Luận văn Thạc sĩ Toán học: Các mêtric trên siêu không gian

Chia sẻ: Lavie Lavie | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:77

Thêm vào BST

Báo xấu

77
lượt xem 5
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Luận văn Thạc sĩ Toán học: Các mêtric trên siêu không gian nêu một số kiến thức chuẩn bị về độ đo và tích phân; nghiên cứu các khái niệm về ánh xạ whitney, các hàm phân kỳ và các tính chất của chúng; giới thiệu một số hàm khoảng cách trên các siêu không gian.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Luận văn Thạc sĩ Toán học: Các mêtric trên siêu không gian

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH Lê Công Mẫn CÁC MÊTRIC TRÊN SIÊU KHÔNG GIAN Chuyên ngành : Hình học và Tôpô Mã số : 60 46 10 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: TS. NGUYỄN HÀ THANH Thành phố Hồ Chí Minh – 2009
LỜI CẢM ƠN Tôi xin chân thành cảm ơn quí thầy cô trong tổ hình học, khoa Toán–Tin Trường Đại học Sư phạm Tp. Hồ Chí Minh đã giảng dạy và giúp đỡ chúng tôi nâng cao trình độ chuyên môn và phương pháp làm việc hiệu quả trong suốt quá trình học tập. Tôi cũng xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến TS. Nguyễn Hà Thanh. Thầy đã tận tình hướng dẫn, trang bị nhiều tài liệu và truyền đạt cho tôi những kiến thức quí báu trong suốt quá trình thực hiện luận văn này. Xin chân thành cảm ơn giáo sư Sam B. Nadle, Jr, trường đại học Georgia đã gửi nhiều tài liệu quí báu hỗ trợ cho chúng tôi trong quá trình làm luận văn. Xin chân thành cảm ơn Ban giám hiệu, phòng tổ chức hành chính, phòng Khoa học Công nghệ và Sau đại học, phòng Kế hoạch – Tài chính Trường Đại học Sư phạm Tp. Hồ Chí Minh; Ban giám hiệu trường THPT Dương Minh Châu, Dương Minh Châu, Tây Ninh cùng toàn thể quý đồng nghiệp, bạn bè, gia đình đã động viên, giúp đỡ và tạo mọi điều kiện cho tôi hoàn thành luận văn này. Sau cùng, tôi xin gởi lời cảm ơn đến các bạn cùng lớp đã cùng học, trao đổi kiến thức, giúp đỡ và động viên tôi trong suốt quá trình học tập. Tp. Hồ Chí Minh tháng 6 năm 2009 Tác giả Lê Công Mẫn
MỞ ĐẦU 1. Lý do chọn đề tài Trong luận văn này chúng tôi trình bài các vấn đề liên quan đến hyperspace (siêu không gian), các vấn đề trên siêu không gian được nhiều nhà toán học quan tâm, như : M. Wojdyslawski, J. L. Kelly, R. W. Wardle, J. J. Charatonik, C. J. Rhee, Nadler, Felix Hausdorff , LeoPold Vietoris. . . . Vào những năm đầu của thế kỷ 20 lý thuyết siêu không gian được nghiên cứu bởi hai nhà toán học Felix Hausdorff và LeoPold Vietoris, sau đó J. L. Kelly tiếp tục phát triển một số tính chất của siêu không gian, đặc biệt là siêu không gian của một continuum. Trong khoảng thời gian từ những năm 1920 đến những năm 1930 nhiều cấu trúc cơ bản của các siêu không gian đã được xác định. Đặc biệt năm 1931 Borsuk-Mazurkiewicz đã chứng minh được 2 X và C(X) liên thông đường. Ngoài ra trên siêu không gian còn có nhiều tính chất khác được rất nhiều nhà toán học quan tâm. Và M. Wojdyslawski là người đầu tiên nghiên cứu về tính co của các siêu không gian 2 X và C ( X ) . Năm 1938 Wojdyslawski chứng minh được “Nếu X là một continuum liên thông địa phương thì 2 X và C(X) co rút được”. Tuy nhiên ông không chỉ ra được kết quả trên đối với C(X), nhưng ông chứng minh được: với kết quả của 2 X có thể áp dụng cho C(X). Năm 1942 Kelly tiếp tục phát triển kết quả trên của Wojdyslawski và ông đã chứng minh được tính co của 2 X và C(X) là tương đương, ngoài ra Kelly còn đưa ra một điều kiện đủ (mà ta gọi là tính chất của Kelly hay tính chất k) về tính co của các siêu không gian, và sử dụng nó để tổng quát hóa kết quả của Wojdyslawski, Kelly chứng minh rằng nếu X có tính chất k thì các siêu không gian của X co rút được. Tính chất k của Kelly chỉ là điều kiện đủ mà không phải là điều kiện cần. Do đó: Năm 1978 Nadler đặt ra câu hỏi: làm
