Luận văn Thạc sĩ Toán học: Tính hút trong thời gian hữu hạn đối với nghiệm của phương trình vi phân cấp phân số nửa tuyến tính

Luận văn này nghiên cứu về tính hữu hạn thời gian của nghiệm cho phương trình vi phân cấp phân số nửa tuyến tính trong không gian Banach. Bài toán được đặt ra là xét tính hút (attractivity) và tính hút module (asymptotic attractivity) trong thời gian hữu hạn đối với nghiệm của phương trình vi phân cấp phân số dạng: Dα 0 u(t) = Au(t) + f(u(t)), t ∈ (0, T ], trong đó A là toán tử tuyến tính sinh ra nửa nhóm C0 trên không gian Banach X, và f là hàm phi tuyến. Mục tiêu là thiết lập các điều kiện để chứng minh tính hút trong thời gian hữu hạn cho nghiệm của phương trình trên, dưới giả thiết hàm phi tuyến f có tăng trưởng trên tuyến tính. Nghiên cứu dựa trên lý thuyết giải tích bậc phân số và các ước lượng nghiệm.

Nghiên cứu tính hút và hút module trong thời gian hữu hạn đối với nghiệm của hệ vi phân (1).

Luận văn tập trung vào việc nghiên cứu tính hút trong thời gian hữu hạn cho nghiệm của phương trình vi phân cấp phân số nửa tuyến tính trong không gian Banach. Các kết quả chính bao gồm:

1. **Tính giải được toàn cục (global solvability)** của bài toán Cauchy khi hàm phi tuyến có tăng trưởng trên tuyến tính. Điều này đảm bảo sự tồn tại nghiệm của phương trình.
2. **Điều kiện đủ** để đảm bảo tính hút module của nghiệm. Điều kiện này liên quan đến tính chất của nửa nhóm sinh bởi toán tử A và hàm phi tuyến f.
3. **Ứng dụng** các kết quả trừu tượng cho một lớp phương trình đạo hàm riêng cấp phân số nửa tuyến tính, cụ thể là phương trình khuếch tán chậm.
4. **Kết quả về tính hút tuyến tính hóa** cho hệ (0.2) được chứng minh.
5. **Bổ đề và mệnh đề hỗ trợ**: Luận văn cũng trình bày một số bổ đề và mệnh đề quan trọng, bao gồm các ước lượng liên quan đến độ đo không compact, định lý điểm bất động, và các bất đẳng thức Gronwall dạng phân số. Các kết quả này đóng vai trò then chốt trong việc chứng minh các định lý chính.