12) χε(Re v)χε(Re ˜v) (cid:12)u2 − ˜u2(cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) +

≤ γ χε(Re ˜v) |u − ˜u|(cid:0)|u|2 + |˜u|2 + 1(cid:1) γ ˜u2 (cid:12) (cid:12) (cid:12) = χε(Re ˜v) (cid:12)u2(χε(Re v) − χε(Re ˜v))(cid:12) (cid:12) γ ε (cid:0)|u|2 + |˜u|2 + 1(cid:1)|v − ˜v| + (cid:0)|u|2 + |˜u|2 + 1(cid:1)(cid:0)|u − ˜u| + |v − ˜v|(cid:1). γ χε(Re v)χε(Re ˜v) γ ε2 ≤ Cε

− (cid:107)Fε(U ) − Fε( (cid:101)U )(cid:107)X = (cid:13) (cid:13) (cid:13)L2 γ ˜u2 χε(Re ˜v)

Ω

γu2 χε(Re v) (cid:90) (cid:0)|u|2 + |˜u|2 + 1(cid:1)2(cid:0)|u − ˜u| + |v − ˜v|(cid:1)2dx ≤ C 2 ε Vậy với mọi U, (cid:101)U trong D(Aη) (cid:13) (cid:13) (cid:13) (cid:118) (cid:117) (cid:117) (cid:116)

≤ Cε (cid:0)(cid:107)u − ˜u(cid:107)L∞ + (cid:107)v − ˜v(cid:107)L∞

L4 + (cid:107) (cid:101)U (cid:107)2 8 U (cid:107)2

(cid:1)(cid:0)(cid:107)u2(cid:107)L2 + (cid:107)˜u2(cid:107)L2 + 1(cid:1) L4 + 1(cid:1)

8 (cid:101)U (cid:107)2

X + (cid:107)A

X + 1(cid:1).

(cid:0)(cid:107)U (cid:107)2 (cid:0)(cid:107)A ≤ Cε(cid:107)U − (cid:101)U (cid:107)L∞ ≤ Cε(cid:107)Aη(U − (cid:101)U )(cid:107)X

Như vậy các điều kiện trong Định lý 2.3.4 đều được thỏa mãn với hàm Fε, hệ số β = 3 8, hệ số η chọn như chỉ ra ở trên. Do đó Bài toán (3.5) có nghiệm duy nhất trong không

gian hàm

8 )) ∩ C1((0, TU0]; X),

8 U0||X.

C((0, TU0]; D(A)) ∩ C([0, TU0]; D(A

ở đây TU0 > 0 chỉ phụ thuộc vào ||A 3

3.3 Nghiệm địa phương không âm

Cho U0 = (u0, v0)t ∈ K với ε0 = ess. inf Ω v0 > 0. Giả sử U (t) = (u(t), v(t))t là một nghiệm địa phương của Bài toán (3.5) được xây dựng như trên. Ta thấy liên hợp phức

U (t) của U (t) cũng là một nghiệm địa phương của bài toán này với cùng giá trị ban

đầu U0. Do tính duy nhất nghiệm nên U (t) = U (t) với mọi t ∈ (0, TU0]. Vì vậy U (t) chỉ nhận giá trị thực trên (0, TU0].

Để chứng minh tính không âm của nghiệm, lấy H(u) là hàm được cho bởi công

thức

  nếu u < 0, H(u) =  u2 2 0 nếu u ≥ 0.

Ω

Rõ ràng H(u) ∈ C1,1. Đặt Ψ(t) = (cid:82) H(u(t))dx, ta có

Ω

Ω Theo Công thức Green thứ nhất (cid:90)

(cid:16) (cid:17) Ψ(cid:48)(t) = (cid:82) H (cid:48)(u(t)) dx = a (cid:82) H (cid:48)(u)∆udx + γ (cid:82) H (cid:48)(u) d − cu + dx. ∂u ∂t u2 χε(v)

Ω

∂Ω

(cid:90) (cid:90) dx. H (cid:48)(u)∆udx = − ∇H (cid:48)(u)∇udx + H (cid:48)(u) ∂u ∂ν

Mặt khác = 0 trên ∂Ω, nên

Ω

∂u ∂ν (cid:90) (cid:90) (cid:90) H (cid:48)(u)∆udx = − ∇H (cid:48)(u)∇udx = − |∇H (cid:48)(u)|2dx ≤ 0.