thế nào để tìm ra điều kiện cần và (hoặc) đủ đối với các phần tử của X để 2 X co rút được. Sau đó Nadler đưa ra một tính chất, gọi là tính chất C và chứng minh rằng một không gian X với tính chất C có một siêu không gian C(X) co rút được nếu và chỉ nếu có một thớ ánh xạ liên tục  sao cho  ( x)   ( x) với mỗi x  X , ở đó  ( x) là thớ chấp nhận được tại x. Cũng trong khoảng thời gian đó, năm 1977 Wardle giới thiệu một bài báo về tính chất của Kelly. Và nhiều kết quả ở bài báo này đã được tổng quát hóa bởi J. J. Charatonik vào năm 1983, sau bài báo của R. W. Wardle, có nhiều bài báo xuất hiện, các bài báo đó đã giới thiệu tính chất của Kelly ở nhiều khía cạnh khác nhau. Cho đến nay thì tính chất của Kelly vẫn được nhiều nhà toán học trên quan tâm và nghiên cứu. Như vậy lý thuyết siêu không gian đã trở thành một phương tiện quan trọng để tìm kiếm thông tin về tính compact, tính liên thông của một không gian tôpô X bằng cách nghiên cứu các tính chất của siêu không gian 2 X  {F  X : F đóng, khác rỗng} và C ( X )  {F  2 X : F liên thông}. Như trên đã đề cập, đề tài về siêu không gian là một đề tài được nhiều nhà toán học quan tâm, một trong những vấn đề được quan tâm trên siêu không gian là các hàm khoảng cách trên siêu không gian và sự ứng dụng của các hàm khoảng cách này. Chẳng hạn ta có thể dùng các hàm khoảng cách trên siêu không gian để đo quá trình phát triển của một robot như ví dụ sau đây: Cho một robot được thiết kế để điêu khắc, trước hết ta phải có một mẩu gỗ (trong toán học là một khối lập thể trong  3 ), mục đích là để tạo ra một hình dáng mong muốn (khối lập thể khác trong 3 ), ta đặt hình dáng cần điêu khắc vào trong mẩu gỗ ban đầu (khối lập thể ban đầu trong  3 ) và bằng cách cắt bỏ đi phần thừa để được sản phẩm cần điêu khắc (xem hình 1). Bằng phương pháp gắn cho khối lập thể ban đầu trong 3 một hệ tọa độ và dùng các hàm khoảng cách trên siêu không gian của các tập con đóng trong 3 để biến khối lập thể ban đầu trong 3 thành hình dáng mong muốn
(khối lập thể khác trong  3 ) (ta gọi quá trình này là quá trình phát triển của robot). Nếu nhát cắt đầu tiên được mô tả như trong hình 1, thì khoảng cách Hausdorff giữa phần điêu khắc chưa xong và thành phẩm cần đạt được không đổi, mặc dù trên thực tế hàm khoảng cách này có tiến bộ nhất định. Điều này gợi ý cho chúng ta rằng mêtric Hausdorff không là hàm khoảng cách tốt để đo quá trình phát triển của Robot. Do đó trong luận văn này ta sẽ xác định các hàm khoảng cách thích hợp hơn để sử dụng cho mục đích của chúng ta. Vì siêu không gian là một đề tài thời sự và có nhiều ứng dụng trong thực tế nên trong luận văn này chúng tôi nghiên cứu một số vấn đề trên siêu không gian, và đề tài nghiên cứu của chúng tôi là “các mêtric trên các siêu không gian”. 2. Mục đích nghiên cứu Nghiên cứu các mêtric trên các siêu không gian. 3. Đối tượng và nội dung nghiên cứu Các mêtric và các hàm khoảng cách trên các siêu không gian. 4. Ý nghĩa khoa học thực tiễn Dùng các hàm khoảng cách trên các siêu không gian để đo tiến trình phát triển của robot. 5. Cấu trúc luận văn Nội dung luận văn của chúng tôi gồm phần mở đầu, ba chương nội dung và phần kết luận. Cụ thể:
Phần mở đầu: Nêu lí do chọn đề tài. Phần nội dung: Chương 1: Nêu một số kiến thức chuẩn bị về độ đo và tích phân Chương 2: Luận văn dành cho việc nghiên cứu các khái niệm về ánh xạ Whitney, các hàm phân kỳ và các tính chất của chúng. Chương 3: Giới thiệu một số hàm khoảng cách trên các siêu không gian. Nội dung chương này gồm hai phần. Phần 1, giới thiệu các hàm khoảng cách Hmax, H+, HLmax, HL+, Wmax, W+ và so sánh các hàm này với nhau. Phần 2, giới thiệu thêm các hàm khoảng cách tích phân và nghiên cứu các tính chất của các mêtric tích phân này. Phần kết luận: Tóm tắt và đưa ra những nhận xét khi nghiên cứu về các mêtric trên các siêu không gian.
