Một số bài toán trong kinh tế sử dụng ngôn ngữ R

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:7

Thêm vào BST

Báo xấu

8
lượt xem 4
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Toán học có vai trò đặc biệt quan trọng trong khoa học và công nghệ, nó là công cụ rất mạnh trong việc mô hình hóa các bài toán thực tế. Bài viết Một số bài toán trong kinh tế sử dụng ngôn ngữ R nghiên cứu ứng dụng để tìm thông tin bằng một số phương pháp phân tích dữ liệu; Một số ví dụ chọn lọc trong thực tế.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Một số bài toán trong kinh tế sử dụng ngôn ngữ R

NGÀNH TOÁN HỌC Một số bài toán trong kinh tế sử dụng ngôn ngữ R Some maths problems in economy use the language R Nguyễn Thị Diệp Huyền Email: diephuyendhsaodo@gmail.com Trường Đại học Sao Đỏ Ngày nhận bài: 13/5/2022 Ngày nhận bài sửa sau phản biện: 22/6/2022 Ngày chấp nhận đăng: 03/01/2023 Tóm tắt Trong bài báo này, bằng cách xây dựng các thuật toán cho các phép tính trên ma trận dưới dạng ngôn ngữ R, chúng tôi nghiên cứu ứng dụng để tìm thông tin bằng một số phương pháp phân tích dữ liệu. Một số ví dụ chọn lọc trong thực tế được trình bày trong bài báo. Từ khóa: Ngôn ngữ R; xích Markov; bài toán cân bằng; trạng thái ổn định; hồi quy phi tuyến. Abstracts In this paper, by the algorithms in the form of R language, we used to find information by a number of data analysis methods. Some selected examples in the real life are illustrated. Keywords: R language; markov chain; balance problem; steady-state; nonlinear regression. 1. ĐẶT VẤN ĐỀ thì ta thu được một dãy n phép thử độc lập, vì kết quả Toán học có vai trò đặc biệt quan trọng trong khoa học của lần gieo sau không phụ thuộc vào kết quả của lần và công nghệ, nó là công cụ rất mạnh trong việc mô gieo trước đó. Tuy nhiên, trong thực tế ta có thể gặp hình hóa các bài toán thực tế. Sau khi thiết lập được các phép thử mà kết quả của phép thử ở lần sau phụ mô hình, bằng các công cụ của Toán học, tin học,… ta thuộc vào kết quả của phép thử trước đó. Ta gọi đó là có thể giải quyết được bài toán thực tế đặt ra. Từ đó ta dãy phép thử ngẫu nhiên độc lập có điều kiện. Để mô có những dự đoán, điều chỉnh phù hợp nhằm đạt được tả một cách toán học các quy luật của dãy các phép mục đích mong muốn. Ứng dụng của Toán học trong thử ngẫu nhiên độc lập có điều kiện, ta sử dụng một kinh tế được biết đến từ lâu và có rất nhiều mô hình quá trình Markov. toán học trong kinh tế đã được trình bày trong [2, 3, 5]. Xét một ví dụ minh họa như sau: Ta quan sát một cửa hàng bán một loại sản phẩm nào đó trong hai ngày: Bài báo này đề cập tới một số ứng dụng quan trọng của lý thuyết ma trận và hồi quy phi tuyến trong các mô * Nếu ngày thứ nhất bán được sản phẩm, thì xác suất hình kinh tế. Xuất phát từ các bài toán nảy sinh từ trong bán được sản phẩm của ngày thứ hai là 0,7. kinh tế, chúng tôi trình