Thêm vào đó H (cid:48)(u) ≤ 0, H (cid:48)(u)u ≥ 0, nên

Ω

(cid:90) (cid:16) (cid:17) H (cid:48)(u) d − cu + dx ≤ 0. u2 χε(v)

Từ đây suy ra Ψ(cid:48)(t) ≤ 0 với mọi t ∈ (0, TU0]. Vậy Ψ(t) ≤ Ψ(0) = 0, t ∈ (0, TU0]. Nhưng Ψ(t) ≥ 0 với mọi t ∈ (0, TU0], ta có Ψ(t) = 0 với mọi t ∈ (0, TU0]. Tóm lại, u(t) ≥ 0 với mọi t ∈ (0, TU0].

Ω

Một cách tương tự đặt Φ(t) = (cid:82) H(v(t) − ε0e−γσt)dx. Ta có

Ω

Ω (cid:90)

(cid:90) (cid:90) Φ(cid:48)(t) = b H (cid:48)(v − ε0e−γσt)[v − ε0e−γσt]dx H (cid:48)(v − ε0e−γσt)∆vdx − γσ

Ω

+ γ dx. H (cid:48)(v − ε0e−γσt) u2 χε(v)

Dễ thấy Φ(cid:48)(t) ≤ 0 với mọi t ∈ (0, TU0]; do đó 0 ≤ Φ(t) ≤ Φ(0) = 0 với mọi t ∈ (0, TU0]. Bởi vậy

v(t) ≥ ε0e−γσt với mọi t ∈ (0, TU0].

3.4 Nghiệm toàn cục

3.4.1 Uớc lượng dưới

Cho U0 = (u0, v0)t ∈ K là một giá trị đầu thỏa mãn ess. inf Ω v0 = ε0 > 0. Giả sử U (t) = (u(t), v(t))t là một nghiệm địa phương của (3.5) trên [0, TU ] trong không gian hàm

(cid:40)

4 (Ω)) ∩ C1((0, TU ]; L2(Ω)), 4 (Ω)) ∩ C1((0, TU ]; L2(Ω)).

N (Ω)) ∩ C([0, TU ]; H 3 N (Ω)) ∩ C([0, TU ]; H 3

(3.6) 0 ≤ u ∈ C((0, TU ]); H 2 0 < v ∈ C((0, TU ]); H 2

Ω

(1 − e−γct), 0 ≤ t ≤ TU . Như đã làm ở trên, hàm Ψ1(t) = Đặt u1(t) = u(t) − (cid:82) d c H(u1(t))dx khả vi liên tục và có đạo hàm

1(t) =

Ω

(cid:90) (cid:90) Ψ(cid:48) dx = a∆u + γ(d − cu) + − γde−γct(cid:105) dx. H (cid:48)(u1) (cid:104) H (cid:48)(u1) ∂u1 ∂t γu2 χε(v)

Chú ý ∆u1 = ∆u, nên ta có

1(t) = a

Ω

(cid:90) (cid:90) (cid:90) (cid:17) (cid:16) (1 − e−γct) dx + dx. Ψ(cid:48) u − H (cid:48)(u1) H (cid:48)(u1)∆u1dx − γc H (cid:48)(u1) d c γu2 χε(v)

1(t) ≤ 0, 0 ≤ t ≤ TU . Vậy với mọi 0 ≤ t ≤ TU , (cid:90)

Do đó Ψ(cid:48)

Ω

(cid:90) H(u(0))dx = 0. H(u1(0))dx = 0 ≤ Ψ1(t) ≤ Ψ1(0) =

Điều này suy ra u1(t) ≥ 0, 0 ≤ t ≤ TU , tức là

u(t) ≥ (3.7) (1 − e−γct), 0 ≤ t ≤ TU . d c

Một cách tương tự, đặt v1(t) = v(t) − (cid:2)ε0e−2γσt + e(t) − (cid:3), 0 ≤ t ≤ TU . ε 2 Ở đây,