Chương 1. CÁC KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Nội dung chương này là những kiến thức về độ đo, tích phân và tôpô đại cương làm cơ sở lý thuyết cho việc nghiên cứu ở các chương sau. 1.1 Độ đo và tích phân 1.1.1 Đại số,  - Đại số 1.1.1.1 Định nghĩa 1. Một họ M những tập con của một tập hợp X gọi là một đại số tập hợp con của X nếu a) X M (1) Với mọi A  M , Ac  X \ A  M (2) n b) Với một họ hữu hạn tùy ý A1 ,..., An M ,  Ai M (3) i 1 M gọi là một  - đại số những tập hợp con của X nếu nó thỏa mãn hai  điều kiện (1), (2) và với một họ đếm được bất kỳ A1 , A2 ... M ,  An M (3’) n 1 Cặp (X, M ) trong đó M là một  - đại số những tập hợp con của X gọi là một không gian đo được. Mỗi tập hợp AM gọi là một tập hợp đo được. Mỗi  - đại số là một đại số. Thật vậy, giả sử M là một  - đại số và A1 ,..., An M n  Đặt An+1 = An+2 = … = . Khi đó tập hợp  A   A M . i 1 i j 1 j Vậy M là một đại số. Từ (1), (2) suy ra rằng tập hợp rỗng là một phần tử của đại số M . 1.1.1.2 Ví dụ Ví dụ 1 Họ tất cả các tập hợp con của một tập hợp X cho trước là một - đại số. Ví dụ 2 Giả sử A là một tập hợp con của một tập hợp X. Khi đó { X , A, Ac } là một  - đại số.
1.1.1.3 Định lí 1. Nếu M là một đại số thì a) Giao của một họ hữu hạn những tập hợp thuộc M là một tập thuộc M b) Hiệu của hai tập thuộc M là một tập hợp thuộc M . Chứng minh. a) Giả sử A1 ,..., An M .Theo công thức Đờ Móocgăng ta có n n n  Ai  (( Ai )c )c  (  ( Ai )c )c M i 1 i 1 n 1 b) Nếu A, B  M thì A \ B  A  Bc M Hiển nhiên định lí 1 vẫn đúng nếu M là một  - đại số. 1.1.1.4 Định lí 2. Giao của một họ đếm được những tập hợp thuộc một -đại số M là một tập hợp thuộc M . Chứng minh. Nếu A1 , A2 ... M thì    (  An )c   ( An )c M . Do đó  An M n 1 n 1 n 1 1.1.2 Độ đo 1.1.2.1 Định nghĩa 3. Giả sử M là một  - đại số những tập hợp con của một tập hợp X. hàm số  : M  [0, ] gọi là một độ đo nếu. 1) µ() = 0 2) µ là  - cộng tính, tức là nếu A1, A2, … là một họ đếm được những tập hợp đôi một rời nhau thuộc M thì    (  An )   ( An ) n 1 n 1 Bộ ba (X, M , µ) trong đó M là một  - đại số những tập hợp con của tập hợp X,  : M  [0, ] là một độ đo, gọi là một không gian độ đo. Nếu A M thì số µ (A) gọi là độ đo của tập hợp A. Độ đo µ gọi là hữu hạn nếu µ (X) < ∞.
