Luận văn Thạc sĩ Toán học: Môđun nội xạ và môđun FP nội xạ

Chia sẻ: Lavie Lavie | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:52

Thêm vào BST

Báo xấu

91
lượt xem 11
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Luận văn Thạc sĩ Toán học: Môđun nội xạ và môđun FP nội xạ trình bày các khái niệm và các tính chất cơ bản của một môđun nội xạ, môđun FP-nội xạ và mối tương quan của chúng. Luận văn hữu ích với các bạn chuyên ngành Toán học.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Luận văn Thạc sĩ Toán học: Môđun nội xạ và môđun FP nội xạ

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH Phan Lê Văn Thắng MÔĐUN NỘI XẠ VÀ MÔĐUN FP-NỘI XẠ LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thành phố Hồ Chí Minh – 2014
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH Phan Lê Văn Thắng MÔĐUN NỘI XẠ VÀ MÔĐUN FP-NỘI XẠ Chuyên ngành: Đại số và Lý thuyết số Mã số: 60 46 01 04 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: TS. TRẦN HUYÊN Thành phố Hồ Chí Minh – 2014
LỜI CẢM ƠN Luận văn tốt nghiệp Cao học được hoàn thành tại Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh. Có được bản luận văn tốt nghiệp này, tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành và sâu sắc đến Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh, phòng sau đại học, đặc biệt là TS. Trần Huyên đã trực tiếp hướng dẫn, dìu dắt, giúp đỡ tác giả với những chỉ dẫn khoa học quý giá trong suốt quá trình triển khai, nghiên cứu và hoàn thành đề tài “Môđun nội xạ và môđun FP-nội xạ”. Xin chân thành cảm ơn các Thầy Cô giáo – Các nhà khoa học đã trực tiếp giảng dạy truyền đạt những kiến thức khoa học chuyên ngành Đại số và Lý thuyết số cho bản thân tác giả trong những năm tháng qua. Xin ghi nhận công sức và những đóng góp quý báu và nhiệt tình của các bạn học viên lớp K23 đã đóng góp ý kiến và giúp đỡ cùng tác giả triển khai, thu thập kiến thức Toán học. Có thể khẳng định sự thành công của luận văn này, trước hết thuộc về công lao của tập thể, của nhà trường, cơ quan và xã hội. Đặc biệt là quan tâm động viên khuyến khích cũng như sự cảm thông sâu sắc của gia đình. Nhân đây tác giả xin được bày tỏ lòng biết ơn sâu đậm. Một lần nữa tác giả xin chân thành cảm ơn các đơn vị và cá nhân đã hết lòng quan tâm tới sự nghiệp đào tạo đội ngũ cán bộ ngành Sư phạm. Tác giả rất mong nhận được sự đóng góp, phê bình của quý Thầy Cô, các nhà khoa học, đọc giả và các bạn đồng nghiệp. Xin chân thành cảm ơn. Thành phố Hồ Chí Minh, ngày 01 tháng 9 năm 2014 Tác giả Phan Lê Văn Thắng
MỤC LỤC CÁC QUI ƯỚC VÀ CÁC KÝ HIỆU VIẾT TẮT ............................................................ 4 MỞ ĐẦU .............................................................................................................................. 5 1. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI.............................................................................................. 5 2. MỤC ĐÍCH CỦA ĐỀ TÀI......................................................................................... 5 3. ĐỐI TƯỢNG VÀ PHẠM VI NGHIÊN CỨU ........................................................... 6 4. NỘI DUNG LUẬN VĂN........................................................................................... 6 5. PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU .............................................................................. 6 Chương 1. KIẾN THỨC CHUẨN BỊ ............................................................................... 7 1.1. Môđun hữu hạn sinh................................................................................................... 8 1.2. Môđun biểu diễn hữu hạn ........................................................................................ 