bày cách sử dụng các công cụ * Nếu ngày thứ nhất không bán được sản phẩm, thì toán học để mô hình hóa các bài toán đó. Dựa vào các xác suất bán được sản phẩm của ngày thứ hai là 0,5. kết quả lý thuyết trong toán học và bằng sử dụng phần mềm R, chúng tôi tìm được nghiệm xấp xỉ của bài toán Khi đó, các xác suất để bán được sản phẩm ở ngày và từ đó đưa ra những kết luận của bài toán. Ưu điểm thứ hai phụ thuộc vào ngày hôm trước có bán được của việc sử dụng phần mềm R là có khả năng phân hàng hay không, do đó chúng là các xác suất có điều tích dữ liệu nhanh, cho phép thực hiện các tính toán kiện và được cho ở bảng sau: toán học phức tạp rất hiệu quả, (xem [7]). Bảng 1. Xác xuất có điều khiển Tiếp theo, chúng tôi nhắc lại một số kiến thức và kết Ngày thứ nhất Bán được Không bán quả khác trong [1, 2, 4, 6] phục vụ cho việc trình bày Ngày thứ hai sản phẩm được sản phẩm các nội dung trong các mục sau. Bán được sản phẩm 0,7 0,5 Trong lý thuyết xác suất, một quá trình Markov là một Không bán được sản phẩm 0,3 0,5 mô hình toán học được sử dụng để mô tả một dãy các phép thử ngẫu nhiên. Một điều quan trọng khi tính xác Nếu ta cứ tiếp tục quan sát như vậy trong nhiều ngày suất của một dãy phép thử liên tiếp là liệu các phép sau đó, ta thu được một quá trình Markov, khi đó các gieo một đồng xu cân đối và đồng chất n lần (𝑛𝑛 ∈ ℕ∗ ) , thử có độc lập với nhau hay không. Chẳng hạn, khi quan sát được lặp đi lặp lại và chúng ta có thể tính được xác suất của biến cố sau một thời gian nào đó. Chẳng hạn ta có thể tính được xác suất cửa hàng sẽ Người phản biện: 1. PGS. TS. Nguyễn Văn Tuyên bán được hàng vào một ngày nào đó sau tuần kể từ 2. TS. Nguyễn Viết Tuân ngày hôm nay là bao nhiêu? Việc phát triển các quá Tạp chí Nghiên cứu khoa học, Trường Đại học Sao Đỏ, Số 4 (79) 2022 59
NGHIÊN CỨU KHOA HỌC trình Markov đòi hỏi ta phải dự đoán về khả năng bán xác suất. Để dự đoán được trạng thái của 2 ngày sau , được hàng trong ví dụ nói trên. Để mô hình hóa, ta sử đó, ta nhân ma trận xác suất T với vectơ trạng thái v æv ö trong đó các thành phần v1 , v2 æ v1 ö é0,7 0,5ù æ v1 ö é0,7 0,5ù 2 æ v1 ö æ 0,64 ö v=ç 1÷ dụng vectơ ,, , è v2 ø ç ,, ÷ = ê ç , ÷=ê =ç ç v ÷ ë 0,3 0,5ú ç v ÷ ë 0,3 0,5ú ç v ÷ è 0,36 ø ÷. là các xác suất bán sản phẩm của ngày thứ nhất. Tức è 2ø ûè 2 ø û ç 2÷ è ø là, v1 là xác suất mà ngày thứ nhất bán được sản Từ đó, một cách tổng quát sau n ngày thì vectơ trạng phẩm, v2 là xác suất mà ngày thứ nhất không bán thái bán sản phẩm được tính bởi. được sản phẩm. Sau một ngày, các thành phần của n vectơ v sẽ thay đổi tùy theo xác suất được cho trong n é0,7 0,5ù æ v1 ö T v=ê ç ÷. 