 Độ đo µ gọi là  - hữu hạn nếu X   X n , X n M , µ (Xn) < ∞ với mọi số tự n 1 nhiên n. Hiển nhiên độ đo hữu hạn là  - hữu hạn. 1.1.2.2 Ví dụ Ví dụ 4 Hàm số xác định trên một  - đại số và đồng nhất bằng không là một độ đo. Đó là độ đo hữu hạn. Ví dụ 5 Cho M là một  - đại số những tập hợp con của một tập hợp X, xo  X. Hàm số  : M  [0, ] xác định bởi 1 neáu xo  AM  ( A)   0 neáu xo  AM là một độ đo hữu hạn. 1.1.2.3 Định lí 3.Giả sử µ là một độ đo xác định trên một  - đại số M . Khi đó a) µ là cộng tính hữu hạn (gọi tắt là cộng tính), tức là nếu A1, …, Am là m m những phần tử đôi một rời nhau của M thì )    ( Ai ) i 1 i 1 b) Nếu A, B M và A  B thì µ(A) ≤ µ(B), ngoài ra nếu µ(A) < ∞ thì µB \ A  µ B  µA   c) Nếu A1, A2, …  M thì   An )    ( An ) n 1 n 1 Chứng minh a) Đặt Am+1 = Am+2 = … = . Do tính  - cộng tính của µ, ta có m   m m  Ai )   An )   ( An )   ( Ai )        ( Ai ) i 1 n 1 n 1 i 1 i 1 b) Ta có B = A  (B\A). Theo a) µ(B) = µ (A) + µ(B\A). Vì µ(B\A)  0 nên µ  A   µ  B  .
Nếu µ(A) hữu hạn thì từ đẳng thức trên suy ra µ(B\A) = µ (B) - µ(A). n 1 c) Đặt B1 = A1, Bn  An \  Ai , với n = 2, 3, … Các tập hợp Bn là đo được i 1   và  An   Bn . n 1 n 1 Vì Bn  An nên µ(Bn) ≤ µ(An) với mọi n. Các Bn đôi một rời nhau nên      ( An )   ( Bn )    ( Bn )    ( An ) . n 1 n 1 n 1 n 1 1.1.2.4 Hệ quả 1 1) Tập hợp con đo được của một tập hợp có độ đo không là một tập hợp có độ đo không. 2) Nếu A, B  M , µ(B) = 0 thì µ(A  B) = µ (A\B) = µ(A). 3) Hợp của một họ hữu hạn hoặc đếm được những tập hợp có độ đo không là một tập hợp có độ đo không. Chứng minh. 1) Giả sử A, B  M , A  B và µ(B) = 0 Khi đó 0 ≤ µ(A) ≤ µ(B) = 0. Do đó µ(A) = 0. 2) Vì A  A  B nên µ(A) ≤ µ(A  B) Mặt khác µ(A  B) ≤ µ(A) + µ(B) = µ(A). Từ hai bất đẳng thức vừa chứng minh, suy ra µ(A  B) = µ(A). Ta có A = (A\B)  (A  B). Vì A  B  B, µ(B) = 0 nên  ( A  B )  0 Theo trường hợp vừa chứng minh, ta có µ(A) = µ(A\ B). 3) Giả sử A1, A2, … M và µ(An) = 0 với mọi n. Khi đó    0   (  An )    ( An )  0 . Do đó  (  An )  0 n 1 n 1 n 1 1.1.3 Hàm số đo được Hàm số f : X   gọi là hữu hạn (trên X) nếu f(X)   .