15 Bổ đề Schanuel ................................................................................................................ 18 1.3. Các vành đặc biệt và môđun chia được trên miền nguyên ...................................... 23 Chương 2. MÔĐUN NỘI XẠ VÀ MÔĐUN FP-NỘI XẠ ............................................. 30 2.1. Môđun nội xạ ........................................................................................................... 31 2.2. Môđun FP-nội xạ...................................................................................................... 40 KẾT LUẬN ....................................................................................................................... 50 TÀI LIỆU THAM KHẢO................................................................................................ 51
4 CÁC QUI ƯỚC VÀ CÁC KÝ HIỆU VIẾT TẮT Mọi vành R trong bài luận văn này đều là vành có đơn vị khác 0 (đơn vị của R ký hiệu là 1 ). Các môđun trái trên vành R được viết gọn là các R -môđun trái, và khi vành hệ tử đã xác định, để đơn giản, ta sẽ viết gọn là các môđun. Các R -đồng cấu được gọi một cách đơn giản là các đồng cấu. ∏X i∈I i hay ∏X i : môđun tích trực tiếp của họ không rỗng các môđun { X i }i∈I . ⊕ X i hay ⊕ X i : môđun tổng trực tiếp của họ không rỗng các môđun { X i }i∈I . i∈I Ext Rn ( A, B ) hay Ext n ( A, B ) : tích mở rộng n-chiều trên R của các môđun A và B . Ext ( A, B ) : tích mở rộng của các môđun A và B . A ⊆ B : A là con của B . A ⊂ B : A là con thực sự của B . A  B : A là môđun con của môđun B . S : môđun con sinh bởi tập S . x1 , x2 ,..., xn := { x1 , x2 ,..., xn } và 1, n := {1, 2,..., n} . ∅ là ký hiệu của tập rỗng.  là ký hiệu của tập các số tự nhiên. * là ký hiệu của tập các số tự nhiên khác 0.  là ký hiệu của tập các số nguyên.  là ký hiệu của tập các số hữu tỉ.
5 MỞ ĐẦU 1. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI Khái niệm môđun nội xạ là một trong những khái niệm quan trọng trong Đại số, nói riêng trong Lý thuyết môđun và trong Đại số đồng điều. Vì vậy, việc tìm kiếm các mở rộng cho khái niệm này là một trong những vấn đề rất đáng quan tâm. Một trong những điều kiện cần và đủ để một môđun là nội xạ là tiêu chuẩn Baer, cho phép chúng ta nhìn nhận một môđun J là nội xạ khi và chỉ khi Ext ( G, J ) = 0 với mọi môđun G hữu hạn sinh. Chúng ta đã biết các môđun biểu diễn hữu hạn là các môđun hữu hạn sinh, tuy nhiên, một môđun hữu hạn sinh chưa chắc đã là môđun biểu diễn hữu hạn. Khi thu hẹp lớp các môđun hữu hạn sinh tới lớp các môđun biểu diễn hữu hạn trong điều kiện tương đương của một môđun nội xạ được phát biểu dưới ngôn ngữ hàm tử Ext đã nói ở trên, chúng ta thu được một mở rộng của khái niệm môđun nội xạ, đó chính là các môđun FP-nội xạ. Như vậy môđun X là FP-nội xạ nếu Ext ( G , X ) = 0 với mọi môđun G biểu diễn hữu hạn. Vấn đề là các môđun FP-nội xạ sẽ còn giữ được bao nhiêu tính chất của môđun nội xạ. Luận văn này chính là sự trả lời cho những vấn đề nêu trên. 2. MỤC ĐÍCH CỦA ĐỀ TÀI Tổng hợp các kết quả về môđun, môđun hữu hạn sinh, môđun nội xạ, ta tiến hành nghiên cứu: - Định nghĩa và tính chất của môđun biểu diễn hữu hạn dùng để định nghĩa và tìm ra các tính chất của môđun FP-nội xạ. - Mối tương quan giữa môđun hữu hạn sinh và môđun biểu diễn hữu hạn: nét giống nhau và khác nhau giữa chúng, sự đồng nhất của chúng trong một vài trường hợp đặc biệt dùng trong việc đánh giá so sánh khái niệm môđun nội xạ và môđun FP-nội xạ để tìm ra các tính chất tương ứng với nhau giữa hai môđun.
