Luận văn Thạc sĩ Toán học: Morita Context và một số lớp vành không giao hoán

Chia sẻ: Lavie Lavie | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:46

Thêm vào BST

Báo xấu

73
lượt xem 3
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Luận văn Thạc sĩ Toán học: Morita Context và một số lớp vành không giao hoán trình bày những vấn đề cơ bản của lý thuyết vành không giao hoán; khái niệm Morita Context và một số lớp vành không giao hoán. Với các bạn chuyên ngành Toán học thì đây là tài liệu hữu ích.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Luận văn Thạc sĩ Toán học: Morita Context và một số lớp vành không giao hoán

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH Nguyễn Đức Long MORITA CONTEXT VÀ MỘT SỐ LỚP VÀNH KHÔNG GIAO HOÁN Chuyên ngành: Đại số và Lý thuyết số Mã số: 60.46.05 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS.TS. BÙI TƯỜNG TRÍ Thành phố Hồ Chí Minh – 2012
2 LỜI CẢM ƠN Lời cảm ơn đầu tiên, tôi xin chân thành cảm ơn đến PGS.TS Bùi Tường Trí, người thầy đã hướng dẫn tận tình giúp tôi được hoàn thiện trong quá trình thực thi và hoàn thành luận văn này. Tôi cũng chân thành gởi lời cảm ơn đến quý thầy cô trong khoa Toán - Tin thuộc trường Đại Học Sư Phạm đã giảng dạy, truyền đạt kiến thức và giúp đỡ tôi trong quá trình học tập, nghiên cứu và hoàn thành chương trình đào tạo ở trường. Tôi cũng xin gởi lời cảm ơn đến các bạn cùng khóa. Và cuối cùng, tôi xin gởi lời cảm ơn đến gia đình mình. Do trình độ còn hạn chế nên luận văn này chắc chắn không thể tránh khỏi sai sót, kính mong sự thông cảm và góp ý của quý thầy cô. TP.HCM, Tháng 10 năm 2012 Tác giả Nguyễn Đức Long
3 MỤC LỤC Trang LỜI CẢM ƠN ....................................................................................................................... 2 MỤC LỤC ............................................................................................................................. 3 BẢNG KÍ HIỆU TOÁN HỌC .............................................................................................. 4 MỞ ĐẦU ............................................................................................................................... 5 CHƯƠNG I: NHỮNG VẤN ĐỀ CƠ BẢN CỦA LÝ THUYẾT VÀNH KHÔNG GIAO HOÁN ................................................................................................................................... 6 CHƯƠNG 2: KHÁI NIỆM MORITA CONTEXT VÀ MỘT SỐ LỚP VÀNH KHÔNG GIAO HOÁN ...................................................................................................................... 17 2.1. ĐỊNH LÝ GOLDIE:................................................................................................. 17 2.2. MORITA CONTEXT: ............................................................................................. 29 KẾT LUẬN ......................................................................................................................... 45 TÀI LIỆU THAM KHẢO ................................................................................................... 46
4 BẢNG KÍ HIỆU TOÁN HỌC End ( M ) Vành các tự đồng cấu của nhóm cộng M. EndM R Vành các tự đồng cấu của R-module phải M. Hom ( M , N ) Nhóm các đồng cấu module phải từ M đến N J ( R) Radical của vành R. Z ( R) Tâm của vành R. RS Vành các thương phải của vành R với tập con nhân S. l ( R),l (S ) Linh hóa tử trái, phải của tập S. Or ( I ) , Ol ( I ) Thứ tự phải và thứ tự trái của R-ideal phân thức phải u dim M chiều đều của module M.
