NGUYÊN HÀM

Chia sẻ: Kid Bi | Ngày: | Loại File: DOC | Số trang:27

Thêm vào BST

Báo xấu

2.073
lượt xem 521
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

bài tập ôn tích phân toán nguyên hàm phương pháp biến số

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: NGUYÊN HÀM

TÍCH PHÂN Bảng công thức tích phân bất định : ∫ 0dx = C ∫ dx = x + C x n +1 1 ∫ x dx = n n +1 +C n ≠ −1 ∫ x dx = ln x + C ax ∫ e dx = e + C ∫ a dx = x x x C ln a ∫ sin xdx = − cos x + C ∫ cos xdx = sin x + C 1 1 ∫ cos x dx = tan x + C 2 ∫ sin 2 x dx = − cot x + C u′( x) 1 1 x−a ∫ u( x) dx = ln u ( x) + C ∫x 2 −a 2 dx = ln 2a x + a +C x 2 a ∫ x 2 + a dx = 2 x + a + ln x + x 2 + a + C 2 Phương pháp biến số phụ : Cho hàm số f (x) liên tục trên đoạn [ a; b] có nguyên hàm là F (x) . Giả sử u (x) là hàm số có đạo hàm và liên tục trên đoạn [α , β ] và có miền giá trị là [ a; b] thì ta có : ∫ f [ u( x)].u ' ( x)dx = F ( x)[ u( x)] + C BÀI TẬP Tính các tích phân sau : 1 1 e xdx e x dx 1 + ln x dx a) I1 = ∫ b) I 2 = ∫ c) I 3 = ∫ 0 x2 + 1 0 ex − 1 1 x Bài làm : dt a) Đặt t = x 2 + 1 ⇒ dt = 2 xdx ⇒ xdx = 2 Trung tâm văn hóa onthi.com
x = 0 → t = 1 Đổi cận :  x = 1 → t = 2 2 2 xdx 1 2 dt 1 1 Vậy : I1 = ∫ 2 = ∫ = ln t = ln 2 1 x +1 21 t 2 1 2 b) Đặt t = e x − 1 ⇒ dt = e x dx x = 1 → t = e − 1 Đổi cận :  x = 2 → t = e − 1 2 e2 −1 1 x e2 −1 Vậy : I 2 = ∫ ex dx = ∫ dt = ln t = ln(e + 1) 0 e −1 e−1 t e−1 1 c) Đặt t = 1 + ln x ⇒ tdt = dx x x = 1 → t = 1 Đổi cận :  x = e → t = 2 e 2 2 1 + ln x dx 2 3 2 I3 = ∫ = ∫ t dt = t 2 = (2 2 − 1) 1 x 1 3 1 3 Tích phân lượng giác : β Dạng 1 : I = ∫ sin mx. cos nxdx α Cách làm: biến đổi tích sang tổng . β Dạng 2 : I = ∫ sin x. cos x.dx m n α Cách làm : Nếu m, n chẵn . Đặt t = tan x Nếu m chẵn n lẻ . Đặt t = sin x (trường hợp còn lại thì ngược lại) β dx Dạng 3 : I = ∫ α a. sin x + b. cos x + c Cách làm :  2t x sin x = 1 + t 2  Đặt : t = tan ⇒  cos x = 1 − t 2 2   1+ t2 β a. sin x + b. cos x Dạng 4 : I =∫ .dx α c. sin x + d . cos x Cách làm : a. sin x + b. cos x B (c. cos x − d . sin x) Đặt : = A+ c. sin x + d . cos x c. sin x + d . cos x Trung tâm văn hóa onthi.com
Sau đó dùng đồng nhất thức . β a. sin x + b. cos x + m Dạng 5: I = ∫ .dx α c. sin x + d . cos x + n Cách làm : a. sin x + b. cos x + m B (c. cos x − d . sin x) C Đặt : = A+ + c. sin x + d . cos x + n c. sin x + d . cos x + n c. sin x + d . cos x + n Sau đó dùng đồng nhất thức. BÀI TẬP Tính tích phân : π π π 2 2 4 a) I1 = ∫ cos xdx 4 b) I 2 = ∫ cos 5 xdx c) I 3 = ∫ tan 6 xdx 0 (sin x + 1) 0 0 Bài làm : a) Đặt : t = sin x + 1 ⇒ dt = cos xdx x = 0 → t = 1  Đổi cận :  π x = 2 → t = 2  π 2 2 2 Vậy : I 1 = ∫ cos xdx 4 = ∫ dt = − 13 = 7 (sin x + 1) 0 4 1 t 3t 1 24 b) Đặt : t = sin x ⇒ dt = cos xdx x = 0 → t = 0  Đổi cận :  π x = 2 → t = 1  π 1 1 ( ) ( ) 2 2 I 2 = ∫ cos 5 xdx = ∫ 1 − t 2 dt = ∫ 1 + t 4 − 2t 2 dt Vậy : 0 0 1 0 1  t5 2 3  8 = ∫ − t + t = 5 3  0  0 15 c) Đặt : t = tan x ⇒ dt = (tan 2 x + 1)dx x = 0 → t = 0  Đổi cận :  π x = 4 → t = 1  Trung tâm văn hóa onthi.com