0,3 0,5ú è v2 ø Bảng 1 ở trên và sẽ cho ta trạng thái hiện tại của của hàng trong ngày thứ hai. Trong quá trình Markov đó, ë û n ta gọi vectơ v là một vectơ trạng thái và một dãy các Lưu ý rằng, để tính được ma trận T ta có thể sử vectơ trạng thái được gọi là một xích Markov. Sử dụng dụng kĩ thuật chéo hóa ma trận thông qua các giá trị , æ v1 ö riêng và các vectơ riêng tương ứng của ma trận T. , Bảng 1, ta có vectơ trạng thái v = ç ÷ của ngày thứ Chẳng hạn, sau 1 tuần thì vectơ trạng thái là: ç v, ÷ 7 è 2ø é0,7 0,5ù æ 1 ö æ 0,625 ö 𝑣𝑣! = 0,7 × 𝑣𝑣! + 0,5 × 𝑣𝑣# hai có các thành phần là: , 7 T v=ê ú ç ÷=ç ÷. 0,3 0,5û è 0 ø è 0,375 ø ë 𝑣𝑣# = 0,3 × 𝑣𝑣! + 0,5 × 𝑣𝑣# . , Và Điều này có nghĩa là, nếu hôm nay của hàng bán được , sản phẩm thì sau 1 tuần xác suất bán được sản phẩm Điều này có nghĩa là, xác suất v1 bán được hằng ngày là 0,625 và xác suất không bán được sản phẩm là thứ hai bằng “0,7 nhân với xác suất bán được hàng 0,375. Thực tế, vectơ v = (0,625, 0,375)T thỏa mãn của ngày thứ nhất” cộng với “0,5 nhân với xác suất phương trình không bán được hàng của ngày thứ nhất”. Tương tự , như vậy, xác suất v2 không bán được hằng ngày thứ T v = v. hai bằng “0,3 nhân với xác suất bán được hàng của Khi đó ta gọi vectơ v là vectơ trạng thái ổn định của ngày thứ nhất” cộng với “0,5 nhân với xác suất không mô hình b. Tổng quát từ các phân tích trên ta có các bán được hàng của ngày thứ nhất”. Chẳng hạn, nếu định nghĩa sau. ngày hôm nay bán được hàng thì v1 = 1 và v2 = 0. Khi 𝑣𝑣! = 0,7 × 1 + 0,5 × 0 = 0,7 đó ta có: Định nghĩa 1. Cho ma trận. , é 0 A1 A 2 ..... A n ù 𝑣𝑣# = 0,3 × 1 + 0,5 × 0 = 0,3. ê A P P ..... P ú , Và ê 1 11 12 1n ú T = ê A2 P21 P22 ..... P2 n ú , Để đơn giản, ta đặt: ê ú ê.............................. ú é0,7 0,5ù ê A P P ..... P ú T =ê ú ë n n1 n 2 nn û ë 0,3 0,5û Khi đó ta gọi ma trận. Thì mối liên hệ giữa v và v, có thể được mô tả như sau: é P11 P12 ..... P1n ù , ê P P ..... P ú é v1 ù é0,7 0,5ù é v1 ù ê ,ú=ê ú ê ú. P = ê 21 22 2n ú v2 ú ë 0,3 0,5û ëv2 û ê..........................ú ê û ë ê ú Một cách tổng quát, trong một xích Markov, ma trận ë Pn1 Pn 2 ..... Pnn û vuông T = étij ù được sử dụng để chuyển từ là ma trận xác suất chuyển đổi nếu ë û1£i , j £n trạng thái này sang trạng thái kế tiếp được gọi là ma P j + P2 j + ... + Pnj = 1, 1 j = 1, 2,..., n. trận chuyển. Chẳng hạn, với ma trận T ở trên t12 = 0,5 là Như vậy, ta luôn có 0 £ Pij £ 1, i = 1,..., n; j = 1,..., n. xác suất mà một ngày không bán được sản phẩm mà trước đó là ngày bán được sản phẩm. Định nghĩa 2. Một vectơ mà tất cả các thành phần đều dương và Ta gọi ma trận trạng thái n của một xích Markov ứng tổng các thành phần bằng 1 được gọi là một vectơ xác với ma trận xác suất chuyển đổi P và ma trận trạng thái suất. Một ma trận mà các cột được tạo thành từ các ban đầu X 0 là. vectơ xác suất được gọi là một ma trận xác suất. X n = Pn X 0 , é0,7 0,5ù n Xét ví dụ trên, ma trận T = ê Với P = P ×P × ×P là tích của n ma trận P. ... ú là một ma trận ë 0,3 0,5û Định nghĩa 3. 60 Tạp chí Nghiên cứu khoa học, Trường Đại học Sao Đỏ, Số 4 (79) 2022