1.1.3.1 Định nghĩa 4. Cho một không gian đo được (X, M) và A  M . Hàm số f : A   gọi là đo được trên tập hợp A nếu với mỗi a   , tập hợp {x  A : f ( x)  a}  M . 1.1.3.2 Định lí 4. Giả sử A là một tập hợp đo được. Khi đó 4 điều kiện sau tương đương: 1) f là đo được trên A. 2) Với mọi a   , tập hợp {x  A : f(x)  a} là đo được. 3) Với mọi a   , tập hợp {x  A : f(x) > a} là đo được. 4) Với mọi a   , tập hợp {x  A : f(x) ≤ a} là đo được. Chứng minh Vì hai tập hợp {x  A :f(x)
1) Với mọi a   , {x  B : f(x) < a} = B  {x  A : f(x) < a}  M 2) Với mọi a   , {x   An : f(x) < a} =  {x  An : f(x) < a}  M n n 1.1.3.4 Định lí 5. Giả sử (X, M ) là một không gian đo được và A  M. Khi đó a) Nếu f là một hàm số đo được trên A và c   thì cf cũng là một hàm đo được trên A. b) Tổng của hai hàm số đo được hữu hạn trên A là một hàm đo được trên A. c) Tích của hai hàm số đo được hữu hạn trên A là một hàm số đo được trên A. Nếu f là một hàm số đo được trên A và  là một số dương thì |f| là một hàm 1 số đo được trên A; nếu f(x)  0 với mọi x  A thì là một hàm đo được trên f A. Chứng minh. a) Nếu c > 0 thì với mọi a   , a {x  A : cf(x) < a} = {x  A : f ( x)  }  M. c Nếu c < 0 thì a {x  A : cf(x) < a} = {x  A : f ( x)  }  M. c Nếu c = 0 thì cf(x) = 0 với mọi x  A.  A neáu a  0 {x  A : cf ( x )  a}   neáu a  0 Vậy cf đo được trên A.
b) Vì tập hợp các số hữu tỉ Q là đếm được nên có thể viết Q = {rn}. Với mọi a   , {x A: f ( x)  g ( x)  a} {x A: f ( x)  a  g ( x)}    ({x A: f ( x)  rn }  {x A: a  g ( x)  rn })  M n 1    ({x A: f ( x)  rn }  {x A: g ( x)  a  rn })  M n 1 Vì f và g đo được trên A. c) Nếu a ≤ 0 thì {x  A : |f(x)| < a} = . Nếu a > 0 thì 1 {x A:| f ( x) |  a} {x A:| f ( x) |  a  }  1 1 { x  A: f ( x )   a }  { x  A: f ( x )  a }  M   Vì f đo được trên A. Đặc biệt bình phương của một hàm đo được là một hàm được. Nếu f và g là hai hàm số đo được hữu hạn đo được trên A thì từ đẳng thức 1 fg  [( f  g ) 2  ( f  g ) 2 ] 2 Và a), b) suy ra rằng tích fg là một hàm số đo được trên A. Giả sử f là một hàm số đo được trên A và f(x)  0 với mọi x  A. Trước hết ta 1 chứng minh là một hàm số đo được trên A. f2 1 Thật vậy, nếu a ≤ 0 thì tập hợp {x A: 2  a}  . f ( x) Nếu a > 0 thì tập hợp 1 1 { x  A: 2  a}  {x A: f 2 ( x)  }M f ( x) a 1 1 Vì f 2 đo được trên A. Do đó  f . 2 là một hàm số đo được trên A. f f
1.1.3.5 Khái niệm hầu khắp nơi Cho một không gian độ đo ( X , M ,  ) , AM . Ta nói một tính chất (T) nào đó xảy ra hầu khắp nơi trên A (viết tắt là h.k.n) nếu tồn tại một tập hợp B M sao cho B  A,  ( B)  0 và tại mỗi điểm x  A \ B đều có tính chất (T). Nói cách khác, các điểm x  A tại đó không có tính chất (T) đều thuộc tập hợp có độ đo không. 1.2 Tích phân Lơbegơ 1.2.1 Tích phân của hàm đơn giản đo được 1.2.1.1 Định nghĩa 5. Giả sử (X, M , µ) là một không gian độ đo, m A  M và s    i  Ai là một hàm đơn giản đo được trên tập hợp A. i 1 m Số    ) i 1 i i (1) gọi là tích phân của hàm đơn giản đo được s trên tập hợp A đối với độ đo µ, ký hiệu là  s d hoặc  s ( x)d ( x) ;  s d là một số không âm hữu hạn hoặc vô A A A hạn. Chú ý rằng tổng (1) không phụ thuộc vào cách biểu diễn của hàm đơn giản s. Thật vậy, giả sử s được viết dưới một dạng khác: m s    j  B j , trong đó B1, …, Bn là những tập hợp đo được đôi một rời nhau, j 1 n B j  A, và 1, …, n là những số thực hữu hạn không âm. Khi đó j 1  n  n Ai  Ai    B j    ( Ai  B j ), với i = 1,…, m.  j 1  j 1 Hiển nhiên các tập hợp (Ai  Bj), j = 1, …, n, đôi một không có điểm chung. Do đó