5 MỞ ĐẦU 1. Lý do chọn đề tài: Trong lĩnh vực lý thuyết vành không giao hoán, ta đã biết việc xây dựng vành các thương của các vành không giao hoán là việc xây dựng trường các thương của miền nguyên và việc xây dựng nên vành các thương theo nghĩa Ore và Goldie. Việc xây dựng vành các thương theo nghĩa Ore và Goldie nhất thiết phải có các điều kiện mà ta gọi là điều kiện của Ore và Goldie. Ta cũng muốn biết khi nào thì 2 vành bất kỳ có chung tính chất Goldie Trong luận văn này, chúng tôi muốn đưa vào định nghĩa của vành Morita Context và sự tương đương Morita của 2 vành.Mục đích của luận văn là chúng tôi muốn giải quyết một số vành tương đương Morita thì có cùng những tính chất chung của 2 vành đó. Đặc biệt là tính chất Goldie của 2 vành được giữ nguyên trên tương đương Morita. 2. Cấu trúc luận văn Luận văn gồm hai chương Chương 1: Những vấn đề cơ bản của lý thuyết vành không giao hoán. Trong chương này luận văn trình bày một số kiến thức cơ bản của lý thuyết vành không giao hoán có liên quan đặc biệt ở chương sau. Luận văn chỉ phát biểu các định lý,bổ đề, các hệ quả và không đi sâu vào chứng minh. Chương 2: Chúng tôi đưa ra định nghĩa vành Morita Context, dẫn ra mối quan hệ giữa Morita Context và lớp các vành Noether.Tiếp theo chúng tôi đưa vào khái niệm Morita tương đương từ đó đưa ra những tính chất bất biến Morita, đặc biệt là tính chất Goldie nửa nguyên tố cũng là tính chất bất biến Morita.
6 CHƯƠNG I NHỮNG VẤN ĐỀ CƠ BẢN CỦA LÝ THUYẾT VÀNH KHÔNG GIAO HOÁN 1.1. Định nghĩa nhóm: Cho tập hợp R khác rỗng. R được gọi là nhóm nếu R là một nửa nhóm đồng thời thỏa mãn các điều kiện: i) ∃e ∈ R : ∀x ∈ R thì e.x=x;x.e=x ii) ∀x ∈ R, ∃y ∈ R : x. y= y.x= e e được gọi là phần tử đơn vị . 1.2. Định nghĩa vành: Cho tập hợp R ≠ ∅ , trên R ta trang bị hai phép toán được ký hiệu là “+” và “.” . Ta nói R, +,. là một vành nếu các điều kiện sau được thỏa mãn: i) R, + là một nhóm giao hoán. ii) R,. là một nửa nhóm. iii) Phép nhân phân phối đối với phép cộng, tức là với các phần tử tùy ý x, y, z ∈ R ta có: x ( y + z ) = xy + xz và ( y + z ) x =yx + zx . Nếu phép nhân là giao hoán thì ta gọi R là vành giao hoán, nếu phép nhân có phần tử đơn vị thì ta gọi R là vành có đơn vị. 1.3. Định nghĩa vành con: Một bộ phận A ≠ ∅ của vành R cùng với hai phép toán của vành cảm sinh trên A thành một vành thì ta nói A là vành con của vành R.
7 1.4. Định nghĩa ideal của một vành : Cho R là một vành, một vành con A của R được gọi là ideal trái(phải) của vành R nếu thỏa điều kiện ra ∈ A ( ar ∈ A) , ∀a ∈ A, ∀r ∈ R Vành con A của R được gọi là ideal của vành R nếu A vừa là ideal trái vừa là ideal phải của vành R. 1.4.1. Định nghĩa: Ideal A của R được gọi là ideal tối tiểu nếu A ≠ {0} , và thỏa: ∀B là ideal của R, B ⊂ A, A ≠ B thì B = 0 1.4.2. Định nghĩa: Ideal A của R được gọi là ideal tối đại nếu A ≠ R , và thỏa: ∀B là ideal của R, A ⊂ B, A ≠ B thì B = R 1.5. Định nghĩa: Cho R là một vành có đơn vị. Nếu mọi phần tử khác 0 trong R đều khả nghịch ( đối với phép nhân ) thì R được gọi là một thể (hay vành chia). 1.6. Định nghĩa: Một thể giao hoán được gọi là một trường. 1.7. Định nghĩa: Cho R là một vành tùy ý và M là một nhóm cộng aben.M được gọi là R-module phải nếu tồn tại ánh xạ f : M × R → M , ( m, r )  mr thỏa: i) m ( a + b ) = ma + mb ii) ( m + n ) a =ma + na iii) ( ma ) b = m ( ab ) ∀m, n ∈ M ; a, b ∈ R
