Luận văn Thạc sĩ Khoa học: Sự tồn tại nghiệm của một hệ phản ứng các chất Xúc Tác-Ức Chế

Chia sẻ: Na Na | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:54

Thêm vào BST

Báo xấu

66
lượt xem 2
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Luận văn này sử dụng lý thuyết nửa nhóm giải tích để chứng minh tính tồn tại nghiệm của một hệ phản ứng các chất Xúc tác-Ức chế. Tác giả chia luận văn ra làm ba chương. Chương 1 nói về một số không gian hàm nhận giá trị trong một không gian Banach, những nét khái quát nhất về các không gian Sobolev, về toán tử tuyến tính, không gian liên hợp và toán tử liên hợp. Chương 2 dành để nói về toán tử quạt, hàm mũ và toán tử lũy thừa. Chương 3 trình bày những kết quả nghiên cứu mới về sự tồn tại nghiệm toàn cục của một hệ phản ứng các chất Xúc tác-Ức chế.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Luận văn Thạc sĩ Khoa học: Sự tồn tại nghiệm của một hệ phản ứng các chất Xúc Tác-Ức Chế

Mục lục 1 Kiến thức chuẩn bị 1 1.1 Không gian các hàm nhận giá trị trong một không gian Banach . . . . 1 1.1.1 Không gian các hàm khả vi liên tục . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.1.2 Không gian các hàm liên tục Holder . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.1.3 Không gian các hàm liên tục Holder có trọng . . . . . . . . . . . 3 1.1.4 Không gian các hàm giải tích . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.2 Toán tử tuyến tính . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.2.1 Hạn chế của toán tử tuyến tính . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.2.2 Tập giải thức, tập phổ và Tích phân Dunford . . . . . . . . . . 5 1.2.3 Nửa nhóm liên tục mạnh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.2.4 Nửa nhóm giải tích . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.3 Nội suy không gian Banach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.4 Không gian và các toán tử liên hợp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.4.1 Không gian đối ngẫu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.4.2 Không gian liên hợp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.4.3 Toán tử liên hợp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.5 Ngoại suy không gian Banach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.6 Toán tử tuyến tính liên kết với dạng tựa tuyến tính . . . . . . . . . . . 12 1.6.1 Dạng tựa tuyến tính và toán tử liên kết . . . . . . . . . . . . . . 12 1.6.2 Dạng liên hợp và toán tử liên hợp . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 1.7 Không gian Sobolev-Lebesgue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 1.7.1 Biên của miền . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 1.7.2 Không gian Sobolev với cấp nguyên . . . . . . . . . . . . . . . . 15 n 1.7.3 Không gian Sobolev-Lebesgue trong R . . . . . . . . . . . . . . 15 1.7.4 Không gian Sobolev-Lebesgue trong Rn+ hoặc trong một miền bị chặn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 1.7.5 Các định lí nhúng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 i
1.7.6 Vết . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1.7.7 Không gian H ˚ps (Ω) và H−s p (Ω) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 1.7.8 Không gian tích . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 2 Toán tử quạt, hàm mũ và toán tử lũy thừa 20 2.1 Toán tử quạt và vài tính chất cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 2.1.1 Định nghĩa toán tử quạt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 2.1.2 Toán tử quạt liên kết với một dạng tựa tuyến tính . . . . . . . . 21 2.1.3 Toán tử quạt trong không gian L2 . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 2.1.4 Tính chất chuyển trong L2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 2.2 Hàm mũ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 2.2.1 Nửa nhóm giải tích sinh bởi một toán tử quạt . . . . . . . . . . 