6 - Định nghĩa và tính chất của môđun FP-nội xạ. - Mối tương quan giữa môđun nội xạ và môđun FP-nội xạ: nét giống nhau và khác nhau giữa chúng, sự đồng nhất của chúng trong một vài trường hợp đặc biệt. 3. ĐỐI TƯỢNG VÀ PHẠM VI NGHIÊN CỨU Đối tượng nghiên cứu: Môđun nội xạ và môđun FP-nội xạ. Phạm vi nghiên cứu: Các khái niệm và tính chất đặc trưng của môđun nội xạ, môđun FP-nội xạ và mối tương quan giữa chúng. 4. NỘI DUNG LUẬN VĂN Luận văn gồm hai chương: Chương 1: Kiến thức chuẩn bị Trình bày các khái niệm và các tính chất cơ bản của môđun hữu hạn sinh, môđun biểu diễn hữu hạn và mối tương quan của chúng để thuận tiện cho việc triển khai chương 2. Chương 2: Môđun nội xạ và môđun FP-nội xạ Trình bày các khái niệm và các tính chất cơ bản của một môđun nội xạ, môđun FP-nội xạ và mối tương quan của chúng. 5. PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU Nghiên cứu lý thuyết bằng cách phân tích, tổng hợp từ nhiều tài liệu khác nhau về môđun nội xạ và môđun FP-nội xạ kết hợp với phương pháp sử dụng công cụ, kĩ thuật về môđun đã được học từ trước đó.
7 Chương 1. KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Trong chương này, chúng ta nhắc lại một số kiến thức cơ bản và những kết quả cần thiết cho việc nghiên cứu những vấn đề trong chương sau. Trước hết chúng ta xem những khái niệm môđun, đồng cấu, tổng trực tiếp, tích trực tiếp, dãy khớp, môđun tự do, các hàm tử Hom , môđun xạ ảnh là những khái niệm xem như đã biết. Độc giả muốn hiểu rõ có thể truy cập trong tài liệu tham khảo (quyển [1]). Những kiến thức cơ bản về Đại số đồng điều như phức, đồng điều, dãy đồng điều khớp, phép giải, hàm tử mở rộng cũng xem như đã biết (cũng có thể tham khảo ở quyển [1] trong danh sách các tài liệu tham khảo). Ở đây chúng ta chỉ đưa ra những khái niệm sâu hơn về các môđun hữu hạn sinh và môđun biểu diễn hữu hạn là những khái niệm chủ yếu liên quan đến nội dung chương 2.
8 1.1. Môđun hữu hạn sinh Khái niệm môđun hữu hạn sinh được xem là một trong những trường hợp đặc biệt của khái niệm môđun sinh bởi một tập. Chúng ta nhắc lại rằng, một môđun X sinh bởi tập S ⊆ X là môđun gồm tất cả các tổ hợp tuyến tính của S . Khi tập S là một tập hữu hạn thì chúng ta nhận được khái niệm sau đây: Định nghĩa 1.1.1. Môđun X được gọi là môđun hữu hạn sinh, nếu trong X có một hệ sinh hữu hạn. Một số ví dụ về môđun hữu hạn sinh và môđun không hữu hạn sinh: a) Cho R là một vành và n ∈ * . Ta có R -môđun R n là môđun hữu hạn { } sinh với hệ sinh của R n là ei : i ∈1, n trong đó ei là các phần tử có thành phần thứ i là 1 và các thành phần khác đều là 0. Đặc biệt, vành hệ tử R xem như R -môđun là môđun hữu hạn sinh. b) Nhóm cộng  không phải là một  -môđun hữu hạn sinh. Thật vậy, ta có thể chứng minh bằng phản chứng. Giả sử  được sinh bởi tập hữu a a a  = hạn S  1 , 2 ,..., n | ai ∈ , bi ∈ * , ∀i ∈1, n  ⊆  . Xét phần tử  b1 b2 bn  1 n ∈  , do  được sinh bởi S nên có c1 , c2 ,..., cn ∈  sao cho ∏b +1 i =1 i 1 n a d n  n  n = ∑= ci i n ∏ hay = bi d  ∏ bi + 1 i1  (trong đó ∏ bi + 1 ∏b i =1 bi =i 1 = i =i 1 =i 1 n n  n  =d ∑ ai ci ∏ b j ∈  ). Suy ra i =1 j ≠i ∏ i =1 bi chia hết cho  ∏ bi + 1 (vô lý).  i =1  Vậy  không phải là một  -môđun hữu hạn sinh.