8 Nếu R có chứa phần tử đơn vị 1 và m1 = m, ∀m ∈ M thì ta gọi M là R- module Unitary 0 thì r = 0 . M được gọi là R-module trung thành nếu r ∈ R : M .r = Điều này có nghĩa nếu r ≠ 0 thì M .r ≠ 0 1.7.1. Định nghĩa: • Giả sử: M là một R-module, đặt End ( M ) là tập các tự đồng cấu của nhóm cộng M thì End ( M ) là vành với hai phép toán + và . được định nghĩa như sau: ( g1 + g 2 ) m = g1 ( m ) + g 2 ( m ) (= g1 g 2 ) m g1 ( g 2 ( m ) ) , ∀m ∈ M , g1 , g 2 ∈ End ( M ) • Khi M là R-module thì ∀r ∈ R ,ánh xạ: TR : M → M m  mr , ∀m ∈ M là một tự đồng cấu nhóm của M. vậy TR ∈ End ( M ), ∀r ∈ R Ánh xạ f ( r ) = TR xác định một đồng cấu vành từ R vào End ( M ) Định nghĩa tương tự cho lớp các ánh xạ bên trái LR ( m ) = rm 1.7.2. Định nghĩa : Cho M là R-module, A(M) là tập hợp các phần tử của R linh hóa toàn bộ M {r ∈ R M .r = A( M ) = 0} Bổ đề 1.7.1. {r ∈ R M .r = A( M ) = 0} là ideal hai phía của R và M là R A( M ) - module trung thành.
9 M là R- module trung thành ⇔ A ( M ) = 0 1.7.3. Định nghĩa module bất khả quy: M được gọi là R-module bất khả quy nếu MR ≠ 0 và M không có module con thực sự nào, tức là M chỉ có 2 module con tầm thường là 0 và M. 1.7.4. Định nghĩa: Cho M là R-module, ta gọi tâm của M trên R là tập hợp: {ρ ∈ E ( M ) : ρ0Tr = C (M ) = Tr 0 ρ } Với Tr : M → M m  mTr = mr Định lý 1.7.2. (bổ đề Schur): Nếu M là R-module bất khả quy thì C(M) là một thể ( hay vành chia). Chứng minh: Hiển nhiên C(M) là vành con của E(M). Do đó C(M) là một vành. Ta cần chứng minh ∀ϕ ∈ C ( M ) và ϕ ≠ 0 đều là phần tử khả nghịch trong C(M). thật vậy, do ϕ ≠ 0 nên M ϕ ≠ 0 và M ϕ cũng là module con của M. Theo giả thiết M là R-module bất khả quy nên ta có: M ϕ = M suy ra ϕ là toàn cấu. Hơn nữa ϕ là đơn cấu, do Kerϕ = 0 . thật vậy, giả sử Kerϕ ≠ 0 thì do M là R-module bất khả quy nên Kerϕ = M khi đó ϕ = 0 (mâu thuẫn). Tóm lại, ta có ϕ là đẳng cấu. Suy ra tồn tại đẳng cấu ngược ϕ −1 ∈ E ( M ) Khi đó ta có:
10 ϕ ∈ C ( M ) ⇔ ϕTr = Trϕ , r ∈ R ⇒ ϕ −1ϕT = ϕ −1Trϕ , r ∈ R ⇒ = Tr ϕ −1Trϕ , r ∈ R ⇒ Trϕ −1 = ϕ −1Tr , r ∈ R ⇒ ϕ −1 ∈ C ( M ) Bổ đề 1.7.3. Nếu M là R-module bất khả quy thì M  R ρ với ρ là ideal phải,tối đại của R. Hơn nữa ∃a ∈ R : x − ax ∈ ρ , ∀x ∈ R , ρ được gọi là ideal phải chính quy. Ngược lại, nếu ρ là ideal phải, tối đại và chính quy thì R- module thương R ρ là R-module bất khả quy. Chứng minh: Giả sử : M là R-module bất khả quy, khi đó MR ≠ 0 . Đặt: {m M mR = S =∈ 0} Dễ dàng kiểm tra được S là module con của M. Nếu S ≠ ( 0 ) thì S = M ( do M là module bất khả quy), Suy ra MR = ( 0 ) ( mâu thuẫn). Do đó: S=(0) ,nghĩa là ∀m ∈ M và m ≠ 0 thì mR ≠ 0 . Mặt khác: mR là module con của M và M là module bất khả quy. Do đó, nếu m ∈ M và m ≠ 0 thì mR = M . Lấy m ∈ M và m ≠ 0 ,xét ánh xạ: φ : R → M ; r  mr Dễ dàng kiểm tra, φ là đồng cấu. Hơn nữa, mR = M nên φ là toàn cấu. Theo định lý Noether, ta có đẳng cấu R kerφ ≅ M .