π 1 1 4 t 6 dt  1  I 3 = ∫ tan xdx = ∫ 2 6 = ∫ t 4 − t 2 + 1 − 2 dt 0 0 t +1 0 t + 1 Vậy : π 1  t5 t3  4 13 π  − + t  − ∫ du = − =  5 3 0 0 15 4 Tính các tích phân sau : π π 2 3 a) I1 = ∫ sin x. cos x b) I 2 = ∫ cos x dx dx 0 a 2 .sin 2 x + b 2 . cos 2 x 0 2 + cos 2 x Bài làm : a) Đặt : t = a 2 .sin 2 x + b 2 .cos 2 x ⇒ dt = 2(−b 2 + a 2 ) sin x. cos xdx x = 0 → t = a 2  Đổi cận :  π x = → t = b 2  2 Nếu a ≠ b π 2 b2 sin x. cos x 1 dt I1 = ∫ Vậy : 0 a 2 . sin x + b 2 . cos x dx = 2 b − a2 2 ( )∫ a2 t 2 1 b a−b 1 = t = = b − a2 2 a2 b −a 2 2 a+b Nếu a = b π π 2 2 sin x. cos x sin x. cos xdx I1 = ∫ dx = ∫ 0 a 2 . sin 2 x + b 2 . cos 2 x 0 a Vậy : π π 2 2 1 1 1 = ∫ sin 2 xdx = − 4 a cos 2 x = 2 a 2a 0 0 b) Đặt : t = sin x ⇒ dt = cos xdx x = 0 → t = 0  Đổi cận :  π 3 x = → t =  3 2 π 3 3 3 2 2 cos x dt 1 dt Vậy : I 2 = ∫ 2 + cos 2 x dx = ∫ = 2 ∫ 3 2 3 − 2t 2 0 0 0 −t 2 Trung tâm văn hóa onthi.com
3 3 Đặt : t = cos u ⇒ dt = − sin udu 2 2  π t = 0 → u = 2  Đổi cận :  t = 3 → u = π   2 4 3 π 3 2 2 sin udu 1 dt 1 2 I2 = ∫ = ∫ 2 0 3 2 2 −t 2π 3 4 2 1 − cos 2 u ( ) Vậy : π π 2 1 4 1 π = ∫ du = 2π 2 u = 4 2 π 4 4 Tính các tích phân sau : π π b) I 2 = ∫ sin x + 7 cos x + 6 dx 2 2 a) I 1 = ∫ 1 dx 0 4 sin x + 3 cos x + 5 0 4 sin x + 3 cos x + 5 Bài làm : x  x  2dt a) Đặt : t = tan ⇒ dt =  tan 2 + 1dx ⇒ dx = 2 2  2  t +1 x = 0 → t = 0  Đổi cận :  π x = 2 → t = 1  2 1 1 1+ t2 dt I1 = ∫ dt = ∫ 1− t 0 ( t + 1) 2 2 2t Vậy : 0 4 +3 +5 1+ t2 1+ t2 1 1 1 =− = t+2 0 6 sin x + 7 cos x + 6 4 cos x − 3 sin x C b)Đặt : = A+ B + 4 sin x + 3 cos x + 5 4 sin x + 3 cos x + 5 4 sin x + 3 cos x + 5 Dùng đồng nhất thức ta được: A = 1 , B = 1 , C = 1 π π 2 sin x + 7 cos x + 6 2 4 cos x − 3 sin x 1  I2 = ∫ dx = ∫ 1 + + dx Vậy : 0 4 sin x + 3 cos x + 5 0 4 sin x + 3 cos x + 5 4 sin x + 3 cos x + 5  π π = ( x + ln 4 sin x + 3 cos x + 5 ) 02 + I1 = 9 1 + ln + 2 8 6 Trung tâm văn hóa onthi.com
Bạn đọc tự làm : π π π cos3 x 2 2 2 dx a) I1 = ∫ 2 dx b) I 2 = ∫ cos3 x. sin xdx c) I 3 = ∫ π sin x 0 0 sin x + 2 6 π π π 2 3 c) I 3 = ∫ 4 sin x dx d) I 5 = ∫ 2 1 2 sin x − cos x + 1 dx d) I 6 = ∫ dx 0 cos x + 1 0 sin x + 2 cos x + 3 0 sin x + 2 cos x + 3 Tính nguyên hàm,tích phân các hàm hữu tỷ dx 1 1 Dạng 1 : I = ∫ ( =− . + C với ( a, n ) ∈ C × ( N − { 0,1} ) ta có : x − a) n − 1 ( x − a ) n−1 n dx Nếu n = 1 , a ∈ R ta có : I = ∫ = ln x + C