26 2.2.2 Bài toán Cauchy đối với phương trình tiến hóa tuyến tính . . . 29 2.3 Toán tử lũy thừa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 2.3.1 Toán tử lũy thừa và nửa nhóm giải tích . . . . . . . . . . . . . . 31 2.3.2 Miền của một toán tử elliptic lũy thừa trong L2 . . . . . . . . . 32 2.3.3 Nghiệm của phương trình tiến hóa nửa tuyến tính . . . . . . . . 33 3 Sự tồn tại nghiệm của một hệ phản ứng các chất Xúc tác-Ức chế 36 3.1 Đặt bài toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 3.2 Nghiệm địa phương . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 3.3 Nghiệm địa phương không âm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 3.4 Nghiệm toàn cục . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 3.4.1 Uớc lượng dưới . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 3.4.2 Đánh giá tiên nghiệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 3.4.3 Nghiệm toàn cục . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 3.4.4 Ước lượng toàn cục. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 Tài liệu tham khảo 48 ii
Lời cảm ơn Lời đầu tiên, tôi xin gửi lời cảm ơn sâu sắc tới TS. Lê Huy Chuẩn. Thầy đã nhiệt tình chỉ dẫn để tôi có thể hoàn thành được luận văn này. Tôi cũng xin gửi lời cảm ơn chân thành tới tất cả các thầy, các cô đã tham gia giảng dạy cho tôi trong quá trình học cao học. Tôi xin cảm ơn Ban chủ nhiệm khoa Toán-Cơ-Tin học, phòng Sau Đại Học trường Đại học Khoa học Tự nhiên đã tạo điều kiện thuận lợi để tôi hoàn thiện các thủ tục bảo vệ luận văn. Cuối cùng, tôi xin cảm ơn cha mẹ tôi. Những người luôn yêu thương và ủng hộ tôi vô điều kiện. iii
Lời mở đầu Một trong những cách tiếp cận hệ thống để nghiên cứu các phương trình, hệ phương trình vi phân với biến thời gian là lý thuyết nửa nhóm. Lý thuyết này dựa trên những kết quả về nửa nhóm giải tích được phát triển vào những năm 50 của thế kỉ trước. Điểm nổi bật trong cách tiếp cận này là cho công thức tổng quát biểu diễn nghiệm. Chẳng hạn, nửa nhóm giải tích e−tA sinh bởi toán tử tuyến tính −A là một nghiệm cơ bản dU của Bài toán Cauchy đối với phương trình tiến hóa tuyến tính ô-tô-nôm, + AU = dt F (t), 0 < t ≤ T ; U (0) = U0 và nghiệm tổng quát của nó được cho bởi công thức Rt U (t) = e−tA U0 + 0 e−(t−s)A F (s)ds. Không chỉ vậy, mỗi nghiệm của Bài toán Cauchy dU đối với phương trình tiến hóa nửa tuyến tính, + AU = F (U ), 0 < t ≤ T ; U (0) = U0 dt Rt cũng là một nghiệm của phương trình tích phân U (t) = e−tA U0 + 0 e−(t−s)A F (U (s))ds. Những công thức nghiệm như thế cung cấp cho ta nhiều thông tin quan trọng về các nghiệm như tính duy nhất, tính chính quy tối đại, tính trơn ...v.v. Đặc biệt đối với các bài toán phi tuyến, ta có thể suy ra tính liên tục Lipchitz hoặc thậm trí đạo hàm Frechet của nghiệm theo giá trị ban đầu. Từ đó xây dựng được hệ động lực xác định bởi Bài toán Cauchy; nghiên cứu được dáng điệu tiệm cận của nghiệm; chỉ ra sự tồn tại của tập hút; nghiên cứu được tính ổn định hoặc không ổn định của nghiệm dừng; xây dựng được đa tạp trơn ổn định hoặc không ổn định ...v.v. thậm trí bằng phương pháp giải gần đúng ta có thể thu được lời giải số của nghiệm. Luận văn này sử dụng lý thuyết nửa nhóm giải tích để chứng minh tính tồn tại nghiệm của một hệ phản ứng các chất Xúc tác-Ức chế. Chúng tôi chia luận văn ra làm ba chương. Chương 1 nói về một số không gian hàm nhận giá trị trong một không gian Banach, những nét khái quát nhất về các không gian Sobolev, về toán tử tuyến tính, không gian liên hợp và toán tử liên hợp. Chúng tôi cũng giới thiệu ở đây khái niệm và một số tính chất nội suy, ngoại suy của một không gian Banach. Chương 2 giành để nói về toán tử quạt, hàm mũ và toán tử lũy thừa. Chúng tôi đề cập đến ở đây khái niệm toán tử quạt liên kết với một dạng tựa tuyến tính và nghiên cứu tính chất chuyển của toán tử này trong L2 . Ngoài ra sự tồn tại nghiệm của Bài toán Cauchy đối với phương trình tiến hóa tuyến tính, nửa tuyến tính cũng được phát biểu. Chương 3 trình bày những kết quả nghiên cứu mới về sự tồn tại nghiệm toàn cục của một hệ phản ứng các chất Xúc tác-Ức chế. Bằng cách sử dụng lý thuyết nửa nhóm giải tích, chúng tôi đã chứng minh được sự tồn tại nghiệm toàn cục của hệ phản ứng iv