11 Đặt ρ = kerφ . Ta sẽ chứng minh ρ là ideal phải, tối đại và chính quy của R. Hiển nhiên ρ là ideal phải của R. • ρ là tối đại. Giả sử có ρ ' là ideal phải của R sao cho ρ  ρ ' . Khi đó ρ ' ρ là module con của R ρ . Do R ρ ≅ M là R- module bất khả quy nên ρ ' ρ = R ρ Suy ra ρ ' = R . Do đó ρ ' là ideal phải tối đại của R. • ρ chính quy. Từ đẳng thức mR = M , ta suy ra tồn tại r ∈ R sao cho mr = m . Khi đó, ∀x ∈ R : m ( x − rx )= mx − mrx= mx − mx= 0 ⇒ x − rx ∈ ρ Ngược lại, giả sử ρ là ideal phải, tối đại và chính quy của R. Ta sẽ chứng minh R ρ là R-module bất khả quy. ( R ρ ) R ≠ ( 0) Do ρ là ideal phải, chính quy nên tồn tại r ∈ R sao cho x − rx ∈ ρ , ∀x ∈ R . Từ đó suy ra phải có x ∈ R sao cho rx ∉ ρ . Thật vậy, nếu ∀x ∈ R đều có rx ∈ ρ thì x ∈ ρ , ∀x ∈ R ⇒ ρ =R (mâu thuẫn) Khi đó ( r + ρ ) x ≠ 0 . Do ρ là ideal phải tối đại nên R ρ không có module con thật sự. Do đó R ρ là R-module bất khả quy.
12 1.8. Radical của một vành: Radical của vành R, ký hiệu là J(R),là tập hợp các phần tử của R mà linh hóa tất cả các module bất khả quy của R . Khi đó J ( R ) = ∩ A ( M ) với M là R-module bất khả quy. J(R) là ideal hai phía của R. 1.8.1 Định nghĩa: Nếu ρ là ideal phải của R thì ( ρ : R ) =∈ { x R : Rx ⊂ ρ} Bổ đề 1.8.1.1. Nếu ρ là ideal phải chính quy của R thì ( ρ : R ) là ideal hai phía lớn nhất của R nằm trong ρ . Nếu ρ là ideal phải tối đại chính quy của R thì A ( M ) = ( ρ : R ) M là R-module bất khả quy thì M có dạng R ρ trong đó ρ là ideal phải tối đại chính quy. Định lý 1.8.1.2. J ( R ) = ∩ ( ρ : R ) với ρ là ideal phải tối đại chính quy của R. Bổ đề 1.8.1.3. Nếu ρ là ideal chính quy của R ( ρ ≠ R ) thì ρ có thể nhúng vào một ideal phải chính quy tối đại nào đó. Định lý 1.8.1.4. J ( R ) = ∩ ρ với ρ là ideal phải tối đại chính quy của R. 1.8.2. Định nghĩa • a ∈ R được gọi là tựa chính quy phải nếu ∃a ' ∈ R : a + a '+ aa ' =0 • a’ được gọi là tựa nghịch đảo phải của a.