(cid:90) √ ) e(t) = γ( σe−2γσt e2γσs(1 − e−γcs)ds. d c

Chú ý rằng

d √ e(t) ≥ 0, e(t) = ( ) lim t→∞ 1 2 c σ

1(t) =

Ω (cid:90)

và e(cid:48)(t) = −2γσe(t) + γ( σ(1 − e−γct). Từ đây √ ) d c (cid:90) Φ(cid:48) dx H (cid:48)(v1(t)) ∂v1 ∂t

Ω

= H (cid:48)(v1)(cid:2)v(cid:48)(t) + 2ε0γσe−2γσt − e(cid:48)(t)(cid:3)dx

Ω

Ω (cid:90)

(cid:90) (cid:90) = b H (cid:48)(v1)∆vdx − 2γσ (cid:2)v−(ε0e−2γσt + e(t) − )(cid:3)H (cid:48)(v1)dx ε 2

Ω (cid:90)

+ γ + σv + σε − ( √ ) σ(1 − e−γct)(cid:3)H (cid:48)(v1)dx d c (cid:2) u2 χε(v)

Ω

Ω (cid:90)

(cid:90) = b H (cid:48)(v1)∆vdx − 2γσ v1 H (cid:48)(v1)dx

Ω

+ γ + σv + σε − ( √ ) σ(1 − e−γct)(cid:3)H (cid:48)(v1)dx. d c (cid:2) u2 χε(v)

1(t) ≤ 0

√ Vì σu, lập luận tương tự như phần trước ta có Φ(cid:48) + σv + σε ≥ u2 χε(v) với mọi t ∈ (0, TU ] và

Ω

(cid:90) 0 ≤ Φ1(t) ≤ Φ1(0) = H(v(0) − ε0 + )dx = 0 (do v(0) ≥ ε0). ε 2

Điều này dẫn đến

(3.8) v(t) ≥ ε0e−2γσt + e(t) − với 0 ≤ t ≤ TU . ε 2

3.4.2 Đánh giá tiên nghiệm

Cho U0 = (u0, v0)t ∈ K là một giá trị đầu sao cho ess.infΩ v0 = ε0 > 0. Lấy ε là số

dương thỏa mãn

0≤t<∞

0 < ε ≤ inf {e−2γσtε0 + e(t)}. 3 2

Giả sử U (t) = (u(t), v(t))t là nghiệm địa phương bất kì của (3.5) trên [0, TU ] trong Không gian hàm (3.6) thỏa mãn (3.8), tức là có

v(t) ≥ ε0e−2γσt + e(t) − ≥ ε với 0 < t ≤ TU . ε 2

Ta có bổ đề sau.

Bổ đề 3.4.1. Cho U là một nghiệm địa phương bất kì của Hệ (3.5) trong Không gian

hàm (3.6) với giá trị ban đầu như ở trên. Khi đó,

2 (cid:107)u2(0)(cid:107)L2 + 1(cid:1),

(cid:0)e− γαt (3.9) ≤ Cε (cid:13) (cid:13) (cid:13) u(t)2 v(t) (cid:13) (cid:13) (cid:13)L2

ở đây Cε và α là các hằng số độc lập với U0 và TU .

Chứng minh. Cho 2 < p < ∞, 0 < q < ∞ là các hằng số được lựa chọn sau.

Đặt w(t) =

Ω

u(t)p v(t)q . Khi đó (cid:90) (cid:90) (cid:90) (cid:17) (cid:17) (cid:16) pup−1 wdx = − dx = dx (cid:16) pup−1 vq ∂u ∂t qup vq+1 ∂v ∂t vq a∆u − qup vq+1 b∆v d dt

Ω qup vq+1

Ω

(cid:90) dx = I + II. − σv(cid:1)(cid:105) + γ (cid:0)d − cu + (cid:1) − (cid:104) pup−1 vq u2 v (cid:0) u2 v

Theo Công thức Green thứ nhất

(cid:90) (cid:16) a I = − |∇u|2 − a p(p − 1)up−2 vq pqup−1 vq+1 ∇u.∇v − b qpup−1 vq+1 ∇u.∇v

Ω q(q + 1)up vq+2

+ b dx

Ω

(cid:90) (cid:16) |∇u|2 − ∇u.∇v + b |∇v|2(cid:17) dx. = − a |∇v|2(cid:17) p(p − 1)up−2 vq pq(a + b)up−1 vq+1 q(q + 1)up vq+2