các chất Xúc tác-Ức chế trong một trường hợp riêng. Do thời gian và năng lực có hạn, một số điểm trình bày trong luận văn có thể còn thiếu xót. Tác giả mong muốn nhận được sự góp ý của các thầy, các cô cũng như của các bạn đồng nghiệp. Hà nội, tháng 04 năm 2011 Hoàng Thế Tuấn v
Chương 1 Kiến thức chuẩn bị 1.1 Không gian các hàm nhận giá trị trong một không gian Banach Cho X là một không gian Banach với chuẩn || . ||. Ta sẽ giới thiệu một số không gian các hàm nhận giá trị trong X, xác định trên một khoảng của R hoặc một miền của C. Không gian các hàm bị chặn đều Cho [a, b] là một đoạn trong R. Xét không gian các hàm bị chặn đều trên [a, b], kí hiệu là B([a, b]; X). Trên B([a, b]; X) ta đưa vào chuẩn supremum kF k = sup kF (t)k. a≤t≤b Với chuẩn này B([a, b]; X) là một không gian Banach. 1.1.1 Không gian các hàm khả vi liên tục Cho [a, b] là một đoạn trong R và m = 0, 1, 2, ... là số nguyên không âm. Kí hiệu C ([a, b]; X) là không gian các hàm khả vi liên tục đến cấp m trên [a, b]. Khi m = 0, m C0 ([a, b]; X) là không gian các hàm liên tục và thường được kí hiệu một cách đơn giản là C([a, b]; X). Trên Cm ([a, b]; X) ta sử dụng chuẩn sau m X kF kCm = max ||F (i) (t)||. a≤t≤b i=0 Với chuẩn này Cm ([a, b]; X) là một không gian Banach (xem [1, Tr. 10]). Sau đây là hai kết quả cơ bản. 1
Định lý 1.1.1. Cho A là một toán tử tuyến tính đóng trong X. Nếu F ∈ C([a, b]; X) và AF ∈ C([a, b]; X), thì Z b Z b A F (t)dt = AF (t)dt. a a Chứng minh. Xét một phân hoạch đoạn [a, b] bởi các điểm mốc a = t0 < t1 < ... < tN = b và lấy tổng N X (tn − tn−1 )F (τn ) với tn−1 ≤ τn ≤ tn . n=1 Rõ ràng N X N X A( (tn − tn−1 )F (τn )) = (tn − tn−1 )AF (τn ). n=1 n=1 Rb Cho N → ∞ với điều kiện max1≤n≤N (tn − tn−1 ) → 0, ta được a F (t)dt ∈ D(A) và Rb Rb A a F (t)dt = a AF (t)dt. Định lý 1.1.2. Cho a ∈ C([0, T ], R) và f ∈ C([0, T ], R). Nếu u ∈ C([0, T ], R) ∩ C1 ((0, T ], R) và thỏa mãn bất đẳng thức vi phân du + a(t)u ≤ f (t), 0 < t ≤ T, (1.1) dt thì Rt Z t Rt u(t) ≤ e− 0 a(τ )dτ u(0) + e− s a(τ )dτ f (s)ds, 0 < t ≤ T. 0 Nói riêng, nếu a(t) ≡ δ > 0 và f (t) ≡ f > 0 thì u(t) ≤ e−δt u(0) + f δ −1 , 0 < t ≤ T. Chứng minh. Với mỗi t cố định, ta có d Rt Rt Rt u(s)e− s a(τ )dτ = [u0 (s) + a(s)u(s)]e− s a(τ )dτ ≤ f (s)e− s a(τ )dτ . ds Lấy tích phân hai vế của bất đẳng thức này theo s trên đoạn [0, t], ta thu được Z t − st a(τ )dτ R Rt u(t) − u(0)e ≤ f (s)e− s a(τ )dτ ds. 0 Từ (1.1) chúng ta có Rt Z t Rt − u(t) ≤ e 0 a(τ )dτ u(0) + e− s a(τ )dτ f (s)ds, 0 < t ≤ T. 0 Nói riêng, nếu a(t) ≡ δ > 0 thì Z t −δt u(t) ≤ e u(0) + e−δ(t−s) f (s)ds, 0 < t ≤ T. 0 Thêm vào đó, nếu f (t) ≡ f > 0 thì u(t) ≤ e−δt u(0) + f δ −1 , 0 < t ≤ T. 2
1.1.2 Không gian các hàm liên tục Holder Với m = 0, 1, 2, ... và một số mũ σ ∈ (0, 1), kí hiệu Cm+σ ([a, b]; X) là không gian các hàm khả vi liên tục m lần, có đạo hàm cấp m liên tục Holder trên [a, b] với số mũ σ. Trên Cm+σ ([a, b]; X) ta đưa vào chuẩn kF (m) (t) − F (m) (s)k kF k Cm+σ = kF k Cm + sup . a≤s