13 • Tương tự cho tựa chính quy trái , tựa nghịch đảo trái. 1.8.3. Định nghĩa: Một ideal được gọi là ideal tựa chính quy phải nếu mọi phần tử của nó là tựa chính quy phải. Định lý 1.8.3.1. J(R) là ideal tựa chính quy phải và chứa mọi ideal tựa chính quy phải, tức là J(R) là ideal tựa chính quy tối đại duy nhất của R. 1.8.4. Định nghĩa: i) Phần tử a ∈ R được gọi là lũy linh nếu ∃n ∈ N : a n =0 ii) Ideal phải (trái) của R được gọi là nil-ideal phải(trái) nếu mọi phần tử của nó đều lũy linh . iii) Ideal phải (trái) ρ của R được gọi là ideal lũy linh phải(trái) nếu ∃m ∈ N : a1.a2 ...am = 0, ∀ai ∈ ρ tức là ∃m ∈ N : ρ m =0  Nhận xét: • Nếu ρ là lũy linh thì ρ là nil-ideal nhưng điều ngược lại không đúng. • Mọi phần tử lũy linh đều tựa chính quy. • J(R) chứa mọi là nil-ideal một phía. • Nếu R có ideal lũy linh khác 0 thì R có ideal hai phía lũy linh khác 0. 1.8.5. Định nghĩa vành J-nửa đơn: Vành R được gọi là J-nửa đơn ⇔ J ( R ) = 0 Định lý 1.8.5.1. R là vành J-nửa đơn. J ( R)
14 Định lý 1.8.5.2 ( A) J ( R ) ∩ A Nếu A là ideal hai phía của vành R thì J= Bổ đề 1.8.5.3. Mọi ideal hai phía A của vành J-nửa đơn R đều là vành J-nửa đơn. Định lý 1.8.5.4 J ( M n ( R ) ) = M n ( J ( R ) ) với M n ( R ) là vành các ma trận vuông cấp n lấy hệ tử trong vành không giao hoán R nào đó. 1.8.6. Định nghĩa vành Artin Vành R được gọi là vành Artin phải nếu mọi tập khác rỗng các ideal phải của R đều có phần tử tối tiểu. Hoặc: Vành R được gọi là vành Artin phải nếu mọi dãy giảm các ideal phải ρi của R sẽ dừng sau hữu hạn bước, nghĩa là đến một điểm nào đó các ρi đều bằng nhau. (Vành R được gọi là vành Artin trái nếu mọi dãy giảm các ideal trái ρi của R sẽ dừng sau hữu hạn bước, nghĩa là đến một điểm nào đó các ρi đều bằng nhau). Nhận xét: • Trường, thể là vành Artin. • Tổng trực tiếp của một số hữu hạn các vành Artin là vành Artin. • Mọi vành chỉ có hữu hạn các ideal phải(trái) là vành Artin. • Vành các ma trận vuông cấp n trên một trường hay thể là vành Artin. • Ảnh đồng cấu của vành Artin là vành Artin.
15 1.8.7. Định nghĩa vành Noether: Một vành được gọi là vành Noether phải nếu bất kỳ tập hợp khác rỗng các ideal phải đều có phần tử tối đại. Hoặc: Vành R được gọi là vành Noether phải nếu mọi dãy tăng các ideal phải ρi của R sẽ dừng sau hữu hạn bước, nghĩa là đến một điểm nào đó các ρi đều bằng nhau. Định lý 1.8.7.1. Nếu R là vành Artin thì J(R) là một ideal lũy linh. Hệ quả 1.8.7.2. Trong vành Artin, mọi nil-ideal đều là ideal lũy linh. Nhận xét: Giả sử R là vành tùy ý, nếu R có ideal phải, lũy linh,khác 0 thì R sẽ có ideal phải hai phía, lũy linh khác (0) 1.8.7.1.Định nghĩa: Phần tử e ∈ R được gọi là lũy đẳng nếu e 2 = e Bổ đề 1.8.7.3. Giả sử R là một vành không có ideal lũy linh khác (0), giả sử ρ ≠ 0 là ideal phải(trái) tối tiểu của vành R. khi đó ρ là ideal chính sinh bởi phần tử lũy đẳng nào đó trong R: ρ = eR . Nhận xét: Trong vành không có ideal lũy linh khác (0) thì mọi ideal phải(trái) khác (0), tối tiểu đều là ideal chính sinh bởi phần tử lũy đẳng.
