chuyên đề lượng giác
CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC
BÀI 1.
1. GÓC VÀ CUNG LƯỢNG GIÁC.
Đơn vị đo góc và cung tròn, độ dài cung tròn.
(rad) suy ra ( đơn vị rad).
1 vòng tròn tương ứng có chu vi là 2 suy ra cung
tròn bán kính R có số đo thì có độ dài .
Đường tròn lượng giác OA = sin OB = cos
.
2. CÔNG THỨC CƠ BẢN.
Lượng giác trong tam giác.
; ; ; .
. .
Công thức cơ bản.
;
; điều kiện
1
; điều kiện
Giá trị lượng giác của các góc (cung) có liên quan đặc biệt:
và ) Hai góc bù nhau ( và )
Hai góc đối nhau (
Hai góc phụ nhau ( và ) Hai góc hơn kém nhau ( và )
Hai góc hơn kém nhau )
( và
Công thức cộng.
Công thức nhân đôi.
2
.
Suy ra công thức hạ bậc:
;
; .
Công thức nhân ba.
Công thức biến đổi tổng thành tích.
Chú ý:
Công thức biến đổi tích thành tổng.
Công thức chia đôi.
3
Đặt thì khi đó ta có:
HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC
BÀI 2.
Hàm số sin Hàm số cosin
Hàm số y = sinx Hàm số y = cosx
tập xác định là R -1 cosx 1 , x R , là hàm số chẵn , tuần hoàn với chu kì 2
tập xác định là R -1 sinx 1 , x R , là hàm số lẻ , tuần hoàn với chu kì 2 sinx =0 khi cosx =0 khi
sinx =1 khi
cosx =1 khi cosx = -1 khi sinx = -1 khi
Hàm số tan Hàm số cotan
Hàm số y= tanx Hàm số y= cotx
tập xác định
tập xác định là hàm số lẻ tuần hoàn với chu kì
cotx=0 khi là hàm số lẻ tuần hoàn với chu kì tanx=0 khi
cotx=1 khi tanx=1 khi
cotx =- 1 khi tanx =- 1 khi
PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN .
BÀI 3.
Phương trình sinx = m (1) m là hằng số.
Nếu Nếu thì phương trình (1) vô nghiệm Gọi là một giá trị sao cho sin =m, thì phương trình (1)
có nghiệm và
Chú ý:
4
Đặc biệt:
Phương trình cosx = m (2) m là hằng số.
Nếu Nếu thì phương trình (2) vô nghiệm Gọi là một giá trị sao cho cos =m,thì phương trình (2)
có nghiệm và .
Chú ý:
Đặc biệt:
Phương trình tanx=m (3) m là tham số.
5
Điều kiện .
Nếu có số thỏa và thì phương trình (3) có
nghiệm:
Chú ý:
Phương trình cotx = m (4) m là tham số.
Điều kiện: Nếu có số thỏa mãn và cot=m thì phương trình (4) có
nghiệm
Chú ý:
Phương trình bậc nhất đối với hàm số lượng giác (5) .
; ; ; .
Dạng: Tổng quát: at + b = 0, với a,b là hằng số. Cách giải: chia 2 vế của phương trình cho a, chuyển về dạng cơ bản
(1),(2),(3),(4) và giải tương tự.
Phương trình bậc hai đối với hàm số lượng giác (6).
Dạng:
(a) (b)
(c ) (d)
Cách giải:
) )
phương trình (a) đặt t = sinx, ( phương trình (b) đặt t = cosx, ( phương trình (c ) đặt t = tanx, ( phương trình (d ) đặt t = cotx, ( )điều kiện cosx )điều kiện sinx 0. 0.
Chuyển về phương trình bậc hai ,giải ra t và suy ra x.
Phương trình thuần nhất bậc hai đối với hàm số lượng giác.(7)
Dạng:
a.sin2x+b.sinx.cosx+c.cos2x =0 a.sin2x+b.sinx.cosx+c.cos2x =d
6
Phương pháp giải:
Kiểm tra cosx = 0 (sinx = ) có phải là nghiệm không?. Nếu
,
không phải là nghiệm thì chia 2 vế của phương trình cho ta được phương trình bậc hai theo tanx, giải như dạng (6). Nếu cox = 0 là nghiệm thì ta chi 2 vế của phương trinh cho
, ta được phương trình bậc hai theo cotx, giải như (6).