x−a α , β , a, b, c ∈ R αx + β Dạng 2 : I = ∫ dx trong đó :  ( ax 2 + bx + c ) ∆ = b − 4ac < 0 2 n * Giai đoạn 1 : α ≠ 0 ,làm xuất hiện ở tử thức đạo hàm của tam thức ax 2 + bx + c , sai khác một số : 2aβ 2ax + b + −b α α α 2ax + b α  2aβ  dx 2a ∫ ∫ ax 2 + bx + c n dx + 2a  α − b ∫ ax 2 + bx + c I= dx = ( ax + bx + c 2 n 2a ) (  ) ( ) n * Giai đoạn 2 : n dx  4a  − ∆ dt Tính I = ∫ ( ax + bx + c 2 n dx =  . ) ∫ +b 1 + t 2  − ∆  2a 2 ax ( ) n t= −∆ * Giai đoạn 3 : 1 Tính I = ∫ dt có thể tính bằng hai phương pháp , truy hồi hoặc đặt (t 2 +1 ) n t = tan φ P ( x) Dạng 3 : I = ∫ Q ( x ) dx m n Pm ( x ) am x m + ...... + a1 x + a0 Ta có : = Qn ( x ) bn x n + ...... + b1 x + b0 P ( x) R ( x) Nếu : deg( P ) ≥ deg( Q ) thì ta thực hiện phép chia Q ( x ) = A( m − n ) ( x ) + Q ( x ) trong đó m r n n Rr ( x ) phân số Q ( x ) có deg( R ) < deg( Q ) n Nếu : deg( P ) < deg( Q ) ta có các qui tắc sau : Trung tâm văn hóa onthi.com
Pm ( x ) A1 An −1 An *Qt 1: = + ...... + + ( x − a) ( x − a) n ( x − a) n −1 ( x − a) n Pm ( x ) n Ai =∑ Vdụ 1a : n ( )i ∏ ( x − ai ) i=1 x − ai i i =1 P ( x) A B C D Vdụ 1b : ( x − a)( x − b)( x − c)2 = x − a + x − b + x − c + ( x − c ) 2 m Pm ( x ) A1 x + B1 An−1 x + Bn−1 An x + Bn = + ...... + + *Qt 2': ( ax + bx + c 2 ax + bx + c 2 ) n ( ax + bx + c 2 n −1 ) ax 2 + bx + c ( ) ( ) n với ∆ < 0 Pt ( x ) m Ai n A x + B1 *Qt 3: =∑ +∑ 2i ( ( x − α ) ax + bx + c i =1 ( x − α ) k =1 ax + bx + c i m 2 n i ) ( ) Pt ( x ) A Bx + C Vdụ 1 : ( x − α ) ax 2 + bx + c = x − α + ax 2 + bx + c ( ) ( ) Pt ( x ) A B1 x + C1 B2 x + C 2 = + + Vdụ 2 : ( ) ( x − α ) ax 2 + bx + c ( x − α ) ax + bx + c ax 2 + bx + c 2 2 2 ( ) ( ) BÀI TẬP Tính các tích phân sau : 1 1 dx dx a) I 1 = ∫ b) I 2 = ∫ 0 x + 3x + 2 2 0 (x 2 + 3x + 2 ) 2 Bài làm : 1 1 1 dx dx  1 1  a) I 1 = ∫ 2 =∫ = ∫ − dx 0 x + 3x + 2 0 ( x + 1)( x + 2) 0  x + 1 x + 2  = [ ln x + 1 − ln x + 2 ] 0 = ln 4 1 3 1 dx 1  1 1 2  b) I 2 = ∫ 2 dx = ∫  + − dx 0 ( x + 3x + 2) 2 0  ( x + 1) 2 ( x + 2) ( x + 1)( x + 2)  2  1  1  − 2( ln x + 1 − ln x + 2 )  = OK 1 = − −  x +1 x + 2 0 Tính các tích phân sau : 1 1 dx 4x − 2 a) I1 = ∫ b) I 2 = ∫ dx 0 x + 3x 2 + 3 4 0 ( 2 ) x + 1 ( x + 2) Bài làm : Trung tâm văn hóa onthi.com
dx 1 x a)* Bạn đọc dễ dàng chứng minh được I 0 = ∫ = arctan + C với a > 0 x +a22 a a 1 1 1 dx dx 1  1 1  I1 = ∫ =∫ 2 = ∫ 2 − 2 dx 0 4 2 2 ( )( x + 3x + 3 0 x + 1 x + 3 2 0  x + 1 x + 3  ) 1 1 =  arctan x − 2 1 3 arctan x  π  = 9−2 3 30 2 ( ) 4x − 2 A Bx + C x 2 ( A + B ) + x( 2 B + C ) + 2C + A b) Đặt : = + = ( ) ( x + 2) x 2 + 1 x + 2 x 2 + 1 ( x + 2) x 2 + 1 ( ) A + B = 0  A = −2   Do đó ta có hệ : 2 B + C = 4 ⇔ B = 2 2C + A = 0 C = 0   1 1 4x − 2  2 2x  Vậy : I 2 = ∫ dx = ∫  − + 2 dx 0 ( 2 ) x + 1 ( x + 2) 0 x + 2 x +1 [ ] 1 = − 2 ln x + 2 + ln x 2 + 1 = −2 ln 3 + ln 2 + ln 2 − ln 1 = ln 0 4 9 Bạn đọc tự làm : 3 5 x +1 dx a) I1 = ∫ dx b) I 2 = ∫ 2 x ( x − 1) 2 2 x + 2x − 3 2 2 2 x −1 3 x c) I 3 = ∫ dx d) I 3 = ∫ x 4 − 3x 2 + 2 dx 1 4x3 − x 3 HD: x +1 A B C 1 A B a) x 2 ( x − 1) = x + x 2 + x − 1 = + b) x + 2x − 3 x − 1 x + 3 2 x −1 1  3 x−4  x A B C D c) 3  x( 2 x + 1)( 2 x − 1)  d) x 4 − 3 x 2 + 2 = x − 1 + x + 1 + x + 2 + x − 2 = 1 + 4x − x 4    Đẳng thức tích phân : Muốn chứng minh đẳng thức trong tích phân ta thường dùng cách đổi biến số và nhận xét một số đặc điểm sau . * Cận tích phân , chẵn lẻ , tuần hoàn , cận trên + cận dưới, …. Chúng ta cần phải nhớ những đẳng thức nầy và xem nó như 1 bổ đề áp dụng. BÀI TẬP Trung tâm văn hóa onthi.com
1 1 Chứng minh rằng : ∫ x (1 − x ) dx = ∫ x (1 − x ) dx m n n m 0 0 Bài làm : 1 Xét I = ∫ x (1 − x ) dx m n 0 Đặt : t = 1 − x ⇒ dt = −dx ⇒ dx = −dt x = 0 → t = 1 Đổi cận :  x = 1 → t = 0 1 0 1 Vậy : I = ∫ x (1 − x ) dx = − ∫ (1 − t ) t dt = ∫ (1 − t ) t dt (đpcm) n m m n m n 0 1 0 Chứng minh rằng nếu f (x) là hàm lẻ và liên tục trên đoạn [ − a, a ] thì : a I= ∫ f ( x ) dx = 0 −a Bài làm : a 0 a I= ∫ f ( x)dx = ∫ f ( x ) dx + ∫ f ( x ) dx (1) −a −a 0 0 Xét −a ∫ f ( x ) dx . Đặt t = − x ⇒ dt = −dx ⇒ dx = −dt  x = −a → t = a Đổi cận :  x = 0 → t = 0 0 a a V ậy : ∫ f ( x ) dx = ∫ f ( − t ) dt = −∫ f ( t ) dt −a 0 0 Thế vào (1) ta được : I = 0 (đpcm) • Tương tự bạn đọc có thể chứng minh : Nếu f (x) là hàm chẳn và liên tục trên a a đoạn [ − a, a ] thì I = ∫ f ( x ) dx = 2 ∫ f ( x )dx −a 0 Cho a > 0 và f ( x ) là hàm chẵn , liên tục và xác định trên R . f ( x) α α Chứng minh rằng : ∫ x dx = ∫ f ( x )dx −α a +1 0 Bài làm : f ( x) f ( x) f ( x) α 0 α ∫α a dx = ∫ x dx + ∫ x dx (1) − x +1 −α a +1 0 a +1 Trung tâm văn hóa onthi.com
f ( x) 0 Xét ∫α a − x +1 dx . Đặt t = − x ⇒ dt = − dx ⇒ dx = − dt  x = −α → t = α Đổi cận :  x = 0 → t = 0 f ( x) f (− t) at f ( t ) 0 α α Vậy : ∫ x dx = ∫ − t dt = ∫ t −α a +1 0 a +1 0 a +1 f ( x) a x f ( x) f ( x) α 0 α α Thế vào (1) ta được : ∫ x dx = ∫ x dx + ∫ x dx = ∫ f ( x ) dx (đpcm) −α a +1 −α a +1 0 a +1 0 Cho hàm số f ( x ) liên tục trên [ 0,1] . Chứng minh rằng : π ππ ∫ x. f ( sin x ) dx = 2 ∫ f ( sin x ) dx 0 0 Bài làm : π Xét ∫ x. f ( sin x ) dx . Đặt t = π − x ⇒ dt = −dx ⇒ dx = −dt 0 x = 0 → t = π Đổi cận :  x = π → t = 0 π π π Vậy : ∫ x. f ( sin x ) dx = ∫ ( π − t ). f [ sin ( π − t ) ] dt = ∫ ( π − t ). f ( sin t ) dt 0 0 0 π π = π ∫ f ( sin t ) dt − ∫ t. f ( sin t ) dt 0 0 π π ⇒ 2∫ x. f ( sin x ) dx = π ∫ f ( sin x )dx 0 0 π π π ⇒ ∫ x. f ( sin x ) dx = 2 ∫ f ( sin x )dx 0 0 • Từ bài toán trên , bạn đọc có thể mở rộng bài toán sau . Nếu hàm số f ( x ) liên tục trên [ a, b] và f ( a + b − x ) = f ( x ) . Thì ta luôn có : b π a +b ∫ x. f ( x ) dx = 2 ∫ f ( x ) dx a 0 Cho hàm số f ( x ) liên tục,xác định , tuần hoàn trên R và có chu kì T . a +T T Chứng minh rằng : ∫ f ( x ) dx = ∫ f ( x ) dx a 0 Bài làm : Trung tâm văn hóa onthi.com
a +T T a +T 0 T a +T ∫ f ( x ) dx = ∫ f ( x ) dx + ∫ f ( x ) dx = ∫ f ( x ) dx + ∫ f ( x ) dx + ∫ f ( x ) dx a a T a 0 T a a +T Vậy ta cần chứng minh ∫ f ( x ) dx = ∫ f ( x ) dx 0 T a Xét ∫ f ( x ) dx 0 . Đặt t = x + T ⇒ dt = dx x = 0 → t = T Đổi cận :  x = a → t = a + T a +T a +T Vậy : T ∫ f ( t − T ) dt = ∫ f ( t )dt T a +T T Hay : ∫ f ( x ) dx = ∫ f ( x ) dx a 0 (đpcm) • Từ bài toán trên , ta có hệ quả sau : Nếu hàm số f ( x ) liên tục,xác định , tuần hoàn trên R và có chu kì T , thì ta luôn T T 2 có : ∫ f ( x ) dx = ∫ f ( x ) dx 0 T − 2 Bạn đọc tự làm : ( ) 1 1 a) I1 = ∫ x(1 − x ) dx b) I 2 = ∫ sin 2 x. cos x ln x + x 2 + 1 dx 6 0 −1 π π x. sin x x.sin x c) I 3 = ∫ dx d) I 4 = ∫ dx 0 9 + 4 cos 2 x 0 1 + cos 2 x π 2 x 2 sin x 1 x 2 + sin x e) I 5 = ∫π 1+ 2x dx f) I 6 = ∫ 1+ x2 dx − −1 2 ( ) 2π 2009π g) I 7 = ∫ ln sin x + 1 + sin x dx ∫ ∗ ∗ h) I 8 = 1 − cos 2 x dx 2 0 0 Tích phân từng phần : Cho hai hàm số u và v có đạo hàm liên tục trên đoạn [ a, b] , thì ta có : b b ∫ udv = [ uv] a − ∫ vdu b a a Trong lúc tính tính tích phân từng phần ta có những ưu tiên sau : *ưu tiên1: Nếu có hàm ln hay logarit thì phải đặt u = ln x hay u = log a x . *ưu tiên 2 : Đặt u = ?? mà có thể hạ bậc. Trung tâm văn hóa onthi.com
BÀI TẬP Tính các tích phân sau : π 1 e 2 a) I1 = ∫ x.e dx c) I 3 = ∫ ln xdx x b) I 2 = ∫ x . cos xdx 2 0 1 0 Bài làm : u = x ⇒ du = dx a) Đặt :  dv = e dx ⇒ v = e x x 1 1 x 1 − ∫ e x dx = e − e x = e − ( e − 1) = 1 1 Vậy : I1 = ∫ x.e dx = x.e x 0 0 0 0 u = x 2 ⇒ du = 2 xdx b) Đặt :  dv = cos xdx ⇒ v = sin x π π Vậy : I1 = ∫ x.e x dx = − x. cos x − 2 ∫ x. sin xdx = π −2 ∫ x. sin xdx (1) 1 π 2 2 2 2 0 0 0 4 0 π 2 Ta đi tính tích phân ∫ x. sin xdx 0 u = x ⇒ du = dx Đặt :  dv = sin xdx ⇒ v = − cos x π π 2 π 2 π π Vậy : ∫ x. sin xdx = − x. cos x + ∫ cos xdx = − x. cos x 02 + sin 02 = 1 2 0 0 0 1 π 2 −8 Thế vào (1) ta được : I1 = ∫ x.e dx = x 0 4  1 u = ln x ⇒ du = dx c) Đặt :  x dv = dx ⇒ v = x  e e Vậy : I 3 = ∫ ln xdx = x. ln x 1 − ∫ dx = x. ln x 1 − x 0 = 1 e e e 1 1 Tính các tích phân sau : π π eπ c) I 3 = ∫ cos( ln x ) dx 4 a) I1 = ∫ e . sin xdx x b) I 2 = ∫ x dx 0 0 cos 2 x 1 Bài làm : Trung tâm văn hóa onthi.com
u = e x ⇒ du = e x dx a) Đặt :  dv = sin xdx ⇒ v = − cos x π π Vậy : I1 = ∫ e . sin xdx = − e . cos x 0 + ∫ e . cos xdx = e + 1 + J (1) x xx π π 0 0 u = e ⇒ du = e dx x x Đặt :  dv = cos xdx ⇒ v = sin x π π π Vậy : J = ∫ e . cos xdx = e . sin x 0 − ∫ e . sin xdx = − I x x x 0 0 eπ + 1 Thế vào (1) ta được : 2 I1 = eπ + 1 ⇒ I1 = 2 u = x ⇒ du = dx  b) Đặt :  1 dv = cos 2 x dx ⇒ v = tan x  π π 4 x π 4 π π π 2 Vậy : I 2 = ∫ 2 dx = x. tan x − ∫ tan xdx = + ln ( cos x ) 04 = + ln 4 0 0 cos x 0 4 4 2  1 u = cos( ln x ) ⇒ du = − sin ( ln x ) dx c) Đặt :  x dv = dx ⇒ v = x  eπ eπ Vậy : I 3 = ∫ cos( ln x ) dx = x. cos( ln x ) 1 + ∫ sin ( ln x ) dx = −( eπ + 1) + J eπ 1 1  1 u = sin ( ln x ) ⇒ du = cos( ln x ) dx Đặt :  x dv = dx ⇒ v = x  eπ eπ Vậy : I 3 = ∫ sin ( ln x ) dx = x. sin ( ln x ) 1 − ∫ cos( ln x ) dx = 0 − I 3 eπ 1 1 eπ + 1 Thế vào (1) ta được : 2 I 3 = −( eπ + 1) ⇒ I 3 = − 2 Bạn đọc tự làm : ln 2 e a) I1 = ∫ x.e dx b) I 2 = ∫ (1 − ln x ) dx −x 2 0 1 ( ) 2 1  1 1  c) I 3 = ∫  2 − d) I 4 = ∫ ln x + 1 + x dx 2 dx e  ln x ln x  0 π 3 e e) I 5 = ∫ sin x. ln( tan x ) dx f) I 6 = ∫ cos 2 ( ln x ) dx π 1 4 Trung tâm văn hóa onthi.com
π π h) I ∗7 = ∫ 1 + sin x e x dx 4 2 g) I ∗7 = ∫ x 2 cos 2 x 0 0 1 + cos x Tích phân hàm trị tuyệt đối, min , max : b Muốn tính I = ∫ f ( x ) dx ta đi xét dấu f ( x ) trên đoạn [ a, b] , khử trị tuyệt đối a b Muốn tính I = ∫ max[ f ( x ) , g ( x ) ] dx ta đi xét dấu f ( x ) − g ( x ) trên đoạn [ a, b] a b Muốn tính I = ∫ min[ f ( x ) , g ( x ) ] dx ta đi xét dấu f ( x ) − g ( x ) trên đoạn [ a, b] a Tính các tích phân sau : 4 2 a) I1 = ∫ x − 2 dx b) I1 = ∫ x + 2 x − 3 dx 2 1 0 Bài làm : x 1 2 4 a) x-2 - 0 + 2 4 4 2 4  x2   x2  Vậy : I1 = ∫ x − 2 dx = ∫ ( 2 − x )dx + ∫ ( x + 2)dx = 2 x −  +  − 2 x  1 1 2  2 1  2 2   1  5 = ( 4 − 2 ) −  2 −   + [ ( 8 − 8) − ( 2 − 4 ) ] =   2  2 b) Lập bảng xét dấu x 2 + 2 x − 3 , x ∈ [ 0,2] tương tự ta được 2 1 2 ( ) I1 = ∫ x + 2 x − 3 dx = − ∫ x + 2 x − 3 dx + ∫ x 2 + 2 x − 3 dx 2 2 ( ) 0 0 1 . 1 2  x3   x3  I1 = 3 x − x 2 −  + − 3 x + x 2 +  = 4  3 0  3 1 1 Tính I a = ∫ x x − a dx với a là tham số : 0 Bài làm : x −∞ a +∞ Trung tâm văn hóa onthi.com
x-a - 0 + (Từ bảng xét dấu trên ta có thể đánh giá ). Nếu a ≤ 0 . 1 1 1  x 3 ax 2  I a = ∫ x x − a dx = ∫ ( x − ax dx =  − 2 ) 1 a  =3−2 0 0 3 2 0 Nếu 0 < a < 1 . 1 a 1 I a = ∫ x x − a dx = − ∫ x − ax dx + ∫ x 2 − ax dx ( 2 ) ( ) 0 0 a a 1  ax 2 x 3   ax 2 x 3  1 a2 a3 = −  + − +  = − +  2 3 0  2 3 a 3 2 2 Nếu a ≥ 1 . 1 1  x 3 ax 2  1 I a = ∫ x x − a dx = − ∫ x − ax dx = −  − ( 1 a  =−3+ 2 2 ) 0 0 3 2 0 2 3 Tính : a) I1 = ∫ min(1, x ) dx ( ) I 2 = ∫ max x 2 , x dx 2 0 0 Bài làm : a) Xét hiệu số : (1 − x 2 ) ∀x ∈ [ 0,2] 2 1 2 2 ( Vậy : I1 = ∫ min 1, x dx = ∫ x dx + ∫ dx = x3 2 3 0 ) 2 + x1 = 4 3 2 0 0 1 b) Xét hiệu số : x( x − 1) ∀x ∈ [ 0,3] tương tự như trên ta có . 3 1 3 1 3 ( ) I 2 = ∫ max x , x dx = ∫ xdx + ∫ x dx = 2 x2 + x3 = 2 0 3 1 6 55 2 0 0 1 Bạn đọc tự làm : π 3π 3 a) I1 = ∫ min ( x, x − 3) dx b) I 2 = ∫ max( sin x, cos x ) dx c) I 3 = ∫ sin x − cos x dx 2 4 2 −2 0 0 3 5 d) I 4 = ∫ max( x 2 ,4 x − 3) dx d) I ∗ 4 = ∫  x + 2 x − 1 + x − 2 x − 1 dx     −2 1 Nguyên hàm , tích phân của hàm số vô tỷ : Trong phần nầy ta chỉ nghiên cứu những trường hợp đơn giản của tích phân Abel ( Dạng 1: ∫ R x, ax 2 + bx + c dx ở đây ta đang xét dạng hữu tỷ. ) Trung tâm văn hóa onthi.com
− ∆   2ax + b   2 a > 0  → ax + bx + c = 2 1 +    ∆ < 0 4a   − ∆     ∫ R ( x, ax 2 + bx + c dx = ) ∫ S (t , 2 ax +b 1 + t 2 dt ) Tới đây , đặt t = tan u . t= −∆ − ∆   2ax + b   2 a < 0 Dạng 2:  → ax + bx + c = 2 1 −    ∆ < 0 4a   − ∆     ∫ R ( x, ax 2 + bx + c dx = ) ∫ S (t , 2 ax + b ) 1 − t 2 dt Tới đây , đặt t = sin u . t= −∆ ∆  2ax + b   2 a > 0 Dạng 3:  → ax + bx + c = 2   − 1 ∆ > 0 4a  − ∆     ∫ R ( x, ax 2 + bx + c dx = ) ∫ S (t , 2 ax + b t 2 − 1 dt) Tới đây, đặt t = 1 . t= ∆ sin u dx dt Dạng 4 (dạng đặc biệt) : ∫ ( αx + β ) ax + bx + c 2 = ∫1 αt + µt + ζ 2 t= αx + β Một số cách đặt thường gặp : ( ∫ S x, a − x dx 2 2 ) đặt x = a. cos t 0≤t ≤π ∫ S ( x, + x )dx π π a2 2 đặt x = a. tan t − 0  ∫ S ( x, ax 2 + bx + c dx ) đặt  ax + bx + c = t ( x − x0 ) ; ax0 + bx0 + c = 0  2  ax 2 + bx + c = ± a .x ± t ; a>0   ax + b  ax + b ∫ S  x,   m  cx + d   đặt t = m cx + d ; ad − cb ≠ 0 dx Tính : I = ∫ (x 2 + 4x + 7 ) 3 Bài làm : dx dt ∫ = ∫ (x 2 + 4x + 7 ) 3 t = x+2 (t 2 +3 ) 3 Đặt : t = 3 tan u ⇒ dt = 3 ( tan 2 u + 1) du Trung tâm văn hóa onthi.com
( 3 tan 2 u + 1 du ) 1 Ta có I = ∫ = ∫ cos udu 3 3. tan u + 1 3 tan u ( 2 3 tan u ) 3 3 1 1 t 1 x+2 = sin u + C = +C = +C 3 3 t2 +1 3 x2 + 4x + 7 xdx dx Tính : a) I = ∫ b) I = ∫ x2 + x + 1 x x2 − 2x − 1 Bài làm : xdx xdx 1 3t − 1 a) ∫ x2 + x + 1 =∫ 2 = 2 ∫ t2 +1 dt  1 3 2 x +1 x +  + t= 3  2 4 I= 1 2 ∫ 2 x +1 3t − 1 t +1 2 dt = 2 3 2 1 t + 1 − ln t + t 2 + 1 + C 2 ( ) t= 3 1  1  = x2 + x + 1 − + ln x + + x 2 + x + 1  + C 2  2  1 dt b)Đặt : x = ⇒ dx = − 2 t t dx dt t +1 I =∫ =− ∫ = − arcsin +C x x2 − 2x −1 2 − ( t + 1) 2 2 1 x= t 1 +1 x x +1 = − arcsin + C = − arcsin +C 2 2 Tìm các nguyên hàm sau dx dx a) I = ∫ b) I = ∫ 1+ x + 3 1+ x x +1+ x +1 Bài làm : a)Đặt : t = 6 1 + x ⇒ t 6 = 1 + x ⇒ 6t 5 dt = dx dx t 5 dt  1  Vậy : I = ∫ = 6 ∫ 3 2 = 6 ∫ t 2 − t +1− t +t dt  t +1  1+ x + 1+ x 3 t = 6 1+ x t = 6 1+ x  = 2t 3 − 3t 2 + 6t − 6 ln t + 1 + C = 2 1 + x − 33 1 + x + 66 1 + x − 6 ln 6 1 + x + 1 + C 1  −2  1 dx 1+ x − x +1 1 x +1 b) I = ∫ =∫ dx = ∫  x + 1dx − ∫   dx x +1+ x +1 2 x 2   2 x Trung tâm văn hóa onthi.com