16 Bổ đề 1.8.7.4. Cho R là vành tùy ý , a ∈ R sao cho a 2 − a lũy linh. Khi đó, hoặc chính a lũy linh hoặc tồn tại đa thức q(x) với hệ số nguyên sao cho e = aq ( x ) là phần tử lũy đẳng khác 0. 1.8.8. Định nghĩa vành nguyên thủy: Vành R được gọi là vành nguyên thủy nếu nó có một R-module bất khả quy và trung thành. Nhận xét: Vành nguyên thủy là vành J-nửa đơn. 1.8.9. Định nghĩa vành đơn: Vành R được gọi là vành đơn nếu R 2 ≠ 0 và trong R không có ideal thực sự ngoài 0 và R. 1.8.10. Định nghĩa vành nguyên tố: Vành R được gọi là vành nguyên tố nếu với mọi a, b ∈ R thì từ đẳng thức aRb = ( 0 ) , ta suy ra a=0 hay b=0. Nhận xét: 1. Vành R là nguyên tố nếu và chỉ nếu nó thỏa mãn một trong các điều kiện sau: a) Linh hóa tử bên phải của một ideal phải khác (0) của R phải bằng (0). b) Linh hóa tử bên trái của một ideal trái khác (0) của R phải bằng (0). c) Nếu A,B là hai ideal của R và AB=(0) thì ta suy ra A=(0) hoặc B=(0). 2. Mọi vành nguyên thủy đều là vành nguyên tố.
17 CHƯƠNG 2 KHÁI NIỆM MORITA CONTEXT VÀ MỘT SỐ LỚP VÀNH KHÔNG GIAO HOÁN Trong chương này, chúng tôi trình bày khái niệm về vành Morita Context và sự tương đương Morita của 2 vành và sự tương đương Morita của 2 vành thì có cùng một tính chất được giữ nguyên trên 2 vành tương đương Morita mà ta gọi là tính chất bất biến Morita. Từ đó ta xét mối liên hệ của Morita Context với các vành không giao hoán. Để chuẩn bị cho phần này, chúng tôi đưa vào một số định nghĩa và một vài tính chất có được mà không đi sâu vào chứng minh. 2.1. ĐỊNH LÝ GOLDIE: 2.1.1. Định nghĩa: Một phần tử của vành R được gọi là chính quy nếu nó không có cả ước trái lẫn ước phải của không trong R. 2.1.2. Định nghĩa: Vành Q ( R ) ⊃ R được gọi là vành các thương của R nếu: i) Mọi phần tử chính quy trong R đều khả nghịch trong Q ( R ) . ii) Mỗi phần tử q ∈ Q ( R ) đều có dạng rs −1 với r , s ∈ R và s là chính quy. Nếu Q ( R ) là vành các thương phải của R thì ta nói R là một thứ tự phải trong Q ( R ) . Ta gọi tắt vành các thương phải là vành các thương của R. 2.1.3. Định nghĩa: Cho Q là vành thương phải của R, một tập con S của R thỏa điều kiện Ore phải nếu với mỗi r ∈ R và s ∈ S tồn tại r ' ∈ R, s ' ∈ S sao cho rs ' = sr ' .