Chú ý: Có sử dụng công thức:
và .
Phương trình thuần nhất bậc nhất đối với hàm số lượng giác.
Dạng a.sinx + b.cosx = c , ( a2+b2 0) Điều kiện có nghiệm: a2+b2 c2. Cách giải 1:
Biến đổi vế trái về dạng:
trong đó và phương trình trở thành
là phương trình cơ bản dạng
(1).
Cách giải 2: Chia hai vế của phương trình cho ta được:
. Gọi là số đo sao cho :
. Phương trình trở thành:
hay là phương trình
cơ bản dạng (1).
7
CÁC DẠNG BÀI TẬP
GÓC VÀ CUNG LƯỢNG GIÁC
DẠNG 1 Bài 1. Điền vào chỗ trống: Số đo độ
Số đo rad
Bài 2. Bánh xe máy có đường kính 55cm. Nếu xe chạy với vận tốc 40km/h thì trong một giây bánh xe quay được bao nhiêu vòng?. Bài 3. Một đường tròn có bán kính 15cm. Tìm độ dài của các cung trên đường tròn có số đo
1. 2. 3. 4. 5.
BÀI TẬP ÔN CÔNG THỨC VÀ LÝ THUYẾT CƠ BẢN
DẠNG 2
Bài 1.Cho . Xác định dấu của các giá trị lượng giác.
2. 3. 4. 1.
6. 5.
8. 7.
Bài 2. Tính các giá trị lượng giác còn lại của góc x nếu:
và 3. và . 1.
và 4. và . 2.
Bài 3. Xác định dấu của sinx, cosx, tanx biết:
2. 3. 4. 5. . 1.
Bài 4. Cho Tính ; ; ; .
8
Bài 5. Cho .Tính giá trị của biểu thức .
Bài 6. Cho . Tính ;
Bài 7. Cho Tính .
Bài 8. Cho Tính ; tan ; cos ;
Bài 9. Cho . Tính giá trị của biểu thức .
Bài 10. Cho và . Tính sina, cos , cosa, tana, sin2a.
Bài 11. Cho tana=4 và . Tính sina, cosa, .
Bài 12. Tính sinx biết và
Bài 13. Rút gọn biểu thức .
Khi hãy tính giá trị của
Bài 14. Tính
Bài 15. Cho tam giác ABC chứng minh rằng sin2A+sin2B+sin2C=4sinA.sinB.sinC. Bài 16. Chứng minh
1+sina+cosa+tana=(1+cosa)(1+tana);
;
9
.
;
;
;
;
không phụ thuộc vào biến x.
; ;
. ;
; ;
;
Chứng minh biểu thức sau không phụ thuộc vào biến x
Câu 17. Rút gọn hoặc đơn giản biểu thức
10
. Tính giá trị của Q khi .
.
;
Câu 18. Cho .Tính giá trị của biểu thức
Câu 19. Tìm điều kiện để các biểu thức sau có nghĩa và rút gọn
; ;
Câu 20. Cho ; Tính sin2a, cos2a, tan2a.
Câu 21. Cho .Tính và .
Câu 22. Chứng minh không phụ thuộc vào x.
Câu 23. Cho và .Tính các giá trị lượng giác của góc a.
Câu 24. Cho tam giác ABC. CM rằng:
Câu 25. Rút gọn .
Câu 26. Biết . Các điểm trên đường tròn lượng giác xác định bởi
số a và b cùng nằm ở góc phần tư thứ II. Hãy tính và .
Câu 27. Cho . Hãy xác định dấu của các số: và .
11
Câu 28. Rút gọn và
. Câu 29. Cho .Tính
. Câu 30. Cho và . Tính giá và
Câu 31. Tính giá trị của biểu thức .
Câu 32. Cho với . Tính các giá trị lượng giác của x.