NGÀNH TOÁN HỌC Xét xích Markov X n = P n X 0 trong đó P là ma trận xác n n Ta xét các chuẩn x = å xi , B = max å aij . Khi suất chuyển đổi, X 0 là vectơ trạng thái ban đầu, X n i =1 1£i £ n j =1 là vectơ trạng thái thứ n. Nếu các phần tử của P đều đó ta có kết quả sau. dương ta gọi ma trận P là ma trận chính quy của xích Định lý 2. Nếu B
NGHIÊN CỨU KHOA HỌC Ví dụ 1. (Mô hình đầu vào - đầu ra trong kinh tế) định. Gọi A là ma trận đầu vào - đầu ra. Từ bảng trên Trong nền kinh tế có số lượng rất lớn các loại hàng hóa ta có: và dịch vụ. Ta xét một số ngành chủ lực của nền kinh é0.04 0.05 0.02 ù tế chẳng hạn ngành dịch vụ, sản xuất nguyên liệu thô A = ê 0.03 0.04 0.04 ú ê ú và sản xuất hàng hóa. Bảng sau cho biết đầu vào cần ê0.02 0.30 0.20 ú ë û thiết cho mỗi đơn vị đầu ra. Bảng 2. Bảng đầu vào của ba ngành b =(b1, b2, b3)T là nhu cầu trên ba lĩnh vực tính bằng tỷ USD và X = (x1, x2, x3)T là vectơ sản xuất cũng bằng Hệ số đầu vào Dịch vụ Nguyên liệu thô Hàng hóa tỷ USD. Khi đó mỗi thành phần của ma trận AX là mức Dịch vụ 0.04 0.05 0.02 sản xuất ở mỗi lĩnh vực tương ứng và gọi là nhu cầu Nguyên liệu thô 0.03 0.04 0.04 nội bộ của lĩnh vực. Hàng hóa 0.02 0.30 0.20 Nếu nhu cầu b đã biết, muốn cân bằng mức sản xuất Cho biết để cung cấp giá trị dịch vụ có doanh thu 1 cho lĩnh vực đáp ứng nhu cầu cân bằng của nền kinh USD thì phải mất 0.04 USD chi phí cho dịch vụ và 0.05 tế, thì X phải thỏa mãn phương trình. chi phí cho nguyên liệu thô và 0.02 hàng hóa. Hãy xác X - AX = b. định xem tỉ trọng đóng góp (tỷ USD) của mỗi ngành Chẳng hạn cho b = (300, 500, 600)T. Khi đó dẫn tới hệ kinh doanh cho nền kinh tế để nền kinh tế đó là ổn phương trình. ì 5 1 ï x1 = 96 x2 + 48 x3 + 312.5 ì 0.96 x1 - 0.05 x2 - 0.02 x3 = 300 ï ï ï 1 1 í -0.03x1 + 0.96 x2 - 0.04 x3 = 500 Û í x2 = x1 + x3 + 520.8333. ï-0.02 x - 0.30 x + 0.80 x = 600 ï 32 24 î 1 2 3 ï 1 3 ï x3 = 40 x2 + 8 x2 + 750 î é 0 0.05211 0.0208 ù Ta có B = ê0.0313 0 0.0417 ú ; g = (312.5;520.8333;750)T và B < 1. ê ú ê 0.025 0.3752 ë 0 ú û Ta giải hệ phương trình trên bằng phương pháp lặp + #print(paste(X,result)) đơn trên R ta được nghiệm xấp xỉ X = (362.6015; + print(paste(result))} 572,7976; 973,979)T, cụ thể như sau: > #ham(x0) > #Phương pháp lặp đơn giải hệ phương trình > x1 esp #ham(x1) > Y xa B xb u1 i u2 while(abs(as.numeric(xa)-as.numeric(x- > u3(1-C)*esp/C){ > v1
NGÀNH TOÁN HỌC [1] “361.607230857028” “571.701987236604” Như vậy, ta tìm được X = (362.6015; 572.7976; “969.701974741575” 973.979)T, điều này có nghĩa là lĩnh vực dịch vụ phải đạt doanh số trị giá khoảng 360 tỷ USD, lĩnh vực [1] “362.461191629524” “572.588178672549” nguyên liệu thô phải sản xuất nguyên liệu thô trị giá “973.5427663826” khoảng 569 tỷ USD và khu vực sản xuất phải sản xuất [1] “362.587259531385” “572.775068656159” hàng hóa sản xuất trị giá khoảng 974 tỷ USD, khi đó, “973.896614428679” nền kinh tế sẽ ổn định. [1] 2 Ví dụ 2: Lượng tiêu thụ điện Y (kWh) phụ thuộc vào diện