1 1 x +1 = x+ x − ∫ dx (1) 2 2 x x +1 x +1 1 2t Xét ∫ dx Đặt : t = ⇒ x= ⇒ dx = − dt x x t −1 2 t 2 −1 2 ( ) x +1 t 2 dt Vậy : ∫ x dx = −2 ∫ ( t − 1) 2 = OK x +1 t= x Tìm các nguyên hàm sau : a) I = ∫ x . x + 9dx b) I = 16∫ x . x + 4dx 2 2 2 2 Bài làm : t2 − 9 t2 + 9 a)Đặt : x2 + 9 = x − t ⇒ x= ⇒ dx = dt 2t 2t 2  t2 + 9   − t2 − 9  I1 = ∫  ( t2 − 9 2 ) 1 t 4 − 81 dt = − ∫ 2 ( )  2t 2 . 2t  .  4t 2 16 t5 dt    1  3 162 6561  1  t4 6561  = − ∫ t − + 5 dt = −  − 162 ln t − 4  + C Vậy : 16  t t  16  4  4t  =− 1  x − x2 + 9  (4 − 162 ln x − x + 9 − 2 ) 6561  +C 16   4 4  4 x − x2 + 9  ( ) t2 − 4 t2 + 4 b)Đặt : x +4 = x−t 2 ⇒ x= ⇒ dx = dt 2t 2t 2 t2 + 4 − t2 − 4 t2 − 4 I = 16 ∫  ( ) 2 dt = − ∫ (t 4 ) − 16 2  2t 2 . 2t  .  4t 2 t5 dt     3 36 256  t4 64  = −∫  t − + 5 dt = −  − 36 ln t − 4  + C 4  t t   t  = − (  x − x2 + 4 ) 4 + 36 ln x − x + 4 − 2  +C 64   4 4  x − x2 + 4  ( ) Tính các tích phân sau : 1 −8 I1 = ∫ x − x 2 dx dx a) 1 b) I 2 = ∫x −3 1− x dx 2 Trung tâm văn hóa onthi.com
Bài làm : 1 1 1 I1 = ∫ x − x 2 dx = ∫ 1 − ( 2 x − 1) dx 2 1 21 2 2 1 Đặt : 2 x − 1 = sin t ⇒ dx = cos tdt 2  1 x = 2 → t = 0  Đổi cận :  x = 1 → t = π   2 π π π 2 2 Vậy : I1 = 1 ∫ cos 2 tdt = 1 ∫ (1 + cos 2t ) dt = 1 1 + 1 sin 2t  2   40 80 8 2 0 1  π   π =  − 0  − ( 0 + 0)  = 8  2   16 b) Đặt : t = 1 − x ⇒ − 2tdt = dx  x = −3 → t = 2 Đổi cận :   x = −8 → t = 3 −8 3 3 dx tdt dt Vậy : I 2 = ∫3 x 1 − x dx = 2∫ 1 − t 2 t = 2∫ 1 − t 2 − 2 ( 2 ) 3 t −1  1  = − ln = − ln − ln 1 = ln 2 t +1 2  2  Bạn đọc tự làm : dx dx a) I1 = ∫ b) I 2 = ∫ 4 x − x 2 dx c) I 3 = ∫ x x2 + 1 (x 2 +4 ) 3 1 + x2 − 1 ∗ 1 d) I 4 = ∫ 1 + x 2 dx d) I ∗5 = ∫ dx d) I 6 = dx 1 − x2 − 1 1 + x2 + 1 Bất đẳng thức tích phân : b Nếu f ( x ) ≥ 0 ∀x ∈[ a, b] ⇒ ∫ f ( x )dx ≥ 0 a b b Nếu f ( x ) ≥ g ( x ) ∀x ∈[ a, b] ⇒ ∫ f ( x )dx ≥ ∫ g ( x )dx a a Trung tâm văn hóa onthi.com
b Nếu m ≤ f ( x ) ≤ ∀x ∈[ a, b] ⇒ m( b − a ) ≤ ∫ f ( x )dx ≤ M ( b − a ) a Trong các trường hợp nầy ta thường dùng khảo sát , Bunhiacopxki, AM-GM Và các bước chặn sinx,cosx BÀI TẬP Chứng minh các bất đẳng thức sau : c) ∫ ( 1 + x + 1 − x )dx ≤ 2 1 2 1 1 2 x 1 a) ∫ x(1 − x ) dx ≤ b) ≤ ∫ 2 dx ≤ 0 4 5 1 x +1 2 0 Bài làm: a)Áp dụng AM-GM ta có :  x + (1 − x )  2 1 x (1 − x ) ≤   2  = 4 ∀x ∈ [ 0,1]  1 1 1 1 Vậy : ∫ x(1 − x ) dx ≤ ∫ dx = (đpcm) 0 40 4 x b) Xét hàm số : f ( x ) = ∀x ∈ [1,2] x +1 2 Đạo hàm : 1 − x2 f ′( x ) = (x 2 +1 ) 2 x = 1 f ′( x ) = 0 ⇔   x = −1  1  f (1) = 2  Ta có :   f ( 2) = 2   5 2 x 1 ≤ 2 ≤ ∀x ∈ [1,2] 5 x +1 2 2 2 2 2 x 1 Vậy : ⇒ 5 ∫ dx ≤ ∫ x 2 + 1 dx ≤ 2 ∫ dx 1 1 1 2 2 x 1 ⇒ ≤∫ 2 dx ≤ 5 1 x +1 2 Áp dụng Bunhicopxki ta có : 1 + x + 1 − x ≤ 12 + 12 1 + x + 1 − x = 2 ∀x ∈ [ 0,1] ∫( ) 1 Vậy : 1 + x + 1 − x dx ≤ 2(1 − 0 ) 0 Trung tâm văn hóa onthi.com