. Câu 33. Tính giá trị
Câu 34. Chứng minh rằng .
Câu 35. Chứng minh không phụ thuộc vào a.
Câu 36. Rút gọn .
Câu 37. SBT-NC Chứng minh
b. a.-
c.
d.
f. e.
Câu 38. Cho , hãy tính theo m
b. c.
a. Câu 39. Cho , hãy tính theo m
c.
b. a. Câu 40. Đơn giản biểu thức
b. a.
12
c.
d.
e.
f.
g.
Câu 41. Không sử dụng máy tính hãy tính
Câu 42. Tính
a. b.
DẠNG 3. TÌM TẬP XÁC ĐỊNH CỦA HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC
1. 2. 3.
4. 5. 6.
7. 9. 10.
11. 12. 13.
14. 15. 16.
17. 18. 19.
20. 21. 22.
13
23. 24. 25.
26. 27. 28.
29. 30. 31.
32. 33. 34.
35. 36.
DẠNG 4. TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT VÀ GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC 1. y= 2+3cosx; 2. y= 3 4sinx; 3. y= 2sin2x 3
4. 6. 5.
7. 9. 8.
10. 12. 11.
13. 15. 14.
16. Tìm giá trị bé nhất của biểu thức
17. Tìm giá trị bé nhất của biểu thức DẠNG 5. XÉT TÍNH CHẴN LẺ CỦA HÀM SỐ
1. 2. 3.
4. 5. 6.
7. 8. 9.
10. 11. 12.
14
13. 16. 14. 17. 15. 18.
19. 20. 21.
22. 23. 24.
DẠNG 6. VẼ ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ Các bước vẽ đồ thị hàm số: Vẽ đồ thị hàm số Vẽ đồ thì hàm số bằng cách dịch chuyển đồ thị hàm số
sang bên trái đơn vị.
Vẽ đồ thì hàm số bằng cách dịch chuyển đồ thị hàm số
sang bên phải đơn vị.
Vẽ đồ thì hàm số bằng cách dịch chuyển đồ thị hàm số
lên trên theo phương trục oy, K đơn vị.
Vẽ đồ thì hàm số bằng cách dịch chuyển đồ thị hàm số
xuống dưới theo phương trục oy, K đơn vị.
Các dạng khác của hàm số cosx, tanx, cotx thực hiện tương tự.
1. 2. 3.
4. 5. 6.
7. 8. 9.
10. 11. 12.
13. 14. 15.
16. 17. 18.
19. 20. 21.
22. 23. 24.
15
25. 26. 27.
28.
29. 30.
31. 32. 33.
DẠNG 7. GIẢI PHƯƠNG TRÌNH CƠ BẢN + PT BẬC NHẤT
1. 3. 2.
4. 5. 6.
7. 8. 9.
10. 11. 12.
13. 14. 15.
16. 17. 18.
21. sin2x 2cosx=0
19. 2cosx =0 22. 2sinx.cosx.cos2x=1 24. sin7x sin3x=cos5x 20. tan3x 3=0 23. cos3x cos4x+cos5x=0 25. cos2x sinx 1=0
26. 27.
28. 29.
30. 31. 32.
DẠNG 8. PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI ĐỐI VỚI HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC
1. 2.
3. 4.
5. 6.
7. 8.
16
9. 10.
11. 12.
13. 14.
15. 16.
17. 18.
DẠNG 9. PT THUẦN NHẤT BẬC NHẤT ĐỐI VỚI HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC
1. 2.
3. 4.
5. 6.
7. 3sinx+4cosx=5 8.
9. 11. 3cosx-4sinx=5 13. 5sin2x-6cos2x=13 10. 12. 2sin2x-2cos2x= 14. sin3x - cos3x =2sin2x
15. 16.
DẠNG 10. PT THUẦN NHẤT BẬC HAI ĐỐI VỚI HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC
1. 2.
3. 4.
5. 6.
8.
7. DẠNG 11. PT HỔN HỢP ĐỐI XỨNG
1. 2.
3.
4. 5.
6. 7.
17
BÀI TẬP HAY SÁCH GIÁO KHOA
1. 2.
3. 4.
