zunia.vn

Tuyển sinh 2024 dành cho Gen-Z

zunia.vn

» Khoa Học Tự Nhiên

Nghiệm yếu của bài toán biên cho phương trình vi phân phi tuyến

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:3

Báo xấu

23
lượt xem 2
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Bài viết Nghiệm yếu của bài toán biên cho phương trình vi phân phi tuyến trình bày về nghiệm yếu của một lớp bài toán biên cho phương trình vi phân phi tuyến, các phương trình phi tuyến này có chứa tổ hợp của các thành phần kỳ dị tại 0.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Nghiệm yếu của bài toán biên cho phương trình vi phân phi tuyến

Tuyển tập Hội nghị Khoa học thường niên năm 2020. ISBN: 978-604-82-3869-8 NGHIỆM YẾU CỦA BÀI TOÁN BIÊN CHO PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN PHI TUYẾN Nguyễn Hữu Thọ1, Phạm Nam Giang1 1 Trường Đại học Thủy lợi, email: nhtho@tlu.edu.vn 1. GIỚI THIỆU CHUNG Khi đó, nghiệm của bài toán (1) tồn tại và được xác định bởi (xem trong [3]): Báo cáo này sẽ trình bày về nghiệm yếu ì ï 1 của một lớp bài toán biên cho phương trình vi ï -1 ïG (t ), 0 £t £ ï u(t ) = í 2 phân phi tuyến, các phương trình phi tuyến ï ï 1 này có chứa tổ hợp của các thành phần kỳ dị ïG -1(1 - t ), £ t £ 1, ï ï î 2 tại 0. trong đó: x -1 2. NỘI DUNG BÁO CÁO G (t ) = c1 ò (c2s - t s ) p d t, x Î [0, c2 ] , 1. Đặt vấn đề 0 và c1, c2 là các hằng số dương phụ thuộc vào Xét bài toán biên sau s, p, l . ì ï ï ï ( ) - | u ' |p-2 u ' ' = f (u ), trong (0;1) Một câu hỏi được đặt một cách tự nhiên là: ï u > 0 trong (0;1) (1) í điều gì sẽ xảy ra nếu f (t ) = lt s-1 bị nhiễu bởi ï ï ï ï u(0) = u(1) = 0, một đại lượng sao cho điều kiện (2) không î còn đúng. Trong báo cáo này, chúng ta sẽ xét ở đây p Î (1, ¥) và f : (0, ¥)   là hàm liên hai trường hợp sau: tục. Dễ thấy, tồn tại p Î (1, ¥) sao cho (i) f (t ) = lt s-1 + t q -1, 0 < s < p < q, p - 2 < 0 , và do đó có thể tồn tại kỳ dị tại 0 , do đó ta sẽ xét tính giải được của bài toán (ii) f (t ) = lt s-1 - t r -1, 0 < r < s < p. trong lớp nghiệm yếu. Ta thấy rằng, trong cả hai trường hợp trên, Định nghĩa 1. ([2]) Hàm u Î W01,p ((0,1)) là sự tồn tại, tính duy nhất nghiệm của bài toán một nghiệm yếu của bài toán (1) nếu không thể xảy ra với mọi l > 0 mà tùy theo 1 l > 0 sẽ có các kết quả khác nhau. ò (| u ' | ) p -2 u ' v '- f (u )v dt = 0 2. Kết quả 0 với mọi hàm thử u Î W01,p ((0,1)) . a) Trường hợp f (t ) = lt s-1 + t q -1. Trong [1], khi xét bài toán Như vậy, nghiệm của (1) ít nhất thuộc lớp ìï-Du = lu s-1 + u q -1 trong W C trong [0,1] . Chẳng hạn, với điều kiện hàm 1 ïï ï u > 0 trong W (3) t Î (0, ¥)  f (t )t 1-p giảm ngặt (2) í ïï thì bài toán (1) có ít nhất một nghiệm, một ïï u = 0, ïî ¶W trong các hàm đơn giản thỏa mãn điều kiện với W là miền mở, bị chặn trong n , này đó là: s Î (1, 2), q Î (2, ¥) , các tác giả đã đạt được f (t ) = lt s -1, t > 0, s Î (0, p), l > 0. kết quả sau. 63
