ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
------------------
Phạm Thị Hồng Quyền
CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN
VÀ ỨNG DỤNG
LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC
Chuyên ngành: PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP
Mã số: 60.46.01.13
Người hướng dẫn khoa học
GS. TSKH. NGUYỄN VĂN MẬU
HÀ NỘI - NĂM 2013
Mục lục
Mở đầu 3
1 Kiến thức cơ bản của tích phân 6
1.1 Định nghĩa và các tính chất của nguyên hàm . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.1.1 Địnhnghĩa ............................. 6
1.1.2 Các tính chất của nguyên hàm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.2 Định nghĩa và các tính chất liên quan của tích phân . . . . . . . . . . . 7
1.2.1 Địnhnghĩa ............................. 7
1.2.2 Các tính chất của tích phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.2.3 Công thức Newton-Leibniz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.3 Cáclớphàmkhảtích............................ 10
1.4 Các định lý về giá trị trung bình . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2 Các phương pháp tính tích phân 13
2.1 Phương pháp đổi biến và tích phân từng phần . . . . . . . . . . . . . . 13
2.2 Một số phương pháp tính tích phân dưới dạng hiển . . . . . . . . . . . 15
2.2.1 Tích phân của hàm hữu tỉ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.2.2 Tích phân của hàm vô tỉ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.2.3 Tích phân của hàm lượng giác . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2.3 Một số phương pháp tính tích phân đặc biệt . . . . . . . . . . . . . . . 35
2.3.1 Tích phân đối với hàm chẵn và lẻ . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
2.3.2 Tích phân đối với các hàm đặc trưng đặc biệt . . . . . . . . . . 40
2.3.3 Tích phân đối với hàm tuần hoàn . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
2.3.4 Sử dụng các hệ thức truy hồi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
3 Một số ứng dụng của tích phân 53
3.1 Một số ứng dụng của tích phân trong đại số và giải tích . . . . . . . . . 53
3.1.1 Ứng dụng của tích phân vào chứng minh đẳng thức . . . . . . . 53
3.1.2 Ứng dụng của tích phân vào chứng minh bất đẳng thức . . . . 56
3.1.3 Ứng dụng của tích phân trong các bài toán cực trị . . . . . . . . 60
3.1.4 Ứng dụng của tích phân vào phương trình, bất phương trình . . 63
3.1.5 Ứng dụng tích phân trong tính giới hạn của dãy số . . . . . . . 70
3.1.6 Ứng dụng tích phân trong xét sự hội tụ, phân kỳ của chuỗi số . 71
3.2 Một số ứng dụng của tích phân trong hình học . . . . . . . . . . . . . . 74
3.2.1 Tínhđộdàicung .......................... 74
3.2.2 Tính diện tích hình phẳng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
1
3.2.3 Tính thể tích của một vật thể . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
3.3 Một số ứng dụng của tích phân trong đời sống . . . . . . . . . . . . . . 90
3.3.1 Tính công và nhiệt lương . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
3.3.2 Tính mô men quay và khối tâm . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
Kết luận 99
Tài liệu tham khảo 100
2
MỞ ĐẦU
Phép tính tích phân là một phần quan trọng của giải tích toán học. Các
học sinh năm cuối của bậc trung học phổ thông và các sinh viên năm thứ
nhất của bậc đại học thường gặp một số khó khăn trong việc học và ứng
dụng của chuyên đề này. Những người mới làm quen với tích phân thường
chưa hiểu cặn kẽ tư tưởng cũng như phương pháp tiếp cận lý thuyết đặc
biệt là khâu vận dụng các kiến thức vào giải các bài toán trong thực tế.
Ngoài ra trong các kỳ thi học sinh giỏi Toán quốc gia, Olympic Toán sinh
viên toàn quốc thì các bài toán liên quan đến tích phân cũng hay đề cập
đến và được xem như một dạng khó. Chính vì thế mà tích phân có vị trí
rất đặc biệt trong toán học.
Để các em học sinh, sinh viên và bạn đọc mỗi khi giải các bài toán về
tích phân không phải lúng túng khi đưa ra phương pháp giải thì tôi đã
chọn cho mình luận văn với đề tài "các phương pháp tính tích phân và
ứng dụng" nhằm phần nào giúp đỡ được người học định hình được cách
giải một số bài toán một cách nhanh nhất.
Ngoài phần mở đầu và kết luận, luận văn được chia làm 3 chương đề
cập đến các vấn đề sau:
Chương I. Kiến thức cơ bản của tích phân.
Trong chương này, một số kiến thức cơ bản được nhắc lại. Luận văn
nhắc lại định nghĩa nguyên hàm, tích phân, một số định lý và đặc biệt
khai thác một số tính chất của lớp hàm cần tính tích phân, công thức
Newton-Leibniz, các lớp hàm khả tích, định lý về giá trị trung bình.
Chương II. Các phương pháp tính tích phân.
Ở chương này luận văn đề cập đến các phương pháp tính tích phân, từ
các phương pháp đó vận dụng vào giải một số ví dụ minh họa. Ngoài ra
ở chương này đã khai thác triệt để các lớp hàm đặc biệt để đưa các tích
phân tính toán phức tạp, cồng kềnh về các tích phân tính toán đơn giản.
Chương III. Ứng dụng của tích phân.
Chương này được chia ra thành ba phần: ứng dụng của tích phân trong
3
đại số và giải tích, ứng dụng của tích phân trong hình học, ứng dụng của
tích phân trong đời sống.
4