9 Sau đây là một vài tính chất về môđun hữu hạn sinh liên quan tới các môđun con của môđun hữu hạn sinh, môđun thương của môđun hữu hạn sinh và tổng trực tiếp của các môđun hữu hạn sinh. Câu hỏi đặt ra là có phải các môđun đó cũng là môđun hữu hạn sinh hay không? Đầu tiên ta sẽ tìm hiểu về môđun thương của môđun hữu hạn sinh, nhưng trước hết, ta sẽ chứng minh định lý sau: χ σ Định lý 1.1.2. Cho dãy khớp ngắn 0 → A  → B  → C → 0 gồm các R - môđun và các đồng cấu. Khi đó: a) Nếu B là môđun hữu hạn sinh thì C là môđun hữu hạn sinh. b) Nếu A và C là các môđun hữu hạn sinh thì B là môđun hữu hạn sinh. Chứng minh. a) Giả sử B là môđun hữu hạn sinh. Khi đó tồn tại b1 , b2 ,..., bn ∈ B sao cho B = b1 , b2 ,..., bn . Do σ là toàn cấu nên với mỗi c ∈ C , tồn tại b ∈ B sao cho c = σ ( b ) . n Khi đó tồn tại r1 , r2 ,..., rn ∈ R sao cho b = ∑ rb i i . i =1 n Suy = (b) ra c σ= ∑ rσ ( b ) . i =1 i i Suy ra C được sinh bởi hệ: {σ ( b ) ,σ ( b ) ,...,σ ( b )} . 1 2 n Vậy C là môđun hữu hạn sinh. b) Giả sử A và C là các môđun hữu hạn sinh. Khi đó tồn tại a1 , a2 ,..., am ∈ A , c1 , c2 ,..., cn ∈ C sao cho A = a1 , a2 ,..., am và C = c1 , c2 ,..., cn .
10 Với mỗi i ∈1, n , do σ là toàn cấu nên có bi ∈ B sao cho ci = σ ( bi ) . Với mỗi b ∈ B , ta có σ ( b ) ∈ C nên tồn tại r1 , r2 ,..., rn ∈ R sao cho n n σ = (b) =i 1 =i 1 ∑ = rc i i ∑ rσ ( b ) . i i  n   n  Suy ra σ  b − ∑ rb i i = 0 hay  b − ∑ i i  ∈ ker σ = Im χ = χ ( A ) . rb  i =1   i =1  n Do đó tồn tại a ∈ A sao cho b − ∑ rb χ (a) . i i = i =1 Do a ∈ A =a1 , a2 ,..., am nên tồn tại rn +1 , rn + 2 ,..., rn + m ∈ R sao cho m n m a = ∑ rn +i ai . Suy= ra b i i∑ rb + ∑ r n +i χ ( ai ) . i =1 =i 1 =i 1 Điều này chứng tỏ B được sinh bởi hệ: {b , b ,..., b , χ ( a ) , χ ( a ) ,..., χ ( a )} . 1 2 n 1 2 m Vậy B là môđun hữu hạn sinh.  Cho các môđun A , B và đồng cấu g : A → B . Khi đó ta có hai dãy khớp ngắn: 0 → ker g  i → A  g → g ( A) → 0 và 0 → g ( A )  i → B  p →B →0 g ( A) Nếu A là môđun hữu hạn sinh thì theo định lý 1.1.2, ta có g ( A ) cũng là môđun hữu hạn sinh. Và nếu có thêm giả thiết B cũng là môđun hữu hạn g ( A) sinh thì B là môđun hữu hạn sinh. Như vậy, ta có:
11 Hệ quả 1.1.3. a) Ảnh đồng cấu của một môđun hữu hạn sinh là môđun hữu hạn sinh. Đặc biệt, môđun thương của môđun hữu hạn sinh là môđun hữu hạn sinh. b) Nếu A là môđun hữu hạn sinh và đồng cấu g : A → B thỏa B là g ( A) môđun hữu hạn sinh thì B cũng là môđun hữu hạn sinh. □ Câu hỏi tiếp theo là môđun tổng trực tiếp của các môđun hữu hạn sinh có phải là môđun hữu hạn sinh hay không? Nếu số thành phần trong tổng trực tiếp là hữu hạn thì câu trả lời là khẳng định, thông qua hệ quả sau: Hệ quả 1.1.4. Tổng trực tiếp hữu hạn của các môđun hữu hạn sinh là môđun hữu hạn sinh. Chứng minh. Ta sẽ chứng minh bằng quy nạp. Giả sử X 1 , X 2 là hai môđun hữu hạn sinh. Xét dãy khớp ngắn: 0 → X1 → X1 ⊕ X 2 → X 2 → 0 Theo định lý 1.1.2, ta có X 1 ⊕ X 2 là môđun hữu hạn sinh. Giả thiết tổng trực tiếp của n môđun hữu hạn sinh (với n ≥ 2 ) là môđun hữu hạn sinh. Ta sẽ chứng minh tổng trực tiếp của ( n + 1) môđun hữu hạn sinh cũng là môđun hữu hạn sinh. Xét X 1 , X 2 ,..., X n , X n +1 là ( n + 1) môđun hữu hạn sinh. Theo giả thiết quy nạp, n ta có ⊕ X i là môđun hữu hạn sinh. Xét dãy khớp ngắn: i =1 n n +1 0 → ⊕ X i → ⊕ X i → X n+1 → 0 =i 1 =i 1 n +1 Theo định lý 1.1.2, ta có ⊕ X i là môđun hữu hạn sinh. i =1
12 Vậy tổng trực tiếp hữu hạn của các môđun hữu hạn sinh là môđun hữu hạn sinh. □ Còn nếu số thành phần trong tổng trực tiếp của các môđun hữu hạn sinh khác 0 là vô hạn thì câu trả lời cho câu hỏi trên lại là phủ định. Định lý tiếp theo sẽ cho ta thấy điều đó. Định lý 1.1.5. Cho { X i }i∈I là một họ các R -môđun. Khi đó nếu ⊕ X i là một i∈I môđun hữu hạn sinh thì mỗi X i là môđun hữu hạn sinh và hầu hết X i = 0 , trừ ra một số hữu hạn. Chứng minh. Giả sử ⊕ X i là môđun hữu hạn sinh. i∈I Với mỗi k ∈ I , ta có đồng cấu pk : ⊕ X i → X k thỏa pk (( x ) ) = x i i∈I k là toàn cấu nên X= k pk ( ⊕ X i ) . Theo hệ quả 1.1.3 , ta có X k là môđun hữu hạn sinh. = Giả sử A {( x ) k i i∈I } : k ∈1, n là hệ sinh của ⊕ X i . Khi đó với mỗi k ∈1, n , vì i∈I (x )k i i∈I ∈ ⊕ X i nên hầu hết xik = 0 , trừ một số hữu hạn. i∈I { } Do đó tập xik ≠ 0 : i ∈ I , k ∈1, n là tập hữu hạn. Suy ra tập { j ( x ) ≠ 0 : i ∈ I , k ∈1, n} (trong đó i k i ji : X i → ⊕ X i là ánh xạ nhúng) i∈I là tập hữu hạn (*) . { } Nếu có vô hạn các X i ≠ 0 thì vì xik : k ∈1, n là hệ sinh của X i nên với mỗi i ∈ I mà X i ≠ 0 , tồn tại xik ∈ X i sao cho xik ≠ 0 . Do tập {i ∈ I | X i ≠ 0} là vô { } hạn và ji ( xik ) ≠ jm ( xml ) với mọi i ≠ m và nên tập i ∈ I | ji ( xik ) ≠ 0 là vô hạn (mâu thuẩn với (*) ).