Tuyển tập Hội nghị Khoa học thường niên năm 2020. ISBN: 978-604-82-3869-8 Định lý 1. ([1]) Tồn tại số L > 0 sao cho Do đó, giải bài toán (4) tương đương với bài toán (3): việc giải phương trình (5) trong  + , số a) có ít nhất một nghiệm khi l Î (0, L] , nghiệm của (5) được xác định thông qua việc b) có ít nhất 2 nghiệm khi khảo sát hình học của hàm T . 2n l Î (0, L) và q £ , nếu n ³ 3 , n -2 c) không có nghiệm với l > L. Với cách tiếp cận tương tự, ta xét bài toán sau: ( ) ìï- | u ' |p-2 u ' ' = lu s-1 + u q -1, trong (0,1) ïï Hình 1. Biểu diễn hình học của T ï u > 0 trong (0;1) (4) í ïï b) Trường hợp f (t ) = lt s-1 - t r -1. ïï u(0) = u(1) = 0, î Giả sử p Î (1, ¥), s Î (0, p), r Î (0, s ) và và nhận được kết quả sau. l Î (0, ¥) . Chúng ta xét bài toán biên sau Định lý 2. Cho p Î (1, ¥), s Î [1, p) và q Î (p, ¥) , khi đó luôn tồn tại số L > 0 sao ( ) ìï- | u ' |p-2 u ' ' = lu s-1 - u r -1, trong (0,1) ïï ï u > 0 trong (0;1) (6) cho bài toán (4): í ïï a) có đúng 2 nghiệm khi l Î (0, L) , ïï u(0) = u(1) = 0. ïî b) có đúng một nghiệm khi l = L , Khi đó chúng ta cũng nhận được kết quả c) không có nghiệm với l > L. tương tự Định lý 2. Trong trường hợp này, Chứng minh. Bằng cách sử dụng phương chỉ khác rằng nghiệm tồn tại với l lớn và bài pháp “shooting” như trong [1], ta sẽ biến đổi toán vô nghiệm với l nhỏ. Cụ thể là, tồn tại bài toán (4) thành một phương trình đại số và tồn tại tương ứng 1 - 1 giữa tậpnghiệm của số L > 0 sao cho bài toán (6) có nghiệm với l ³ L và vô nghiệm khi l Î (0, L) . bài toán (4) với tập nghiệm của phương trình (ẩn c > 0 ) sau: Lúc này, hàm T tương ứng với bài toán 1 (6) có dạng 1 æ p - 1ö÷ p . q -s p1 q -p T (c) = ççç ÷÷ l (5) -1 2 è p ø÷ c æc s c r t s t r ö÷ p T (c) := ò çç - - + ÷ dt, ở đây: çç s ÷ 0 è r s r ÷ø -1 1 c æc s c q t s t q ö p æ s ös -r T (c) := ò ççç + - - ÷÷÷ dt, c > 0. c ³ t(r ) := ççç ÷÷÷ . 0 èç s q s q ø÷ è r ÷ø Hơn nữa, mỗi nghiệm c0 > 0 của phương Ở đậy, t(r ) là nghiệm dương duy nhất của trình (5) sẽ xác định một nghiệm tương ứng ts tr phương trình - = 0. Cũng như trường u : [0,1]  [0, c0 ] của (4) được xác định (ẩn) bởi: s r -1 hợp a), với mỗi nghiệm c0 Î [t(r ), ¥) của u (x ) æc s cq t s t q ö÷ p ç 0 ÷ phương trình ò ççç s + q - s - q ÷÷÷ dt = è 0 ø 0 1 1 æ p - 1ö÷p p .s -r 1 1 q -s æ p - 1ö÷ é 1ù T (c) = ççç 1 q -p p . ÷÷ l , = çç ÷ l p q -s x , x Î ê 0, ú 2 è p ø÷ çè p ÷÷ø ê 2ú ë û é1 ù sẽ tương ứng với một nghiệm duy nhất u(x ) = u(1 - x ), x Î ê ,1ú . ê2 ú u : [0,1]  [0, c0 ] được xác định (ẩn) bởi ë û 64