1.1.4 Không gian các hàm giải tích Cho D là một miền trong mặt phẳng phức C. Một hàm f (λ) xác định trên D, nhận giá trị trong X được gọi là giải tích trong D nếu f khai triển được thành chuỗi Taylor tại mọi điểm trong D. Tất cả các tính chất của các hàm giải tích phức thông thường đều có thể được mở rộng cho hàm giải tích nhận giá trị trong X. Chẳng hạn ta có công thức Tích phân Cauchy Z 1 f (µ) f (λ) = dµ 2πi C µ−λ đúng cho mọi đường cong Jordan C trơn, hoặc trơn từng khúc bao quanh λ trong D. 1.2 Toán tử tuyến tính Toán tử tuyến tính bị chặn Cho X, Y là các không gian Banach với các chuẩn tương ứng là || . ||X , || . ||Y . Không gian các toán tử tuyến tính từ X vào Y được kí hiệu bởi L(X, Y ). Không gian L(X, Y ) được trang bị chuẩn kAkL(X,Y ) = sup kAU kY . kU kX ≤1 Với chuẩn này, L(X, Y ) là một không gian Banach. Khi X = Y, L(X, Y ) được viết gọn là L(X). Kết quả sau đây được gọi là Định lý bị chặn đều. Định lý 1.2.1 ([15], Tr. 69). Giả sử X và Y là các không gian Banach. Cho {Aα }α∈I là một họ các toán tử bị chặn từ X vào Y với tập chỉ số I. Nếu supα∈I kAα U kY < ∞ với mọi U ∈ X, thì supα∈I kAα kL(X, Y ) < ∞. Dễ thấy rằng với mỗi U ∈ X, phiếm hàm pU (.) xác định bởi pU (A) = kAU kY , A ∈ L(X, Y ) là một nửa chuẩn trên L(X, Y ). Rõ ràng họ các nửa chuẩn pU (.), U ∈ X thỏa mãn tính chất tách, tức là pU (A) = 0 với mọi pU kéo theo A = 0. Cho trước một số tự nhiên n khác 0, xét n phần tử bất kì trong X mà ta kí hiệu là U1 , ..., Un và một bộ n số thực dương nhỏ tùy ý 1 , ..., n . Ta định nghĩa một lân cận của toán tử 0 trong L(X, Y ) là tập U có dạng U = {A ∈ L(X, Y ) : pUi (A) < i , i = 1, ..., n}. Trường hợp A ∈ L(X, Y ) là toán tử bất kì, lân cận của A là tập có dạng A + U. Trên L(X, Y ) ta định nghĩa một tô-pô như sau. Một tập được gọi là mở trong L(X, Y ) khi và chỉ khi nó chứa lân cận của mọi điểm nằm trong nó. Với tô-pô này, L(X, Y ) trở thành một không gian tô-pô tuyến tính, lồi địa phương (xem [15, Tr. 26]). Không gian 4
tô-pô này được kí hiệu là Ls (X, Y ). Đây là tô-pô mạnh trên L(X, Y ). Trong khi đó, tô-pô xác định bởi chuẩn toán tử được gọi là tô-pô đều trên L(X, Y ). Chú ý, theo Định lý 1.2.1 vừa phát biểu Ls (X, Y ) là không gian đủ. Xét một dãy {An } trong L(X, Y ). Ta nói rằng {An } hội tụ mạnh tới một toán tử bị chặn A nếu An hội tụ tới A theo tô-pô mạnh, tức là An U → AU trong Y với mọi U ∈ X. Một cách tương tự, xét hàm A(ω) xác định trên tập Ω ⊂ Rd (d là một số nguyên dương) và nhận giá trị trong L(X, Y ). Ta nói A(ω) liên tục mạnh tại ω0 ∈ Ω nếu A(ω) liên tục tại ω0 theo tô-pô mạnh, nói cách khác A(ω) liên tục mạnh tại ω0 khi chỉ khi A(ω)U → A(ω0 )U trong Y khi ω → ω0 với mọi U ∈ X. 1.2.1 Hạn chế của toán tử tuyến tính Cho X là một không gian Banach và cho A là một toán tử tuyến tính từ X vào chính nó. Miền xác định của A sẽ được kí hiệu là D(A) còn miền giá trị của nó được kí hiệu bởi R(A). Cho Y là một không gian con của X. Toán tử A|Y xác định trên D(A|Y ) = {U ∈ D(A) ∩ Y : AU ∈ Y } bằng công thức A|Y U = AU được gọi là Hạn chế của A trong Y . Dễ dàng kiểm tra rằng A|Y là một toán tử tuyến tính từ Y vào Y . Khi D(A) ⊂ Y, D(A|Y ) = {U ∈ D(A) : AU ∈ Y }. 1.2.2 Tập giải thức, tập phổ và Tích phân Dunford Cho A là một toán tử tuyến tính đóng, xác định trù mật trong không gian Banach X. Tập ρ(A) chứa các số phức λ sao cho (λ − A) có toán tử ngược (λ − A)−1 ∈ L(X) được gọi là tập giải thức của A. Ta biết rằng ρ(A) là tập mở trong C còn (λ − A)−1 là một hàm giải tích xác định trên ρ(A), nhận giá trị trong L(X) (xem [2, Tr. 158]). Vì vậy với mỗi λ0 ∈ ρ(A) ta có ∞ X −1 (λ − A) = (−1)n (λ − λ0 )n (λ0 − A)−(n+1) , |λ − λ0 | < k(λ0 − A)−1 k−1 . (1.2) n=0 Phần bù của ρ(A) trong C, kí hiệu là σ(A), được gọi là phổ của A. Chú ý phổ của A độc lập với cách chọn chuẩn trên X (xem [14, Tr. 10]). Ngoài ra, dễ thấy rằng (λ − A)−1 − (µ − A)−1 = −(λ − µ)(λ − A)−1 (µ − A)−1 , λ, µ ∈ ρ(A). (1.3) Giả sử A là một toán tử tuyến tính bị chặn trong X và σ(A) là phổ của nó. Lấy f (λ) là một hàm giải tích trong miền đơn liên D chứa σ(A) và đặt Z 1 f (A) = f (λ) (λ − A)−1 dλ, 2πi C 5