13 Vậy hầu hết các X i = 0 . Trừ ra một số hữu hạn.  Câu hỏi cuối cùng trong phần này là môđun con của môđun hữu hạn sinh có nhất thiết phải là môđun hữu hạn sinh hay không? Và câu trả lời là không nhất thiết, thông qua ví dụ sau: ∞ Xét môđun hữu hạn sinh R = ∏  trên chính nó. Với mỗi i = 1, 2,... , gọi ei ∈ R i =1 là phần tử có thành phần thứ i là 1 và các thành phần khác đều là 0. Đặt ∞ ⊕ Rei ⊆ R là môđun con của R . Dễ thấy Rei là các môđun hữu hạn sinh A= i =1 khác 0 và do đó A là tổng trực tiếp của vô hạn các môđun hữu hạn sinh khác 0. Theo định lý 1.1.5, A không thể là môđun hữu hạn sinh. Như chúng ta đã biết, mỗi môđun X đẳng cấu với môđun thương của môđun tự do nào đó. Hay nói cách khác, mỗi môđun X luôn luôn có thể nhúng vào một dãy khớp ngắn 0 → K → F → X → 0 với F là môđun tự do. Khi X là môđun hữu hạn sinh, ta sẽ có kết quả sau: Định lý 1.1.6. Môđun X là hữu hạn sinh khi và chỉ khi tồn tại một dãy khớp ngắn 0 → K → F → X → 0 với F là môđun tự do hữu hạn sinh. Chứng minh. Cho X là môđun hữu hạn sinh. Khi đó tồn tại a1 , a2 ,..., an ∈ X sao cho X = a1 , a2 ,..., an . Gọi F là môđun tự do sinh bởi {a1 , a2 ,..., an } . Ánh xạ nhúng {a1 , a2 ,..., an } → X được mở rộng tới một đồng cấu duy nhất f : F → X . Dễ thấy f là toàn cấu. Đặt K = ker f . Ta có dãy: 0 → K  i → F  f →X →0 với i là đồng cấu nhúng, là một dãy khớp ngắn.
14 Ngược lại, cho 0 → K → F → X → 0 là một dãy khớp ngắn và F là một môđun tự do hữu hạn sinh. Theo định lý 1.1.2, ta có X là một môđun hữu hạn sinh.  Ta có thể xem định lý trên như là một định nghĩa khác của môđun hữu hạn sinh. Và khi ta siết chặt điều kiện tương đương của môđun hữu hạn sinh trong định lý 1.1.6 từ môđun K bất kì xuống thành môđun hữu hạn sinh K , ta sẽ được một lớp các môđun mới, được gọi là các môđun biểu diễn hữu hạn, sẽ được phát biểu ở phần sau.