Tuyển tập Hội nghị Khoa học thường niên năm 2020. ISBN: 978-604-82-3869-8 -1 3. KẾT LUẬN u (x ) æc s cq t s t q ö÷ p ç 0 ÷ ò ççç s + q - s - q ÷÷÷ dt = è 0 ø Báo cáo trình bày bài toán về nghiệm yếu 0 1 của bài toán biên đối với phương trình vi phân æ p - 1ö÷p p1 .qs --rs é 1ù phi tuyến trong các trường hợp về phải là = ççç ÷÷ l x , x Î ê0, ú è p ø÷ ê 2ú ë û tổng hoặc hiệu của các thành phần mũ có kỳ é1 ù dị tại 0. Chúng ta cũng có thể mở rộng bài ê u(x ) = u(1 - x ), x Î ,1 . ú ê2 ú toán trong trường hợp hàm vế phải là tổ hợp ë û của nhiều hơn hai thành phần chứa kỳ dị tại 0. Trong trường hợp r > 1 (không xảy ra kỳ dị) chúng ta nhận được kết quả sau. 4. TÀI LIỆU THAM KHẢO Định lý 3. Giả sử p Î (1, ¥), s Î (1, p), r Î (1, s ) . [1] A. Ambrosetti, H. Brezis and G. Cerami, (1994), Combined effects of concave and Khi đó luôn tồn tại hai số dương Giả sử convex nonlinearities in some elliptic L1, L2 với L1 < L2 sao cho bài toán (6): problems, J. Funct. Anal, Vol. 122, pp. a) không có nghiệm khi l Î (0, L1 ) ; 519-543. [2] J.L. Diaz, (2009), Branches of positive and b) có nghiệm duy nhất ul Î Á nếu free boundary solutions for a quasi-linear l Î {L1 } È (L2, ¥) ; elliptic problems, J. Math. Anal. Appl. 352, pp. 449-474. c) có đúng hai nghiệm ul , vl nếu [3] M. Otani, (1984), On certain second order l Î (L1, L2 ] ; hơn nữa ul , vl Î Á nếu l < L2 , ordinary differential equations associated with Sobolev - Poincare - type inequalities, và ul Î Á, vl Î Á0 nếu l = L2 . Ở đây Nonlinear Anal. , Vol. 8, No. 11, Á := ïí ( êë úû ) ìu Î C 1 é 0,1ù : u > 0 trong (0,1), ï ï ü ïý , pp. 1255-1270. [4] J. Sanchez, (2000), One-dimensional ï ï u '(0) > 0, u '(1) < 0 ï ï ï î ï þ elliptic equation with concave and convex Á0 := í ï ëê ûú( ) ìïu Î C 1 é0,1ù : u > 0 trong (0,1), üï ïý . nonlinearirties, Electron. J. Differ. Equ., Vol. 2000, No. 50, pp. 1-9. ïï u '(0) = u '(1) = 0ïï îï þï Một điều thú vị nữa là nghiệm vL Î Á0 với 2 l > L2 . 65

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

THÔNG TIN

TRỢ GIÚP

HỖ TRỢ KHÁCH HÀNG

Theo dõi chúng tôi

Chịu trách nhiệm nội dung:

Nguyễn Công Hà - Giám đốc Công ty TNHH TÀI LIỆU TRỰC TUYẾN VI NA

LIÊN HỆ

Địa chỉ: P402, 54A Nơ Trang Long, Phường 14, Q.Bình Thạnh, TP.HCM

Hotline: 093 303 0098

Email: support@tailieu.vn

Giấy phép Mạng Xã Hội số: 670/GP-BTTTT cấp ngày 30/11/2015 Copyright © 2022-2032 TaiLieu.VN. All rights reserved.