tích sử dụng của tòa nhà X (m2). Giả sử rằng nếu [1] “362.587259531385” “572.775068656159” diện tích sử dụng tòa nhà là X thì lượng điện tiêu thụ “973.896614428679” trung bình của tòa nhà là Y = a + b X + gV , ở đó [1] “362.604358407789” “572.793770045008” “973.969887248075” V = X 2 . Hãy ước lượng sự tiêu thụ điện của một tòa nhà có diện tích sử dụng là 2500 (m2) dựa theo mẫu [1] “362.606857011805” “572.797360716409” quan sát dưới đây: “973.977331481082” Bảng 3. Bảng mẫu quan sát [1] 3 TT X Y [1] “362.606857011805” “572.797360716409” 1 1280 1185 “973.977331481082” 2 1250 1210 [1] “362.607198961739” “572.797749347231” 3 1420 1350 “973.978741166092” 4 1580 1485 5 1700 1600 [1] “362.607248534739” “572.797818834129” 6 1820 1710 “973.978895529125” 7 1210 1100 [1] 4 8 2350 2250 [1] “362.607248534739” “572.797818834129” 9 2810 2720 “973.978895529125” 10 2900 2810 [1] “362.607255366452” “572.797826822702” Mẫu số liệu trên được chuyển thành mẫu số liệu sau: “973.978922839934” Bảng 4. Bảng dữ liệu tiêu thụ điện theo diện tích sử [1] “362.607256350802” “572.797828175395” dụng của tòa nhà “973.978926008039” TT X X2 Y [1] 5 1 1290 1638400 1185 2 1250 1562500 1210 [1] “362.607256350802” “572.797828175395” 3 1420 2016400 1350 “973.978926008039” 4 1580 2496400 1485 [1] “362.607256487187” “572.797828338315” 5 1700 2890000 1600 “973.978926540178” 6 1820 3312400 1710 [1] “362.607256506745” “572.797828364774” 7 1210 1644100 1100 “973.978926604715” 8 2350 5522500 2250 9 28100 7896100 2720 [1] 6 10 2900 8410000 2810 [1] “362.607256506745” “572.797828364774” “973.978926604715” Chương trình chạy bằng ngôn ngữ R để tìm mặt hồi quy: [1] “362.607256509466” “572.797828368078” x < - “973.978926615132” c(1280,1250,1420,1580,1700,1820,1210,2350,2810,2900) [1] “362.607256509855” “572.797828368597” v
NGHIÊN CỨU KHOA HỌC b2
NGÀNH TOÁN HỌC [2]. J. DeFranza and D. Gagliardi (2015), Introduction [5]. Lê Đình Thủy (2015), Giáo trình Toán cao cấp cho to Linear Algebra with Applications, Waveland các nhà kinh tế, phần I Đại số tuyến tính, NXB Đại Press Inc. học Kinh tế quốc dân. [3]. Vũ Thị Thu Hương và cộng sự (2020), Đại số [6]. Nguyễn Duy Tiến (2005), Các mô hình xác suất tuyến tính Lý thuyết và Ứng dụng trong kinh tế, và ứng dụng, NXB Đại học Quốc gia. NXB Lao động. [7]. Nguyễn Văn Tuấn (2020), Phân tích dữ liệu với R, [4]. R. Nisbet, J. Elder and G. Miner (2017), NXB Tổng hợp Thành phố Hồ Chí Minh. Handbook of Statistical Analysis and Data Mining Applications, Elsevier. THÔNG TIN TÁC GIẢ Nguyễn Thị Diệp Huyền - Năm 2012: Tốt nghiệp Thạc sĩ chuyên ngành Toán giải tích, Trường đại học Sư phạm 2 Hà Nội. -Tóm tắt công việc hiện tại: Giảng viên khoa Khoa học cơ bản, Trường Đại học Sao Đỏ. - Lĩnh vực quan tâm: Toán giải tích. - Điện thoại: 0988101489; Email: diephuyendhsaodo@gmail.com. Tạp chí Nghiên cứu khoa học, Trường Đại học Sao Đỏ, Số 4 (79) 2022 65