ở đây C là đường cong Jordan trơn, hoặc trơn từng khúc nằm trong D bao quanh σ(A). Tích phân này xác định trong L(X), không phụ thuộc vào cách chọn đường cong Jordan C. Người ta gọi nó là Tích phân Dunford. Trong khi đó toán tử f (A) được gọi là Tích phân hàm liên kết với f (λ). 1.2.3 Nửa nhóm liên tục mạnh Định nghĩa 1.2.1. Cho X là một không gian Banach. Một họ {T (t)}t≥0 các toán tử bị chặn trong X được gọi là một nửa nhóm liên tục mạnh hoặc C0 -nửa nhóm nếu các tính chất sau được thỏa mãn 1. T (t + s) = T (t)T (s); 2. T (0) = I; 3. Với mỗi x ∈ X, ánh xạ: [0, ∞) 3 t 7→ T (t)x ∈ X liên tục theo t. Định nghĩa 1.2.2. Cho {T (t)}t≥0 là một nửa nhóm liên tục mạnh các toán tử bị chặn trên không gian Banach X. Toán tử A định nghĩa bởi T (h)x − x Ax = lim+ h→0 h được gọi là toán tử sinh của nửa nhóm {T (t)}t≥0 . Miền xác định D(A) của A là tập tất cả các x ∈ X sao cho giới hạn trong vế phải của đẳng thức vừa nêu tồn tại. Sau đây ta phát biểu một định lý quan trọng trong lý thuyết toán tử tuyến tính. Định lý 1.2.2. (Lumer-Phillips) Giả sử H là một không gian Hilbert với tích trong h., .i. Cho A là một toán tử tuyến tính trong H thỏa mãn các điều kiện sau 1. D(A) trù mật trong X; 2. Tồn tại một số thực ω sao cho Re hx, Axi ≤ ωhx, xi với mọi x ∈ D(A); 3. Tồn tại số thực λ0 > ω sao cho A − λ0 I là toán ánh. Khi đó A sinh ra nửa nhóm liên tục mạnh {etA }t≥0 và ketA k ≤ eωt . Chứng minh. Xem chứng minh trong [10, Tr. 407]. 6
1.2.4 Nửa nhóm giải tích Cho X là không gian Banach. Một hàm U (z) nhận giá trị trong L(X), xác định trên miền quạt π Σφ = {z ∈ C : | arg z| < φ}, 0 < φ < 2 được gọi là một nửa nhóm giải tích trên X nếu nó thỏa mãn 1. U (z) là một hàm giải tích trong Σφ ; 2. U (z) thỏa mãn tính chất nửa nhóm U (z + z 0 ) = U (z)U (z 0 ) với mọi z, z 0 ∈ Σφ ; 3. Với bất kì φ0 sao cho 0 < φ0 < φ, U (z) hội tụ mạnh tới toán tử 1 trong X khi Σφ0 \ {0} 3 z → 0. Do tính chất thứ ba ở trên, ta định nghĩa được U (0) = 1. Vì nửa nhóm giải tích U (z) trong Σφ có thể mở rộng được lên một miền quạt rộng hơn (có góc φ lớn hơn), nên một cách tự nhiên ta xét supremum tập tất cả các góc của những hình quạt mà U (z) có thể mở rộng lên được. Ta gọi giá trị này là góc của nửa nhóm U (z) và kí hiệu nó là φU . Xét toán tử tuyến tính A đóng, xác định trù mật trong X, có phổ σ(A) thỏa mãn π σ(A) ⊂ β + Σω , −∞ < β < ∞, 0 < ω < . (1.4) 2 Ngoài ra, giả sử thêm rằng tồn tại hằng số Mω ≥ 1 sao cho Mω k(λ − A)−1 k ≤ , λ∈ / β + Σω . (1.5) |λ − β| Ta có định lý sau. Định lý 1.2.3. Cho A là toán tử đóng, xác định trù mật trong X, thỏa mãn (1.4) và (1.5). Khi đó, e−zA là một nửa nhóm giải tích xác định trong Σ π2 −ω , thỏa mãn ước lượng π ke−zA k ≤ Cφ e−(β+δφ )|z| , z ∈ Σφ , 0 < φ < − ω, (1.6) 2 với các hằng số δφ > 0 và Cφ ≥ 1 chỉ phụ thuộc vào φ. Chứng minh. Xem trong [14, Tr. 119]. 7
1.3 Nội suy không gian Banach Với X0 , X1 là hai không gian Banach với các chuẩn tương ứng là k . kX0 , k . kX1 . Giả sử X1 được nhúng trù mật và liên tục vào X0 . Cho S là dải S = {z : 0 < Rez < 1} trong mặt phẳng phức C. Ta kí hiệu H(X0 , X1 ) là không gian tất cả các hàm giải tích như sau 1. F (z) là một hàm giải tích trong S, nhận giá trị trong X0 ; ¯ nhận giá trị trong X0 ; 2. F (z) là một hàm bị chặn, liên tục trong S, 3. F (z) là một hàm bị chặn, liên tục theo biến z = 1 + iy, nhận giá trị trong X1 . Trên H(X0 , X1 ) ta đưa vào chuẩn kF kH = max sup kF (iy)kX0 , sup kF (1 + iy)kX1 . −∞
1.4 Không gian và các toán tử liên hợp 1.4.1 Không gian đối ngẫu Cho X là một không gian Banach với chuẩn k . k. Coi C như một không gian Banach với chuẩn thông thường, xét không gian Banach L(X, C) với chuẩn ||Φ|| = sup |Φ(F )|, Φ ∈ L(X, C). kF k≤1 Ta thường kí hiệu không gian này là X 0 và gọi nó là không gian đối ngẫu của X. Mỗi toán tử tuyến tính trong X 0 được gọi là một phiếm hàm tuyến tính trên X. Tuy nhiên để thuận tiện thay vì xét phép nhân vô hướng thông thường, trên X 0 ta sẽ xét phép nhân vô hướng sau ¯ Φ(F ) với mọi α ∈ C, Φ ∈ X 0 , F ∈ X. (αΦ)(F ) = α Vì X 0 là một không gian Banach, ta có thể xét không gian đối ngẫu X 00 của X 0 . Khi đó toán tử ι từ X vào X 00 xác định bởi (ι F )(Φ) = Φ(F ), F ∈ X, Φ ∈ X 0 . là một ánh xạ tuyến tính bảo toàn chuẩn từ X vào X 00 . Khi ι là toàn ánh, tức là ι(X) = X 00 , X được gọi là không gian Banach phản xạ. Kết quả sau đây là một hệ quả của Định lý Hahn-Banach mở rộng. Nó được sử dụng để xây dựng không gian liên hợp của X. Chứng minh chi tiết có trong [15, Tr 108]. Định lý 1.4.1. Giả sử X là một không gian Banach. Khi đó với mọi F ∈ X, F 6= 0 tồn tại một phiếm hàm Φ ∈ X 0 sao cho Φ(F ) = kF k và ||Φ|| = 1. 1.4.2 Không gian liên hợp Giả sử X và Y là các không gian Banach với các chuẩn tương ứng là k . kX , k . kY . Một hàm nhận giá trị phức h., .iX×Y xác định trên không gian tích X × Y được gọi là một dạng tựa tuyến tính nếu nó thỏa mãn ( hαF + β Fe, GiX×Y = αhF, GiX×Y + βhFe, GiX×Y , α, β ∈ C, F, Fe ∈ X, G ∈ Y, hF, αG + β Gi e X×Y = α ¯ Gi ¯ hF, GiX×Y + βhF, e X×Y , α, β ∈ C, F ∈ X, G, G e ∈ Y. Dạng tựa tuyến tính h., .iX×Y này được gọi là một tích đối ngẫu nếu nó thỏa mãn 1. |hF, GiX×Y | ≤ kF kX kGkY , F ∈ X, G ∈ Y ; 9
2. kF kX = supkGkY ≤1 |hF, GiX×Y |, F ∈ X; 3. kGkY = supkF kX ≤1 |hF, GiX×Y |, G ∈ Y. Khi có tích đối ngẫu h., .iX×Y giữa X và Y, thì Y được gọi là không gian liên hợp của X với tích đối ngẫu h., .iX×Y và được ký hiệu là X ∗ . Dễ thấy nếu Y là không gian liên hợp của X với tích đối ngẫu h., .iX×Y thì X cũng là không gian liên hợp của Y với tích đối ngẫu h., .iY ×X . 1.4.3 Toán tử liên hợp Cho {X, X ∗ } (tương ứng {Y, Y ∗ }) là một cặp không gian Banach liên hợp với tích đối ngẫu h., .iX×X ∗ (tương ứng h., .iY ×Y ∗ ). Giả sử A là một toán tử tuyến tính xác định trù mật từ không gian con D(A) ⊂ X vào Y . Lấy một toán tử A∗ xác định trong D(A∗ ) ⊂ Y ∗ và nhận giá trị trong X ∗ như sau. Một véctơ Ψ ∈ Y ∗ nằm trong D(A∗ ) khi và chỉ khi tồn tại một véctơ Φ ∈ X ∗ sao cho hAU, ΨiY ×Y ∗ = hU, ΦiX×X ∗ với mọi U ∈ D(A). Vì D(A) trù mật trong X nên Φ như vậy được chọn một cách duy nhất. Với mỗi Ψ ∈ D(A∗ ), chúng ta đặt A∗ Ψ = Φ. Từ đây, hU, A∗ ΨiX×X ∗ = hAU, ΨiY ×Y ∗ với mọi U ∈ D(A), Ψ ∈ D(A∗ ). Dễ dàng kiểm tra được rằng D(A∗ ) là một không gian con tuyến tính của Y ∗ và A∗ là một toán tử tuyến tính. Toán tử A∗ này được gọi là liên hợp của A đối với các cặp liên hợp {X, X ∗ } và {Y, Y ∗ }. Nếu A bị chặn thì A∗ cũng bị chặn, hơn nữa kAk = kA∗ k. Ngoài ra nếu X và Y là các không gian Banach phản xạ, ta có định lý sau. Định lý 1.4.2 ([14], Tr. 21). Giả sử X, Y là các không gian Banach phản xạ và các cặp liên hợp {X, X ∗ }, {Y, Y ∗ }. Nếu A là một toán tử tuyến tính liên tục từ X vào Y , thì A∗ là một toán tử tuyến tính liên tục từ Y ∗ vào X ∗ . Hơn nữa kA∗ k = kAk và A∗∗ = A. Trong trường hợp X = Y , X ∗ = Y ∗ và cặp liên hợp là {X, X ∗ } với tích đối ngẫu h., .i, ta có kết quả sau. Định lý 1.4.3 ([14], Tr. 21-22). Cho X là một không gian Banach phản xạ và {X, X ∗ } là một cặp liên hợp. Nếu A là một toán tử tuyến tính đóng, xác định trù mật trên X, thì A∗ cũng là một toán tử tuyến tính đóng, xác định trù mật trên X ∗ . Hơn nữa A và A∗ thỏa mãn các tính chất sau 1. A∗∗ = A; 10
¯ ∈ ρ(A); 2. λ ∈ ρ(A∗ ) khi và chỉ khi λ ¯ − A)−1 ]∗ . 3. Nếu λ ∈ ρ(A∗ ), thì (λ − A∗ )−1 = [(λ Chú ý khi A∗ = A, A được gọi là toán tử tự liên hợp. 1.5 Ngoại suy không gian Banach Xét hai không gian Hilbert Z và X với các tích trong ((., .)), (., .) và các chuẩn tương ứng k . k, | . |. Giả sử rằng Z được nhúng trù mật, liên tục vào X. Kết quả trong [14, Tr. 23] chỉ ra sự tồn tại duy nhất của một không gian Banach, kí hiệu là Z ∗ , thỏa mãn các điều kiện sau 1. Z ⊂ X ⊂ Z ∗ với các phép nhúng trù mật và liên tục; 2. {Z, Z ∗ } tạo thành một cặp liên hợp với tích đối ngẫu h., .i; 3. Tích đối ngẫu h., .i thỏa mãn hU, F i = (U, F ) với mọi U ∈ Z, F ∈ X. Ta gọi không gian Z ∗ này là Không gian ngoại suy từ Z ⊂ X và bộ ba không gian Z ⊂ X ⊂ Z ∗ là một Bộ ba. Theo định nghĩa của tích đối ngẫu, tích trong h., .i phải thỏa mãn |hU, Φi| ≤ kU kkΦk∗ , U ∈ Z, Φ ∈ Z ∗ , kU k = sup |hU, Φi|, U ∈ Z, kΦk∗ ≤1 kΦk∗ = sup |hU, Φi|, Φ ∈ Z ∗, kU k≤1 ở đây k . k∗ là chuẩn trên Z ∗ . Ngoài ra, ta cũng thấy rằng với U, V ∈ Z hU, V iZ ∗ ×Z = hV, U iZ×Z ∗ = (V, U ) = (U, V ) = hU, V iZ×Z ∗ , tức là hU, V iZ×Z ∗ = (U, V ) = hU, V iZ ∗ ×Z , U, V ∈ Z. (1.7) Liên quan đến tính chất ngoại suy của không gian Hilbert, ta có định lý sau. Định lý 1.5.1. Cho Z ⊂ X ⊂ Z ∗ là một Bộ ba không gian. Nếu A là một toán tử tự liên hợp bị chặn trên X và là một toán tử tuyến tính bị chặn trên Z, thì A mở rộng được trên Z ∗ thành một toán tử tuyến tính bị chặn với ước lượng kAkL(Z ∗ ) ≤ kAkL(Z) . 11
Chứng minh. Với F ∈ X bất kì, ta có kAF k∗ = sup |hU, AF i| = sup |(U, AF )| = sup |(AU, F )| ≤ kAkL(Z) kF k∗ . kU k≤1 kU k≤1 kU k≤1 Vì X trù mật trong Z ∗ , A được mở rộng một cách duy nhất lên Z ∗ thành một toán tử bị chặn. 1.6 Toán tử tuyến tính liên kết với dạng tựa tuyến tính 1.6.1 Dạng tựa tuyến tính và toán tử liên kết Cho Z ⊂ X ⊂ Z ∗ là một Bộ ba. Theo định nghĩa {Z, Z ∗ } là một cặp liên hợp. Trong mục này ta sử dụng tích đối ngẫu h., .iZ ∗ ×Z thay vì h., .iZ×Z ∗ , tất nhiên h., .iZ ∗ ×Z = h., .iZ×Z ∗ . Xét dạng tựa tuyến tính a(U, V ) trên Z × Z. Nếu với mọi U, V ∈ Z, tồn tại hằng số dương M sao cho |a(U, V )| ≤ M kU k kV k, (1.8) thì a(U, V ) được gọi là một dạng liên tục. Rõ ràng (1.8) suy ra a(Un , Vn ) → a(U, V ) nếu Un → U và Vn → V đồng thời trong Z. Giả sử a(U, V ) là một dạng liên tục trên Z. Với mỗi U ∈ Z, a(U, .) là phiếm hàm liên tục trong Z. Theo Định lý 1.17 trong [14] ta tìm được duy nhất Φ ∈ Z ∗ sao cho a(U, V ) = hV, ΦiZ×Z ∗ , tức là tìm được duy nhất Φ ∈ Z ∗ để a(U, V ) = hΦ, V i với mọi V ∈ Z. Như vậy tương ứng A : U 7→ Φ là một toán tử tuyến tính từ Z vào Z ∗ . Tương ứng này được gọi là toán tử liên kết với dạng a(U, V ). Nó thỏa mãn a(U, V ) = hAU, V i, U, V ∈ Z. (1.9) Dễ thấy A là một toán tử tuyến tính bị chặn thỏa mãn ước lượng kAU k∗ = sup |hAU, V i| ≤ M kU k, U ∈ Z. kV k≤1 Nếu với mọi U ∈ Z, tồn tại hằng số dương δ sao cho Re a(U, U ) ≥ δkU k2 , (1.10) thì a(U, V ) được gọi là một dạng bức. Hiển nhiên từ (1.10) suy ra rằng nếu a(U, U ) = 0 thì U = 0. Sau đây ta phát biểu Định lý Lax-Milgram. Chứng minh chi tiết định lý này có trong [15, Tr. 92]. 12
Định lý 1.6.1. Cho a(U, V ) là một dạng liên tục và bức trên Z. Khi đó với bất kì Ψ ∈ Z 0 , tồn tại duy nhất phần tử V ∈ Z sao cho Ψ(U ) = a(U, V ) với mọi U ∈ Z. Sử dụng Định lý Lax-Milgram ta chứng minh được rằng toán tử liên kết A là một đẳng cấu từ Z tới Z ∗ . Định lý 1.6.2 ([14], Tr. 26). Cho a(U, V ) là một dạng tựa tuyến tính thỏa mãn (1.8), (1.10). Gọi A là toán tử liên kết với dạng này. Khi đó A là một đẳng cấu từ Z tới Z ∗ với đánh giá δkU k ≤ kAU k∗ ≤ M kU k. Ngoài ra, A là toán tử tuyến tính đóng và xác định trù mật trong Z ∗ . Cuối cùng ta nói về Hạn chế của A lần lượt trên X và Z. Theo định nghĩa, do D(A) ⊂ X, Hạn chế của toán tử A trong X được cho bởi ( D(A|X ) = {U ∈ Z, AU ∈ X}, A|X U = AU. Từ định nghĩa của Không gian ngoại suy, ta thấy rằng nếu U ∈ D(A|X ) thì a(U, V ) liên tục theo V đối với chuẩn trong X. Hơn nữa, nếu U ∈ D(A|X ) thì a(U, V ) = (A|X U, V ) với mọi V ∈ Z. Một cách tương tự, vì Z = D(A), Hạn chế của A trong Z được cho bởi ( D(A|Z ) = {U ∈ Z, AU ∈ Z}, A|Z U = AU. Từ (1.7), ta thấy rằng nếu U ∈ D(A|Z ) thì a(U, V ) liên tục theo V đối với chuẩn trong Z ∗ . Hơn nữa khi U ∈ D(A|Z ), ta có a(U, V ) = hU, V iZ×Z ∗ với mọi V ∈ Z. 1.6.2 Dạng liên hợp và toán tử liên hợp Khi a(U, V ) là một dạng tựa tuyến tính liên tục và bức, các Hạn chế A|X và A|Z của toán tử liên kết A đối với dạng này là các toán tử đóng, xác định trù mật tương ứng trong X và Z. Thật vậy, xét dạng tựa tuyến tính a∗ (U, V ) như sau a∗ (U, V ) = a(V, U ), (U, V ) ∈ Z × Z. Ta gọi a∗ (U, V ) là dạng liên hợp của a(U, V ). Rõ ràng a∗ (U, V ) cũng liên tục và bức trên Z. Gỉa sử B là toán tử liên kết với a∗ (U, V ). Như đã chỉ ra trong mục trước, dưới các Giả thiết (1.8) và (1.10), B là toán tử tuyến tính đóng, xác định trù mật trong Z ∗ và thỏa mãn a(U, V ) = a∗ (V, U ) = hBV, U i với mọi U, V ∈ Z. Hơn nữa, hAU, V i = a(U, V ) = hU, BV i với mọi U, V ∈ Z. Theo (1.7), rõ ràng A|Z là toán tử liên hợp B ∗ của B ứng với cặp đối ngẫu {Z, Z ∗ }. Thật vậy, U = B ∗ U e khi và chỉ khi 13
hU, V iZ×Z ∗ = hUe , BV i với mọi V ∈ Z; tuy nhiên theo tính chất của toán tử B vừa định nghĩa ở trên, U = B ∗ U e khi và chỉ khi hU, V iZ ∗ ×Z = hAU e , V i với mọi V ∈ Z; tóm lại, U = B ∗ U e khi và chỉ khi U = AU e ∈ Z và ta có điều phải chứng minh. Định lý 1.6.3. Cho A là toán tử tuyến tính liên kết với a(U, V ). Giả sử các Điều kiện (1.8) và (1.10) được thỏa mãn. Khi đó A|X , A|Z là các toán tử đóng, xác định trù mật tương ứng trong X và Z. Ngoài ra các toán tử liên hợp A∗ và (A|Z )∗ ứng với cặp {Z, Z ∗ } tương ứng là B|Z và B. Trong khi đó, toán tử liên hợp (A|X )∗ ứng với cặp {X, X} là B|X . Chứng minh. Vì A|Z = B ∗ , tính trù mật của D(A|Z ) trong Z thu được trực tiếp từ Định lý 1.4.3. Mặt khác, D(A|Z ) ⊂ D(A|X ) và Z trù mật trong X nên D(A|X ) trù mật trong X. Lập luận tương tự như đối với A|Z = B ∗ , ta thấy A|X là toán tử liên hợp (B|X )∗ của B|X đối với cặp liên hợp {X, X}. Khẳng định còn lại suy ra trực tiếp từ (1) trong Định lý 1.4.3. 1.7 Không gian Sobolev-Lebesgue 1.7.1 Biên của miền Cho Ω là một tập mở trong Rn . Ta nói rằng Ω có biên ∂Ω liên tục (tương ứng Lipschitz, thuộc lớp Cm (m = 1, 2, 3, . . .)) nếu với mọi x ∈ ∂Ω, tồn tại một lân cận V của x trong Rn và một hệ tọa độ trực giao mới (y1 , . . . , yn ) sao cho 1. V là một hình hộp trong hệ tọa độ mới: V = {(y1 , . . . , yn ); −ai < yi < ai , i = 1, . . . , n}; 2. Tồn tại một hàm ϕ liên tục (tương ứng Lipschitz, thuộc lớp Cm ) xác định trong V 0 = {(y1 , . . . , yn−1 ); −ai < yi < ai , i = 1, . . . , n − 1} thỏa mãn |ϕ(y 0 )| ≤ an /2 với mọi y 0 = (y1 , . . . , yn−1 ) ∈ V 0 , Ω ∩ V = {y = (y 0 , yn ) ∈ V ; yn > ϕ(y 0 )}, ∂Ω ∩ V = {y = (y 0 , yn ) ∈ V ; yn = ϕ(y 0 )}; 3. kϕkC(V 0 ) ≤ c (tương ứng kϕkLip(V 0 ) ≤ c, hoặc kϕkCm (V 0 ) ≤ c) với một hằng số c > 0 nào đó. 14
1.7.2 Không gian Sobolev với cấp nguyên Cho Ω là một tập mở trong Rn . Với 1 ≤ p ≤ ∞ và k = 0, 1, 2, . . ., kí hiệu Hpk (Ω) là không gian các hàm u thuộc lớp Lp (Ω) sao cho các đạo hàm riêng Dα u đến cấp k đều thuộc Lp (Ω) theo nghĩa phân bố, ở đây α = (α1 , α2 , . . . , αn ) là một đa chỉ số và cấp của đạo hàm riêng Dα u là số |α| = α1 + α2 + . . . + αn . Ta trang bị cho Hpk (Ω) chuẩn X 1 kukHpk = kDα ukpLp p , u ∈ Hpk (Ω). |α|≤k Với chuẩn này Hpk (Ω) là một không gian Banach. Đặc biệt khi p = 2, H2k (Ω) là một không gian Hilbert với tích trong X hu, viH2k = hDα u, Dα viL2 , u, v ∈ H2k (Ω). |α|≤k Trong trường hợp Ω là tập Rn+ = x = (x0 , xn ) : x0 ∈ Rn−1 , xn > 0 hoặc là một miền bị chặn trong Rn với biên Lipchitz, theo các Định lý 5 và 5’ trong [12], ta có thể xây dựng một toán tử mở rộng biến các hàm trong Ω thành các hàm trong Rn . Định lý 1.7.1. Giả sử Ω là Rn+ hoặc là một miền bị chặn trong Rn với biên Lipschitz. Khi đó tồn tại một toán tử tuyến tính C biến các hàm trong Ω thành các hàm trong Rn với các tính chất sau 1. (Cu)|Ω = u; 2. C là một toán tử liên tục từ Hpk (Ω) vào Hpk (Rn ) (1 ≤ p ≤ ∞, k = 0, 1, 2, . . .) thỏa mãn kCukHpk (Rn ) ≤ Ap,k kukHpk (Ω) , ở đây Ap,k > 0 là hằng số chỉ phụ thuộc vào p và k. 1.7.3 Không gian Sobolev-Lebesgue trong Rn Khi 1 < p < ∞, không gian Sobolev Hpk (Ω) có thể được mở rộng cho trường hợp các cấp k không nguyên. Trong mục này, chúng ta xét Ω = Rn . Giả sử s ≥ 0, kí hiệu Hps (Rn ) là không gian các hàm có tính chất như sau s Hps (Rn ) = {u ∈ S(Rn )0 : F −1 [(1 + |ξ|2 ) 2 Fu] ∈ Lp (Rn )}, ở đây S(Rn )0 là không gian các hàm suy rộng tăng chậm, F, F −1 tương ứng là phép biến đổi Fourier, phép biến đổi Fourier ngược trên S(Rn )0 . Hps (Rn ) là một không gian Banach với chuẩn s kukHps = kF −1 [(1 + |ξ|2 ) 2 Fu]kLp , u ∈ Hps (Rn ). 15