n  ( Ai )    i  B j ) và j 1 m m n  i( Ai )   i( Ai  B j ) i 1 i 1 j 1 (2) Tương tự m n m   j( B j )    j( Ai  B j ) j 1 j 1 i 1 (3) Nếu x  Ai  Bj thì i = s(x) = j. Từ đó suy ra rằng các tổng ở vế trái của hai đẳng thức (2) và (3) bằng nhau. Từ định nghĩa vừa nêu suy ra các tính chất sau của tích phân của các hàm số đơn giản. 1.2.1.2 Định lí 6. Giả sử s và t là những hàm đơn giản đo được trên một tập hợp A. Khi đó a)  csd   c  sd , c R, c  0, A A b)  ( s  t )d    sd    td , A A A c) Nếu s ≤ t thì  sd    td , A A d) {sn} là một dãy đơn điệu tăng những hàm đơn giản hội tụ đến hàm đơn giản s trên A thì lim  sn d    sd  n  A A Chứng minh. Các tính chất a) và c) là hiển nhiên. Ta chứng minh b) và d). m m b) Giả sử s    i  A , t    j  B trong đó A1, …, Am và B1, …, Bn là i j i 1 j 1 những tập hợp đo được đôi một rời nhau,
m n  A  B i 1 i j 1 j  A,  i ,  j  [0, ) . Dễ dàng thấy rằng m n s  t   ( i   j   Ai  B j . Do đó i 1 j 1 m n  (s  t )d    (   A i 1 j 1 i j   Ai  B j ) m n n m    i    Ai  B j )    j    Ai  B j ) i 1 j 1 j 1 i 1 m n    i   Ai )    j   Bi ) i 1 j 1   sd    td  A A m d) Giả sử s    i  A và t là một số bất kỳ thuộc (0, 1). i i 1 Đặt Ai,n = {x  Ai : sn  ti}, i = 1, …, m, n  N. Hiển nhiên Ai,n là những tập hợp đo được. Vì sn ≤ sn+1 nên Ai,n  Ai,n+1.  Do lim sn ( x)  s( x), x A nên n  A n 1 i ,n  Ai . Từ đó ( Ai )  lim ( Ai ,n ) (1) n  m Đặt f n ( x)   t i  A ,n ( x), x A, n N i i 1 Hiển nhiên fn ≤ sn ≤ s với mọi n. Từ đó, theo c), m t   i ( Ai ,n )   f n d    sn d    sd  với mọi n. i 1 A A A Cho n   và sử dụng đẳng thức (1), ta được m t  sd   t   i ( Ai )  lim  sn d    sd  (2) n  A i 1 A A
  Giới hạn lim  sn d  tồn tại vì   sn d   là một dãy số đơn điệu tăng. n  A A  Trong (2) cho t  1 , ta được đẳng thức cần chứng minh. 1.2.2 Tích phân của hàm đo được không âm Định nghĩa 6. Số lim  sn d n  A gọi là tích phân của hàm số đo được không âm f trên tập hợp A đối với độ đo µ, ký hiệu là  f d hoặc  f ( x) d x) . A A Tích phân của một hàm số đo được không âm bao giờ cũng tồn tại. Đó là một số không âm hữu hạn hoặc vô hạn. 1.2.3 Tích phân của một hàm số đo được bất kỳ Định nghĩa 7. Giả sử f : A   là một hàm đo được bất kỳ trên tập hợp f f   A. Nếu một trong hai tích phân d và d hữu hạn thì hiệu A A f d   f  d được gọi là tích phân của hàm số f trên tập hợp A đối với độ  A A đo µ, ký hiệu là  f d hoặc  f ( x) d x) . A A Đối với một hàm số đo được bất kỳ f trên một tập hợp A không phải bao giờ tích phân  f d cũng tồn tại. Nếu tích phân đó tồn tại thì nó là một số A thực hữu hạn hoặc vô hạn. Nếu  f d hữu hạn thì f gọi là một hàm khả tích A trên A. 1.2.4 Các tính chất cơ bản của tích phân 1.2.4.1 Định lí 7. Nếu f là một hàm số đo được trên một tập hợp A và  ( A)  0 thì  fd  0 A