5. 6.
7. 8.
9. 10.
11. 12.
13. 14.
15. 16.
17. Giải phương trình
18. Tìm các nghiệm của mỗi phương trình sau trên khoảng :
;
ĐỀ THI HỌC KỲ VÀ ÔN TẬP CỦA CÁC TRƯỜNG THPT Ở THÀNH PHỐ ĐÀ NẴNG. Trường THPT Thái Phiên
1. 2.
3. 4.
5. 6.
7.
8. 9.
10. 11.
12. 13.
18
14. 15.
16. 17.
18. 19.
20. 21.
22. 23. Tìm GTLN, GTNN của
24. 25.
26. 27.
29.
28. Trường THPT Trần Phú và Phan Châu Trinh
1. 2.
3. 4. Tìm TXĐ của
5. Tìm nghiệm của phương trình trên
6. Tìm GTLN, GTNN của hàm số
7. 8.
9. 2 10.
11. 12.
14.
13. 15. Tìm GTLN, GTNN của hàm số
16. 17.
18. Tìm TXĐ của 19.
20. 21.
19
22. 23.
24. Tìm TXĐ 25.
26. 27.
28. Tìm TXĐ 29.
30. Xét tính chẵn lẻ của 31. Tìm GTLN, GTNN
32. 33.
34. 35.
36. 37.
38. Tìm GTLN, GTNN của
39. Xét tính chẵn lẻ của hàm số
40. 41.
42.
43. 44. Tìm TXĐ
45. Tìm GTLN, GTNN của hàm số
46. 49.
BÀI TẬP HỔN HỢP CÁC DẠNG 1. cos2x sinx 1 = 0 3. 4sinx.cosx.cos2x = 1 2. cosx.cos2x = 1+sinx.sin2x 4. cos5x. cosx = cos4x;
5. sinxsin2xsin3x = sin4x 6. sin4 x+cos4 x = cos22x
20
7. cos2x+cos4x+cos6x = 0 8. sinx sin3x+sin5x+sin6x = 0
9. sin5xcos3x = sin2x+ sin3x 10. cos2xcos4x = cos6x sin4x
11. 2cos2x 3cosx+1 = 0 13. 2sin2x+5sinx 3 = 0 12. cos2x+sinx+1 = 0 14. 3cos2x 2sinx+2 = 0
15. 5sin2x+3cosx +3 = 0 16. +sin2x = cos4x.
tan2x-(1+ )tanx+1 = 0
18. 2sin22x+3cos2x = 3 20. 4sin2x-cos2x = 2 22. cotx-cot2x = tanx+1 24. 4cos2x+3sinxcosx-sin2x = 3 26. 4sin2x-4sinxcosx+3cos2x = 1 28. 3cos2x-2sin2+sin2x = 1
17. 2sin2x 5cosx+1 = 0 19. 3sin2x+2cosx = 0 21. 2tanx-3cotx-2 = 0 23. 25. 2sin2x-sinxcosx-cos2x = 2 27. cos2x+2sinxcosx+5sin2x = 2 29. 4cos2x-3sinxcosx+3sin2x = 1. 30. cos2x-sinx-1 = 0 31. cosxcos2x = 1+sinxsin2x 33. tanx = 3cotx 32. 4sinxcosxcos2x = -1 34. sinx+2sin3x = -sin5x
35. cos5xcosx = cos4x 36. sinxsin2xsin3x = sin4x
37. sin4x+cos4x = - cos22x 38. 3cos2x-2sinx+2 = 0
39. 5sin2x+3cosx+3 = 0 40. sin6x+cos6x = 4cos22x
41. +sin2x = cos4x 42. 2tanx-3cotx-2 = 0
44. cotx-cot2x = tanx+1 46. 3cos2x-2sin2x+sin2x = 1
43. cos2x =3sin2x+3 45. cos2x+2sinxcosx+5sin2x =2 47. 4cos2x-3sinxcosx+3sin2x = 1 48. 2cosx-sinx=2 49. sin5x+cos5x= -1 50. 8cos4x-4cos2x+sin4x-4=0
51. sin6x+cos6x+ sin4x=0 52. sin2x-cos2x=cos4x
53. cos3x-cos5x=sinx 55. sin2x+sin22x=sin23x 57. 2cos2x-3sin2x+sin2x=1 54. 3sin2x+4cosx-2=0 56. 2tanx+3cotx=4 58. 2sin2x+sinxcosx-cos2x=3
59. cos4x+sin4x +
62. 5sinx-2 =3(1-sinx ) tg2x
60. 1+sinx+cosx+sin2x+cos2x = 1 61. cos23xcos2x -cos2x = 0 63. (2cosx-1)(2sinx+cosx) =sin2x -sinx
64. 65. cotx -tanx +4sin2x =
21
66. 67. 2sin2x -2(sinx+cosx) + =0
69. cos3x+sin3x =cos2x
68. cotgx- tgx = sinx +cosx 70. cos2x +2(sinx+cosx)3 -3sin2x – 3 =0; 71. 2sin3x –cos2x +cosx = 0
72. (sinx+cosx) = tgx +cotgx 73. 1+sin3x+cos3x = sin2x
74. 1+sinx+cosx+sin2x+cos2x=0 75. 1+sin3x+cos3x = sin2x
77. cos3x+cos2x +2sinx-2=0
76. sin3xcos3x +cos3x.sin3x =sin34x 78. 1+sinx+cos3x=cosx+sin2x+cos2x 79. (2sinx+1)(3cos4x+2sinx-4)+4cos2x =3
cos3x =2sin2x
80. cos4x + 12sin2x -1 =0 82. cos2x -2sinx +2=0 81. sin3x - 83. cos4x-sin4x +cos4x =0
84. sin2x +sin22x= sin23x +sin24x 85. sin2xsinx +cos5xcos2x=
86. 87.
88. cosxcos2xsin3x= 89. sin4x+cos4x =
90. 1+sinx+cosx+tgx= 0 91.
92. 2sin3x +4cos3x =3sinx 94. cos2x +cos4x -2=0 96. 93. cos4x -2sin2x+2=0 95. 97.
99. 101.
98. 100. ĐỀ THI ĐẠI HỌC CÁC NĂM
2016 QG Giải phương trình
2015 QG Tính giá trị của biết .
2014 A Giải phương trình .
2014 B Giải phương trình .
2013 A Giải phương trình .
.
2013 B 2013 D Giải phương trình Giải phương trình
22
2012 A Giải phương trình
2012 B Giải phương trình .
2012 D Giải phương trình .
2011 D .
2011 B .
(sin2x+cos2x)cosx+2cos2x sinx=0 .
2011 A 2010 B 2010 D .
2010 A .
cos5x-2sin3xcos2x-sinx=0 .
2009 D 2009 B sinx+cosx.sin2x+ cos3x=2(cos4x+sin3x).
2009 A .
2008 D 2008 B 2sinx (1+cos2x) +sin2x = 1+2cosx. sin3x cos3x = sinx.cos2x sin2x.cosx.
2008 A .
2007 D .
2007 B 2007 A 2006 D 2.sin22x+sin7x 1=sinx. (1+sin2x )cosx +(1+cos2x)sinx =1 +sin2x . cosx 1=0. cos3x +cos2x
2006 B cotgx +sinx = 4.
2006 A
2005 D
23
2005 B
2005 A
2004 A ABC không tù, thỏa điều kiện Tính
ba góc của tam giác.
2004 B
2004 D
2003 A
2003 B
2003 D
2002A 5( sinx + . Tìm nghiệm thuộc
2002 B 2002 D ĐỀ DỰ BỊ ĐẠI HỌC CỦA BỘ GIÁO DỤC
1. 2.
3.
4. 5.
6. 7.
8. 9.
10. 11.
12.
24
13. 14.
15. 16.
17. 18.
19. 20.
21. 22.
23. 24.
25. 26.
27.
28. 29.
30. 31.
32. 33. .
34. . 35. .
36. . 37. .
38. .
39. . 40. .
41. . 42. .
43. 44. .
(chia hai vế cho cos3x).
25
45. 46. .
26
47. .