18 Định lý 2.1.3.1. (Điều kiện Ore) Điều kiện cần và đủ để vành R có vành các thương phải là cho r , s ∈ R với s là phần tử chính quy thì tồn tại r1 , s1 ∈ R với s1 chính quy sao cho rs1 = sr1 . Chứng minh: Nếu Q ( R ) tồn tại thì với b là chính quy trong R, phần tử b −1a thuộc Q ( R ) nên b −1a = a1b1−1 với a1 , b1 ∈ R và b1 là chính quy. Do đó ab1 = ba1 Ngược lại, giả sử điều kiện Ore thỏa mãn. Đặt M = {( a, b ) a, b ∈ R, bchínhquy} Trong M, ta xây dựng quan hệ ( a, b )  ( c, d ) nếu bc1 = da1 với ac1 = ca1 và a1 chính quy,từ đó c1 cũng chính quy. Ta chứng minh đẳng thức trên không phụ thuộc vào sự lựa chọn a1 , c1 nhân vào bên phải a,c. Thật vậy, nếu ac2 = ca2 ta có m1 , m2 chính quy sao cho a1m1 = a2 m2 . Khi đó: ac =1m1 = ca1m1 ca= 2 m2 ac2 m2 Do a là chính quy nên ta suy ra c1m1 = c2 m2 . Từ đẳng thức bc1 = da1 ta suy ra bc= 2 m2 = bc1m1 = da1m1 da2 m2 Mà m2 chính quy nên ta có bc2 = da2 . Ta kiểm tra được quan hệ trong M như trên là quan hệ tương đương. Lớp tương đương các cặp ( a, b ) sẽ ký hiệu là a b . Đặt N là tập các lớp tương đương trong M. Trong M ta trang bị 2 phép toán để nó trở thành một vành:
19 ( ad1 + cb1 ) Với a b , c d trong M, ta định nghĩa a b + c d = với ( db1 ) bd1 = db1 và b1 , d1 là chính quy. Tương tự, định nghĩa phép nhân a b c d = ( 1 )( )( ) af với bf1 = cb1 và ( db1 ) f1 chính quy trong R. Kiểm tra dễ dàng các phép toán trên được định nghĩa tốt và M thỏa mãn các tính chất của Q ( R ) trong định nghĩa vành thương. 2.1.4. Định nghĩa: Cho S là một tập khác rỗng, đặt r ( S ) = { x ∈ R sx = 0, ∀s ∈ S } , ta gọi r ( S ) là linh hóa tử phải của S và r ( S ) là ideal phải của R.  Nhận xét: l (S ) = { x ∈ R xs = 0, ∀s ∈ S } là linh hóa tử trái của S. ( a ) l= Phần tử a ∈ R là chính quy khi và chỉ khi r = (a) ( 0) 2.1.5. Định nghĩa: R-module M ⊃ N gọi là mở rộng cốt yếu của N nếu với mọi module con X khác (0) của M ta có N ∩ X ≠ 0 . Chú ý: i) M ⊃ N là một mở rộng cốt yếu của N, ta nói N là một module con cốt yếu của M, ký hiệu là N ⊂ e M ii) N ⊂ e M khi và chỉ khi với bất kỳ các phần tử khác không a ∈ M , tồn tại r ∈ R sao cho 0 ≠ ar ∈ N . iii) Nếu N ⊂ e M và M ⊂ e M ' thì N ⊂ e M '
20 Bổ đề 2.1.5.1. i) Nếu R là vành nguyên tố và I là một ideal khác 0 thì I ⊂ e RR ii) Nếu N là một ideal lũy linh của vành R thì lannN ⊂ e RR Chứng minh: i) Nếu 0 ≠ X ⊂ R thì 0 ≠ XI ⊂ X ∩ I ii) Nếu 0 ≠ X ⊂ R ,chọn k sao cho XN k ≠ 0 nhưng XN k +1 = 0 khi đó XN k ⊆ X ∩ lannN 2.1.6. Định nghĩa: Module U được gọi là đều nếu U ≠ 0 và mỗi module con khác không của U là cốt yếu. 2.1.7. Định nghĩa: Module M có chiều đều hữu hạn nếu nó không chứa tổng trực tiếp vô hạn các module con khác không. Định lý 2.1.7.1 Cho M là module có chiều đều hữu hạn và đặt ⊕in=1U i là tổng trực tiếp hữu hạn các module con đều của M là cốt yếu trong M. Khi đó: i) Mọi tổng trực tiếp các module con khác 0 của M có tối đa n hạng tử. ii) Một tổng trực tiếp các module con của M là cốt yếu trong M nếu và chỉ nếu M là tổng trực tiếp của đúng n hạng tử. Chú ý: Số nguyên không âm n trong định lý gọi là chiều đều(hay chiều Goldie) của M, ký hiệu là udimM. Nếu M không có chiều đều hữu hạn, ta viết u dim M = ∞