15 1.2. Môđun biểu diễn hữu hạn Theo định lý 1.1.6, ta đã biết mỗi môđun hữu hạn sinh X đều nhúng được vào dãy khớp ngắn 0→K →F → X →0 với F là một môđun tự do hữu hạn sinh. Tuy nhiên K không phải lúc nào cũng là một môđun hữu hạn sinh. Ví dụ như dãy khớp ngắn 0→ A→ R→ R →0 A ∞ ∞ với R = ∏  và A = ⊕ Rei ⊆ R ( ei ∈ R là phần tử có thành phần thứ i là 1 còn i =1 i =1 các thành phần khác là 0), thì R là một môđun tự do hữu hạn sinh trên chính nó, R là R -môđun hữu hạn sinh và A không phải là R -môđun hữu hạn sinh. A Vậy môđun X phải thỏa điều kiện gì thì môđun K mới là môđun hữu hạn sinh? Câu hỏi đó dẫn đến xuất hiện khái niệm “môđun biểu diễn hữu hạn” như sau: Định nghĩa 1.2.1. Môđun X được gọi là môđun biểu diễn hữu hạn nếu tồn tại một dãy khớp ngắn 0 → K → F → X → 0 với F là một môđun tự do hữu hạn sinh và K là môđun hữu hạn sinh. Các ví dụ về môđun biểu diễn hữu hạn: a) Mỗi môđun tự do hữu hạn sinh X đều là môđun biểu diễn hữu hạn vì dãy 0→0→ X → X →0 là khớp. Nói cách khác, với mọi n ∈ * ta có R n là R -môđun biểu diễn hữu hạn. Đặc biệt, vành hệ tử R xem như R -môđun là môđun biểu diễn hữu hạn.
16 b) Vì mỗi dãy khớp có dạng 0 → K → F → X → 0 , với X là môđun xạ ảnh, đều là chẻ nên nếu F là môđun hữu hạn sinh thì K cũng là môđun hữu hạn sinh (do F ≅ K ⊕ X và định lý 1.1.5). Do đó mỗi môđun xạ ảnh X hữu hạn sinh đều là một môđun biểu diễn hữu hạn. Định nghĩa 1.2.1 cũng có thể được phát biểu dưới dạng tương đương sau: Định lý 1.2.2. R -môđun X là biểu diễn hữu hạn khi và chỉ khi tồn tại một dãy khớp R n → R m → X → 0 . Chứng minh. Giả sử X là R -môđun biểu diễn hữu hạn. Khi đó tồn tại một dãy khớp ngắn 0 → K  i → F  p → X → 0 với F là môđun tự do hữu hạn sinh và K là môđun hữu hạn sinh. Giả sử K được sinh bởi các phần tử a1 , a2 ,..., an . Gọi F ' là môđun tự do sinh bởi tập {a1 , a2 ,..., an } . Ánh xạ nhúng {a1 , a2 ,..., an } → K có thể mở rộng đến toàn cấu f : F ' → K . Xét dãy F '  if → F  p if if ( F= → X → 0 , ta có Im= ') i ( = K ) Im = i ker p . Vậy dãy trên là khớp. Vì F ' là R -môđun tự do có cơ sở gồm n phần tử nên F ' ≅ R n . Tương tự, vì F là R -môđun tự do hữu hạn sinh nên tồn tại m ∈  sao cho F ≅ R m . Vậy ta có dãy khớp R n → R m → X → 0 . Ngược lại, giả sử tồn tại dãy khớp R n  i → R m  p → X → 0 . Đặt = K ker= = p Im i i ( R n ) . Theo hệ quả 1.1.3, ta có K là môđun hữu hạn sinh. Dễ thấy dãy 0 → K  j → R m  p → X → 0 (trong đó j là ánh xạ nhúng) là khớp ngắn nên X là môđun biểu diễn hữu hạn. □ So sánh định nghĩa 1.2.1 và định lý 1.1.6, ta rút ra được định lý sau:
17 Định lý 1.2.3. Mỗi môđun biểu diễn hữu hạn là một môđun hữu hạn sinh.  Nhận xét. a) Theo như định nghĩa R và A ở đầu phần 1.2 thì A không là R -môđun hữu hạn sinh nên A không là môđun biểu diễn hữu hạn, còn R là môđun biểu diễn hữu hạn. Do đó môđun con của môđun biểu diễn hữu hạn không nhất thiết phải là môđun biểu diễn hữu hạn. b) Tổng trực tiếp của vô hạn các môđun biểu diễn hữu hạn khác không không phải là môđun biểu diễn hữu hạn. Thật vậy, nếu tổng trực tiếp của vô hạn các môđun biểu diễn hữu hạn khác không là môđun biểu diễn hữu hạn thì vì mỗi môđun biểu diễn hữu hạn là một môđun hữu hạn sinh nên có tồn tại một tổng trực tiếp của vô hạn các môđun hữu hạn sinh khác không là môđun hữu hạn sinh. Điều này là mâu thuẩn với định lý 1.1.5. Ta đã biết môđun thương của môđun hữu hạn sinh là môđun hữu hạn sinh. Câu hỏi đặt ra là môđun thương của môđun biểu diễn hữu hạn có nhất thiết phải là môđun biểu diễn hữu hạn hay không? Định lý tiếp theo sẽ cho ta thấy câu trả lời. Tuy nhiên để chứng minh định lý đó, ta cần kết quả sau:
18 Bổ đề Schanuel: χ σ χ' σ' Cho 0 → K  → P  → M → 0 và 0 → K '  → P '  → M → 0 là hai dãy khớp ngắn trong đó P, P ' là các môđun xạ ảnh. Khi đó, ta có K ⊕ P ' = K '⊕ P . Chứng minh. Do P là môđun xạ ảnh, ánh xạ σ ' là toàn cấu nên tồn tại đồng cấu β : P → P ' sao cho σ ' β = σ . Ta có σ ' βχ = 0 hay βχ ( K ) =Im βχ ⊆ ker σ ' =Im χ ' = χ ' ( K ') . = σχ Suy ra ( χ ') βχ ( K ) ⊆ K ' . Đặt −1 α :K →K' x  ( χ ') βχ ( x ) −1 Do χ ' là đơn cấu nên dễ dàng chứng minh được rằng α là ánh xạ và hơn nữa, α là đồng cấu. Từ biểu đồ giao hoán: χ σ 0 → K  → P  → M →0 ↓α ↓β ↓ 1M χ' σ' 0 → K '  → P '  →M → 0 Ta dễ dàng chứng minh dãy 0 → K  i π → P ⊕ K '  → P ' → 0 ( *) với i : x  ( χ ( x ) , α ( x ) ) và π : ( x, y )  β ( x ) − χ ' ( y ) , là khớp ngắn. Do P ' là xạ ảnh nên dãy (*) là chẻ, do đó P ⊕ K ' ≅ P '⊕ K .  χ σ Định lý 1.2.4. Cho dãy khớp ngắn 0 → A  → B  → C → 0 , ta có:
19 a) Nếu C là môđun biểu diễn hữu hạn và B là môđun xạ ảnh hữu hạn sinh thì A là môđun hữu hạn sinh. b) Nếu A là môđun hữu hạn sinh và B là môđun biểu diễn hữu hạn thì C là môđun biểu diễn hữu hạn. c) Nếu A và C là các môđun biểu diễn hữu hạn thì B là môđun biểu diễn hữu hạn. Chứng minh. a) Giả sử B là môđun xạ ảnh hữu hạn sinh và C là môđun biểu diễn hữu hạn. Khi đó tồn tại dãy khớp ngắn 0 → K → P → C → 0 với P là môđun tự do hữu hạn sinh và K là môđun hữu hạn sinh. Do B và P là các môđun xạ ảnh nên theo bổ đề Schanuel, ta có P⊕ A≅ B⊕K. Do B và K là các môđun hữu hạn sinh nên theo hệ quả 1.1.4, ta có B ⊕ K là môđun hữu hạn sinh. Do đó P ⊕ A là môđun hữu hạn sinh. Theo định lý 1.1.5, ta có A là môđun hữu hạn sinh. b) Giả sử B là môđun biểu diễn hữu hạn và A là môđun hữu hạn sinh. Theo định lý 1.2.3, B là môđun hữu hạn sinh và do đó C cũng là môđun hữu hạn sinh theo định lý 1.1.2. Khi đó dãy khớp ngắn 0 → A → B → C → 0 có thể nhúng được vào biểu đồ giao hoán: