MÔ HÌNH HÓA, NHẬN DẠNG VÀ MÔ PHỎNG - CHƯƠNG 4

Chia sẻ: Nguyễn Nhi | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:0

Thêm vào BST

Báo xấu

191
lượt xem 49
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Tài liệu tham khảo bài giảng mô hình hóa, nhận dạng và mô phỏng bộ môn điều khiển tự động Khoa điện - điện tử - Chương 4 Nhận dạng mô hình có tham số

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: MÔ HÌNH HÓA, NHẬN DẠNG VÀ MÔ PHỎNG - CHƯƠNG 4

1 Chương 4: NHẬN DẠNG MÔ HÌNH CÓ THAM SỐ Chương 4 NHẬN DẠNG MÔ HÌNH CÓ THAM SỐ Chương 4: NHẬN DẠNG MÔ HÌNH CÓ THAM SỐ 4.1. Phương pháp sai số dự báo 4.2. Mô hình hệ tuyến tính bất biến 4.3. Mô hình hệ phi tuyến 4.4. Các phương pháp ước lượng tham số 4.5. Thuật toán lặp và thuật toán đệ qui ước lượng tham số Tham khảo: [1] L. Ljung (1999), System Identification – Theory for the user. chương 3, 4, 5, 7, 10. [2] R. Johansson (1994), System Modeling and Identification. chương 5, 6, 11, 14. 4.1 PHƯƠNG PHÁP SAI SỐ DỰ BÁO 4.1.1 Bài toán cơ bản: Mô hình ARX và phương pháp bình phương tối thiểu Mô hình Cho hệ thống có tín hiệu vào là u(t), tín hiệu ra là y(t). e(t) u(t) y(t) Hệ thống Hình 4.1: Hệ thống Giả sử ta thu thập được N mẫu dữ liệu: Z N = {u (1), y (1), K , u ( N ), y ( N )} (4.1) Ta cần nhận dạng mô hình toán của hệ thống.  Huỳnh Thái Hoàng – Bộ môn Điều khiển Tự động
2 Chương 4: NHẬN DẠNG MÔ HÌNH CÓ THAM SỐ Giả sử quan hệ giữa tín hiệu vào và tín hiệu ra của hệ thống rời rạc có thể mô tả bởi phương trình sai phân: y (t ) + a1 y (t − 1) + K + an y (t − n) = b1u (t − 1) + K + bm u (t − m) + e(t ) (4.2) y (t ) = −a1 y (t − 1) − K − an y (t − n) + b1u (t − 1) + K + bm u (t − m) + e(t ) (4.3) ⇒ Ký hiệu: θ = [a1 K an b1 K bm ] T (4.4) ϕ (t ) = [− y (t − 1) K − y (t − n) u (t − 1) K u (t − m)]T (4.5) Với ký hiệu như trên (4.3) có thể viết lại dưới dạng: y (t ) = ϕ T (t )θ + e(t ) (4.6) Biểu thức (4.6) cho thấy ta có thể tính được giá trị tín hiệu ra y(t) khi biết tham số của hệ thống, tín hiệu vào, tín hiệu ra trong quá khứ và nhiễu tác động vào hệ thống. Tuy nhiên nhiễu e(t) không thể biết trước nên ta chỉ có thể dự báo tín hiệu ra của hệ thống khi biết tín hiệu vào và tín hiệu ra trong quá khứ. Để nhấn mạnh giá trị dự báo phụ thuộc vào tham số θ , ta viết bộ dự báo dưới dạng: y (t , θ ) = ϕ T (t )θ ˆ (4.7) Các thuật ngữ: - Biểu thức (4.2) gọi là cấu trúc mô hình. - Vector θ gọi là vector tham số của hệ thống. - Vector ϕ(t) gọi là vector hồi qui (do ϕ(t) gồm tín hiệu vào và tín hiệu ra trong quá khứ); các thành phần của vector ϕ(t) gọi là các phần tử hồi qui. - Mô hình (4.2) gọi là mô hình ARX (Auto-Regressive eXternal input). - Bộ dự báo có dạng (4.7) được gọi là bộ dự báo dạng hồi qui tuyến tính (Linear Regression) Phương pháp bình phương tối thiểu Cần xác định tham số θ sao cho giá trị dự báo y (t | θ ) càng gần giá trị đo ˆ y(t), (t = 1, N ) càng tốt. Cách dễ thấy nhất là chọn θ sao cho bình phương sai số giá trị dự báo là tối thiểu. ( ) 1N 1N VN (θ , Z N ) = ∑ ( y (t ) − y (t | θ ) ) = ∑ y (t ) − ϕ T (t )θ → min (4.8) 2 2 ˆ N t =1 N t =1  Huỳnh Thái Hoàng – Bộ môn Điều khiển Tự động
3 Chương 4: NHẬN DẠNG MÔ HÌNH CÓ THAM SỐ Ký hiệu giá trị θ làm tối thiểu biểu thức (4.8) là θˆN : θˆ = arg min V (θ , Z N ) (4.9) N N θ (“arg min” = minimizing argument: đối số là tối thiểu VN) Do VN có dạng toàn phương nên chúng ta có thể tìm cực tiểu bằng cách cho đạo hàm bậc 1 theo tham số bằng 0. d {VN (θ , Z N )} = 0 dθ ( ) ( ) d 1 N 2 2N  ∑ y (t ) − ϕ (t )θ  = − ∑ ϕ (t ) y (t ) − ϕ (t )θ = 0 T T ⇒ dθ  N t =1 N t =1  N N ∑ϕ (t ) y(t ) = ∑ϕ (t )ϕ T (t )θ ⇒ t =1 t =1 −1 N  N  θˆN = ∑ ϕ (t )ϕ T (t ) ∑ ϕ (t ) y (t ) ⇒ (4.10)  t =1   t =1  4.1.2 Phương pháp sai số dự báo 1. Chọn cấu trúc mô hình và rút ra bộ dự báo: y (t , θ ) = g (θ , Z t −1 ) ˆ (4.11) Bộ dự báo có thể tuyến tính hay phi tuyến; có thể là mạng thần kinh nhân tạo, hệ mờ, chuổi wavelet,… 2. Từ dữ liệu quan sát và bộ dự báo y (t , θ ) , thành lập chuổi sai số dự báo: ˆ ε (t , θ ) = y (t ) − y (t , θ ) , t =1, 2, …, N ˆ (4.12) 3. Lọc sai số dự báo bằng bộ lọc tuyến tính L(q), nếu cần. ε F (t ,θ ) = L(q)ε (t ,θ ) (4.13) 4. Chọn tiêu chuẩn đánh giá sai số dự báo: 1N VN (θ , Z N ) = ∑ l (ε F (t ,θ ) ) (4.14) N t =1 trong đó l(.) là hàm xác định dương. 5. Tìm tham số θ tối thiểu hóa tiêu chuẩn đánh giá: θˆN = arg min VN (θ , Z N ) (4.15) θ  Huỳnh Thái Hoàng – Bộ môn Điều khiển Tự động
4 Chương 4: NHẬN DẠNG MÔ HÌNH CÓ THAM SỐ 4.2 CẤU TRÚC MÔ HÌNH HỆ TUYẾN TÍNH BẤT BIẾN 4.2.1 Mô hình tuyến tính tổng quát Hệ tuyến tính với nhiễu cộng Hệ tuyến tính với nhiễu cộng v(t) có thể mô tả bởi phương trình: y (t ) = G (q )u (t ) + v(t ) (4.16) trong đó G(q) là hàm truyền của hệ thống +∞ G (q ) = ∑ g k q −k (4.17) k =0 Nhiễu v(t) thường được mô tả bằng phổ tần số. Để thuận lợi hơn có thể xem v(t) là nhiễu trắng e(t) qua bộ lọc tuyến tính H(q): v(t ) = H (q )e(t ) (4.18) Mô tả nhiễu v(t) bằng biểu thức (4.18) tương đương với mô tả v(t) là nhiễu có phổ là: 2 Φ v (ω ) = λ H (e jω ) (4.19) trong đó λ là phương sai của nhiễu trắng e(t). Giả sử H(q) được chuẩn hóa về dạng: +∞ H (q ) = 1 + ∑ hk q − k (4.20) k =1 Thay (4.18) vào (4.16) ta được: y (t ) = G (q)u (t ) + H (q )e(t ) (4.21) Tham số hóa mô hình tuyến tính Nếu ta chưa biết hàm truyền G và H, chúng ta đưa thêm vector tham số θ vào mô tả (4.21): y (t ) = G (q,θ )u (t ) + H (q,θ )e(t ) (4.22) Bộ dự báo cho mô hình tuyến tính Cho hệ thống mô tả bởi biểu thức (4.22) và dữ liệu vào–ra đến thời điểm t − 1, ta cần dự báo giá trị tín hiệu ra ở thời điểm t. Chia hai vế biểu thức (4.22) cho H (q,θ ) , ta được: H −1 (q,θ ) y (t ) = H −1 (q,θ )G (q,θ )u (t ) + e(t ) y (t ) = [1 − H −1 (q,θ )] y (t ) + H −1 (q,θ )G (q,θ )u (t ) + e(t ) ⇒ (4.23)  Huỳnh Thái Hoàng – Bộ môn Điều khiển Tự động
5 Chương 4: NHẬN DẠNG MÔ HÌNH CÓ THAM SỐ Do (4.20) ta thấy rằng: H (q,θ ) − 1 +∞ 1 ∑ hk q − k 1 − H −1 (q,θ ) = = (4.24) H ( q, θ ) H (q,θ ) k =1 nên [1 − H −1 (q,θ )] y (t ) chỉ chứa các giá trị trong quá khứ của tín hiệu ra. Vế phải của (4.23) đã biết đến thời điểm t − 1, ngoại trừ nhiễu e(t). Do đó có thể dự báo tính hiệu ra ở thời điểm t bằng biểu thức: y (t , θ ) = [1 − H −1 (q, θ )] y (t ) + H −1 (q, θ )G (q, θ )u (t ) ˆ (4.25) 4.2.2 Các cấu trúc mô hình tuyến tính thường gặp Thông thường G và H trong biểu thức (4.22) là hàm truyền dạng phân thức có tử số và mẫu số là hàm của toán tử trể q−1. B(q ) b1q − nk + b2 q − nk −1 + K + bnb q − nk − nb +1 G ( q, θ ) = = (4.26) 1 + f1q −1 + K + f nf q − nf F (q) C (q ) 1 + c1q −1 + K + cnc q − nc H (q,θ ) = = (4.27) D(q ) 1 + d1q −1 + K + d nd q − nd Thay (4.26) và (4.27) vào (4.22) ta được: B(q) C (q) y (t ) = u (t ) + e(t ) (4.28) F (q ) D (q ) Mô hình tuyến tính có dạng (4.28) gọi là mô hình BJ (Box-Jenkins Model). Các trường hợp đặc biệt • C(q) = D(q) = 1: mô hình OE (Output Error Model) B(q) y (t ) = u (t ) + e(t ) (4.29) F (q) • D(q) = F(q) = A(q): mô hình ARMAX (Auto-Regressive Moving Average eXternal Input Model) A(q ) y (t ) = B (q)u (t ) + C (q )e(t ) (4.30)  Huỳnh Thái Hoàng – Bộ môn Điều khiển Tự động
6 Chương 4: NHẬN DẠNG MÔ HÌNH CÓ THAM SỐ • D(q) = F(q) = A(q), C(q) = 1: mô hình ARX (Auto-Regressive eXternal Input Model) A(q ) y (t ) = B (q)u (t ) + e(t ) (4.31) • D(q) = F(q) = A(q), B(q) = 0: mô hình ARMA (Auto-Regressive Moving Average Model) A(q ) y (t ) = C (q )e(t ) (4.32) • D(q) = F(q) = A(q), B(q) = 0, C(q) = 1: mô hình AR (Auto-Regressive Model) A(q) y (t ) = e(t ) (4.33) • D(q) = F(q) = A(q) = 1, C(q) = 1: mô hình FIR (Finite Impulse Response Model) y (t ) = B(q)u (t ) + e(t ) (4.34) Bộ dự báo cho mô hình tuyến tính thường gặp Bộ dự báo có dạng: y (t , θ ) = ϕ T (t )θ ˆ (4.35) được gọi là bộ dự báo dạng hồi qui tuyến tính (vì bộ dự báo tuyến tính theo tham số θ). Bộ dự báo của mô hình ARX, AR, FIR có dạng hồi qui tuyến tính. Mô hình ARX: θ = [a1 K an b1 K bnb ]T (4.36) ϕ (t ) = [− y (t − 1) K − y (t − na) u (t − nk ) K u (t − nk − nb + 1)]T (4.37) Mô hình AR: θ = [a1 K ana ]T (4.38) ϕ (t ) = [− y(t − 1) K − y (t − na)]T (4.39) Mô hình FIR: θ = [b1 K bnb ]T (4.40) ϕ (t ) = [u (t − nk ) K u (t − nk − nb + 1)]T (4.41)  Huỳnh Thái Hoàng – Bộ môn Điều khiển Tự động
7 Chương 4: NHẬN DẠNG MÔ HÌNH CÓ THAM SỐ Bộ dự báo hồi qui tuyến tính (4.35) có vector hồi qui không phụ thuộc vào tham số. Nếu vector hồi qui phụ thuộc tham số ta viết (4.35) lại dưới dạng: y (t , θ ) = ϕ T (t , θ )θ ˆ (4.42) (4.42) gọi là bộ dự báo hồi qui tuyến tính giả (Pseudo Linear Regression) Bộ dự báo của mô hình ARMAX, OE, BJ có dạng hồi qui tuyến tính giả. Mô hình ARMAX: B(q) C (q) Áp dụng công thức (4.25) với G (q ) = , H (q ) = ta được: A(q) A(q)  A(q)  B(q) y (t ,θ ) = 1 −  y (t ) + C (q ) u (t ) ˆ  C (q)  C (q ) y (t ,θ ) = [C (q) − A(q )]y (t ) + B(q )u (t ) ⇒ ˆ y (t ,θ ) = [C (q ) − A(q )]y (t ) + B(q)u (t ) + [1 − C (q)]y (t ,θ ) ⇒ ˆ ˆ y (t ,θ ) = [1 − A(q )]y (t ) + B(q )u (t ) + [C (q ) − 1][ y (t ) − y (t ,θ )] ⇒ ˆ ˆ (4.43) Đặt: Sai số dự báo: ε (t , θ ) = y (t ) − y (t , θ ) ˆ (4.44) Vector tham số: θ = [a1 K ana b1 K bnb c1 K cnc ]T (4.45) Vector hồi qui: ϕ (t ,θ ) = [− y (t − 1) K − y (t − na) u (t − nk ) K u (t − nk − nb + 1) ε (t − 1,θ ) K ε (t − nc,θ )] T (4.46) (4.43) có thể viết lại dưới dạng hồi qui tuyến tính giả (4.42). Mô hình OE: B (q ) , H (q) = 1 ta được: Áp dụng công thức (4.25) với G (q) = F (q) B(q) y (t ,θ ) = ˆ u (t ) F (q) F (q) y (t ,θ ) = B(q)u (t ) ⇒ ˆ y (t ,θ ) = B(q )u (t ) + [1 − F (q)]y (t ,θ ) ⇒ ˆ ˆ (4.47) Đặt: Biến phụ: B(q) w(t ,θ ) = y (t ,θ ) = ˆ u (t ) (4.48) F (q)  Huỳnh Thái Hoàng – Bộ môn Điều khiển Tự động
8 Chương 4: NHẬN DẠNG MÔ HÌNH CÓ THAM SỐ Vector tham số: θ = [b1 K bnb ] T f1 K f nf (4.49) Vector hồi qui: ϕ (t ,θ ) = [u (t − nk ) K u (t − nk − nb + 1) w(t − 1,θ ) K w(t − nf ,θ )] (4.50) (4.47) có thể viết lại dưới dạng hồi qui tuyến tính giả (4.42). Mô hình BJ: B (q ) C (q) Áp dụng công thức (4.25) với G (q) = , H (q) = ta được: F (q) D(q )  D(q)  D(q) B(q) y (t , θ ) = 1 −  y (t ) + C (q) F (q ) u (t ) ˆ  C (q)  B(q) w(t ,θ ) = Đặt: u (t ) F (q) w(t , θ ) = B(q )u (t ) − [F (q) − 1]w(t , θ )  D(q )  D(q ) y (t ,θ ) = 1 −  y (t ) + C (q) w(t ) ⇒ ˆ  C (q )  D(q ) [ y(t ) − w(t ,θ )] y (t ,θ ) = y (t ) − ⇒ ˆ C (q ) v(t ,θ ) = y (t ) − w(t ,θ ) Đặt: D(q) y (t ,θ ) = y (t ) − v(t ,θ ) ⇒ ˆ C (q) C (q) y (t ,θ ) = C (q) y (t ) − D(q )v(t ,θ ) ⇒ ˆ y (t ,θ ) = [1 − C (q )]y (t ,θ ) + C (q ) y (t ) − D(q)v(t ,θ ) ⇒ ˆ ˆ y (t ,θ ) = [1 − C (q)]y (t ,θ ) + C (q) y (t ) − [D(q) − 1]v(t ,θ ) − v(t ,θ ) ⇒ ˆ ˆ y (t ,θ ) = [1 − C (q )]y (t ,θ ) + C (q ) y (t ) − [D(q) − 1]v(t ,θ ) − y (t ) + w(t ,θ ) ⇒ ˆ ˆ y (t ,θ ) = [1 − C (q)][ y (t ) − y (t ,θ )] − [D(q ) − 1]v(t ,θ ) + w(t ,θ ) ⇒ ˆ ˆ ε (t , θ ) = y (t ) − y (t , θ ) ˆ Đặt: (4.51) y (t ,θ ) = [C (q ) − 1][ε (t ,θ )] − [D(q) − 1]v(t ,θ ) + B (q )u (t ) − [F (q) − 1]w(t ,θ ) ⇒ ˆ  Huỳnh Thái Hoàng – Bộ môn Điều khiển Tự động
9 Chương 4: NHẬN DẠNG MÔ HÌNH CÓ THAM SỐ Vector tham số: [ ] T θ = b1 K bnb c1 K cnc d1 K d nd f1 K f nf (4.52) Vector hồi qui: ϕ (t ,θ ) = [u (t − nk ) K u (t − nk − nb + 1), ε (t − 1,θ ) K ε (t − nc,θ ) − v(t − 1,θ ) K − v(t − nd ,θ ) − w(t − 1,θ ) K − w(t − nf ,θ )] T (4.53) (4.43) có thể viết lại dưới dạng hồi qui tuyến tính giả (4.42). 4.2.3 Mô hình chuổi hàm cơ sở trực giao Mô hình FIR: n G (q, θ ) = ∑ bk q −k (4.54) k =1 • Có hai ưu điểm: - có dạng hồi qui tuyến tính (trường hợp đặc biệt của mô hình ARX) - có dạng mô hình sai số ngõ ra (trường hợp đặc biệt của mô hình OE) Do đó tham số của mô hình FIR: - có thể ước lượng dễ dàng (đặc điểm của mô hình ARX) - bền vững so với nhiễu (đặc điểm của mô hình OE). • Có một khuyết điểm: có thể cần nhiều tham số. Nếu hệ thống thực có cực nằm gần vòng tròn đơn vị thì đáp ứng xung suy giảm rất chậm, do đó cần chọn n đủ lớn mới có thể xấp xỉ được hệ thống. ⇒ Cần cấu trúc mô hình vừa giữ được dạng hồi qui tuyến tính và bền vững với nhiễu, vừa có thể mô tả được hệ thống có đáp ứng xung suy giảm chậm. Tổng quát, mô hình đó phải có dạng chuổi hàm: n ∑θ k Bk (q, α ) G ( q, θ ) = (4.55) k =1 trong đó Bk (q, α ) là hàm cơ sở trực giao (orthonormal basic function), α là tham số của hàm cơ sở. Hàm cơ sở trực giao là hàm thỏa mãn tính chất: +π ( m ≠ n) 1, 1 jω jω Bm (e jω )Bn (e − jω ) dω =  ∫ Bm (e ), Bn (e ) = (4.56) 2π ( m = n) 0, −π Đơn giản nhất, có thể chọn: q −k Bk (q, α ) = (−1 ≤ α ≤ 1) (4.57) q −α  Huỳnh Thái Hoàng – Bộ môn Điều khiển Tự động
10 Chương 4: NHẬN DẠNG MÔ HÌNH CÓ THAM SỐ Hai hàm cơ sở trực giao được sử dụng nhiều nhất là: • Hàm Laguerre: k −1 1 − a 2  1 − aq  Lk (q, a ) =   (−1 ≤ a ≤ 1) (4.58) q−a  q−a    Hàm Laguerre thích hợp để mô hình hóa hệ tuyến tính có đáp ứng xung suy giảm chậm và không dao động (hệ thống cần nhận dạng chỉ có cực thực). • Hàm Kautz: k −1 (1 − c 2 ) (q − 1)  − cq 2 + b(c − 1)q + 1 ψ 2 k −1 (q, b, c) = 2 (4.59)   q + b(c − 1)q − c  q 2 + b(c − 1)q − c  k −1 (1 − c 2 )(1 − b 2 )  − cq 2 + b(c − 1)q + 1 ψ 2 k ( q , b, c ) = 2 (4.60)   q + b(c − 1)q − c  q 2 + b(c − 1)q − c  (−1 ≤ b ≤ 1, − 1 ≤ c ≤ 1) Hàm Kautz thích hợp để mô hình hóa hệ tuyến tính có đáp ứng xung suy giảm chậm và có dao động (hệ thống cần nhận dạng có cực phức). ♦Biểu thức bộ dự báo của mô hình chuỗi hàm cơ sở trực giao: Toång quaùt (ñuùng cho moïi moâ hình chuoãi haøm cô sôû tröïc giao) n ∑ θ k Bk (q, α )u (t ) y (t , θ ) = G (q, θ )u (t ) = ˆ k =1 ϕ ( t ) = [B1 ( q , α ) u ( t ) B n ( q , α )u (t ) ] T B1 ( q , α ) u ( t ) Đặt: K θ = [θ1 θ 2 K θ n ]T Biểu thức bộ dự báo có thể viết lại dưới dạng hồi qui tuyến tính: y (t , θ ) = ϕ T (t )θ ˆ Cuï theå: • Moâ hình Laguerre: k −1 1 − a2  1 − aq  ϕ k (t ) = Lk (q, a )u (t ) =   q−a  u (t )  q−a   − Vôùi k = 1 : 1 − a2 ϕ1 (t ) = u (t ) q−a (1 − q −1 )ϕ1 (t ) = 1 − a 2 q −1u (t ) ⇒ ϕ1 (t ) = ϕ1 (t − 1) + 1 − a 2 u (t − 1) ⇒ (4.61)  Huỳnh Thái Hoàng – Bộ môn Điều khiển Tự động
11 Chương 4: NHẬN DẠNG MÔ HÌNH CÓ THAM SỐ − Vôùi 1 < k ≤ n : k −2  1 − aq  1 − a 2  1 − aq  ϕ k (t ) =   q−a  q−a   q−a  u (t )        1 − aq  ϕ k (t ) =   q − a ϕ k −1 (t ) ⇒    (1 − aq −1 )ϕ k (t ) = (q −1 − a)ϕ k −1 (t ) ⇒ ϕ k (t ) = aϕ k (t − 1) + ϕ k −1 (t − 1) − aϕ k −1 (t ) ⇒ (4.62) • Moâ hình Kautz: ϕ k (t ) = ψ k (q, a )u (t ) − Vôùi k = 1 : (1 − c 2 ) (q − 1) ϕ1 (t ) = 2 u (t ) q + b(c − 1)q − c [1 + b(c − 1)q −1 − cq − 2 ]ϕ1 (t ) = (1 − c 2 ) (q −1 − q − 2 )u (t ) ⇒ ϕ1 (t ) = b(1 − c)ϕ1 (t − 1) + cϕ1 (t − 2) + (1 − c 2 ) [u (t − 1) − u (t − 2)] ⇒ (4.63) − Vôùi k = 2 : (1 − c 2 )(1 − b 2 ) ϕ 2 (t ) = 2 u (t ) q + b(c − 1)q − c [1 + b(c − 1)q −1 − cq − 2 ]ϕ 2 (t ) = (1 − c 2 )(1 − b 2 )u (t ) ⇒ ϕ 2 (t ) = b(1 − c)ϕ 2 (t − 1) + cϕ 2 (t − 2) + (1 − c 2 )(1 − b 2 )u (t − 2) ⇒ (4.64) − Vôùi 1 < 2k − 1 ≤ n :  − cq 2 + b(c − 1)q + 1 ϕ 2 k −1 (t ) =  2 ϕ 2 k −3 (t ) q + b(c − 1)q − c   [1 + b(c − 1)q −1 − cq −2 ]ϕ 2 k −1 (t ) = [−c + b(c − 1)q −1 + q −2 ]ϕ 2 k −3 (t ) ⇒ ϕ 2 k −1 (t ) = b(1 − c)ϕ 2 k −1 (t − 1) + cϕ 2 k −1 (t − 2) ⇒ (4.65) − cϕ 2 k −3 (t ) + b(c − 1)ϕ 2 k −3 (t − 1) + ϕ 2 k −3 (t − 2) − Vôùi 2 < 2k ≤ n :  − cq 2 + b(c − 1)q + 1 ϕ 2 k (t ) =  2 ϕ 2 k − 2 (t )  q + b(c − 1)q − c  [1 + b(c − 1)q −1 − cq −2 ]ϕ 2 k (t ) = [−c + b(c − 1)q −1 + q −2 ]ϕ 2 k − 2 (t ) ⇒ ϕ 2 k (t ) = b(1 − c)ϕ 2 k (t − 1) + cϕ 2 k (t − 2) ⇒ (4.66) − cϕ 2 k − 2 (t ) + b(c − 1)ϕ 2 k − 2 (t − 1) + ϕ 2 k − 2 (t − 2)  Huỳnh Thái Hoàng – Bộ môn Điều khiển Tự động
12 Chương 4: NHẬN DẠNG MÔ HÌNH CÓ THAM SỐ 4.2.4 Mô hình không gian trạng thái Hệ thống tuyến tính có thể mô tả bằng phương trình trạng thái:  x (t + 1) = Ax (t ) + B u (t ) + w(t ) (4.67)   y (t ) = Cx (t ) + D u (t ) + v(t ) Cần ước lượng các ma trận A, B, C, D để mô tả được quan hệ giữa ngõ vào và ngõ ra của hệ thống. Vấn đề gây ra khó khăn ở đây là có vô số phương trình dạng (4.67) có thể mô tả được hệ thống tùy thuộc vào cách chọn biến trạng thái. Ta xét 2 trường hợp: Trường hợp 1: Nếu phương trình trạng thái (4.67) được rút ra từ mô hình vật lý thì các biến trạng thái hoàn toàn xác định. Giả sử trong thí nghiệm thu thập số liệu ta không chỉ đo được y(t), u(t) mà còn đo được cả các biến trạng thái x(t), t = 1,2,…, N. Do các biến trạng thái đã xác định nên phương trình (4.67) các ma trận A, B, C, D cũng xác định. Đặt:  x (t + 1) Y (t ) =  (4.68)   y (t )  A B Θ= (4.69) C D    x (t ) Φ (t ) =  (4.70)   u (t )   w(t ) E (t ) =  (4.71)   e(t )  Phương trình (4.67) có thể viết lại dưới dạng hồi qui tuyến tính: Y (t ) = ΘΦ (t ) + E (t ) (4.72) (xem mục 4.3, thí dụ 4.1 – Ljung 1999). Trường hợp 2: Trong thí nghiệm thu thập số liệu ta chỉ đo được y(t) và u(t). Cần ước lượng các biến trạng thái x(t). Khi đã có x(t) trở về trường hợp 1 (xem phụ lục 4A – Ljung 1999). 4.3 CẤU TRÚC MÔ HÌNH HỆ PHI TUYẾN 4.3.1 Mô hình có đặc tính phi tuyến Đặc tính phi tuyến rất đa dạng, cần cấu trúc mô hình đủ linh hoạt để mô tả được đặc tính phi tuyến tổng quát ⇒ mô hình phi tuyến tổng quát phức tạp hơn và có nhiều tham số hơn mô hình tuyến tính cùng bậc (vô số tham số).  Huỳnh Thái Hoàng – Bộ môn Điều khiển Tự động
13 Chương 4: NHẬN DẠNG MÔ HÌNH CÓ THAM SỐ Có thể sử dụng thông tin biết trước về đặc tính vật lý phi tuyến bên trong hệ thống cần nhận dạng để đưa ra cấu trúc mô hình thích hợp ⇒ xây dựng được mô hình đơn giản, ít tham số, dễ ước lượng. Phương pháp này gọi là mô hình hóa bán vật lý (semi-physical modeling). ♦ Mô hình Wiener và mô hình Hammerstein y(t) f(u(t)) Mô hình u(t) f tuyến tính ( a) z(t) y(t)=f(z(t)) Mô hình u(t) f tuyến tính ( b) Hình 4.2: (a) Mô hình Hammerstein (b) Mô hình Wiener Trong nhiều trường hợp hệ thống có thể mô tả bằng mô hình tuyến tính ghép nối tiếp với khâu phi tuyến tĩnh ở đầu vào và/hoặc đầu ra. Mô hình có khâu phi tuyến tĩnh ở đầu vào gọi là mô hình Hammerstein, có khâu phi tuyến tĩnh ở đầu ra gọi là mô hình Wiener, có khâu phi tuyến tĩnh ở cả đầu vào và đầu ra gọi là mô hình Wiener–Hammerstein. Đặc tính phi tuyến tĩnh có thể do sự bão hòa của phần tử tác động (actuator), do tính phi tuyến của cảm biến đo lường hay do giới hạn vật lý của tín hiệu vào/ra. Bộ dự báo: • Mô hình Hammerstein: y (t θ ,η ) = G (q,θ ) f (u (t ),η ) ˆ (4.73) • Mô hình Wiener: y (t θ ,η ) = f (G (q,θ )u (t ),η ) ˆ (4.74) trong đó θ và η lần lượt là tham số của khâu tuyến tính và khâu phi tuyến tĩnh. ♦ Mô hình hồi qui tuyến tính Bằng cách chọn các phần tử hồi qui thích hợp, có thể dự báo tín hiệu ra của hệ phi tuyến bằng bộ dự báo dạng hồi qui tuyến tính. y (t , θ ) = ϕ T (t )θ ˆ trong đó các phần tử hồi qui là hàm (phi tuyến) bất kỳ của tín hiệu vào và tín hiệu ra trong quá khứ. ϕ i (t ) = ϕ i ( Z t −1 )  Huỳnh Thái Hoàng – Bộ môn Điều khiển Tự động
14 Chương 4: NHẬN DẠNG MÔ HÌNH CÓ THAM SỐ Thí dụ 4.1: Nhận dạng mô hình lò nhiệt: phần tử hồi qui nên chọn là y (t − 1) , u 2 (t − 1) trong đó y (t ) là nhiệt độ lò và u (t ) là điện áp cấp cho điện trở đốt nóng. Nhận dạng hệ bồn chứa chất lỏng, phần tử hồi qui nên chọn là y (t − 1) , y (t − 1) và u (t ) , trong đó y (t ) là mực chất lỏng trong bồn chứa và u (t ) là điện áp cấp cho máy bơm. Nhận dạng hệ thống sưởi ấm dùng năng lượng mặt trời: xem (Ljung, 1999) 4.3.2 Mô hình hộp đen phi tuyến Bộ dự báo tổng quát cho hệ phi tuyến có dạng: y (t , θ ) = g (ϕ (t ), θ ) ˆ (4.75) Tùy thuộc vào cách chọn: • vector hồi qui ϕ (t ) từ tín hiệu vào và tín hiệu ra trong quá khứ; • hàm phi tuyến g (ϕ ,θ ) mà ta có các dạng mô hình phi tuyến khác nhau. 4.3.2.1 Phần tử hồi qui cho mô hình phi tuyến Mô hình Các phần tử hồi qui NFIR u(t – k) NAR y(t – k) NARX y(t – k) và u(t – k) y(t – k), u(t – k) và ε(t – k,θ) NARMAX u(t – k) và w(t − k ,θ ) NOE y(t – k), u(t – k), ε(t – k,θ) và v(t − k ,θ ) NBJ 4.3.2.2 Hàm phi tuyến Hàm phi tuyến g (ϕ ,θ ) thường được chọn có dạng khai triển hàm: g (ϕ ,θ ) = ∑ α i g i (ϕ ) (4.76) Hàm gi gọi là hàm cơ sở (basic function). Hàm gi được chọn như sau: • Tất cả các hàm gi được rút ra bằng cách tham số hóa hàm cơ sở gốc (mother basic function) κ(x). • Hàm κ(x) là hàm của đại lượng vô hướng x. • gi là phiên bản tỉ lệ và tịnh tiến của κ(x). Trường hợp vector hồi qui ϕ(t) chỉ có một chiều ( d = dim ϕ = 1) thì : g i (ϕ ) = κ (ϕ , βi , γ i ) = κ ( βi (ϕ − γ i )) (4.77) trong đó β i và γ i là tham số xác định tỉ lệ và vị trí của hàm g i (ϕ ) .  Huỳnh Thái Hoàng – Bộ môn Điều khiển Tự động
15 Chương 4: NHẬN DẠNG MÔ HÌNH CÓ THAM SỐ Trường hợp vector hồi qui ϕ(t) nhiều chiều (d > 1) có 3 cách xây dựng gi: ♦ Dạng lưới: g i (ϕ ) = g i (ϕ , βi , γ i ) = κ ( βiT ϕ + γ i ) (4.78) Cấu trúc lưới có đặc điểm là giá trị hàm cơ sở của tất cả các phần tử hồi qui nằm trên cùng một siêu phẳng sẽ có cùng một giá trị. Hình 4.3: Hàm cơ sở nhiều biến cấu trúc dãy ♦ Dạng xuyên tâm: g i (ϕ ) = g i (ϕ , βi , γ i ) = κ ( ϕ − γ i ) (4.79) βi chuẩn . thường chọn là chuẩn toàn phương: 2 ϕ = ϕ T βiϕ (4.80) βi Cấu trúc xuyên tâm có đặc điểm là giá trị hàm cơ sở của tất cả các phần tử hồi qui nằm trên cùng một siêu cầu sẽ có cùng một giá trị. Hình 4.4: Hàm cơ sở nhiều biến cấu trúc xuyên tâm  Huỳnh Thái Hoàng – Bộ môn Điều khiển Tự động
16 Chương 4: NHẬN DẠNG MÔ HÌNH CÓ THAM SỐ ♦ Dạng tích tensor: d d g i (ϕ ) = ∏ g i (ϕ j ) = ∏ κ ( β ij (ϕ j − γ ij )) (4.81) j =1 j =1 Hình 4.5: Hàm cơ sở nhiều biến cấu trúc tích tensor Hai dạng hàm cơ sở gốc thường dùng: ♦ Hàm Gauss: 1 − x2 / 2 κ ( x) = (4.82) e 2π Hàm cơ sở dạng Gauss là hàm cơ sở cục bộ vì sự thay đổi của hàm chỉ chủ yếu xảy ra trong một miền cục bộ. ♦ Hàm sigmoid: 1 κ ( x) = (4.83) 1 + e−x Hàm cơ sở dạng sigmoid là hàm cơ sở toàn cục vì sự thay đổi của hàm xảy ra ở toàn bộ trục thực. Caùch xaây döïng haøm cô sôû nhö trình baøy ôû treân bao haøm haàu heát taát caû caùc caáu truùc moâ hình hoäp ñen phi tuyeán ñöôïc söû duïng phoå bieán hieän nay, chaúng haïn moâ hình maïng thaàn kinh nhieàu lôùp (MLP) coù caáu truùc daõy; moâ hình maïng haøm cô sôû xuyeân taâm (RBF), moâ hình maïng wavelet coù caáu truùc xuyeân taâm; moâ hình môø (Fuzzy Model) coù caáu truùc tích. Moät caâu hoûi ñaët ra laø moâ hình hoäp ñen döôùi daïng khai trieån chuoãi haøm cô sôû coù khaû naêng xaáp xæ quan heä vaøo ra cuûa heä thoáng thaät toát nhö theá naøo. Coù nhieàu taøi lieäu ñeà caäp ñeán vaán ñeà naøy, keát luaän chung laø ñoái vôùi haàu heát caùc caùch choïn haøm cô sôû goác κ ( x) , moâ hình khai trieån chuoãi haøm cô sôû (4.70) coù theå xaáp xæ haøm trôn baát kyø vôùi sai soá nhoû tuøy yù vôùi ñieàu kieän soá haøm cô sôû söû duïng ñuû lôùn.  Huỳnh Thái Hoàng – Bộ môn Điều khiển Tự động
17 Chương 4: NHẬN DẠNG MÔ HÌNH CÓ THAM SỐ 4.3.3 Mô hình mạng thần kinh g1 v11 ϕ1(t) w1 v21 g2 y (t ,θ ) ˆ w2 ϕ2(t) v22 M M M wl v2d ϕd(t) vld gl Hình 4.6: Mô hình mạng thần kinh nhân tạo Chọn các phần tử hồi qui ϕj(t) là tín hiệu vào hay tín hiệu ra trong quá khứ. Hàm tác động của lớp ẩn là hàm sigmoid hoặc hàm gauss, ký hiệu là κ ( x) , hàm tác động của lớp ra là hàm tuyến tính f ( x) = x , ta có: • Ngõ ra của lớp ẩn: d  g i = κ  ∑ vijϕ j (t ) − vi 0  (4.84)    j =1  Ký hiệu: ϕ (t ) = [ϕ1 (t ) ϕ 2 (t ) K ϕ d (t )] T vi = [vi1 (t ) vi 2 (t ) K vid (t )] T Biểu thức (4.84) có thể viết lại: ( ) g i = κ viT ϕ (t ) − vi 0 (4.85) • Ngõ ra của mạng: l y (t ,θ ) = ∑ wi g i (t ) ˆ (4.86) i =1  Huỳnh Thái Hoàng – Bộ môn Điều khiển Tự động
18 Chương 4: NHẬN DẠNG MÔ HÌNH CÓ THAM SỐ 4.3.4 Mô hình mờ Giaû söû ϕ (t ) = [ϕ1 (t ) ϕ 2 (t ) K ϕ d (t )] laø vector hoài qui, trong ñoù caùc T phaàn töû hoài qui ϕ i (t ) ñöôïc xaây döïng töø tín hieäu ra ñeán thôøi ñieåm t−1 vaø tín hieäu vaøo ñeán thôøi ñieåm t. Ta xaây döïng boä döï baùo môø coù sô ñoà khoái nhö trình baøy ôû hình. Vì boä döï baùo môø laø moät heä môø neân cuõng coù 3 thaønh phaàn cô baûn laø khaâu môø hoùa, heä qui taéc môø, vaø khaâu giaûi môø. ~ ϕ1 (t ) ϕ1 (t ) Heä qui taéc môø ~ ϕ 2 (t ) ϕ 2 (t ) ~ y (t ,θ ) y ( t ,θ ) ˆ ˆ Môø Giaûi M M hoùa môø Phöông phaùp ~ ϕ d (t ) ϕ d (t ) suy dieãn Hình 4.7: Mô hình mạng thần kinh mờ Môø hoùa Vì heä qui taéc môø chæ coù theå suy luaän treân caùc giaù trò môø, trong khi caùc phaàn töû hoài qui ϕ j (t ) laø döõ lieäu quan saùt trong quaù khöù coù giaù trò roõ neân caàn phaûi qua khaâu môø hoùa ñeå chuyeån thaønh caùc giaù trò môø. ϕ j (t ) = fuzz (ϕ j (t ) ) ~ (4.87) trong ñoù fuzz(.) laø haøm môø hoùa. Ñeå ñôn giaûn trong vieäc tính toaùn, haøm môø hoùa ñöôïc duøng laø haøm chuyeån giaù trò roõ ϕ j (t ) thaønh taäp môø coù daïng vaïch ñôn (singleton). Heä qui taéc môø Heä qui taéc môø bieåu dieãn tri thöùc vaø kinh nghieäm cuûa con ngöôøi döôùi daïng caùc phaùt bieåu ngoân ngöõ. Ñaëc tính ñoäng cuûa heä thoáng döôùi daïng caùc phaùt bieåu ngoân ngöõ ñöôïc moâ taû toaùn hoïc baèng k qui taüc môø: ~ ~ ~ ~ r1: Neáu ( ϕ1 (t ) laø A1,1 ) vaø ( ϕ 2 (t ) laø A1, 2 ) vaø … vaø ( ϕ r (t ) laø A1,r ) thì ( y (t ) laø B1 ) ~ ~ ~ ~ r2: Neáu ( ϕ1 (t ) laø A2,1 ) vaø ( ϕ 2 (t ) laø A2, 2 ) vaø … vaø ( ϕ r (t ) laø A2,r ) thì ( y (t ) laø B2 ) … ~ ~ ~ ~ rk: Neáu ( ϕ1 (t ) laø Ak ,1 ) vaø ( ϕ 2 (t ) laø Ak , 2 ) vaø … vaø ( ϕ r (t ) laø Ak ,r ) thì ( y (t ) laø Bk )  Huỳnh Thái Hoàng – Bộ môn Điều khiển Tự động
19 Chương 4: NHẬN DẠNG MÔ HÌNH CÓ THAM SỐ trong ñoù caùc giaù trò ngoân ngöõ trong caùc meänh ñeà ñieàu kieän vaø keát luaän cuûa heä qui taéc ñöôïc moâ taû bôûi caùc taäp môø. Haøm lieân thuoäc cuûa caùc taäp môø coù theå coù caùc daïng sau phaân boá Gauss, daïng sigmoid, daïng chuoâng, daïng tam giaùc, daïng hình thang,… Kyù hieäu µ Ai , j (ϕ j (t ), β i , j , γ i , j ) laø haøm lieân thuoäc cuûa taäp môø ~ ~ Ai , j ,trong ñoù β i , j vaø γ i , j laø caùc thoâng soá xaùc ñònh tæ leä vaø vò trí cuûa haøm lieân thuoäc. Chuù yù: Heä qui taéc môø moâ taû ñaëc tính ñoäng cuûa heä thoáng khoâng nhaát thieát phaûi laø qui taéc Mamdani, chuùng ta hoaøn toaøn coù theå söû duïng heä qui taéc Sugeno (moâ hình Takagi−Sugeno−Kang). Phöông phaùp suy dieãn ñöôïc choïn laø söï hôïp thaønh MAX−PROD, keát quaû ~ suy dieãn cuûa heä qui taéc môø laø taäp môø y (t ,θ ) coù haøm lieân thuoäc cho bôûi coâng ˆ thöùc:   d µ ~ (t ,θ ) ( y ) = max µ Bi ( y ).∏ µ Aij (ϕ j (t ), β ij , γ ij )  (4.88) 1≤ i ≤ k   ˆ y   j =1 ~ Giaûi môø Ngoõ ra cuûa heä qui taéc môø laø taäp môø y (t ,θ ) . Choïn phöông phaùp giaûi ˆ môø trung bình coù troïng soá, ta ñöôïc giaù trò roõ ôû ngoõ ra cuûa boä döï baùo môø laø:   d k ∑ α i . max µ Bi ( y ).∏ µ Ai , j (ϕ j (t ), β ij , γ ij )  y∈Y     i =1 j =1 y (t ,θ ) = ˆ (4.89)   d k ∑ max µ Bi ( y ).∏ µ Ai , j (ϕ j (t ), β ij , γ ij )    i =1 y∈Y   j =1 Neáu caùc taäp môø ôû meänh ñeà keát luaän cuûa heä qui taéc ñöôïc choïn laø vaïch ñôn taïi vò trí α i thì coâng thöùc treân trôû thaønh d k ∑ α i .∏ µ A (ϕ j (t ), β ij , γ ij ) ij i =1 j =1 y (t ,θ ) = ˆ (4.90) d k ∑ ∏ µ A (ϕ j (t ), β ij , γ ij ) ij i =1 j =1 Neáu heä qui taéc môø laø heä qui taéc hoaøn chænh, nghóa laø goàm taát caû caùc qui taéc coù theå coù vaø caùc taäp môø ôû ngoõ vaøo ñöôïc phaân hoaïch môø thì: d k ∑∏ µ A (ϕ j (t ), β ij , γ ij ) = 1 (4.91) ij i =1 j =1 khi ñoù coâng thöùc (4.90) trôû thaønh: d k y (t , θ ) = ∑ α i .∏ µ Aij (ϕ j (t ), β ij , γ ij ) ˆ (4.92) i =1 j =1  Huỳnh Thái Hoàng – Bộ môn Điều khiển Tự động
20 Chương 4: NHẬN DẠNG MÔ HÌNH CÓ THAM SỐ k y (t ,θ ) = ∑ α i .g i (ϕ (t ), β i , γ i ) hay ˆ (4.93) i =1 r g i (ϕ (t ), β i , γ i ) = ∏ µ Aij (ϕ j (t ), β ij , γ ij ) vôùi (4.94) j =1 Toùm laïi duøng logic môø ta coù theå chuyeån caùc phaùt bieåu ngoân ngöõ moâ taû ñaëc tính ñoäng cuûa heä thoáng thaønh boä döï baùo (4.93). Boä döï baùo naøy ñöôïc söû duïng ñeå öôùc löôïng thoâng soá. 4.4 CÁC PHƯƠNG PHÁP ƯỚC LƯỢNG THAM SỐ 4.4.1 Nguyên tắc ước lượng tham số Giả sử chúng ta đã chọn được cấu trúc mô hình thích hợp với hệ thống cần nhận dạng và đưa ra bộ dự báo y (t , θ ) , đồng thời đã thu thập được N mẫu dữ ˆ liệu: Z N = {u (1), y (1), K , u ( N ), y ( N )} (4.95) Vấn đề đặt ra là xác định tham số θˆ dựa vào thông tin chứa trong ZN. N Nguyên tắc ước lượng tham số là dựa vào Z t chúng ta có thể tính được sai số dự báo: ε (t ,θ ) = y(t ) − y(t ,θ ) ˆ (4.96) Ta cần xác định tham số θˆ sao cho sai số dự báo càng nhỏ càng tốt. N − Phương pháp sai số dự báo: ước lượng tham số sao cho sai số dự báo tối thiểu. − Phương pháp tương quan: ước lượng tham số sao cho tương quan giữa sai số dự báo và dữ liệu quá khứ bằng 0. 4.4.2 Phương pháp sai số dự báo Lọc sai số dự báo bằng bộ lọc tuyến tính L(q). ε F (t ,θ ) = L(q )ε (t ,θ ) (4.97) Sau đó sử dụng chuẩn: 1N VN (θ , Z N ) = ∑ l (ε F (t ,θ ) ) (4.98) N t =1 trong đó l(.) là hàm xác định dương.  Huỳnh Thái Hoàng – Bộ môn Điều khiển Tự động