Nếu chọn p, q sao cho √ √

2 ≥ (3.10) ab a + b pq (cid:112)(p − 1)(q + 1)

thì I ≤ 0. Mặt khác

Ω

(cid:90) (cid:111) (cid:110) dx. II = γ v−q[pdup−1 − (pc − σq)up] + p up+1 vq+1 − q up+2 vq+2

Vì với ξ > 0 tùy ý, ta có thể chọn các hằng số Cp,ξ dương để cho

). p dup−1 ≤ ξup + Cp,ξ với mọi u không âm (chẳng hạn có thể lấy Cp,ξ ≥ dp(p − 1)p−1 ξp−1 Do đó

Ω

(cid:90) + (pc − σq) − ξ (cid:110) q II ≤ −γ . u2 v2 − p u v (cid:111)up vq dx + Cp,q,ξ,ε, ở đây Cp,q,ξ,ε = γ |Ω| Cp,ξ εq

Chọn p = 4, Điều kiện (3.10) tương đương với

. q ≤ 3ab a2 + b2 − ab

Ngoài ra, nếu q là số không âm thỏa mãn √ 2c − 2 c2 − σ < q ≤ min(cid:8)2, (cid:9), (3.11) 3ab a2 + b2 − ab σ

thì tam thức bậc hai qX 2 − 4X + (4c − σq) > 0 với mọi X. Với p, q thỏa mãn (3.10),

(3.11) chọn ξ dương, đủ nhỏ thỏa mãn

(cid:110) (cid:111) qX 2 − 4X + (4c − σq) − ξ > 0. minX

Gọi α là một số dương nào đó thỏa mãn

(cid:110) (cid:111) qX 2 − 4X + (4c − σq) − ξ ≥ α > 0. minX

Ω

Khi đó (cid:90) II ≤ −γα u4 vq dx + Cq,ε ,

. Theo Mệnh đề 1.1.2, ở đây Cq,ε = γ |Ω| C εq

w(t) ≤ e−αγtw(0) + . Cq,ε γα

Điều này suy ra

0||L1 + Cq,ε .

||u4 ||w(t)||L1 ≤ e−γαt||w(0)||L1 + Cq,ε ≤ e−αγt εq

1 2

2 ≤

Ω

(cid:90) (cid:16) (cid:90) (cid:17) 1 (cid:17) 1 (cid:16) 1 = = dx dx (cid:13) (cid:13) (cid:13) (cid:13) (cid:13) (cid:13) Vì thế (cid:13) (cid:13) (cid:13) (cid:13) (cid:13) (cid:13)L2 u2(t) v(t) u4(t) v2(t) u4(t) vq(t) vq(t) v2(t) ε2−q u4(t) vq(t)

2 ≤

0(cid:107)L1 + Cq,ε (cid:17) 1

2 =

L2 +

Ω (cid:16) 1 ε2−q (cid:107)w(t)(cid:107)L1 (cid:16) e−γct ε2 (cid:107)u4 0(cid:107)L1 + (cid:0)e− γαt

2 (cid:107)u2

(cid:17) 1 (cid:16) 1 (cid:3)(cid:17) 1 (cid:2)e−αγt = ε2−q (cid:17) 1 (cid:16)e−αγt = εq (cid:107)u4 0(cid:107)2 ε2 (cid:107)u2 C ε2

≤ Cε C ε2 0(cid:107)L2 + 1(cid:1).

Chú ý Cε và α không phụ thuộc vào U0 và TU .

Phương trình với u được viết dưới dạng toán tử trong L2 như sau

(cid:1), + A1u = γ(cid:0)d + 0 < t ≤ TU . du dt u2 v

Theo chứng minh của Định lý 2.3.4

(cid:90) (cid:16) (cid:17) d + e−(t−s)A1 ds u(t) = e−tA1u0 + γ u2(s) v(s)

(e−tA1 là nửa nhóm giải tích trên L2 sinh bởi toán tử −A1 ). Như vậy

3 8

1 u(t) = e−tA1A

1 u0 + γ

1 e−(t−s)A1

(cid:90) (cid:16) (cid:17) d + A A ds. u2(s) v(s)

Do đó

3 8

1 u(t)(cid:107)L2 ≤ (cid:107)e−tA1(cid:107)L2(cid:107)A

1 u0(cid:107)L2 + γ

1 e−(t−s)A1

(cid:90) (cid:17) (cid:16) (cid:107)A (cid:107)A d + (cid:107)L2ds u2(s) v(s)

3 8

1 u0(cid:107)L2 + γ

1 e−(t−s)A1d(cid:107)L2ds + γ

(cid:90) (cid:90) ≤ e−γct(cid:107)A (cid:107)A (cid:107)A1e−(t−s)A1 (cid:107)L2ds u2(s) v(s)

3 8

2 A1(cid:107)L2(cid:107)e− (t−s)

2 A1(cid:107)L2(cid:107)d(cid:107)L2ds

1 u0(cid:107)L2 + γ

1 e− (t−s)

(cid:90) ≤ e−γct(cid:107)A (cid:107)A

3 8

2 (cid:107)u2

1 e−(t−s)A1(cid:107)L2Cε

0(cid:107)L2 + 1(cid:3)ds

(cid:90) + γ (cid:107)A (cid:2)e− αγs

3 8

8 e− (t−s)γc

1 u0(cid:107)L2 + Cε

(cid:90) )− 3 ds ( ≤ e−γct(cid:107)A t − s 2

3 8

2 ds.

1 e−(t−s)A1(cid:107)L2e− αγs

0(cid:107)L2

(cid:90) (cid:107)A + Cε(cid:107)u2

(cid:0)do (cid:107)e−tA1(cid:107)L2 ≤ e−γct (theo Định lý Lumer-Phillips) và Bất đẳng thức (2.37)(cid:1).

Từ đó

3 8

8 e− γc(t−s)

1 u(t)(cid:107)L2 ≤ e−γct(cid:107)A

1 u0(cid:107)L2 + Cε

(cid:90) ( )− 3 (cid:107)A ds t − s 2

8 (t − s)− 3

8 e− γc(t−s)

β1 e− αγs

2 ds

0(cid:107)L2

(cid:90) (1 − )− 3 + Cε(cid:107)u2 1 β1

3 8

8 e− γc(t−s)

1 u0(cid:107)L2 + Cε

0 t

(cid:90) ≤ e−γct(cid:107)A ( )− 3 ds t − s 2

2 β1(cid:107)u2

8 e− γc(t−s)

2β1 ds,

0(cid:107)L2

(cid:90) (t − s)− 3 + Cεe− γct

ζt (cid:90)

}. Vì với mọi δ, ζ dương, bằng cách đổi biến c α ở đây hằng số β1 thỏa mãn β1 > max{1, u = ζ(t − s)

8 e−ζ(t−s)ds =

8 e−udu ≤

8 Γ(

(cid:90) u− 3 )− 3 ) . ( ( )− 3 (δ(t − s))− 3 1 ζ δ α 5 8 1 ζ δ ζ

Nên ta có ước lượng

3 8

2 β1

1 u(t)(cid:107)L2 ≤ Cε

1 u0(cid:107)L2 + (cid:107)u2

0(cid:107)L2

(cid:16) (cid:17) (cid:105) (cid:107)A (cid:104) e− γct (cid:107)A + 1 . (3.12)

Một cách tương tự, phương trình đối với v được viết dưới dạng toán tử trong L2

như sau

, + A2v = γ 0 < t ≤ TU . dv dt u2 v

Do đó

(cid:90) ds, e−(t−s)A2 v(t) = e−tA2v0 + γ u2(s) v(s)

3 8

2 v(t) = A

2 e−tA2v0 + γ

2 e−(t−s)A2

(cid:90) A A ds, u2(s) v(s)

3 8

2 v(t)(cid:107)L2 ≤ (cid:107)A

2 e−tA2v0(cid:107)L2 + γ

2 e−(t−s)A2(cid:107)L2(cid:107)

(cid:90) (cid:107)A (cid:107)A (cid:107)L2ds. u2(s) v(s)

Vì (cid:107)e−tA2(cid:107)L2 ≤ e−γσt (theo Định lý Lumer-Phillips) và do những kết quả ở trên, lấy β2 }, ta có là số dương thỏa mãn β2 > max{1,