Chứng minh. Dễ dàng thấy rằng định lí đúng đối với hàm đơn giản. Từ đó suy ra định lí đúng đối với hàm số đo được không âm, từ đó lại suy ra rằng định lí đúng đối với hàm số đo được bất kỳ trên A (theo các định nghĩa 2 và 3). 1.2.4.2 Định lí 8. Giả sử f và g là hai hàm số đo được trên một tập hợp A. Nếu f ≤ g thì  f d    gd  , (Giả sử hai tích phân đều tồn tại). A A Chứng minh. Ta đã biết rằng bất đẳng thức cần chứng minh đúng trong trường hợp f và g là những hàm đơn giản. Giả sử 0 ≤ f ≤ g. Khi đó tồn tại hai dãy đơn điệu tăng {fn} và {gn} những hàm đơn giản đo được trên A sao cho lim f n ( x)  f ( x) và lim g n ( x)  g ( x) với mọi x  A. n  n  Đặt hn = min(fn, gn), n  N. {hn} cũng là một dãy đơn điệu tăng những hàm đơn giản đo được trên A, trong đó lim hn ( x)  f ( x), x A và hn ≤ gnvới mọi n. n  Do đó  hn d    g n d  với mọi n. Từ đó A A  fd   lim  h d   lim  g d    gd  A n  A n n  A n A Bây giờ giả sử f và g là hai hàm số đo được bất kỳ có tích phân trên A. Nếu f ≤ g thì f + ≤ g + và f -  g-. Theo điều vừa chứng minh trên, từ đó suy ra f d   g d  (1) A A và f d   g d  (2) A A Từ hai đẳng thức (1) và (2) suy ra
 f d   f d    f  d    g  d    g  d    gd   A A A A A A 1.2.4.3 Định lí 9. Giả sử A và B là hai tập hợp đo được không giao nhau và f là một hàm số đo được trên A  B. Nếu  A B fd  tồn tại thì hai tích phân  fd và  fd cũng tồn tại, và A B  A B fd    fd    fd  A B (1) Đảo lại, nếu tổng ở vế phải của (1) có nghĩa thì  A B fd  tồn tại và ta có đẳng thức (1). Chứng minh. Ta lần lượt chứng minh định lí cho ba trường hợp: f là một hàm đơn giản, f không âm và f có dấu bất kỳ trên A  B. 1) f là một hàm đơn giản đo được trên A  B. m Giả sử f    i  E , trong đó E1, …, Em là những tập hợp đo được đôi một rời i i 1 m nhau,  E  A  B và 1,…, m là những số không âm hữu hạn. Khi đó i 1 i m m f | A    i  Ei  A và f |B    i  Ei  B i 1 i 1 Vì Ei  Ei  ( A  B)  ( Ei  A)  ( Ei  B) và hai tập hợp Ei  A và Ei  B không giao nhau nên  ( Ei )   ( Ei  A)   ( Ei  B), i  1, 2,..., m Do đó m m m  fd     i  ( Ei )    i  ( Ei  A)    i  ( Ei  B)   fd    fd  A B i 1 i 1 i 1 A B
2) f là một hàm số đo được không âm trên A  B. Khi đó tồn tại một dãy đơn điệu tăng {sn} những hàm đơn giản đo được trên A  B hội tụ đến hàm số f trên A  B. Theo phần 1) vừa chứng minh, ta có  A B sn d    sn d    sn d  với mọi n. A B Trong đẳng thức trên, cho n   . Theo định nghĩa tích phân của một hàm số đo được không âm, ta được  A B fd    fd    fd  A B 3) f là một hàm số đo được bất kỳ trên A  B và tồn tại  A B fd  . Khi đó f  f   f  , trong đó f + và f – là những hàm số đo được không âm trên tập hợp A  B. Theo phần 2) vừa chứng minh, ta có  A B f d   f d   f d A B (2) Và  A B f d   f d   f d A B (3) Vì A B  fd  tồn tại nên ít nhất một trong hai tích phân  A B f  d  và  A B f  d  hữu hạn. Giả sử chẳng hạn  A B f  d  hữu hạn. Từ (3) suy ra rằng cả hai tích phân f f   d  và d  đều hữu hạn. Trừ (2) cho (3) ta được đẳng thức cần chứng A B minh. f d    f  d  và  Nếu tổng ở vế phải của (1) có nghĩa thì một trong hai tổng A B f d    f  d  hữu hạn. Từ hai đẳng thức (2) và (3) suy ra rằng   f  d  hoặc A B A B  A B f  d  hữu hạn. Vậy  A B fd  tồn tại.