3 8

2β2

2 v(t)(cid:107)L2 ≤ Cε

2 v0(cid:107)L2 + (cid:107)u2

0(cid:107)L2

(cid:16) (cid:104) (cid:17) (cid:105) (cid:107)A (cid:107)A σ α e− γσt + 1 . (3.13)

3.4.3 Nghiệm toàn cục

Cho U0 ∈ K là giá trị đầu thỏa mãn ess.infΩv0(x) = ε0 > 0. Lấy ε > 0 đủ nhỏ sao

cho

ε. (cid:8)ε0e−2γσt + e(t)(cid:9) ≥ inf 0≤t<∞ 3 2

Xét Bài toán (3.5) với giá trị đầu U0 như trên. Như đã chỉ ra trong phần trước, bài toán này có một nghiệm địa phương thỏa mãn (3.8), tức là có v(t) ≥ ε. Trong khi đó

8 U0(cid:107)X (xem Hệ quả 2.3.1 trong Chương 2). Vì vậy Bài toán (3.5) có duy nhất nghiệm toàn cục trên [0, ∞)

do các Ước lượng (3.12) và (3.13), ta có thể thác triển nghiệm địa phương này của (3.5) lên trên một khoảng thời gian chỉ phụ thuộc vào chuẩn (cid:107)A 3

trong không gian hàm

(cid:40)

4 (Ω)) ∩ C1((0, ∞); L2(Ω)), 4 (Ω)) ∩ C1((0, ∞); L2(Ω)).

N (Ω)) ∩ C([0, ∞); H 3 N (Ω)) ∩ C([0, ∞); H 3

(3.14) 0 ≤ u ∈ C((0, ∞); H 2 0 < v ∈ C((0, ∞); H 2

Vì v thỏa mãn (3.8) với mọi t ≥ 0, hàm U không chỉ là nghiệm của (3.5) mà còn là

nghiệm của (3.2). Ta sẽ chứng minh Bài toán (3.2) với các giá trị đầu trong K cũng có duy nhất nghiệm trong Không gian hàm (3.14). Thật vậy, giả sử U = (u, v)t, ˜U = (˜u, ˜v)t là các nghiệm toàn cục của Bài toán (3.2) với giá trị đầu U0 ∈ K. Xét tại t dương bất kì, lấy ε là số dương thỏa mãn

{min{v(s), ˜v(s)}}. 0 < ε ≤ min 0≤s≤t

Ta thấy U = (u, v)t, ˜U = (˜u, ˜v)t là các nghiệm của Bài toán (3.5) trên đoạn [0, t]. Nhưng Bài toán (3.5) có nghiệm duy nhất trên [0, t], nên U ≡ ˜U trên [0, t]. Nói riêng U (t) ≡ ˜U (t).

3.4.4 Ước lượng toàn cục.

Với U0 ∈ K, cho U (t) = U (t, U0) là nghiệm toàn cục của Bài toán (3.5) trong Không gian hàm (3.14) với giá trị ban đầu U0. Khi đó các Ước lượng (3.12), (3.13) cũng đúng cho nghiệm toàn cục.

Kết Luận

Sử dụng phương pháp nửa nhóm, chúng tôi đã chứng minh được sự tồn tại nghiệm của Hệ (3.2) trong trường hợp Ω là miền bị chặn với biên thuộc lớp C2 hoặc là một miền lồi, bị chặn trong R3, không gian giá trị ban đầu là

4 (Ω), 0 < v0 ∈ H

4 (Ω), ess.infΩv0 > 0

(cid:41) (cid:33) (cid:40)(cid:32) u0 . K = : 0 ≤ u0 ∈ H v0

Các hệ số a, b, c, σ của hệ được giả định thỏa mãn các điều kiện

√ 2c − 2 c2 − σ c > , < . 1 + σ 2 3ab a2 + b2 − ab σ

Đây là một kết quả mới. Tuy nhiên do năng lực và thời gian có hạn, nhiều vấn đề

lý thú như xây dựng hệ động lực, nghiên cứu tính ổn định của nghiệm dừng thuần

nhất,...v.v. chưa được đề cập tới trong luận văn này.